VYSOÁ ŠOLA BÁŇSÁ TECHNICÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAULTA STROJNÍ ZÁLADY AUTOMATIZACE TECHNOLOGICÝCH PROCESŮ V TEORII Rozdělení regulovaných soustav Ing. Romana Garzinová, Ph.D. prof. Ing. Zora Jančíková, CSc. Ing. Ondřej Zimný, Ph.D. Ostrava 203 Ing. Romana Garzinová, Ph.D., prof. Ing. Zora Jančíková, CSc., Ing. Ondřej Zimný, Ph.D. Vsoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-3044-5 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republik v rámci řešení projektu:, MODERNIZACE VÝUOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDATICÝCH METOD
2 OBSAH ROZDĚLENÍ REGULOVANÝCH SOUSTAV... 3. Rozdělení regulovaných soustav... 4.2 Proporcionální (statické) soustav... 4.2. Soustava 0. řádu... 4.2.2 Soustava. řádu... 5.2.3 Soustava 2. řádu... 6.3 Integrační (astatické) soustav... 7.3. Integrační (astatická) soustava. řádu... 7.3.2 Integrační (astatická) soustava. řádu se setrvačností. řádu... 7.4 Jiné soustav... 8.4. Derivační člen... 8.4.2 Soustava s dopravním zpožděním... 9.5 Určování statických a dnamických vlastností soustav vhodnocováním přechodových charakteristik... 9.5. Měření přechodových charakteristik... 9.5.2 Grafická analýza přechodových charakteristik... 0 2 PŘEDNÁŠOVÝ TEXT SE VZTAHUJE TĚMTO OTÁZÁM... 3 3 POUŽITÁ LITERATURA... 4
3 ROZDĚLENÍ REGULOVANÝCH SOUSTAV STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠY: Rozdělení regulovaných soustav. Jiné soustav. Určování statických a dnamických vlastností soustav vhodnocováním přechodových charakteristik. MOTIVACE: Již dříve jsme se dověděli, že z obecného principu řízení můžeme sstém rozdělit na řízené a řídicí. V této kapitole se zaměříme jen na sstém řízené, tzn. soustav. Z hlediska matematického popisu (tvaru LDR či tvaru přenosu) je možno najít několik tpických sstémů, na kterých pak můžeme pozorovat určité vlastnosti, chování a vývoj charakteristik. Proto je vhodné tto základní charakteristik vsvětlit a při následném použití již chápat jejich projev v širších souvislostech. Také je vhodné upozornit, že některé z nich je možno realizovat v podobě sstémů řídicích (tzn. regulátorů) a na ně se pak více zaměříme v následujících kapitolách. CÍL: Cílem je rozdělit soustav podle řádu lineární diferenciální rovnice a vjádřit přenos a přechodové charakteristik daných soustav.
4. ROZDĚLENÍ REGULOVANÝCH SOUSTAV Základní dělení regulovaných soustav je na: proporcionální (dřívější termín statické), integrační (dřívější termín astatické). Proporcionální soustav se při vchýlení z rovnovážného stavu sam ustálí na nové hodnotě rovnovážného stavu. Integrační soustav jsou takové, že po vchýlení z rovnovážné poloh se bez působení regulátoru již neustálí v nové rovnovážné poloze..2 PROPORCIONÁLNÍ (STATICÉ) SOUSTAVY Všechn soustav proporcionálního charakteru vcházejí z obecné lineární rovnice n-tého řádu: a ( n) n ( n ) ( t) + an ( t) +... + a0 ( t) b0u( t), () kd levá strana rovnice popisuje člen výstupní funkce (t) v jednotlivých svých derivacích a pravá strana rovnice popisuje vstupní funkci u(t). Tuto funkci uvažujeme jednotkovou buď v podobě heavisideova jednotkového skoku, kd zjišťujeme přechodovou charakteristiku nebo v podobě diracova jednotkového impulsu, kd zjišťujeme impulsní charakteristiku. Obě charakteristik jsou dostatečné k tomu, abchom z nich získali informace o dnamických vlastnostech soustav. Platí matematický vztah, že derivací přechodové funkce získáme impulsní funkci. Řád diferenciální rovnice popisující sstém vjadřuje řád soustav. V případě proporcionálních soustav má lineární diferenciální rovnice vžd nenulový člen a 0..2. Soustava 0. řádu Diferenciální rovnice: Obrazový přenos: a t ( ) b u( t) 0 0 (2) Y ( p) b G ( p) U ( p) a 0, (3) 0 kde b 0 /a 0 vjadřuje zesílení soustav.
