ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
|
|
- Ladislava Janečková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 9 MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ TEKUTIN s aplikacemi v biomechanice a ve vnitřní aerodynamice Ing. Jan Vimmr, Ph.D.
2 Obsah přednášky:. Základní pojmy. Prodění tektin a jeho rozdělení 3. Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny 4. Aplikace v biomechanice - prodění krve D a 3D modely femorálního a koronárního bypass - kázky vybraných nmerických výsledků 5. Prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny 6. Nmerické řešení modelové skalární lineární hyperbolické PDR v D 7. Aplikace transsonické a spersonické prodění nevazké tektiny v kanále 8. Laminární prodění stlačitelné Newtonovy tektiny 9. Ukázky vybraných aplikací laminárního prodění ve vnitřní aerodynamice
3 Základní pojmy Všechny látky se skládají z atomů, které se sdržjí v molekly. Thé látky veliké mezimoleklární síly pravidelné spořádání atomů do krystalické mřížky (krystalická strktra látky) mezi moleklami, popř. atomy v krystalické mřížce působí síly přitažlivé (kohézní) a odpdivé (adhézní) částice kmitají kolem rovnovážné polohy Tektiny látky, které nemají vlastní tvar a přijímají tvar nádoby, v níž se nacházejí kapaliny vytvářejí kapky (voda, olej, ), nemění samovolně svůj objem (molekly netvoří stálo mřížk, ale působí mezi nimi ještě přitažlivé síly, které způsobjí sodržnost kapaliny), jso obecně málo stlačitelné, při pohyb (prodění) klado odpor proti pohyb, tj. jso vazké plyny ( i páry) sodržnost mezi moleklami téměř nlová molekly plyn se snaží vyplnit prostor, v němž se nacházejí jso rozpínavé vzdálenosti mezi moleklami plynů jso velké oproti kapalinám jso stlačitelné, málo vazké.
4 Vedle reálné (sktečné) tektiny, která je stlačitelná a vazká, zavádíme pojem ideální (dokonalá) tektina, která je nestlačitelná a nevazká, tj. bez vnitřního tření. Ideální tektin chápeme jako aproximaci reálné tektiny. Tektin považjeme za spojité prostředí kontinm Síly působící na tektin vnitřní (dány vzájemným působením atomů a molekl) vnější (vyvolány vnějším silovým polem) objemové (setrvačné síly, např. odstředivá síla, gravitační síly) plošné (tlakové síly, tečné (smykové) síly, kapilární síly) Viskozita tektin projevje se při prodění reálných tektin odporem proti pohyb první formlace viskozity: Newton (687) potvrzena experimentálně
5 Představme si prodění ve vodorovném směr x podél desky jako pohyb tenkých vrstev tektiny o tlošťce dy, rovnoběžných s desko. Takové prodění ve vrstvách se nazývá laminární. Na desce je rychlost tektiny nlová (lpívá na ní). Rychlost ostatních vrstev se zvětšje se vzdáleností od desky (brzdící účinek desky se zmenšje). Jednotlivé vrstvy tektiny vzájemně po sobě klozají dochází k jejich vzájemném posv. Mezi vrstvami působí smykové (třecí) síly vyvolané viskozito tektiny. tgα dx dy d dy Tečné (smykové) napětí τ [ Pa] od viskozity je podle Newtona rčeno vztahem d τ η dy
6 d dy gradient rychlosti Úvod do modelování v mechanice (UMM) [ s ] Zavádí se pojem: kinematická viskozita v kolmém směr na pohyb tektiny η dynamická viskozita tektiny [ Pa s kg m s ] η ν [ m s ] Viskozita tektin je definována Newtonovým vztahem za předpoklad laminárního prodění. Dynamická a kinematická viskozita závisí na teplotě tektiny. U plynů roste viskozita s teploto. U kapalin s rostocí teploto viskozita klesá. ρ. Newtonské kapaliny vyhovjí Newtonov zákon viskozity Nenewtonské kapaliny závislost smykového napětí τ na gradient rychlosti d / dy nelze vyjádřit Newtonovým vztahem (např. krev při prodění nízkými rychlostmi v menších arteriích se chová jako psedoplastická kapalina)
7 Prodění tektin a jeho rozdělení Prodění pohyb tektiny Hydrodynamika naka o prodění kapalin Aerodynamika (vnitřní, vnější) naka o prodění plynů Rozdělení prodění podle fyzikální vlastnosti tektin:. prodění ideální kapaliny a) potenciální prodění (nevířivé) částice tektiny se pohybjí po křivočarých trajektoriích tak, že se vůči pozorovateli neotáčejí kolem vlastní osy b) vířivé prodění částice tektiny se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os
8 . prodění reálných (vazkých) tektin a) laminární částice tektiny se pohybjí ve vrstvách (lamina vrstva) b) trblentní částice tektiny mají kromě postpné rychlosti trblentní (flktační) rychlost, jíž se přemisťjí po průřez promíchávají se. podle kinematických hledisek:. spořádání prodění v prostor a) prodění třírozměrné (prostorové) rychlost (x, y, z) b) prodění dvorozměrné (rovinné) rychlost (x, y) c) prodění jednorozměrné (x). rozložení rychlosti v prostor a) rovnoměrné prodění vyvinté prodění v trbici b) nerovnoměrné prodění rychlost prodění v prostor se mění, např. obtékání profil v jeho blízkosti
9 3. Závislost prodění na čase a) stálené (stacionární) prodění veličiny prodového pole (rychlost, tlak, hstota, teplota) se nemění s časem b) nestálené (nestacionární) prodění veličiny prodového pole se mění s časem Částice tektiny elementární objem tektiny vymezený zavřeno kontrolní plocho Při popis pohyb tektiny můžeme žít dva přístpy: Lagrangeův popis sledjeme pohyb rčité částice tektiny (analogie k vyšetřování pohyb hmotného bod v mechanice thých těles) Elerův popis sledjeme prodění tektiny v rčitém místě (např. změn rychlosti a tlak). Tímto místem protékají různé částice tektiny, což vede ke složitějším vyjádření zrychlení částice tektiny ve sledovaném místě. Tento přístp se v mechanice tektin žívá častěji. Výchozí systém rovnic popisjících prodění reálných tektin ve 3D je vyvozen ze základních fyzikálních zákonů zachování:
