ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 10 LAMINÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÝCH VAZKÝCH KAPALIN aplikace v biomechanice Ing. Jan Vimmr, Ph.D.

Obsah přednášky: 1. Základní pojmy. Prodění tektin a jeho rozdělení 3. Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny 4. Speciální případy analytického řešení laminárního prodění 5. Aplikace laminárního prodění nestlačitelné kapaliny v biomechanice - prodění krve D a 3D modely femorálního a koronárního bypass - kázky vybraných nmerických výsledků

Základní pojmy Všechny látky se skládají z atomů, které se sdržjí v molekly. Thé látky veliké mezimoleklární síly pravidelné spořádání atomů do krystalické mřížky (krystalická strktra látky) mezi moleklami, popř. atomy v krystalické mřížce působí síly přitažlivé (kohézní) a odpdivé (adhézní) částice kmitají kolem rovnovážné polohy Tektiny látky, které nemají vlastní tvar a přijímají tvar nádoby, v níž se nacházejí kapaliny vytvářejí kapky (voda, olej, ), nemění samovolně svůj objem (molekly netvoří stálo mřížk, ale působí mezi nimi ještě přitažlivé síly, které způsobjí sodržnost kapaliny), jso obecně málo stlačitelné, při pohyb (prodění) klado odpor proti pohyb, tj. jso vazké plyny ( i páry) sodržnost mezi moleklami téměř nlová molekly plyn se snaží vyplnit prostor, v němž se nacházejí jso rozpínavé vzdálenosti mezi moleklami plynů jso velké oproti kapalinám jso stlačitelné, málo vazké.

Vedle reálné (sktečné) tektiny, která je stlačitelná a vazká, zavádíme pojem ideální (dokonalá) kapalina, která je nestlačitelná a nevazká, tj. bez vnitřního tření. Ideální tektin chápeme jako aproximaci reálné tektiny. Tektin považjeme za spojité prostředí izotropické kontinm (stejné vlastnosti ve všech směrech) parametry tektiny (tlak, hstota, rychlost) se mění spojitě vyjadřjeme je spojitými fnkcemi. Z hlediska matematického můžeme vyjádřit stav elementárního objem tektiny dv a zákonitosti integrálně rozšířit na celý objem tektiny V. Síly působící na tektin vnitřní (dány vzájemným působením atomů a molekl) vnější (vyvolány vnějším silovým polem) objemové (setrvačné síly, např. odstředivá síla, gravitační síly) plošné (tlakové síly, tečné (smykové) síly, kapilární síly) Viskozita tektin projevje se při prodění reálných tektin odporem proti pohyb první formlace viskozity: Newton (1687) potvrzena experimentálně

Představme si prodění ve vodorovném směr x podél desky jako pohyb tenkých vrstev tektiny o tlošťce dy, rovnoběžných s desko. Takové prodění ve vrstvách se nazývá laminární. Na desce je rychlost tektiny nlová (lpívá na ní). Rychlost ostatních vrstev se zvětšje se vzdáleností od desky (brzdící účinek desky se zmenšje). Jednotlivé vrstvy tektiny vzájemně po sobě klozají dochází k jejich vzájemném posv. Mezi vrstvami působí smykové (třecí) síly vyvolané viskozito tektiny. tgα = dx dy d dy Tečné (smykové) napětí τ [ Pa] od viskozity je podle Newtona rčeno vztahem d τ =η dy

d dy gradient rychlosti Úvod do modelování v mechanice (UMM) 1 [ s ] Zavádí se pojem: kinematická viskozita v kolmém směr na pohyb tektiny 1 1 η dynamická viskozita tektiny [ Pa s kg m s ] η 1 ν = [ m s ] Viskozita tektin je definována Newtonovým vztahem za předpoklad laminárního prodění. Dynamická a kinematická viskozita závisí na teplotě tektiny. U plynů roste viskozita s teploto. U kapalin s rostocí teploto viskozita klesá. ρ. Newtonské kapaliny vyhovjí Newtonov zákon viskozity Nenewtonské kapaliny závislost smykového napětí τ na gradient rychlosti d / dy nelze vyjádřit Newtonovým vztahem (např. krev při prodění nízkými rychlostmi v menších arteriích)

Prodění tektin a jeho rozdělení Prodění pohyb tektiny Hydrodynamika naka o prodění kapalin Aerodynamika (vnitřní, vnější) naka o prodění plynů Rozdělení prodění podle fyzikální vlastnosti tektin: 1. prodění ideální kapaliny a) potenciální prodění (nevířivé) částice tektiny se pohybjí po křivočarých trajektoriích tak, že se vůči pozorovateli neotáčejí kolem vlastní osy b) vířivé prodění částice tektiny se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os

