1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších velčnách jako jsou čas, teplota a tlak. Jednotlvá ěření jsou obvykle zatížena celou řadou různých šuů, označovaných jako chyby. Výsledky ěření jsou vyjádřeny poocí 1 vhodného odhadu střední hodnoty µ a odpovídající nejstoty, souvsející s šue, nebo-l odele chyb. Klascká statstka, vycházející z defnce pravděpodobnost jako lty relatvní četnost, poskytuje celý aparát pro vyjádření nejstoty jako ntervalu spolehlvost paraetru µ. Vyjádření nejstot je flosofcky blíže subjektvní defnc pravděpodobnost jako stupn důvěry č víry. Tato pravděpodobnost však souvsí spíše s nedostatke znalost než s výsledke opakovaného experentu. 1.1 Chyby ěřících přístrojů Kvalta ěřících přístrojů a výsledků ěření se standardně vyjadřuje poocí odpovídajících nepřesností, označovaných chyby. Chyby ěření ohou být způsobeny řadou faktorů. Dělení chyb: obecně lze chyby rozdělt podle ísta vznku věřící řetězc do čtyř základních skupn : 1. Instruentální chyby jsou způsobeny konstrukcí ěřcího přístroje a souvsí s jeho přesností. U řady přístrojů jsou dentfkovány, ale také garantovány výrobce.. Metodcké chyby souvsí s použtou etodkou stanovení výsledků ěření, jako je odečítání dat, organzace ěření, elnace vnějších vlvů, atd. 3. Teoretcké chyby souvsí s použtý postupe ěření. Jde zejéna o prncpy ěření, fyzkální odely ěření, použté paraetry, fyzkální konstanty, atd. 4. Chyby zpracování dat jsou nuercké chyby etody a chyby způsobené užtí nevhodného statstckého vyhodnocení. Podle příčn vznku lze chyby rozdělt do tří skupn: 1. Náhodné chyby, které kolísají náhodně co do velkost znaénka př opakování ěření, působí nepředvídatelně a jsou popsány určtý pravděpodobnostní rozdělení. Jsou výsledke vlvu celé řady příčn, které lze jen obtížně odstrant, popř. alespoň oezt.. Systeatcké chyby působí na výsledek ěření předvídatelný způsobe. Bývají funkcí času nebo paraetrů ěřcího procesu. Mívají stejná znaénka. Konstantní systeatcké chyby snžují nebo zvyšují nuercký výsledek všech ěření o stejnou velkost. Často se navenek neprojevují a lze je odhalt až př porovnání s výsledky z jného přístroje. Exstují systeatcké chyby s časový trende, způsobené stárnutí nebo opotřebování ěřcího přístroje. Systeatcké chyby ěřcího přístroje se dělí na adtvní (chyba nastavení nulové hodnoty a ultplkatvní (chyba ctlvost. Typ a velkost chyby přístroje bývají garantovány výrobce. 3. Hrubé chyby, označované jako vybočující, resp. odlehlé hodnoty, jsou způsobeny výječnou příčnou, náhlý selhání ěřcí aparatury, nesprávný záznae výsledku. Způsobují, že se dané ěření výrazně lší od ostatních.
Chyby se dále dělí na (a chyby výsledků ěření jako nejstoty hodnot výsledků ěření, charakterzované například ntervale spolehlvost, a (b chyby ěřícího přístroje resp. procesu ěření jako jednu z charakterstk kvalty ěření, udávající obyčejně přípustnou odchylku od skutečné hodnoty. Chyba ěřícího přístroje je pouze jednou součástí, ovlvňující chybu výsledků ěření a vhodnou volbou přesnost ěřícího přístroje se dá její vlv slně oezt. Vstupe ěřícího přístroje je ěřená velčna x avýstupe je výsledek ěření y. Způsob transforace y=f(xje zná, obr. 1. Obr. 1 Schéa ěřícího přístroje Obr. Správnost a přesnost ěření:ppřesné,ssprávné,npnepřesné,nsnesprávné Pro stanovení chyb přístroje je nutné znát skutečnou hodnotu ěřené velčny µ t.zv. etalon nebo ít k dspozc další vel přesný přístroj azískat odhad µ vel dokonalýěření. V obou případech je k dspozc hodnota µ nebo její odhad ˆµ. Výsledky opakovaných ěření pak uožňují určt íry přesnost a správnost ěření. Obecně platí, že y g( C,µ, resp. pro adtvní odel y µ C, {y,= 1,..., n} ; ȳ, s, kde C jsou šuové složky (externí zdroje nejstot a funkce g(c, µ souvsí s odele působení šuových složek, který ůže být adtvní, ultplkatvní nebo kobnovaný a kde s je rozptyl tj. ěřítko přesnost ěření a průěrná odchylka ȳ µ je pak ěřítke správnost, obr.. S využtí hodnoty µ jeožno defnovat různé typy odchylek od správné hodnotyµ,kterévyjadřujíchybyěřícího přístroje. Rozlšujeeabsolutní odchylku zvanou také absolutníchyba x µ adále relatvní odchylku zvanou také relatvní chyba δ 100 / x, [%]. Celková odchylka čl celková chyba je složenazedvousložek, a to ze systeatcké chyby sa náhodné chyby s N, ȳ µ y ȳ. N, dle vztahu 3 Upřístrojů se obyčejně garantují různé druhy ezních chyb. Mezní chyba 0 ěřcího přístroje je jeho nejvyšší přípustná chyba, kterou ostatní odchylky ěřcího přístoje za daných podínek praktcky nkdy nepřekročí. Redukovaná ezní chyba δ0,r ěřcího přístroje pro určtou hodnotu ěřené velčny x a stanovené podínky je dána poěre ezní chyby 0 aěřcího rozsahu R, dlevzorceδ 0,R = 0/R. Často se redukovaná ezní chyba udává v procentech ěřcího rozsahu R, δ 0,R = 100 0/R, (%. Měřcí rozsah R je algebracký rozdíl krajních hodnot stupnce, R=xax -x n.