5 Přechodová funkce: u t 0 t Obr.. Přechodová funkce soustav 0. řádu Praktické příklad: Jako příklad skutečné soustav v praxi může být elektronický zesilovač, obecně zesilovače, převodovk, potrubí s kapalinami apod..2.2 Soustava. řádu Diferenciální rovnice: Obrazový přenos: a t + a t b u t (4) ( ) ( ) ( ) 0 0 Y( p) U ( p) b0 a p + a0 Tp +, (5) kde je zesílení soustav, T časová konstanta. Přechodová funkce: u t 0 T t Obr. 2. Přechodová funkce soustav. řádu
6 Praktické příklad: Jako příklad skutečné soustav může být - tlaková nádrž plněná plnem, elektrické obvod s odpor a kapacitami, s odpor a indukčnostmi (buzení stejnosměrných motorů apod.)..2.3 Soustava 2. řádu Diferenciální rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) a t + a t + a t b u t (6) 2 0 0 Obrazový přenos: kde je zesílení soustav, T, T 2 časové konstant. Přechodová funkce: u b0 G ( p) 2 2 2, (7) a p + a p + a T p + T p + 2 0 2 t děj periodický děj na mezi aperiodicit děj aperiodický 0 T p t Obr. 3. Přechodová funkce soustav 2. řádu Tvar přechodové funkce závisí na řešení charakteristické rovnice - jmenovatele přenosu. Jsouli oba kořen reálné záporné, pak má přechodová funkce h(t) tvar uvedený na obr. 3 v podobě plné čár. Jedná se o děj aperiodický. Jsou-li kořen komplexně sdružené, má přechodová funkce kmitavý charakter, tj. překmitne ustálenou hodnotu a tlumeně kmitá kolem ní, až kmit ustanou (tečkovaná křivka), děj periodický. Pokud je řešením charakteristické rovnice dvojnásobný reálný kořen jde o děj na mezi aperiodicit (čárkovaná křivka), tzn. jde o děj mezní mezi oběma jmenovanými.
7 Praktické příklad: pružně uložené hmot (hmotnost na pružině), elektrické obvod současně obsahující odpor, indukčnosti a kapacit (oscilační obvod) apod..3 INTEGRAČNÍ (ASTATICÉ) SOUSTAVY.3. Integrační (astatická) soustava. řádu Diferenciální rovnice: Obrazový přenos: a t b u t (8) ( ) ( ) 0 b0 Y( p) a (9) U( p) p p Přechodová funkce: u t 0 t Obr. 4. Přechodová funkce integrační soustav. řádu Praktické příklad: Jako příklad skutečné soustav je řízení vozidel, plnění velkých zásobníků plnem, zásobník spkých hmot, nádrže bez odtoku apod..3.2 Integrační (astatická) soustava. řádu se setrvačností. řádu Diferenciální rovnice: Obrazový přenos: ( t) b u( t) a 2 ( t) + a 0 (0) b0 Y ( p) a G ( p) () U ( p) a2 p( p + ) p( T2 p + ) a
8 Přechodová funkce: u t 0 t Obr. 5. Přechodová funkce integrační soustav. řádu a setrvačností. řádu.4 JINÉ SOUSTAVY.4. Derivační člen Diferenciální rovnice: Obrazový přenos ideálního členu: Obrazový přenos skutečného členu: ( ) ( ) t b u t (2) ( ) G p b p (3) p τp + (4) Přechodová funkce: u t 0 t Obr. 6. Přechodová funkce skutečného členu Praktické příklad: Jako příklad skutečné soustav může být derivační regulátor, elektrické obvod s odpor a kapacitami nebo s odpor a indukčnostmi.