. prodění reálných (vazkých) tektin a) laminární částice tektiny se pohybjí ve vrstvách (lamina vrstva) b) trblentní částice tektiny mají kromě postpné rychlosti trblentní (flktační) rychlost, jíž se přemisťjí po průřez promíchávají se. podle kinematických hledisek: 1. spořádání prodění v prostor a) prodění třírozměrné (prostorové) rychlost = (x, y, z) b) prodění dvorozměrné (rovinné) rychlost = (x, y) c) prodění jednorozměrné = (x). rozložení rychlosti v prostor a) rovnoměrné prodění vyvinté prodění v trbici b) nerovnoměrné prodění rychlost prodění v prostor se mění, např. obtékání profil v jeho blízkosti

3. Závislost prodění na čase a) stálené (stacionární) prodění veličiny prodového pole (rychlost, tlak, hstota, teplota) se nemění s časem b) nestálené (nestacionární) prodění veličiny prodového pole se mění s časem Částice tektiny elementární objem tektiny vymezený zavřeno kontrolní plocho Při popis pohyb tektiny můžeme žít dva přístpy: Lagrangeův popis sledjeme pohyb rčité částice tektiny (analogie k vyšetřování pohyb hmotného bod v mechanice thých těles) Elerův popis sledjeme prodění tektiny v rčitém místě (např. změn rychlosti a tlak). Tímto místem protékají různé částice tektiny, což vede ke složitějším vyjádření zrychlení částice tektiny ve sledovaném místě. Tento přístp se v mechanice tektin žívá častěji. Výchozí systém rovnic popisjících prodění reálných tektin ve 3D je vyvozen ze základních fyzikálních zákonů zachování:

a) zákon zachování hmotnosti rovnice kontinity (1 rce) b) zákon zachování hybnosti pohybové Navierovy Stokesovy rovnice (3 rce) c) zákon zachování celkové energie energetická rovnice (1 rce) Systém pěti nelineárních PDR Rozdíl v kinematice laminárního a trblentního prodění plyne z časových průběhů rychlostí Laminární prodění nedochází k promíchávání sosedních vrstev tektiny Trblentní prodění časově střední hodnota rychlosti s trblentní (flktační) složka rychlosti (je malá, časově proměnná velikostí i směrem) trblence je nahodilý jev, který se vyhodnocje statickými metodami

Řešení laminárního prodění jednodšší ve srovnání s trblentním platňje se Newtonův vztah pro smykové napětí obecně pomocí nmerických metod (metoda konečných objemů nebo metoda konečných diferencí) speciální případy lze řešit exaktně (analyticky) viz dále Výskyt laminárního prodění prodění v úzkých plochých kanálech (malé průtokové rychlosti), např. zařízení hydralických mechanismů a strojů těsnící mezery, ložiska s hydrodynamickým mazacím filmem, prodění krve v arteriích

Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny Nestlačitelná kapalina hstota kapaliny Izotermické prodění Newtonovy kapaliny dynamická viskozita kapaliny Matematický model prodění ve 3D je tvořen sostavo rovnic (1) (4): - rovnice kontinity (1) - pohybové () Navierovy Stokesovy (3) rovnice (4) kde t je čas, p je tlak, je vektor rychlosti kapaliny a je vektor prostorových sořadnic. Nelineární systém PDR (1) (4) obecně nazýváme systém Navierových-Stokesových (NS) rovnic pro izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny. = konst ρ = konst η = 0 z w y v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 1 1 1 z w y w x w z p z w y vw x w t w z v y v x v z vw y p y v x v t v z y x z w y v x p x t ρ η ρ ρ η ρ ρ η ρ ( ) T w v,, = v ( ) T z y x,, = y

Omezíme se dále na stálené (plně vyvinté) prodění mezi dvěma rovnoběžnými nekonečně širokými a nekonečně dlohými deskami ve vodorovném směr. Vertikální vzdálenost desek je H. Prodění ve vodorovném směr 0, v = w 0. Dosadíme do rovnice kontinity (1) = 0 = ( y, z), neboť ve směr x je složka rychlosti x konstantní. Prodění je stálené (stacionární) = 0 t Dosazením vedených předpokladů do NS rovnic () (4) dostáváme: p p p = η = konst x = y z 0 x x p = 0 p není fnkcí y y p = p( x) p = 0 p není fnkcí z z

Jedná se o rovinné prodění (v rovinách rovnoběžných s rovino xy jso stejné rychlostní poměry) = y rychlost není fnkcí z Konečně dostáváme ( ) dp dx d η = konst, p = p( x) dy = (5) Rovnice (5) představje matematický model nejjednodššího laminárního prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny.