Obr. 3 Konstantní absolutní chyba ěření a relatvní chyba ěření δ vzávslost na ěřené velčně x 0 Třída přesnost ěřcího přístroje: je klasfkační znake přesnost v celé ěřcí rozsahu přístroje. Vyjadřuje se čísle, které je vždy větší, nebo nanejvýš stejné, jako největší absolutní hodnota z redukovaných ezních chyb, zjštěných za daných podínek v celé ěřcí rozsahu přístroje. Určení třídy přesnost záleží na typu chyby, kterou přístroj vykazuje. Dle druhu přítoné chyby rozlšujee pak tř skupny přístrojů: (a Přístroje s konstantní absolutní chybou: jde o přístroje, vykazující tzv. adtvní chybu, tj. chybu nulové hodnoty, obr. 3. V případě čstě adtvních chyb ěření se užívá redukovaná relatvní odchylka (zde přío rovna třídě přesnost přístroje δ 0 100 x s 100 0 p 0 100 0 x ax x n R kde R je rozezí stupnce. U přístrojů, kde působí chyby ěření adtvně, klesá relatvní odchylka δ hyperbolcky shodnotoux. Metrologcké vlastnost ěřcích přístrojů charakterzují také další velčny: prahe ctlvost xc se označuje vstupní hodnota, pro kterou je absolutní chyba rovna x,čl c 0 = x c, tj. relatvní chyba δ(x c = 100%. Př znalosttřídy přesnost δ arozezí R se práh ctlvost vyčíslí podle vztahu x c δ 0 R/100. Pro zajštění dostatečně alé 0 hodnoty relatvní chyby ěřcího přístroje se defnuje spodní ez pracovního ntervalu x tak, aby relatvní chyba s δ(x bylaprávě p%, obyčejně 4 nebo 10%. Platí, že s 100 x c p Adtvní chyby ěřcího přístroje oezují rozsah použtí přístroje v oblast alých hodnot vstupní velčny x. Vztah ez prahe ctlvost xca spodní ezí pracovního ntervalu xsvyjadřuje obr. 4. Obr. 4 Vztah ez prahe ctlvost x a spodní ezí c pracovního ntervalu x s (b Přístroje s konstantní relatvní chybou: vpřípadě čstě ultplkatvních chyb ěření je relatvní chyba ctlvost (zde rovna přío třídě přesnost přístroje δ s 100 0 /x konstantní. V toto případě je absolutní odchylka lneárně rostoucí funkcí vzhlede k velčně x, obr.5.