9.4.2 Soustava s dopravním zpožděním Rovnice: Obrazový přenos: ( ) ( ) a 0 t b 0 u t T d (5) b0 a e pt d 0 (6) Přechodová funkce: u t 0 t T d Obr. 7. Přechodová funkce sstému s dopravním zpožděním Praktické příklad: Jako soustav s dopravním zpožděním jsou považován - dopravník, řízení kontinuálních válcovacích stolic, vrstvení tekutými materiál (polévání filmové podložk emulsí) apod..5 URČOVÁNÍ STATICÝCH A DYNAMICÝCH VLASTNOSTÍ SOUSTAV VYHODNOCOVÁNÍM PŘECHODOVÝCH CHARATERISTI.5. Měření přechodových charakteristik Měřením se určuje odezva (t) soustav při změní vstupního signálu u(t) skokem známé velikosti. Časový průběh výstupní veličin, převedený na jednotkovou změnu vstupu je přechodovou charakteristikou objektu. Před provedením změn musí být soustava v ustáleném stavu. Změna vstupního signálu se občejně provede přestavením regulačního orgánu. Průběh výstupní veličin (t) se zaznamenává vhodným registračním zařízením. Skoková změna vstupní veličin musí proběhnout tak rchle, ab doba jejího přechodu z výchozí do konečné poloh bla mnohem kratší, než je odezva zkoumaného členu. Vlastní přechod musí být monotónní. Odezva registračního zařízení musí být mnohem rchlejší, než je odezva měřeného členu. Při měření charakteristik soustav s krátkými časovými konstantami je nutno budit soustavu opakujícími se puls.
0 Měření je nejčastěji používané pro svou jednoduchost a nenákladnost. Tvar přechodové charakteristik závisí nejen na řádu soustav, ale také na hodnotách nul a pólů přenosu. Většina reálných soustav neobsahuje v přenosu nul, nýbrž pól a to reálné. Metod se hodí pro soustav s velkými časovými konstantami. Nejdůležitější informace se nachází v samotném okolí počátku přechodové charakteristik. Velikost přemístění orgánu se volí podle skutečných podmínek, za kterých sledovaná soustava pracuje. Musí být dodatečně veliká, ab vedlejší poruch nenarušil průběh odezv. Velká přemístění nejsou žádoucí, neboť mohou silně narušit režim soustav a mohou se i nepříznivě projevit i nelineární průběh. Na základě naměřeného průběhu odvozujeme přechodovou charakteristiku jako odezvu na jednotkový skok tj. na změnu vstupní veličin o jednotku..5.2 Grafická analýza přechodových charakteristik Soustav prvního řádu Pokud má objekt pouze jeden akumulátor energie, dá se popsat sstémem. řádu. Přenos statického sstému prvního řádu Y( p) U ( p) kde zesílení b 0 /a 0 a časová konstanta T a /a 0. b0 a p + a Tp + 0 (7) Přechodová charakteristika sstému je na obr. 2. Jak je naznačeno, určíme zesílení jako pořadnici asmptot k přechodové charakteristice a časovou konstantu T jako čas odpovídající bodu průsečíku tečn k přechodové charakteristice v počátku s asmptotou. Podobně u integračního sstému, jehož přenos je: b0 Y( p) a U( p) p p (8) určíme zesílení způsobem naznačeným na obr. 4. Je to vlastně hodnota výstupu soustav dosažená v čase t s. Soustav druhého a vššího řádu Přesné určení dnamických vlastností regulované soustav podle záznamů přechodových charakteristik není praktick možné. Proto se vhodnocování přechodových charakteristik zpravidla spojuje s aproximací skutečných vlastností soustav. V praxi jsou nejčastějším případem statické soustav, u nichž kořen charakteristické rovnice - pól sstému, jsou vesměs reálné záporné. Pro tto soustav se navrhuje, skutečné vlastnosti těchto soustav aproximovat soustavami buď n-tého řádu s vesměs stejnými časovými konstantami, nebo soustavami druhého řádu s různě velkými časovými konstantami. Podle metod navržené prof. V. Strejcem lze libovolný statický sstém výše uvedených vlastností aproximovat přenosem tpu