10 a) zákon zachování hmotnosti rovnice kontinity ( rce) b) zákon zachování hybnosti pohybové Navierovy Stokesovy rovnice (3 rce) c) zákon zachování celkové energie energetická rovnice ( rce) Systém pěti nelineárních PDR Rozdíl v kinematice laminárního a trblentního prodění plyne z časových průběhů rychlostí Laminární prodění nedochází k promíchávání sosedních vrstev tektiny Trblentní prodění časově střední hodnota rychlosti s trblentní (flktační) složka rychlosti (je malá, časově proměnná velikostí i směrem) trblence je nahodilý jev, který se vyhodnocje statickými metodami
11 Řešení laminárního prodění jednodšší ve srovnání s trblentním platňje se Newtonův vztah pro smykové napětí obecně pomocí nmerických metod (metoda konečných objemů nebo metoda konečných diferencí) speciální případy lze řešit exaktně (analyticky) viz dále Výskyt laminárního prodění prodění v úzkých plochých kanálech (malé průtokové rychlosti), např. zařízení hydralických mechanismů a strojů těsnící mezery, ložiska s hydrodynamickým mazacím filmem, prodění krve v arteriích
12 Laminární izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny Nestlačitelná kapalina hstota kapaliny Izotermické prodění Newtonovy kapaliny dynamická viskozita kapaliny Matematický model prodění ve 3D je tvořen sostavo rovnic () (4): - rovnice kontinity () - pohybové () Navierovy Stokesovy (3) rovnice (4) kde t je čas, p je tlak, je vektor rychlosti kapaliny a je vektor prostorových sořadnic. Nelineární systém PDR () (4) obecně nazýváme systém Navierových-Stokesových (NS) rovnic pro izotermické prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny. konst ρ konst η 0 z w y v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z w y w x w z p z w y vw x w t w z v y v x v z vw y p y v x v t v z y x z w y v x p x t ρ η ρ ρ η ρ ρ η ρ ( ) T w v,, v ( ) T z y x,, y
13 Omezíme se dále na stálené (plně vyvinté) prodění mezi dvěma rovnoběžnými nekonečně širokými a nekonečně dlohými deskami ve vodorovném směr. Vertikální vzdálenost desek je H. Prodění ve vodorovném směr 0, v w 0. Dosadíme do rovnice kontinity () 0 ( y, z), neboť ve směr x je složka rychlosti x konstantní. Prodění je stálené (stacionární) 0 t Dosazením vedených předpokladů do NS rovnic () (4) dostáváme: p p p η konst x y z 0 x x p 0 p není fnkcí y y p p( x) p 0 p není fnkcí z z
14 Jedná se o rovinné prodění (v rovinách rovnoběžných s rovino xy jso stejné rychlostní poměry) y rychlost není fnkcí z Konečně dostáváme ( ) dp dx d η konst, p p( x) dy (5) Rovnice (5) představje matematický model nejjednodššího laminárního prodění nestlačitelné Newtonovy kapaliny.
15 Příklad: Coetteovo prodění prodění způsobené poze pohybem horní desky dp rychlostí U konst 0 dx Rovnice (5) přejde na tvar: d 0, okrajové podmínky: dy Řešení: U y H ( y) ± ( H ) 0 ( H ) ± U (6) Coetteovo prodění je způsobené pohybem jedné stěny a rychlostní profil je lineární. Dále rčíme hodnot smykového napětí na stěně (WSS wall shear stress): d U τ w η y ± H ± η dy H
16 Příklad: Prodění způsobené poze tlakovým gradientem dp 0, kdy obě desky jso fixovány. dx Řešíme rovnici (5): dp d η konst, okrajové podmínky: dx dy dp Protože konst, msí být rozložení dx tlak ve směr osy x přímkové. ( H ) ( H ) 0 0 Kapalina prodí ve směr tlakového spád p > Tedy: p p p p l dp dx ( x) x p p l p < 0
17 Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp ( y) ( H y ) ( H y ) p η dx η l p (7) Rychlostní profil je v tomto případě, kdy prodění je způsobeno poze tlakovým gradientem, parabola. Rychlost je nezávislá na poloze x ve všech průřezech je stejné parabolické rozložení rychlosti plně vyvinté prodění. d dp H dp H p p 0 y y 0, ( y 0) max dy η dx η dx η l 3 Průtočné množství (průtočný objem) Q m s kapaliny v mezeře definjeme vztahem: Q y da (8) ( A) Pro střední rychlost ( ) [ ] Q avg kapaliny v mezeře platí: avg ( y) da A A ( A) avg H Hb H η dp H dp ( H y ) b dy avg max dx 3 dx η max 3 (9)
18 Smykové napětí na stěně mezery: τ w d dy dp y dx η y± H y ± H ± H dp dx H l η H ( p p ) τ w max (0)
19 Příklad: Zobecněné Coetteovo prodění - prodění v mezeře je způsobeno kromě tlakového gradient dp / dx 0 také pohybem horní desky rychlostí U konst. dp d Řešíme rovnici (5): η konst, okrajové podmínky: dx dx ( ) ( H ) 0 ( H ) ± U Řešení: dp U y η dx H ( ) y ( H y ) ± () Rychlostní profil je v případě zobecněného Coetteova prodění sečtením rychlostních profilů (6) a (7) z předchozích příkladů
20 Pro střední rychlost avg platí: avg ( A) dp U y ( H y ) ± bdy H ( y) da A Hb η dx H H U max 3 avg ± () Smykové napětí na stěně mezery: d y dp U dp τ w η y± H η ± y ± H τ w ± H ± dy η dx H dx η H U (3)
21 Příklad: Ustálené laminární prodění Newtonovy kapaliny ve vodorovné válcové trbce s vnitřním poloměrem R a s nedeformovatelnými stěnami V tomto případě platí: p η konst y z x Řešení tohoto problém provedeme ve válcových sořadnicích x, r, ϕ, kde r y z r ( y, z), v 0 0, w ( ) Rovnováha sil působících na vytkntý objemový element prodící tektiny: dp r dp τ π r p π r p π r 0 τ π r π r τ dx dx dp Tečné napětí τ je podle (4) přímo úměrné poloměr r pro konst dx d Dosadíme do (4) Newtonův vztah τ η a dostaneme: dr d r dp, okrajové podmínky: ( R) 0 dr dx η p > p dp dx p p < 0 (4)
22 Řešení: Úvod do modelování v mechanice (UMM) dp ( r) ( R r ) ( R r ) p 4η dx 4η l p (5) Rychlostní profil je v tomto případě rotační paraboloid. Maximální rychlost max v trbce je: ( r 0) max R dp 4η dx R p 4η l p Průtočný objem (průtok kapaliny trbicí): Q ( A) ( r) da R 0 ( r) π r dr Q 4 π R 8η dp dx (6) Vztah (6) odvodil francozský lékař Poiseille (840), který stdoval prodění krve v žilách. Nezávisle na něm odvodil tento vztah německý fyzik Hagen (839) vztah (6) pro průtočný objem označjeme jako Hagenova-Poiseilleova formle. Z této formle plyne, že největší vliv na změn prodění kapaliny má poloměr trbice. Má-li být průtočný objem kapaliny trbicí konstantní, tak %-ní zmenšení poloměr trbice vyžadje 4 %-ní přírůstek tlakového spád. Př.: Hypertenze (vysoký krevní tlak) je vyvolán zúžením krevních cév.
