A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin x = x 2 + 2. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin x a y = x 2 + 2, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = sin x + x 2 2: f(1) = sin 1 + 1 2 < 0, f(2) = sin 2 + 4 2 > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 2 1 3 2 1 1 2 3 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = cos x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 cos x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = sin x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 sin x 1, tedy sin x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k sin x k + x 2 k 2 : cos x k + 2x k x 1 = 1,1882; x 2 = 1,0647; x 3 = 1,0616; x 4 = 1,0615. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,062. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 4z = 40 2x + 10y 3z = 15 2x y 8z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 4, 10 > 2 + 3, 8 > 2 + 1. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (40 + 3y 20 k 4z k ) y k+1 = 1 (15 2x 10 k+1 + 3z k ) z k+1 = 1 (20 2x 8 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = (40+3 0 4 0)/20 = 2, y 1 = (15 2 2+3 0)/10 = 1,1, z 1 = (20 2 2+1,1)/8 = 2,1375 x 2 = 2,5925, y 2. = 0,3402, z2. = 1,8944 1 2 x
Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i -1 0 2 f i 6 1 3 Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = 6 (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) + 1 + 3 ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = 2x2 3x + 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 2 ( 1) 2 3 ( 1) + 1 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = 2 4 3 2 + 1 = 3 = f 2.
B 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice 2e x x 4 = 0. Rovnici lze upravit na 2e x = x + 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 2e x a y = x + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 4, 3. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = 2e x x 4: f( 4) = 2e 4 +4 4 > 0, f( 3) = 2e 3 +3 4 < 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 4, 3 leží kořen rovnice f(x) = 0. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 4, 3 znaménko: f (x) = 2e x 1 < 0 pro x 4, 3 (protože 2e x 2e 3. = 0,1). f (x) = 2e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 4, protože f( 4) > 0 a f ( 4) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k 2ex k xk 4 2e x k 1 : x 1 = 3,9620; x 2 = 3,9619; x 3 = 3,9619. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 3,9619. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 10x + y 2z = 30 3x + 20y 4z = 10 x 4y 40z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (3; 1; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 10 > 1 + 2, 20 > 3 + 4, 40 > 1 + 4. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (30 y 10 k + 2z k ) y k+1 = 1 (10 3x 20 k + 4z k ) z k+1 = 1 40 k + 4y k ) Vyjde: x 1 = (30 1+2 0)/10 = 2,9, y 1 = (10 3 3+4 0)/20 = 0,05, z 1 = (20 3+4 1)/40 = 0,525 x 2 = 2,89 y 2 = 0,04, z 2 = 0,4325 x 6 5 4 3 2 1 1 y
Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i -2 0 2 f i -15-1 -3 Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) (x 0) 15 1 3 ( 2 0) ( 2 2) (0 + 2) (0 2) (2 + 2) (2 0) = = 2x 2 + 3x 1 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 2 ( 2) 2 + 3 ( 2) 1 = 15 = f 0 ; P 2 (0) = 1 = f 1 ; P 2 (2) = 8 + 6 1 = 3 = f 2.
C 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa záporný kořen rovnice cos x + x 2 3 = 0. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na cos x = x 2 + 3. 4 Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x 2 3 + 3, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. y 2 Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: 1 f( 1) = cos( 1) + 1 2 < 0, 4 3 2 1 0 1 2 3 4 f( 2) = cos( 2) + 4 3 > 0, x znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží 1 kořen rovnice f(x) = 0. Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = sin x + 2x < 0 pro x 2, 1 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 2, 1 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > 1 + 2. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k+1 + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k+1 + 2y k+1 ) Vyjde: x 1 = (50 + 3 0 5 0)/20 = 2,5, y 1 = (20 3 2,5 + 2 0)/10 = 1,25, z 1 = (10 2,5 + 2 ( 1,25))/5 = 1 x 2 = 2,0625, y 2 = 1,58125, z 2 = 0,955
Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i -1 0 2 f i 6 2 12 Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 2) (x + 1) (x 2) (x + 1) (x 0) 6 + 2 + 12 ( 1 0) ( 1 2) (0 + 1) (0 2) (2 + 1) (2 0) = = 3x 2 x + 2 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = 6 = f 0 ; P 2 (0) = 2 = f 1 ; P 2 (2) = 3 4 2 + 2 = 12 = f 2.
D 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa kladný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f(1) = e 2 3 < 0, f(2) = e 2 4 3 > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = e x 2 > 0 pro x 1, 2 (protože e x e =. 3 2 1 1 2 3 2,7 pro x 1, 2 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,9278; x 2 = 1,9239; x 3 = 1,9239. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,9239. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = ( 3; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > 3 + 1. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( 15 + 2y k z k ) y k+1 = 1 20 k 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k + y k ) Vyjde: x 1 = ( 15 + 2 ( 1) 2)/5 = 3,8, y 1 = (30 2 ( 3) 5 2)/20 = 1,3, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1))/10 = 2,8 x 2 = 4,08, y 2 = 1,18, z 2 = 3,01
Př. 3. Najděte Lagrangeův interpolační polynom daný uzly x i -2 0 1 f i 4-4 1 Polynom roznásobte a pak proved te zkoušku, že se jedná opravdu o správný interpolační polynom. P 2 (x) = (x 0) (x 1) (x + 2) (x 1) (x + 2) (x 0) 4 4 + 1 ( 2 0) ( 2 1) (0 + 2) (0 1) (1 + 2) (1 0) = = 3x 2 + 2x 4 Zkouška: ověříme, že P 2 (x i ) = f i pro i = 0, 1, 2: P 2 ( 2) = 3 ( 2) 2 + 2 ( 2) 4 = 4 = f 0 ; P 2 (0) = 4 = f 1 ; P 2 (1) = 3 + 2 4 = 1 = f 2.