Obr. 5 Konstantní relatvní chyba ěření δ s (c Přístroje s kobnovaný chyba: u kobnovaných chyb ěření lze celkovou chybu rozepsat na součet adtvní a ultplkatvní δ x složky podle rovnce 0 s 0 δ s x Interval neurčtost zvaný také pás neurčtost je poto tvořen součte ploch adtvního a ultplkatvního pásu neurčtost. Celková redukovaná relatvní chyba δ R δ 0 δ s x R zde onotónně roste s růste x. Narozdíl odpřípadů čstě adtvní chyby tady růst δr začíná tí pozděj, čí je poěr δ /δ větší.kvyjádření třídy přesnost δ se v těchto případech užívají dva údaje: redukovaná relatvní chyba s 0 k δ0 a chyba vznklá na horní hranc ěřcího rozsahu δ,dle s vzorce δ k δ 0 δ s.jdeopřípad tzv. kobnovaného působení adtvní a ultplkatvní chyby, obr. 6. Obr. 6 Kobnované působení adtvní a ultplkatvní chyby ěření δ 0+ δs 1. Způsoby vyjádření odhadů chyb ěření Kvyjádření absolutních chyb ěření se nejčastěj využívá pravděpodobnostní přístup, vycházející ze znalost pravděpodobnostního zákona rozdělení chyb, vyjádřeného hustotou pravděpodobnost f(. To uožňuje zahrnutí systeatcké složky chyb jako střední hodnoty chyb anáhodné složky chyb jako relatvní šířky rozdělení, vyjádřené rozptyle č ostatní íra rozptýlení. Lze použít také nepravděpodobnostní přístup, založený na ntervalové analýze. Pro praktcký odhad chyb ěření, atopřístrojových chyb, lze užít celou řadu charakterstk, počítaných z výběrových hodnot chyb = x-µ,kde s µ s je buď hodnota standardu nebo odhad skutečné hodnoty µ. Základní charakterstky polohy a rozptýlení chyb vycházejí ze znalost hustoty pravděpodobnost chyb f( : 1. Moenty jsou jednak obecné typu M K (x x K f(x dx, jednak centrální typu c K (x [x M 1 (x] K f(x dx.. Specální íry rozptýlení jsou založené na volbě vhodného aproxujícího rozdělení. Pokud je znápouze nterval chyb a a, resp. pouze ezní odchylka a volí se buď trojúhelníkové nebo rovnoěrné rozdělení hustoty pravděpodobnost f(, obr.7.
Obr. 7 Hustota pravděpodobnost pro trojúhelníkové a rovnoěrné rozdělení Voboupřípadech je střední hodnota chyb E( =0asěrodatná odchylka pro (a pro rovnoěrné rozdělení rovna σ R a/ 3. 0.5774a, a pro (b trojúhelníkové rozdělení σ T a/ 6. 0.041a. Jako íra rozptýlení se pak bere buď σr nebo σt podle toho, které ztěchto rozdělení lépe vysthuje daný problé (jde vlastně ovýpočet nejstoty typu B. 3. Pravděpodobnost P(a b, s jakou chyby leží ve zvolené ntervalu [a, b]. 4. Kvantly, tj. hodnoty chyb, pro které platí, že P( α α. To znaená, že α% všech chyb leží pod hodnotou. α α Je zřejé, že pravděpodobnost a kvantly spolu vzájeně souvsí. Např. předpoklad syetrckého rozdělení uožňuje stanovení ezí [a, b] jako specálních kvantlů, prokteré je pravděpodobnost P( a α/ a pravděpodobnost P( b 1 α/. - + Obecně lze pro tyto charakterstky defnovat jstý nterval [a,b ] jejch ožných hodnot. Pro případ, že jeznáa hustota pravděpodobnost f( lze tuto úlohu řešt poocí standardních statstckých etod (tj. ntervalů spolehlvost. Další ožností je použtí etodky stanovení neurčtost výsledků ěření. Př nepravděpodobnostní přístupu lze využít také ntervalové analýzy. 1..1 Moentové odhady chyb Obecně lze př znalost chyb, = 1,..., n, určt odpovídající rozptyl vyjádřeno jednoduchý adtvní odele x µ, lze snadno určt rozptyl ěřené velčny x jako σ. Pokud σ 1 σ n 1 (x x. Pravděpodobnostní nterval chyb:předpokládeje, že chyby ají syetrckou hustotu pravděpodobnost f( se střední hodnotou E( = 0. Nechť je znáa dstrbuční funkce F(. Pro pravděpodobnostní nterval, ve které leží 100(1 - α% všech chyb platí P (k σ k σ F(k σ F(k σ 1 F(k σ 1 α σ. Na základě představy, že ěření je platí, že = 0 (střední hodnota chyb je rovna nule, E( =0,t.zn.že systeatcká složka chyby je nulová je σ, kde Obr 8. Pravděpodobnostní nterval chyb Zde -k představuje α kvantl, k je 1 - α kvantl standardzovaného rozdělení chyb a σ je sěrodatná odchylka. Pro řadu rozdělení platí, že prop =0.9je *k* =1.64,takže pravděpodobnostní nterval náhodné chyby se vyjádří nerovností 1.64 σ # # 1.64 σ