23 avg Pro střední rychlost kapaliny v trbici platí: Q R dp avg avg max π R 8η dx (7) d R dp Smykové napětí na stěně trbice: τ w η r R (8) dr dx Smyková rychlost Newtonovy kapaliny na stěně trbice: d R dp 4avg γɺ r R s dr η dx R [ ] Rozběhová dráha laminárního prod kapaliny v trbici Vstp do trbice kapalina má rychlostní profil odpovídající dokonalé kapalině. Vzdálenost x r, na níž se vyvine rychlostní profil ve tvar paraboloid, se nazývá rozběhová dráha laminárního prod a platí pro ní Bossinesqův vztah x Rρ r avg 0, 065 Re, Re, R η (9) Re kde je Reynoldsovočíslo. Ze vztah (9) je zřejmé, že k stálení rychlostního profil dojde daleko od vstpního průřez v krátkých trbkách se laminární rychlostní profil nevyvine, a proto nich Hagenův Poiseilleův vztah neplatí.
24 Aplikace v biomechanice Úvod do modelování v mechanice (UMM) prodění krve v cévách přemostěných bypassovým štěpem Kardiovasklární choroby (infarkt, mrtvice) jso příčino 50% předčasných úmrtí v ČR Ateroskleróza kornatění tepen vlivem sazování cholesterol ve vnitřní vrstvě cévy zúžení průsvit cévy snížení průtok krve nedostatečné prokrvení tkáně (ischemie). V případě srdce (ischemická choroba srdeční) může tento stav vést k infarkt myokard (lokálním odmření srdečního sval). její výskyt ovlivněn lokálním charakterem prodění, nejčastěji v místech větvení cévy (bifrkace)
25 při 50 70% zúžení průsvit cévy (stenóza) léčba medikamenty a úpravo životosprávy při větší stenóze balónková angioplastika (nechirrgický zákrok) aplikace bypassových štěpů (chirrgický zákrok) syntetické (polymery) atologní (žilní, arteriální) stehenní (femorální) bypass kyčelní bypass sekvenční aortokoronární bypass dvojitý aorto-koronární bypass Sekvenční bypass vícenásobné přemostění nativní artérie
26 Základní typy anastomóz (spojení mezi bypassovým štěpem a arterií) end-to-end end-to-side side-to-side Životnost bypassových štěpů je omezena. Příčiny selhání: ztráta průchodnosti implantovaného bypassového štěp v oblasti anostomózy při hojení naršené cévní stěny chirrgickým zákrokem Ztrát průchodnosti bypassového štěp, resp. proces naršení cévní stěny ovlivňje lokální charakter prodění (výskyt recirklačních zón, nízké hodnoty smykového napětí na stěně WSS, )
27 Snaha o lepší pochopení sovislostí mezi ztráto průchodnosti bypassových štěpů a lokálním charakterem prodění vede k dlohodobém výzkm této problematiky. Proto je žádocí zabývat se matematickým modelováním a nmerickými simlacemi prodění krve v modelech bypass a ověřovat nmerické výsledky experimentálně s cílem optimalizace tvar bypassových štěpů vedocí k prodložení jejich životnosti.
28 Ukázka vybraných nmerických výsledků prodění krve idealizovanými modely bypass Výpočetní sítě D modelů bypass (se stenózo, s oklzí, dvocestný): Výpočetní sítě 3D modelů bypass (s oklzí, se stenózo):
29 D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí
30 D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti
31 D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 70 ) profily rychlostí
32 D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 70 ) izočáry rychlosti
33 D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) profily rychlostí D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) profily rychlostí
34 D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) izočáry rychlosti
35 Časové průběhy průtočného množství odpovídají pravé koronární artérii a jso získány z in-vivo měření provedených průměrného pacienta za klidových podmínek. Patrné střídání fází srdečního tep - systoly a diastoly. D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)0,5d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α0, d(št ěp)d) izočáry rychlosti D koronární bypass se stenózo (Re30, D6,8mm, α 0, d(št ěp),5d) izočáry rychlosti
36 D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re30, D6,8mm, α45 ) profily rychlostí
37 D koronární bypass s dvocestným štěpem (Re30, D6,8mm, α45 ) izo čáry rychlosti
38 3D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α45 ), newtonská kapalina 3D koronární bypass s oklzí (Re30, D6,8mm, α 45 ), nenewtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re5, D3,3mm, α 45 ), newtonská kapalina 3D femorální bypass s oklzí (Re5, D3,3mm, α 45 ), nenewtonská kapalina
39 3D model reálného sekvenčního aorto-koronárního bypass získaného ze snímků počítačové tomografie (CT) ve spolpráci s Kardiochirrgickým oddělením FN v Plzni
40 Prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny Matematický model prodění je ve 3D tvořen sostavo rovnic () (5): - rovnice kontinity - pohybové Elerovy rovnice - energetická rovnice ρ t x E t ( ρ) ( ρv) ( ρw) [( E p) ] [ ( E p) v] [ ( E p) w] x y ( ) T kde t je čas, ρ je hstota tektiny, p je tlak, v, v, w je vektor rychlosti tektiny, y ( x, y, z) T je vektor prostorových sořadnic a E je celková energie vztažená na jednotk objem prodící tektiny. Nelineární systém PDR () (5) obecně nazýváme konzervativní systém Elerových rovnic pro prodění stlačitelné nevazké a tepelně nevodivé tektiny. z y 0 ( ρ) ( ρ ) p ( ρv) ( ρw) t ( ρv) ( ρv) ( ρv ) p ( ρvw) t ( ρw) ( ρw) ( ρvw) ( ρw ) t x x x x y y y y z z z p z z 0 () () (3) (4) (5)
41 Konzervativní systém Elerových rovnic () (5) ve 3D můžeme vyjádřit v kompaktním tvar nelineární vektorovo PDR kde w f g h ( ρ, ρ, ρv, ρw, E) T w t f x ( w) ρ, ρ p, ρv, ρw, ( E p) ( w) ρv, ρv, ρv p, ρvw, ( E p) v ( w) ρ, ρw, ρvw, ρw p, ( E p) ( w) g( w) h( w) y je vektor konzervativních proměnných T ( ) T ( ) T ( w) z 0 (6) kartézské složky nevazkého tok Celková energie E vztažená na jednotk objem prodící tektiny: ( ) [ ] E ρe ρ ε v w kg m s kde ε je měrná vnitřní energie systém. (7) Konzervativní systém Elerových rovnic () (5) obsahje více neznámých než rovnic 6 neznámých: ρ,, v, w, p, E a 5 rovnic.