Příklad: Coetteovo prodění prodění způsobené poze pohybem horní desky dp rychlostí U = konst = 0 dx Rovnice (5) přejde na tvar: d = 0, okrajové podmínky: dy Řešení: U y = 1 H ( y) ± ( H ) = 0 ( H ) = ± U (6) Coetteovo prodění je způsobené pohybem jedné stěny a rychlostní profil je lineární. Dále rčíme hodnot smykového napětí na stěně (WSS wall shear stress): d U τ w = η y= ± H = ± η dy H

Příklad: Prodění způsobené poze tlakovým gradientem dp 0, kdy obě desky jso fixovány. dx Řešíme rovnici (5): dp d = η = konst, okrajové podmínky: dx dy dp Protože = konst, msí být rozložení dx tlak ve směr osy x přímkové. ( H ) = ( H ) = 0 0 Kapalina prodí ve směr tlakového spád p > Tedy: 1 p p p p l dp dx ( x) = 1 x p 1 = p p l 1 < 0

Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp 1 ( y) = ( H y ) ( H y ) 1 p 1 p η dx η l (7) Rychlostní profil je v tomto případě, kdy prodění je způsobeno poze tlakovým gradientem, parabola. Rychlost je nezávislá na poloze x ve všech průřezech je stejné parabolické rozložení rychlosti plně vyvinté prodění. d 1 dp H dp H p1 p = 0 = y y = 0, ( y = 0) max = dy dx η dx η l η 3 1 Průtočné množství (průtočný objem) Q m s kapaliny v mezeře definjeme vztahem: Q = y da (8) ( A) Pro střední rychlost ( ) [ ] Q 1 avg kapaliny v mezeře platí: avg = = ( y) da A A ( A) avg H 1 = Hb H 1 η dp H dp ( H y ) b dy = avg = max dx 3 dx η max 3 (9)

Smykové napětí na stěně mezery: τ w d dy dp dx = η y=± H = y y= ± H = ± H dp dx H = l η H ( p1 p ) τ w max (10)

Příklad: Zobecněné Coetteovo prodění - prodění v mezeře je způsobeno kromě tlakového gradient dp / dx 0 také pohybem horní desky rychlostí U = konst. dp d Řešíme rovnici (5): = η = konst, okrajové podmínky: dx dx ( ) ( H ) = 0 ( H ) = ± U Řešení: 1 = dp U y 1 η dx H ( ) y ( H y ) ± (11) Rychlostní profil je v případě zobecněného Coetteova prodění sečtením rychlostních profilů (6) a (7) z předchozích příkladů

Pro střední rychlost avg platí: avg ( A) dp U y ( H y ) ± bdy H 1 1 1 = ( y) da A = Hb 1 dx H η H U max 3 avg = ± (1) Smykové napětí na stěně mezery: d y dp U dp τ w = η y=± H = η ± y= ± H τ w = ± H ± dy η dx H dx η U H (13)

Příklad: Ustálené laminární prodění Newtonovy kapaliny ve vodorovné válcové trbce s vnitřním poloměrem R a s nedeformovatelnými stěnami V tomto případě platí: p η = = konst y z x Řešení tohoto problém provedeme ve válcových sořadnicích x, r, ϕ, kde r = y z = r ( y, z), v = 0 = 0 =, w ( ) Rovnováha sil působících na vytkntý objemový element prodící tektiny: dp r dp τ π r 1 p π r p1 π r = 0 τ π r = π r τ = dx dx dp Tečné napětí τ je podle (14) přímo úměrné poloměr r pro = konst dx d Dosadíme do (14) Newtonův vztah τ = η a dostaneme: dr d r dp =, okrajové podmínky: ( R) = 0 dr dx η p 1 > p dp dx p = p 1 1 < 0 (14)

Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp 1 ( r) = ( R r ) ( R r ) 1 p 1 p 4η dx 4η l (15) Rychlostní profil je v tomto případě rotační paraboloid. Maximální rychlost max v trbce je: ( r = 0) max = R 4η dp dx R p 4η 1 l p Průtočný objem (průtok kapaliny trbicí): Q = ( A) ( r) da = R 0 ( r) π r dr Q = 4 π R 8η dp dx (16) Vztah (16) odvodil francozský lékař Poiseille (1840), který stdoval prodění krve v žilách. Nezávisle na něm odvodil tento vztah německý fyzik Hagen (1839) vztah (16) pro průtočný objem označjeme jako Hagenova-Poiseilleova formle. Z této formle plyne, že největší vliv na změn prodění kapaliny má poloměr trbice. Má-li být průtočný objem kapaliny trbicí konstantní, tak 1%-ní zmenšení poloměr trbice vyžadje 4 %-ní přírůstek tlakového spád. Př.: Hypertenze (vysoký krevní tlak) je vyvolán zúžením krevních cév.