Toleranční nterval chyb: je-l zná pouze odhad sěrodatné odchylky s a je-l střední hodnota chyb opět nulová E( =0,vyjádří se toleranční nterval náhodné chyby nerovností kde za předpokladu norálního rozdělení chyb bude χ α k T s # # k T s n 1 k T u (1 P/ χ α (n 1 a je α-kvantl χ rozdělení.platí pravdlo, že toleranční ntervaly jsou vždy šrší než ntervaly pravděpodobnostní. kde pro σ σ V σ V j σ j j j cov( x, x j, σ VN j a vzájeně nezávslé rozptyly, kdy cov(x, x j = 0vyjde kvadratcký průěr rozptylů dle vzorce σ, σ VL Kobnace rozptylů: výsledný rozptyl j σ j σ < j σ se vyčíslí na základě propagace rozptylů z zdrojů je rozptyl, způsobený -tý zdroje, cov(x, x j je kovarance ez -tý aj-tý zdroje. Poto platí, že b lneárně závslé rozptyly, kdy cov(x, x = σ σvyjde až na konstantu artetcký průěr rozptylů dle vzorce j j.zeznáé trojúhelníkové nerovnost plyne, že. Vsouladu stí, žesepřpouští vždy horší varanta, je vhodné volt v případech, kdy nejsou o korelacích ez zdroj chyb žádné nforace jako celkovou sěrodatnou odchylku σ VL. Volba ěřícího přístroje vzhlede k chybá ěření: celková chyba ěření σ pro případ, že varablta V ěřeného aterálu vyjádřená rozptyle σ a rozptyl ěřícího přístroje τ pocházejí znezávslých zdrojů, sevyčíslí výraze σ V = σ + τ. Celková chyba ěření bude přto závset na volbě přístroje: 1. Pro vel přesný přístroj je složka chyby τ zanedbatelně alá aprotoplatí σ V = σ. Opakování lze zlepšt přesnost ěření.. Pro optální přístroj platí τ. σ/3 a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ σ /3 σ 10/9. σ. 3. Pro srovnatelné chyby platí τ. σ, a pak bude celková chyba ěření rovna σ V σ 1.44 σ. 4. Pro nepřesný přístroj platí σ V. τ, a opakováníěření nelze přesnost zlepšt. Pravdla o chybách ěření: přěření je vhodné respektovat pravdla o chybách: (a Přěření velčn x1a x, které se pro získání výsledku sčítají č odčítají y = x 1 ± x dbáe, aby oba sčítance x1a xbyly ěřeny se stejnou absolutní přesností. Je-l chyba jedné z nch nohe větší, rozhoduje pak saa o chybě výsledku y. (b Je-l výsledke sčítání č odčítání alá hodnota y = x ± x, je výsledek zatížen velkou relatvní chybou. Tou 1 se vyhýbáeaalé hodnoty se snažíe ěřt přío. (c Přěření velčn x a x, které pro získání výsledku násobíe y = x * x nebo dělíe y = x / x by ěly být 1 1 1 obě velčny x a x stejné relatvní přesnost. V případě součnu ocnn s různý exponenty je výhodnější, jsou-l 1 relatvní chyby nepřío úěrné příslušný exponentů, aby součn exponentu a relatvní chyby byl přblžně konstantní. 1.. Kvantlové odhady chyb
Uvažuje stejnou stuac jako u oentových odhadů, tj.sěrodatná odchylka ěření σ je přío rovna střední kvadratcké chybě σ, čl. Jednou z jednoduchých charakterstk rozptýlení je tzv. nterkvantlová odchylka σ σ K 1q ( x 1q/ x q/. Zde x α představuje obecně kvantlrozdělení chyb, ve kteréleží 100α% všech chyb. Hodnota K1-q defnuje nterval, ve kteréleží P =100(1 - q% chyb. Obr 9. Kvantlový nterval chyb Pro zvolenou pravděpodobnost čl statstckou jstotu P = 1-q je pak ezní chyba ěření rovna K P a 1q odpovídá ntervalu obsahujícíu 100(1 - q% všech chyb. Její velkost obecně závsí na hodnotě q anakonkrétní zákonu rozdělení chyb. Pro vybrané hodnoty pravděpodobnost P je v praxo zavedeno specfcké označení dotyčné chyby: (a Střední chyba (P =0.5: σ 0.5 ( x 0.75 x / 0.5,užívá se pro norální rozdělení platí σ 0.5 0.68 σ. (b Pravděpodobná chyba (P = 0.683: σ 0.683 ( x 0.8415 x / 0.1585, užívá se pro norální rozdělení platí σ 0.683 σ. (c Chyba pro lbovolné neznáé rozdělení (P =0.9: σ ( x x /. 