42 Termodynamické úvahy tektina jako ideální plyn Prodění stlačitelné tektiny je provázeno termodynamickými změnami prodícího média systém Elerových rovnic doplníme o termicko stavovo rovnici p p ( ρ,t ) definjící termodynamické vlastnosti važované tektiny. vyjadřjící měr- Bdeme potřebovat ještě kaloricko stavovo rovnici no vnitřní energii systém. ( p ρ ) ε ε, V řadě aplikací lze stlačitelno tektin považovat za ideální plyn. R p ρ r T, r M (8) r je měrná plynová konstanta, pro vzdch: r 87 J kg K R 8, 34 J mol K je niverzální plynová konstanta M je relativní moleklová hmotnost, pro vzdch: M 8, 96 kg mol c p > cv > 0, c p konst, cv konst... měrné tepelné kapacity při konstantním tlak a při konstantním objem Mayerův vztah: r c p c v (9)
43 c p Úvod do modelování v mechanice (UMM) Poissonova adiabatická konstanta: Pro vzdch (dvoatomový plyn) platí: κ r r, cv κ κ c p κ > (0) c κ,4 Měrná vnitřní energie ε a měrná enthalpie h: v ε c p T v κ ρ () () h c p T κ p κ ρ (3)
44 Rychlost zvk v ideálním plyn a Machovo číslo Rychlost zvk a další veličina charakterizjící rozdíl mezi dynamiko stlačitelných a nestlačitelných tektin. Z akstiky je známo, že šíření zvk je provázeno podélným vlněním vzdšniny. Je to postpné zhšťování a zřeďování prostředí, které se šíří z místa zdroje v klových vlnoplochách. Šíření zvk v ideálním plyn považjeme za děj izoentropický (adiabatický), tj. bez výměny tepla s okolím. Zvk je způsoben malo tlakovo porcho vycházející z místa zdroje příčina změny hstoty změna stav plyn rychlost zvk je fnkcí stavových veličin. Rychlost zvk v prodícím plyn rychlost šíření malé tlakové porchy relativně k rychlosti prodícího plyn. a κ r T Okamžitý místní stav prod stlačitelné tektiny charakterizje Machovo číslo Ma (bezrozměrová veličina) Ma v a κ p ρ v a w (4) (5)
45 Prodění stlačitelné nevazké tektiny v D je tedy popsáno rovnicemi: w t w ( w) f x 0 ( ) T T ( ρ, ρ, E), f ( w) ρ, ρ p, ( E p) E ρ c v T p κ E ρ ( ) Vztah pro tlak (9) získáme dosazením rovnice ( ) do vztah pro energii (8). (6) (7) (8) (9) Konzervativní systém Elerových rovnic v D (6) můžeme vyjádřit ve tvar: ( ) w f w w w w A( w) 0 t w x t x f kde ( ) ( w) A w je Jacobiova matice nevazkého tok f ( w ). w (0)
46 Nmerické řešení zjednodšeného skalárního model v D Uvažjme počáteční úloh pro skalární lineární hyperbolicko PDR v D t a x ( x, 0 ) ( x) 0 0, a R, x R, t > 0 ( ) ( 0 ) R ( ) ( ) kde x,t : R ; je řešení rovnice () a 0 x C R R je počáteční podmínka. x at konst Úvod do modelování v mechanice (UMM). je rovnice charakteristické přímky (tzv. charakteristiky), podél níž se šíří veličina konstantní rychlostí Nmerické řešení počáteční úlohy () () provedeme pomocí metody konečných diferencí. Rovnoměrná kartézská síť: M {[ x,t ]; x i x, i 0, ±, ±,...;t n t, N } n i n i n a 0 () () x i x i x > 0 t n t n t > 0 krok v prostorové sořadnici krok v časové sořadnici
47 Rozvineme fnkci definovano na n-téčasové hladině do Taylorovyřady v okolí bod x: 3 3 ( ) ( ) ( x,tn ) x ( x,tn ) x ( x,tn ) 4 x x,tn x,tn x O ( x ) (3) 3 x! x 3! x Podobně rozvineme fnkci do Taylorovy řady v okolí bod x: ( x,t t ) x i 3 3 ( x,t) t ( x,t) t ( x,t) i Dále rozvineme fnkci definovano v bodě do Taylorovy řady v čase: ( x x,t ) ( x,t ) ( x,t t) ( x,t) i Úvod do modelování v mechanice (UMM) ( x ) i ( x,t) i x,t n ( x ) i t t t t x,t n 3 3 ( x,tn ) x ( x,tn ) x ( x,tn ) 4 O( x ) n n x 3 x! x 3! x! t ( x,t) ( O t ) i i 3! t i 3... (4) (5)
48 Odečtením rozvoje (4) od (3) dostaneme centrální diferenční formli drhého řád přesnosti x, která aproximje první derivaci fnkce podle x: Sečtením rozvojů (3) a (4) dostaneme centrální diferenční formli drhého řád přesnosti x, která aproximje drho derivaci fnkce podle x: Z rozvoje (5) vyjádříme dopředno diferenční formli prvního řád přesnosti O t, která aproximje první derivaci fnkce x,t podle čas t : ( ) Přesné řešení [ x, ] O( ) ( x,t n ) ( ) ( x x,tn ) ( x x,tn ) x,t O( x ) x x ( x,t ) x bodech po částech konstantní fnkcí i t n Úvod do modelování v mechanice (UMM) n t n O( ) ( ) ( x,t) ( x,t) i ( x x,tn ) ( x,tn ) ( x x,tn ) O( x ) x ( x,t t) ( x,t) i t i O ( t) počáteční úlohy () () je aproximováno v síťových U n i ( x,t ) ( i x,n t) i n ( ) i x,t n (6) (7) (8) (9)