avg Pro střední rychlost kapaliny v trbici platí: Q R dp 1 avg = = avg = max π R 8η dx (17) d R dp Smykové napětí na stěně trbice: τ w = η r= R = (18) dr dx Smyková rychlost Newtonovy kapaliny na stěně trbice: d R dp 4avg γɺ = r= R = = s dr dx R η 1 [ ] Rozběhová dráha laminárního prod kapaliny v trbici Vstp do trbice kapalina má rychlostní profil odpovídající dokonalé kapalině. Vzdálenost x r, na níž se vyvine rychlostní profil ve tvar paraboloid, se nazývá rozběhová dráha laminárního prod a platí pro ní Bossinesqův vztah x Rρ r avg 0, 065 Re, Re =, R η (19) Re kde je Reynoldsovočíslo. Ze vztah (19) je zřejmé, že k stálení rychlostního profil dojde daleko od vstpního průřez v krátkých trbkách se laminární rychlostní profil nevyvine, a proto nich Hagenův Poiseilleův vztah neplatí.

Aplikace laminárního prodění nestlačitelné kapaliny v biomechanice prodění krve v cévách přemostěných bypassovým štěpem Kardiovasklární choroby (infarkt, mrtvice) jso příčino 50% předčasných úmrtí v ČR Ateroskleróza kornatění tepen vlivem sazování cholesterol ve vnitřní vrstvě cévy zúžení průsvit cévy snížení průtok krve nedostatečné prokrvení tkáně (ischemie). V případě srdce (ischemická choroba srdeční) může tento stav vést k infarkt myokard (lokálním odmření srdečního sval). její výskyt ovlivněn lokálním charakterem prodění, nejčastěji v místech větvení cévy (bifrkace)

při 50 70% zúžení průsvit cévy (stenóza) léčba medikamenty a úpravo životosprávy při větší stenóze balónková angioplastika (nechirrgický zákrok) aplikace bypassových štěpů (chirrgický zákrok) syntetické (polymery) atologní (žilní, arteriální) stehenní (femorální) bypass kyčelní bypass sekvenční aortokoronární bypass dvojitý aorto-koronární bypass Sekvenční bypass vícenásobné přemostění nativní artérie

Základní typy anastomóz (spojení mezi bypassovým štěpem a arterií) end-to-end end-to-side side-to-side Životnost bypassových štěpů je omezena. Příčiny selhání: ztráta průchodnosti implantovaného bypassového štěp v oblasti anostomózy při hojení naršené cévní stěny chirrgickým zákrokem Ztrát průchodnosti bypassového štěp, resp. proces naršení cévní stěny ovlivňje lokální charakter prodění (výskyt recirklačních zón, nízké hodnoty smykového napětí na stěně WSS, )

Snaha o lepší pochopení sovislostí mezi ztráto průchodnosti bypassových štěpů a lokálním charakterem prodění vede k dlohodobém výzkm této problematiky. Proto je žádocí zabývat se matematickým modelováním a nmerickými simlacemi prodění krve v modelech bypass a ověřovat nmerické výsledky experimentálně s cílem optimalizace tvar bypassových štěpů vedocí k prodložení jejich životnosti.

Ukázka vybraných nmerických výsledků prodění krve idealizovanými modely bypass Výpočetní sítě D modelů bypass (se stenózo, s oklzí, dvocestný): Výpočetní sítě 3D modelů bypass (s oklzí, se stenózo):

D koronární bypass s oklzí (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) profily rychlostí

D koronární bypass s oklzí (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) izo čáry rychlosti

D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α =70 ) profily rychlostí

D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α =70 ) izočáry rychlosti

D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0, d(št ěp)=0,5d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0, d(št ěp)=d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α =0, d(št ěp)=1,5d) profily rychlostí

D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0, d(št ěp)=0,5d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α=0, d(št ěp)=d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re=30, D=6,8mm, α =0, d(št ěp)=1,5d) izočáry rychlosti

D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) profily rychlostí

D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re=30, D=6,8mm, α=45 ) izo čáry rychlosti

3D koronární bypass s oklzí (Re=30, D=6,8mm, α=45 ), newtonská kapalina 3D koronární bypass s oklzí (Re=30, D=6,8mm, α =45 ), nenewtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re=15, D=3,3mm, α =45 ), newtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re=15, D=3,3mm, α =45 ), nenewtonská kapalina