0.9 0.95 0.05 Pro řadu rozdělení platí, že σ 0.9 1.65 σ, a proto je pro sčítání dílčích kvantlových chyb vhodné využít vztahu σ 0.9 j σ 0.9,. V případě, kdy chyby ěření ají norální rozdělení, lzepsát σ u P (1P/ σ, kde u(1+p/ je 100(1+P/%ní kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro ostatní rozdělení platí, že ezní kvantlovou chybu σ lze vyjádřt vztahe σ h P σ. Velkost h souvsí se špčatostí g daného rozdělení chyb vztahe P Je třeba ale zdůraznt, že kvantlové chyby σ h. 1.6[ 3.8(g 1.6 /3 ] Z, kde Z log[log(1 /(1 P]. P nelze obecně sčítat. 1..3 Nepravděpodobnostní ntervalové odhady chyb V některých případech chybí o příčnách nejstoty proěnných pravděpodobnostní nforace. Pro každou proěnnou x [a D j # x j # a H j ] a D j a H j se dá pouze vyjádřt ohrančení ve tvaru, kde je dolní ezní hodnota a j je horní ezní hodnota proěnné x. j Títo ntervale lze defnovat tzv. ntervalové proěnné. Pro ntervalové proěnné platí obecně A [a 1, a ] pro s 0 {a 1 # a }. Pro kobnac ntervalových proěnných A a B lze použít ntervalové artetky. Platí, že A B [a 1, a ] [, b ] [a 1, a b ], A B [a 1, a ] [, b ] [a 1 b, a ] A B [a 1, a ] [, b ] [ n( a 1, a b, a, a b, ax( a 1, a 1 b, a, a, a b ] A /B [ a 1, a ]/[, b ] [a 1, a ] [1/b,1/ ] Tato artetka se dá použít v jednodušších stuacích pro stanovení ntervalů chyb ěření. 1.3 Propagace chyb a nejstot 1.3.1 Metoda Taylorova rozvoje
Případ jedné přío ěřené velčny x: uvažuje nejdříve případ jedné přío ěřené velčny x, kdy výsledky ěření jsou {x},=1,...n,aznchseurčují odhady x,s x.výsledek nepříých ěření je vyjádřen znáou funkcí y=f(x.obecně zde značí f(. nelneární funkc, a proto platí, že ȳ f( x. Odhad ȳ, sy se provádí svyužtí Taylorova rozvoje f(x v okolí x f(x. f( x 1 1! df(x dx (x x 1! d f (x dx (x x... E( f(x / ȳ. f( x df(x dx E (x x 1 d f(x E (x x dx ȳ. f( x 1 d f(x dx.s x D( f(x f ( x / s y. D df(x dx (x x s y. df(x dx s x Případ více ěřených proěnných: výsledke více nepříých ěření je pak funkční vztah f(x,..., x. Ze 1 znáých výsledků více příých ěření se určí x ( x 1,..., x.protaylorův rozvoj pak platí x 1, s x 1,..., x, s x.označe zde vektor průěrů sybole f(x. f( x j df(x dx (x x 1 j d f(x dx (x x j 1 j j> d f (x dx dx j (x x (x j x j... ȳ. f( x 1 j d f(x dx s x j 1 j j d f(x dx dx j cov(x, x j s y j df(x dx s x j 1 j j> df(x dx df( x dx j cov (x, x j kde cov(x,x j je kovarance ez velčna xa x. j Exstují dva krajní případy pro s y: 1. Dílčí zdroje chyb jsou zcela nezávslé avšechny kovarance cov(x, x j = 0 jsou nulové. Celková chyba s y j s x bude úěrná kvadratckéu průěru dílčích chyb ze všech zdrojů.. Dílčí zdroje chyb jsou cov(x, x j s lneárně závslé aplatí, že. Celková chyba s bude nyní úěrná artetckéu průěru všech dílčích chyb s y j. s x Případ ocnnné transforace ȳ f(x x P : pokud x ělo syetrcké rozdělení skonstantnírozptyleσ x, bude rozdělení y nesyetrcké s nekonstantní rozptyle. x s x j y