49 Aproximacíčasové a prostorové derivace v rovnici () pomocí vztahů (8) a (6) v síťových bodech dostaneme: Úvod do modelování v mechanice (UMM) [ xi, t n ] ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) i i n i n a t x n i a t x [ ], ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) ( x,t ) i n i n i n i a t x n n ( U U ) n n Ui U i i i n n respektive (30) Jedná se o Elerovo FTCS explicitní diferenční schéma pro nalezení nmerického n řešení U ve vnitřních bodech [ x i i, t n ] sítě. Pozor! Toto schéma je ale nestabilní a proto pro nmerické řešení nepožitelné. podmíněně stabilní (a tdíž pro nmerickéřešení požitelné) nmerické schéma n dostaneme tak, že za U i v (30) dosadíme aritmetický průměr: n n n Ui Ui Ui
50 Laxovo-Friedrichsovo (LF) schéma (3) Jedná se o explicitní diferenční schéma prvního řád přesnosti v prostor i čase, které je podmíněně stabilní s podmínko stability (3) Dále odvodíme Laxovo-Wendroffovo (LW) schéma. Uděláme Taylorův rozvoj fnkce v čase kam dosadíme a dostaneme ( ) ( ) n i n i n i n i n i U U x t a U U U a x t ( ) ( ) ( ) 3 t O t t t t x,t t x,t ( ) ( ) ( ) 3 t O x t a x t a x,t t x,t x a t x a x t a t, x a t ( ) t x,t ( ) t x, O Úvod do modelování v mechanice (UMM)
51 Aproximací prostorových derivací pomocí centrálních diferenčních formlí (6) a (7) drhého řád přesnosti získáme v síťových bodech [ xi, t n ] : a t a t ( xi,tn ) ( xi,tn ) [ ( xi,tn ) ( xi,tn )] [ ( xi,tn ) ( xi,tn ) ( xi,tn )], x x a t x n n a t n n n ( U U ) ( U U U ) n n Ui Ui i i i i i Jedná se o explicitní diferenční schéma drhého řád přesnosti v prostor i čase O( x, t ), které je podmíněně stabilní s podmínko stability x t (34) a Poznámka: a) Uvedená diferenční schémata (3) a (33) složí pro nalezení nmerického řešení n U i ve vnitřních bodech [ xi, t n ] kartézské sítě. V bodech na hranici výpočtové oblasti msíme splnit předepsané okrajové podmínky. b) Obecně diferenční schémata prvního řád přesnosti (např. LF schéma (3)) jso příliš disipativní a potlačjí amplitdy řešení. Naopak schémata drhého řád přesnosti (např. LW schéma (33)) nejso disipativní, ale způsobjí silné oscilace v řešení, které moho vést až k nestabilitě výpočt. x (33)
52 Příklad: Řešte transportní PDR Počáteční podmínky: Okrajové podmínky: Úvod do modelování v mechanice (UMM) x 0... x ( x, 0) ( x, 0) 0 t, a x ( x, 0) 0, ( 0,t) 0 L... ( L,t) x 50 tj. v čase t 0 je vygenerovaná porcha (počáteční podmínka), která se šíří v D trbici délky L zavřené na obo koncích., x sin π, x 0 0 x 400 a 50 ms
53 Řešení: t t LF schéma (3): σ a 0,5 LW schéma (33): σ a 0, 5 x x x 5, t 0, 005 t 0, 5s t 0, 5s
54 Aplikace transsonické prodění v rovinném GAMM kanále (0% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky: pinlet, ρinlet, α inlet 0, potlet 0, 737 Ma inlet 0, Ma Ma lower wall p x Ma pper wall T
55 Aplikace spersonické prodění v rovinném GAMM kanále (0% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky:, v 0,, Ma, 65 inlet ρ inlet inlet inlet Ma Ma lower wall Ma pper wall
56 Aplikace spersonické prodění v rovinném GAMM kanále (4% výdť) Bezrozměrové okrajové podmínky:, v 0,, Ma, 65 inlet ρ inlet inlet inlet Ma Ma lower wall Ma pper wall
57 Laminární prodění stlačitelné Newtonovy tektiny Matematický model prodění ve D je popsán nelineárním systémem Navierových- Stokesových (NS) rovnic zapsaných v kompaktním tvar vektorovo PDR w f ( w) g( w) fv ( w) gv ( w) t x y x y T kde w ρ, ρ, ρv, E je vektor konzervativních proměnných f g f g ( ) ( ) T ( v) ( w) ρ, ρ p, ρ v, ( E p) ( w) ρv, ρ v, ρv p, ( E p) V V ( w) 0, τ xx Úvod do modelování v mechanice (UMM), τ xy, τ xx vτ k T x T ( w) 0, τ yx, τ yy, τ yx vτ yy k y xy T T T kartézské složky nevazkého tok kartézské složky vazkého tok ρ v ( ) T ( ) T t je čas, je hstota tektiny,,v je vektor rychlosti tektiny, y x, y je vektor prostorových sořadnic, T je teplota a k je sočinitel tepelné vodivosti tektiny. Pro celkovo energii E vztaženo na jednotk objem prodící tektiny platí: E ρ ε ( v ) (36) (35)
58 Tlak p je dán v případě ideálního plyn vztahem p ( κ ) E ρ ( v ), který získáme dosazením rovnice () do (36). Poissonova konstanta κ pro dvoatomový plyn je κ,4 Pro složky tenzor vazkých napětí platí: τ η 3 xx x v y τ η y Sočinitel tepelné vodivosti tektiny k lze vyjádřit ve tvar c p Úvod do modelování v mechanice (UMM) τ xy yx η 3 yy x kde je měrná tepelná kapacita při konstantním tlak a Pr je Prandtlovočíslo. V případě laminárního prodění platí Pr 0,7. κ Dynamická viskozita tektiny η se často ve výpočtech važje konstantní. Pomocí Stherlandova vztah lze vyjádřit její závislost na teplotě η 3, 457 v x 6 ( T ) 0 T T 0 k τ c p η Pr v y (37)