( Tp + ) n e pt d (9) nebo ( T p + ) ( T p + ) 2 e pt d (20) Pro přechodovou charakteristiku soustav 2. a vššího řádu je tpické, že výstupní veličina se ihned po změně vstupu nemění, jak je tomu u soustav. řádu (první derivace v čase t 0 je nulová). Analýzu provedeme pro soustavu bez dopravního zpoždění. V případě, že soustava má dopravní zpoždění, dá se toto zpoždění zjistit z fzikálních a konstrukčních dat o soustavě nebo měřením. Postup při určování řádu a časových konstant soustav bude obdobný jako u soustav bez dopravního zpoždění. Tpická přechodová charakteristika soustav vššího řádu je na obr. 8. Obr. 8. Vhodnocení přechodové charakteristik proporcionální soustav všších řádů Postup při aproximaci přechodové charakteristik je tento:. Změřenou přechodovou charakteristiku překreslíme v novém měřítku tak, ab ustálená hodnota bla rovna jedné. 2. Nakreslíme tečnu v inflexním bodě přechodové charakteristik, určíme dobu průtahu T u, dobu náběhu T n a jejich poměr τ T u / T n. 3. Z tabulk [4] určíme souřadnici inflexního bodu i a pomocí ní určíme z grafu příslušnou souřadnici t i. 4. První přenos (9) odpovídá sstému n-tého řádu s jednou n-násobnou časovou konstantou T a dopravním zpožděním T d. Druhý přenos (20) odpovídá sstému druhého řádu s dvěma navzájem různými časovými konstantami a dopravním zpožděním.
2 5. Zesílení k plne z ustálené hodnot změřené přechodové charakteristik. k ( ) u( ) 6. Pro τ 0,04 volíme aproximační přenos sstému n-tého řádu se stejnými časovými konstantami podle rovnice (9). Řád sstému určíme z velikosti τ, resp. z velikosti souřadnice i inflexního bodu podle výše uvedené tabulk (nejbližší řád). Časovou konstantu určíme ze vztahu: T ti n 7. Pro τ z intervalu τ < 0,04 volíme přenos s dvěma různými časovými konstantami. Tabulka. Stanovení řádu n aproximační soustav a zpřesnění poloh inflexního bodu N 2 3 4 5 6 τ 0 0,04 0,28 0,39 0,40 0,493 i ( ) 0 0,264 0,323 0,353 0,37 0,384
Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám 3 2 PŘEDNÁŠOVÝ TEXT SE VZTAHUJE TĚMTO OTÁZÁM Soustav proporcionální a integrační. Proporcionální soustav nultého, prvního a druhého řádu. Integrační soustav prvního a druhého řádu. Derivační soustava. Soustava s dopravním zpožděním. Vužití grafických metod pro vhodnocování různých tpů přechodových charakteristik. Strejcova metoda aproximace soustav všších řádů.
Použitá Literatura 4 3 POUŽITÁ LITERATURA [] JANČÍOVÁ, Z. Teorie sstémů. Studijní opor. VŠB-TU Ostrava, 202. [2] http://www.person.vsb.cz/archivcd/fmmi/ts/index.htm [3] BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přeprac. vd., Praha: BEN, 2004. ISBN 80-7300- 48-9. [4] HANUŠ, B., BALDA, M. Základ technické kbernetik.. vd., Liberec: Vsoká škola strojní a textilní, 980. [5] OTE, Z., VYSOÝ, P., ZDRÁHAL, Z. bernetika. Praha: SNTL, 990. [6] TOMIS, L., HEGER, M., BALCOVÁ, J., ADLČÍ, I. ASŘ TP v hutích - výpočetní a laboratorní cvičení.. vd., Ostrava: Vsoká škola báňská, 99. ISBN 80-7078-079-7. [7] VÍTEČOVÁ, M., VÍTEČE, A. Základ automatické regulace.. vd., Ostrava:Vsoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006. ISBN 80-248- 068-9. [8] VORÁČE, R. Automatizace a automatizační technika. 2, Automatické řízení.. vd., Brno: CP Books, 2005. ISBN 80-25-0796-5.