Z Taylorova rozvoje pak vyjde ȳ. x P Použtí syetrzační transforace σ y. δx P δx P(P 1 σ x P x (P 1 σ x x (P s x x P 1 Z f(x 1/P y 1/P, P( P 1 s kde Z jž á syetrcké rozdělení a tedy přblžně platí, že Z 1 n j Z. Z toho pak plyne přblžný výraz ȳ 1 n j y 1/P P. Platí, že prop =1jdeoartetcký průěr, prop =-1oharoncký průěr, pro P =okvadratcký průěr. Dle typu ocnny lze zvolt odpovídající průěr. 1.3. Metoda dvoubodové aproxace Postup je založen na náhradě rozdělení pravděpodobnost funkce f(x dvoubodový rozdělení sestejnou střední 7 hodnotou a rozptyle. Pro odhad střední hodnoty ȳ platí f( x s(x f ( x s(x ȳ. aproodhad rozptylu ȳ. j s (y. Je-l f(x funkcí nezávslých, náhodných a vzájeně následujících vztahů pro odhad střední hodnoty [f (x s(x f(x s(x] 4 f ( x s(x f ( x s(x [f( x s (y. j s(x f( x s(x ] aproodhad rozptylu. 4 nekorelovaných velčn x, = 1,...,, je ožné užít 1.3.3 Metoda sulací Monte Carlo Přurčování středních hodnot ȳ arozptylů σ (y jako funkcí náhodných velčn počítače je výhodné použít technky 8 sulačních experentů etodou Monte Carlo. Postup lze shrnout do pět kroků : 1. Zadání funkce f(x:v úlohách přírodních věd bývá funkce f(x většnou znáa. Výhodou sulace je, že funkce f(x neusí být vyjádřena v explctnítvaru.. Rozdělení ěřených velčn: předpokládá se, že ěřené velčny jsou nezávslé a ají norální rozdělení pravděpodobnost. Stačí zadání velčn x,s(x,= 1,...,. Pokud nejsou tyto velčny k dspozc, postačují dvě krajní hodnoty ntervalu [A, B], ve které lze očekávat výskyt ěřené velčny x. Aproxatvní hustotu pravděpodobnost f(x lze vyjádřt poocí parabolckého rozdělení f(x 6 (B A (x A (B x pro A x B.
Složtější bude stuace, kdy se ez vstupní ěřený velčna x vyskytnou korelace. Pak je třeba specfkovat sultánní rozdělení všech hodnot x,= 1,...,, což bude jednoduché pouze pro případ norálního rozdělení. 3. Generace náhodných čísel:napočítačích exstují kvaltní generátory pseudonáhod-ných čísel s rovnoěrný rozdělení R[0, 1]. Přznalostdvounezávslých náhodných čísel R, j Rj+1 s rovnoěrnýrozdělení lze poocí Boxovy-Müllerovy transforace určt dvě nezávslá náhodná čísla N, j Nj+1 snorovaný norální rozdělení podle 0.5 x,j N j lnr j sn( π R j1 a N j1 lnr j cos( π R j1. Pak j-tá sulovaná hodnota-té velčny x bude vyjádřena sulovaná hodnota x* řešení kubcké rovnce,j x,j N j s(x x. Pro parabolcké rozdělení bude x,j x 3,j 3 α R ß α A 3 A 6, kde A β. (B A 4. Volba počtu sulací: pravdla pro určení nezbytného počtu sulací jsou stejná jako pravdla pro určování velkost výběru. Jde-l o odhad střední hodnoty a pokud lze defnovat požadovanou šířku 100(1 - α% ního ntervalu n n 4 u 1 α/ spolehlvost D, platí pro nální počet sulací vztah s (y 1, kde u je kvantl D 1-α/ norovaného norálního rozdělení a s(yje odhad rozptylu určený např. zprvních 50 sulací. 5. Suarzace výsledků: s ohlede na axální unverzálnost je výhodné nalézt eprckou hustotu pravděpodobnost rozdělení souboru sulovaných hodnot y*, j j = 1,..., n n, apakvyčíslt odhady paraetrů polohy arozptýlení. 1.4 Nejstoty výsledků ěření Jsou porovnány postupy k určování nejstot, a s tí spojené v lteratuře nově zaváděné ternologe s ternologí statstcké analýzy. Zvolený přístup výpočtu nejstot je slně závslý na předpokladech o vznku a vlastnostech jednotlvýchnejstot. Nejstoty vnově zaváděné ternolog představují vlastně ntervaly spolehlvost ve statstcké analýze. Základní rozdílje pak v užívání neexperentálních nforací o zdrojích varablty. 1.4.1 Porovnání přístupů kvýpočtu nejstot A. Příá ěření: pro případ řady zdrojů chyb ěřícího systéu pro příá ěření je stuace znázorněna obr. 10 Obr. 10 Blokové schéa ěřícího systéu pro příá ěření Zde µ je ěřená velčna, C, C,..., C jsou šuové složky, nazývané externí zdroje nejstot a funkce g(c, C,..., C, µ souvsí s odele působení šuových složek, které ůže být adtvní, ultpkatvní a kobnované. 1 1 15, 16 1. Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad velčny µ (bodový, vz. kap. 3. b Odhad rozptylu σ (bodový, vz. kap. 3. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ,vz. kap. 3.