59 Aplikace laminární transsonické prodění plyn v rovinném model těsnící mezery ve šrobovém kompresor bez vstřikování hlavní rotor vedlejší rotor 3 komora pracovního prostor 5 važovaná těsnící mezera D model těsnící mezery mezi hlavo zb hlavního rotor a skříní kompresor
60 H 350 µ m, p / p 0, otlet inlet Izočáry Machova čísla Šlíry Gradienty hstoty ve směr osy x
61 H 00 µ m, p / p 08, otlet inlet Izočáry Machova čísla Šlíry (ÚT AVČR) Gradienty hstoty ve směr osy x
62 Aplikace laminární transsonické prodění plyn ve D kaskádě DCA8% profilů Bezrozměrové okrajové podmínky: pinlet, ρinlet, αinlet, potlet 0, 48, v wall 0 periodické okrajové podmínky Re 6450, Ma 0, 744 ref inlet Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvo různých časových okamžicích
63 Aplikace laminární sbsonické prodění plyn v symetrickém rovinném kanál se dvěma DCA8% profily Bezrozměrové okrajové podmínky: potlet / pinlet 0, 675, ρinlet, αinlet 0, v wall 0 symetrické okrajové podmínky Re 58, Ma 0, 7 ref inlet Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvo různých časových okamžicích
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 10 LAMINÁRNÍ PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÝCH VAZKÝCH KAPALIN aplikace v biomechanice Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Obsah přednášky: 1. Základní pojmy. Prodění tektin a jeho
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceVýpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů
Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů Petra Punčochářová Ústav technické matematiky, Fakulta strojní, Vysoké učení technické v Praze Vedoucí práce: Prof. RNDr. K. Kozel DrSc. Úvod V 80.
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
VíceBIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.
BIOMECHANIKA 8, Disipativní síly II. (Hydrostatický tlak, hydrostatický vztlak, Archimédův zákon, dynamické veličiny, odporové síly, tvarový odpor, Bernoulliho rovnice, Magnusův jev) Studijní program,
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 13.10.2014 Mechanika tekutin 1/13 1 Mechanika tekutin - přednášky 1. Úvod, pojmy,
VíceKrevní oběh. Helena Uhrová
Krevní oběh Helena Uhrová Z hydrodynamického hlediska uzavřený systém, složený ze: srdce motorický orgán, zdroj mechanické energie cév rozvodný systém, tvořený elastickými roztažitelnými a kontraktilními
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceMechanika tekutin je nauka o rovnováze a makroskopickém pohybu tekutin a o jejich působení na tělesa do ní ponořená či jí obtékaná.
Mechanika tekutin je nauka o rovnováze a makroskopickém pohybu tekutin a o jejich působení na tělesa do ní ponořená či jí obtékaná. Popisuje chování tekutin makroskopickými veličinami, které jsou definovány
VíceMECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
MECHANIKA KAPALIN A PLYNŮ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Mechanika kapalin a plynů Hydrostatika - studuje podmínky rovnováhy kapalin. Aerostatika - studuje podmínky rovnováhy
VíceHydromechanické procesy Obtékání těles
Hydromechanické procesy Obtékání těles M. Jahoda Klasifikace těles 2 Typy externích toků dvourozměrné osově symetrické třírozměrné (s/bez osy symetrie) nebo: aerodynamické vs. neaerodynamické Odpor a vztlak
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VícePráce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
Více1141 HYA (Hydraulika)
ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K4) Přednáškové slidy předmětu 4 HYA (Hydraulika) verze: 09/008 K4 Fv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu pdf souborů
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov. Modelování termohydraulických jevů 3.hodina. Hydraulika. Ing. Michal Kabrhel, Ph.D.
ČVUT v Praze Fakulta stavební Katedra Technických zařízení budov Modelování termohydraulických jevů 3.hodina Hydraulika Ing. Michal Kabrhel, Ph.D. Letní semestr 008/009 Pracovní materiály pro výuku předmětu.
VíceVLASTNOSTI KAPALIN. Část 2. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič; MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
HYDROMECHANIKA LASTNOSTI KAPALIN Část 2 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič; MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA lastnosti kapalin: Molekulární stavba hmoty Příklad
VíceÚvod. K141 HYAR Úvod 0
Úvod K141 HYAR Úvod 0 FYZIKA MECHANIKA MECH. TEKUTIN HYDRAULIKA HYDROSTATIKA HYDRODYNAMIKA Mechanika tekutin zabývá se mechanickými vlastnostmi tekutin (tj. silami v tekutinách a prouděním tekutin) poskytuje
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VíceMechanika tekutin. Hydrostatika Hydrodynamika
Mechanika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Hydrostatika Kapalinu považujeme za kontinuum, můžeme využít předchozí úvahy Studujeme kapalinu, která je v klidu hydrostatika Objem kapaliny bude v klidu,
VíceRekonstrukce portálního řečiště v rámci chirurgického řešení pokročilého karcinomu pankreatu experiment na velkém zvířeti (biomechanická část)
NTIS Nové technologie pro informační společnost Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita Rekonstrukce portálního řečiště v rámci chirurgického řešení pokročilého karcinomu pankreatu experiment na
VíceZachování hmoty Rovnice kontinuity. Ideální kapalina. Zachování energie Bernoulliho rovnice. Reálná kapalina - viskozita
Tektiny ve farmacetickém průmysl Tektiny Charakteristika, prodění tektin» Kapaliny» rozpoštědla» kapalné API, lékové formy» disperze» Plyny» Vzdchotechnika» Sšení» Flidní operace Ideální kapalina» Ideální
Více6. Mechanika kapalin a plynů
6. Mechanika kapalin a plynů 1. Definice tekutin 2. Tlak 3. Pascalův zákon 4. Archimedův zákon 5. Rovnice spojitosti (kontinuity) 6. Bernoulliho rovnice 7. Fyzika letu Tekutiny: jejich rozdělení, jejich
Více1141 HYA (Hydraulika)
ČVUT v Praze, fakulta stavební katedra hydrauliky a hydrologie (K141) Přednáškové slidy předmětu 1141 HYA (Hydraulika) verze: 09/2008 K141 FSv ČVUT Tato webová stránka nabízí k nahlédnutí/stažení řadu
VíceDynamika vázaných soustav těles
Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceNumerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert
Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací Michal Seifert Úkoly diplomové práce Popsat matematické modely proudící tekutiny Popis numerických metod založených na metodě konečných objemů Porovnání
Více5b MĚŘENÍ VISKOZITY KAPALIN POMOCÍ PADAJÍCÍ KULIČKY
Laboratorní cvičení z předmětu Reologie potravin a kosmetických prostředků 5b MĚŘENÍ VISKOZITY KAPALIN POMOCÍ PADAJÍCÍ KULIČKY 1. TEORIE: Měření viskozity pomocí padající kuličky patří k nejstarším metodám
VícePROCESY V TECHNICE BUDOV 2
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESY V TECHNICE BUDOV 2 (1.část) Dagmar Janáčová, Hana Charvátová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského
VíceMechanika tekutin. Tekutiny = plyny a kapaliny
Mechanika tekutin Tekutiny = plyny a kapaliny Vlastnosti kapalin Kapaliny mění tvar, ale zachovávají objem jsou velmi málo stlačitelné Ideální kapalina: bez vnitřního tření je zcela nestlačitelná Viskozita
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Turbulence
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Turbulence M. Jahoda Turbulence 2 Turbulentní proudění vzniká při vysokých Reynoldsových číslech (Re>>1); je způsobováno komplikovanou interakcí mezi viskózními a setrvačnými
VíceCvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 0.11.14 Mechanika tekumn 1/13 1 Mechanika teku,n - přednášky 1. Úvod, pojmy, definice.
VíceAproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny
U8 Ústav rocesní a zracovatelské techniky F ČVUT v Praze Aroximativní analytické řešení jednorozměrného roudění newtonské kaaliny Některé říady jednorozměrného roudění newtonské kaaliny lze řešit řibližně
VíceZákladem molekulové fyziky je kinetická teorie látek. Vychází ze tří pouček:
Molekulová fyzika zkoumá vlastnosti látek na základě jejich vnitřní struktury, pohybu a vzájemného působení částic, ze kterých se látky skládají. Termodynamika se zabývá zákony přeměny různých forem energie
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceFyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK
Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická
Více(. ) NAVIER-STOKESOVY ROVNICE. Symetrie. Obecně Navier-Stokesovy rovnice: = + u. Posuv v prostoru. Galileova transformace g U : t, r,
NAVIER-STOKESOVY ROVNICE Symetrie Obecně Navier-Stokesovy rovnice: D = +. = g Ω p + ν + Dt t D +. = 0 Dt (. ) Posv v prostor space g : t, r, v t, r +, v IR time Posv v čase g τ : t, r, v t + τ, r, v τ
VíceProudění viskózní tekutiny. Renata Holubova renata.holubov@upol.cz. Viskózní tok, turbulentní proudění, Poiseuillův zákon, Reynoldsovo číslo.
PROMOTE MSc POPIS TÉMATU FYZKA 1 Název Tematický celek Jméno a e-mailová adresa autora Cíle Obsah Pomůcky Poznámky Proudění viskózní tekutiny Mechanika kapalin Renata Holubova renata.holubov@upol.cz Popis
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePříspěvek do konference STČ 2008: Numerické modelování obtékání profilu NACA 0012 dvěma nemísitelnými tekutinami
Příspěvek do konference STČ 2008: Numerické modelování obtékání profilu NACA 0012 dvěma nemísitelnými tekutinami (Numerical Modelling of Flow of Two Immiscible Fluids Past a NACA 0012 profile) Ing. Tomáš
VíceTeoretické otázky z hydromechaniky
Teoretické otázky z hydromechaniky 1. Napište vztah pro modul pružnosti kapaliny (+ popis jednotlivých členů a 2. Napište vztah pro Newtonův vztah pro tečné napětí (+ popis jednotlivých členů a 3. Jaká
VíceOpakování Napětí. Opakování Základní pojmy silového působení. Opakování Vztah napětí a deformace. Opakování Vztah napětí a deformace
Tektiny ve farmacetickém průmysl Tektiny Charakteristika, prodění tektin» Kapaliny» rozpoštědla» kapalné API, lékové formy» disperze» Plyny» Vzdchotechnika» Sšení» Flidní operace Opakování Základní pojmy
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceVáclav Uruba home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF
Václav Uruba uruba@fst.zcu.cz home.zcu.cz/~uruba ZČU FSt, KKE Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i., ČVUT v Praze, FS, UK MFF 14.12.14 Mechanika tekuln 12/13 1 Mechanika teku,n - přednášky 1. Úvod, pojmy,
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VíceU218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze
U8 Ústav procesní a pracovatelské technik FS ČVUT v Prae Seminář PHTH 3. ročník Faklta strojní ČVUT v Prae U8 - Ústav procesní a pracovatelské technik Seminář PHTH Hbnost U8 Ústav procesní a pracovatelské
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VíceHmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);
Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech
VíceU218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. ! t 2 :! Stacionární děj, bez vnitřního zdroje, se zanedbatelnou viskózní disipací
VII. cená konvekce Fourier Kirchhoffova rovnice T!! ρ c p + ρ c p u T λ T + µ d t :! (g d + Q" ) (VII 1) Stacionární děj bez vnitřního zdroje se zanedbatelnou viskózní disipací! (VII ) ρ c p u T λ T 1.