d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ,vz. kap. 3. Obecně je třeba přpustt, že odhad ˆµ je vychýlený, tj.střední hodnota E( ˆµ µ. Pak je írou celkové varablty střední kvadratcká chyba MSE, pro kterou platí MSE E(µ ˆµ E [µ E ( ˆµ] E [ ˆµ E ( ˆµ] D( ˆµ b akterá je rovna součtu rozptylu D( ˆµ a čtverce vychýlení b. 11, 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad velčny µ (bodový: když vnové lteratuře není obvykle odel specálně uveden, předpokládá se adtvní odel x µ j, kde šuy ají nulové střední hodnoty E(ε = 0akonstantní rozptyly D(ε = σ. ε y f(x. f (µ j df(. dx (x µ Pak rezultuje znáý odhad střední hodnoty ve forě artetckého průěru, ˆµ = x. b Odhad rozptylu D( ˆµ : předpokládá se nezávslost (případně pouze lneární závslost všech složek šuu C. Jsou užívány následující íry rozptýlení: Standardní nejstota typu A, u A, tj. sěrodatná odchylka ěřené šuové složky se počítá jako odocnna zvýběrového rozptylu. Standardní nejstota typu B, u B,tj.sěrodatná odchylka neěřené a v experentu nesledované šuové složky, která se odhaduje jako sěrodatná odchylka, odpovídající jejíu aprorně vybranéu rozdělení. Řada odhadů 11, 1 pro aprorní rozdělení rovnoěrné, trojúhelníkové, lchoběžníkové anorální je uvedena v lteratuře. Místo odhadu D( ˆµ se používá kobnovaná standardní nejstota uc vycházející z platnost výše uvedeného adtvního odelu u c = Σ u A + Σ u B. Pro závslé zdroje nejstot se přčítají ještě kovarance. c Odhad ntervalu spolehlvost (IS pro µ: předpokládá se přblžná noralta, zřejě plynoucí z centrální ltní věty. Rozšířená nejstota, forálně totž polovčníšířka ntervalu spolehlvost pro µ, je pak U=u. c Problée však je, že vřadě případů některé standardní nejstoty donují apakjž představu noralty z centrální ltní věty nelze aplkovat. d Odhad vychýlení b = E(µ- ˆµ : vůbecseneuvažuje. Předpokládá se, že vychýlení U je odstraněno v rác 14 etody ěření. Vprác Phllpse a ost. je navržen postup výpočtu nejstot pro případy, kdy vychýlení b elnováno není. Jednoduše sevytvoří dvě rozšířené nejstoty U = U - b pro U-b>0,resp.U =0 + + U=U+bpro U+b>0,respU =0. - - To pak pochoptelně vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. B. Nepříá ěření: Výsledek analýzy f(µ,..., µ je vytvořen znáou funkcí skutečných výsledků příých 1 ěření µ 1,..., µ, (např. ěříe poloěr a chcee znát plochupříčného řezu kruhových vláken. K dspozc jsou odhady paraetrů ( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ a příslušné odhady rozptylů, resp. čtverců nejstot, D( ˆµ 1, D( ˆµ,..., D( ˆµ. 15, 16 1. Analýza nejstot podle standardní statstcké analýzy, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,...,, vz. kap. 1.3. b Odhad rozptylu D( ŷ, vz. kap. 1.3. c Odhad ntervalu spolehlvost pro y, vz. kap. 1.3. 11, 1. Analýza nejstot podle nové ternologe, ct. : a Odhad y z odhadů ˆµ, = 1,..., : není řešen přío, ale vel aproxatvně se předpokládá ŷ f( ˆµ 1, ˆµ,..., ˆµ. b Odhad rozptylu D( ŷ : jetovlastně rozšířená nejstota u(y. Vychází sezpředpokladu, že f(x lze nahradt lnearzací Taylorový rozvoje v okolí µ
D(y. j df(. dx D(x cov(... u (y. j df(. dx u ( x cov(... D(y se obvykle nesprávně označuje jako zákon šíření nejstot. V případě, že zdroje nejstot jsou lneárně závslé, provádí se korekce s využtíkovarancí cov(... Lnearzace ůže však být vřadě případů vel nepřesná. c Odhad ntervalu spolehlvost pro y: předpokládá se téěř vždy nekorektně přblžná noralta. Nelneární funkce norálně rozdělených náhodných velčn totž norální rozdělení neá. Polovna 95%ního ntervalu spolehlvost čl rozšířená nejstota je poto U=u(y. Zde čpřesněj 1.96 představuje kvantl norovaného norálního rozdělení. Pro nelneární transforac však rezultují