Více12. VISKOZITA A POVRCHOVÉ NAPĚTÍ
12. VISKOZITA A POVRCHOVÉ NAPĚTÍ 12.1 TEORETICKÝ ÚVOD V proudící reálné tekutině se projevuje mezi elementy tekutiny vnitřní tření. Síly tření způsobí, že rychlejší vrstva tekutiny se snaží zrychlit vrstvu
Více13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení:
13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení: 4 otázky za 2 body = 8 bodů Datum: 1 příklad za 3 body = 3 body Body: 1 příklad za 6 bodů = 6 bodů Celkem: 30 bodů příklady: 1) Sportovní vůz je schopný zrychlit
VíceMechanika kapalin a plynů
Mechanika kapalin a plynů Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 24. listopadu 2010 Obsah Tekutiny Tlak Tlak v kapalině vyvolaný vnější silou Tlak v kapalině vyvolaný tíhovou silou Tlak v kapalině vyvolaný
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceVliv úhlu distální anastomózy femoropoplitálního bypassu na proudové charakteristiky v napojení
Vliv úhlu distální anastomózy femoropoplitálního bypassu na proudové charakteristiky v napojení Manoch Lukáš Abstrakt: Práce je zaměřena na stanovení vlivu úhlu napojení distální anastomózy femoropoplitálního
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceMolekulová fyzika a termika. Přehled základních pojmů
Molekulová fyzika a termika Přehled základních pojmů Kinetická teorie látek Vychází ze tří experimentálně ověřených poznatků: 1) Látky se skládají z částic - molekul, atomů nebo iontů, mezi nimiž jsou
VíceŘešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.
Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně
VíceFyzika - Kvinta, 1. ročník
- Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální
VíceVýsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku
Vychází N-S rovnice, kterou ovšem zjednodušuje zavedením určitých předpokladů omezujících předpokladů. Bernoulliova rovnice v základním tvaru je jednorozměrný model stacionárního proudění nevazké a nestlačitelné
VíceR2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.
2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?
VíceTERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla
FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí Prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. TERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla OSNOVA 15. KAPITOLY Tři mechanizmy přenosu tepla Tepelný
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VíceZařízení: Rotační viskozimetr s příslušenstvím, ohřívadlo s magnetickou míchačkou, teploměr, potřebné nádoby a kapaliny (aspoň 250ml).
Úvod Pro ideální tekutinu předpokládáme, že v ní neexistují smyková tečná napětí. Pro skutečnou tekutinu to platí pouze v případě, že tekutina se nepohybuje. V případě, že tekutina proudí a její jednotlivé
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství
České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství Úloha KA03/č. 5: Měření kinematiky a dynamiky pohybu osoby v prostoru pomocí ultrazvukového radaru Ing. Patrik Kutílek, Ph.., Ing.
VícePokud proudění splňuje všechny výše vypsané atributy, lze o něm prohlásit, že je turbulentní (atributy je třeba znát).
Laminární proudění je jeden z typů proudění reálné, tedy vazké, tekutiny. Laminární proudění vzniká obecně při nižších rychlostech (přesněji Re). Proudnice laminárního proudu jsou rovnoběžné a vytvářejí
VíceHydromechanické procesy Hydrostatika
Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice
VíceStudentská tvůrčí činnost 2009
Studentská tvůrčí činnost 2009 Numerické řešení proudového pole v kompresorové lopatkové mříži Balcarová Lucie Vedoucí práce: Prof. Ing. P. Šafařík, CSc. a Ing. T. Hyhlík, PhD. Numerické řešení proudového
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
VíceObr. 9.1 Kontakt pohyblivé části s povrchem. Tomuto meznímu stavu za klidu odpovídá maximální síla, která se nezývá adhezní síla,. , = (9.
9. Tření a stabilita 9.1 Tření smykové v obecné kinematické dvojici Doposud jsme předpokládali dokonale hladké povrchy stýkajících se těles, kdy se silové působení přenášelo podle principu akce a reakce
VíceTermomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
Více38. VZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY Jiří Škorpík
38. VZNIK TLAKOVÉ ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ TEKUTINY Jiří Škorpík Laminární proudění viskozita 1 Stanovení ztráty při laminárním proudění 3 Proudění turbulentní Reynoldsovo číslo 5 Stanovení střední rychlosti
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
VíceMol. fyz. a termodynamika
Molekulová fyzika pracuje na základě kinetické teorie látek a statistiky Termodynamika zkoumání tepelných jevů a strojů nezajímají nás jednotlivé částice Molekulová fyzika základem jsou: Látka kteréhokoli
VíceTurbulence Modelování proudění - CFX
Vysoká škola báňská Technická niverzita Ostrava Trblence Modelování prodění - CFX čební text Tomáš Blejchař Ostrava 2010 Recenze: Ing. Sylva Drábková, Ph.D. Název: Trblence-Modelování prodění - CFX Ator:
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceDynamika. Dynamis = řecké slovo síla
Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při
VíceTermomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
Více5. Stavy hmoty Kapaliny a kapalné krystaly
a kapalné krystaly Vlastnosti kapalin kapalných krystalů jako rozpouštědla Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti kapaliny nestálé atraktivní interakce (kohezní síly) mezi molekulami,
Více4 STANOVENÍ KINEMATICKÉ A DYNAMICKÉ VISKOZITY OVOCNÉHO DŽUSU
Laboratorní cvičení z předmětu Reologie potravin a kosmetických prostředků 4 STANOVENÍ KINEMATICKÉ A DYNAMICKÉ VISKOZITY OVOCNÉHO DŽUSU (KAPILÁRNÍ VISKOZIMETR UBBELOHDE) 1. TEORIE: Ve všech kapalných látkách
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceVISKOZITA A POVRCHOVÉ NAPĚTÍ
VISKOZITA A POVRCHOVÉ NAPĚTÍ TEORETICKÝ ÚVOD V proudící reálné tekutině se projevuje mezi elementy tekutiny vnitřní tření. Síly tření způsobí, že rychlejší vrstva tekutiny se snaží zrychlit vrstvu pomalejší
VíceTermomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH
VíceHydrodynamika. ustálené proudění. rychlost tekutiny se v žádném místě nemění. je statické vektorové pole
Hydrodynamika ustálené proudění rychlost tekutiny se žádném místě nemění je statické ektoroé pole proudnice čáry k nimž je rychlost neustále tečnou při ustáleném proudění jsou proudnice skutečné trajektorie
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)
VíceU218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze
Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Přenos tepla 2 Mechanismy přenosu tepla Vedení (kondukce) Fourierův zákon homogenní izotropní prostředí
VícePříklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2
Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Více