nesyetrcká rozdělení, což vede k nesyetrckéu ntervalu spolehlvost. Ve specálních případech (např. stopová analýza v analytcké che to ůže výrazně ovlvnt závěry: pro postvně seškená rozdělení vyjde totž ve sěru k nžší hodnotá korektnější nterval užší a ve sěru k vyšší hodnotá šrší. 1.4. Krtcké poznáky k výpočtu nejstot a Poznáky ternologcké: následující převodní tabulka ukazuje, že teríny doporučované vněkteré lteratuře odpovídají vlastně běžnýpojů, užívaný ve statstce: Nová ternologe: Statstka: sěrodatná odchylka ěřené šuové složky Standardní nejstota A s sěrodatná odchylka (odhadnutá šuové Standardní nejstota B složky s Kobnovaná nejstota sěrodatná odchylka funkce y, s(y Rozšířená nejstota polovna ntervalu spolehlvost IS kvantl norovaného norálního rozdělení Faktor pokrytí α b Poznáky statstcké: výpočty v některých odkazech lteratury vycházejí zpředpokladů, které však nejsou v procesu navrhovaného výpočtu nkterak ověřovány: a adtvní odel ěření resp. působení šuových složek (zdrojů nejstot, b konstantní rozptyl ěření (resp. zdrojů nejstot, c noralta nelneární funkce norálně rozdělených proěnných (pro určení rozšířené nejstoty resp. ntervalu spolehlvost IS, d nekorelovanost ěření, e alá nelnearta funkce f(x, uožňující použtí její lnearzace, Problée je nekorektnost př konstrukc a nterpretac rozšířené nejstoty U (resp. ntervalu spolehlvost IS. Klascká statstka vede totž ktou, že pron$"je 100(1 - α%ní nterval spolehlvost paraetru µ rovenvýrazu ˆµ ± u 1 α/ D( ˆµ. Přvýpočtu nejstot není kobnovaná nejstota uc pouze odhade rozptylu D( ˆµ, ale obsahuje ještě další složky. Pak vyjde rozšířená nejstota U systeatcky vyšší než polovna ntervalu spolehlvost, hodnota zde nezajšťuje přblžně 95%ní pokrytí a nterpretace takového ntervalu je nesnadná. c Poznáky výpočetní: ísto náhrady dervací dference, jak se často doporučuje v různých příručkách, by bylo podstatně jednodušší užít sulace nebo tzv. Bootstrap odhadů zejéna pak, užívá-l se počítač. 1.4.3 Přístup ntervalové analýzy k nejstotá V prax obvykle není znáo rozdělení ěřených velčn x resp. chyb ěření, takže analýza nejstot založená na pravděpodobnostních předpokladech je slně oezená.př ntervalové analýze se k průěrnéu výsledku ěření x
usí defnovat ezní odchylka (chyba d avýsledek vyjádřt jako nterval. Zde X označuje tzv. ntervalovou proěnnou X [ x d, x d]. Vpřípadě, že sevyjadřuje nterval neurčtost absolutní chyby, je x = 0 a platí, že X=[-d,+d]. V obecnějšípřípadě ůže být hranční chyba funkcí úrovně ěřené velčny d=d( x. Pak dostáváe ntervalovou proěnnou jako funkc X( x [ x d( x, x d( x]. Účele je pro výsledek nepříých ěření y = f(x 1,..., x n stanovt odpovídající nterval neurčtost (ezní chybu, 15 ct. : Y [y, y ] f (X 1,..., X n {f(x 1,..., x n prox 1 X 1, x X,... } - + Hodnoty y,y jsou axe a ne výrazu f(x 1,..., X n f( x 1 x 1,..., x n x n, kde x µ d, kde µ je skutečná hodnota velčny x. Nazákladě lnearzace poocí Taylorova rozvoje lze dospět ke vztahu atedy f(x 1,..., X n ȳ j n y, y df dx ( x 1,..., x n Dx ȳ ± d n ȳ f( x 1,..., x n a d j δf kde ( x /0 δx 1,..., x n d. /0 Tento algortus je sce zjednodušený, ale uožňuje prác s hranční chyba d, které neají pravděpodobnostní df charakter. Zajíavé je, že propřípad lneární funkce f(x, kdy jsou dervace 1 je celková odchylka d součte dx dílčích odchylek, což vpravděpodobnostní nterpretac znaená varantu lneárně korelovaných šuových složek. 1.4.4 Zaokrouhlování čísel Zaokrouhlování se nedopouštíe větší chyby než polovny jednotky odpovídající řádu poslední ponechané číslce. Relatvní chyba zaokrouhleného čísla je enší nebo rovna 1 s rel,.a.10 n 1 kde A je první platná číslce a n je počet platných číslc v zaokrouhlené čísle.,