A 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 4 desetinná místa záporný kořen rovnice e x 2x 3 = 0. Rovnici lze upravit na e x = 2x + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = 8 e x a y = 2x+3, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2, 1. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce 6 f(x) = e x 2x 3: f( 1) = e 1 + 2 3 < 0, f( 2) = e 2 + 4 3 > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 2, 1 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla 2 zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 2, 1 znaménko: f (x) = e x 2 < 0 pro x 2, 1 (protože 3 2 1 1 2 3 e x e 1. = 0,37 pro x 2, 1 ). x f (x) = e x > 0 pro libovolné x. Zvolíme x 0 = 2, protože f( 2) > 0 a f ( 2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k ex k 2xk 3 : e x k 2 x 1 = 1,3911; x 2 = 1,3734; x 3 = 1,3734. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,3734. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 20x 3y + 5z = 50 3x 10y 2z = 20 x 2y + 5z = 10 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (2; 1; 2) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 3 + 5, 10 > 3 + 2, 5 > 1 + 2. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 (50 + 3y 20 k 5z k ) y k+1 = 1 10 k + 2z k ) z k+1 = 1 (10 x 5 k + 2y k ) Vyjde: x 1 = (50+3 ( 1) 5 2)/20 = 1,85, y 1 = (20 3 2+2 2)/10 = 1,8, z 1 = (10 2+2 ( 1))/5 = 1,2 x 2 = 1,93, y 2 = 1,685, z 2 = 0,91
Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(2 + x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,4, x 1 = 0 a x 2 = 0,4. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,1) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0,4630 + 0, 0370q 0,0741 q(q 1), kde q = x+0,4 2 0,4 x i f i -0,4 0,4630 0,0370-0,0741 0 0,5-0,0370 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 (za q dosadíme 0,1+0,4 0,4 = 1,25), Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0,4630 + 0,0926(x + 0,4) 0,2315(x + 0,4)(x 0) x i f i -0,4 0,4630 0,0926-0,2315 0 0,5-0,0926 0,4 0,4630 P 2 (0,1). = 0,4977 Přesně: 1/(2 + 0,1 2 ). = 0,4975
B 10 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! cos x + x 2 3 = 0. Rovnici lze upravit na cos x = x 2 + 3. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = cos x a y = x 2 + 3, vidíme, že kladný kořen leží v intervalu 1, 2. Můžeme to ještě ověřit dosazením do funkce f(x) = cos x + x 2 3: f(1) = cos 1 + 1 2 < 0, f(2) = cos 2 + 4 3 > 0, znaménka jsou opačná, v intervalu 1, 2 leží kořen rovnice f(x) = 0. y 4 3 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Kořen můžeme hledat např. Newtonovou metodou: Výběr počáteční aproximace tak, aby byla zaručena konvergence (nebylo nutno dělat): Ověříme, že f a f nemění v intervalu 1, 2 znaménko: f (x) = sin x + 2x > 0 pro x 1, 2 (protože 1 sin x 1 a 2x 2 pro x 1, 2 ). f (x) = cos x + 2 > 0 pro libovolné x (protože 1 cos x 1, tedy cos x + 2 > 0). Zvolíme x 0 = 2, protože f(2) > 0 a f (2) > 0. Další aproximace pak počítáme podle vztahu x k+1 = x k cos x k + x 2 k 3 : sin x k + 2x k x 1 = 1,8111; x 2 = 1,7952; x 3 = 1,7951. Přesnost je dosažena, kořen je přibližně 1,795. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 5x 2y + z = 15 2x 20y + 5z = 30 3x y + 10z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu (x 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proved te 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > 2 + 1, 20 > 2 + 5, 10 > 3 + 1. Budeme dosazovat do iteračních vztahů x k+1 = 1 5 ( 15 + 2y k z k ) y k+1 = 1 20 k+1 5z k ) z k+1 = 1 (20 3x 10 k+1 + y k+1 ) Vyjde: x 1 = ( 15 + 2 0 0)/5 = 3, y 1 = (30 2 ( 3) 5 0)/20 = 1,8, z 1 = (20 3 ( 3) + ( 1,8))/10 = 2,72 x 2 = 4,264, y 2 = 1,2464, z 2. = 3,1546 1 x
Př. 3. Aproximujte funkci f(x) = 1/(1 + 2x 2 ) pomocí interpolačního polynomu s uzly x 0 = 0,5, x 1 = 0 a x 2 = 0,5. Pak pomocí nalezeného interpolačního polynomu vypočtěte přibližně f(0,2) a výsledek porovnejte s přesnou hodnotou. Nejjednodušší je výpočet pomocí Newtonova interpolačního polynomu pro ekvidistantní uzly, ale lze i pomocí obecného Newtonova nebo Lagrangeova i.p. Řešení pomocí speciálního tvaru pro ekvidistantní uzly: Tabulka obyčejných diferencí P 2 (x) = 0,6667 + 0, 3333q 0,6667 q(q 1), kde q = x+0,5 2 0,5 x i f i -0,5 0,6667 0,3333-0,6667 0 1-0,3333 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 (za q dosadíme 0,2+0,5 0,5 = 1,4), Přesně: 1/(1 + 2 0,2 2 ). = 0,9259 Řešení pomocí obecného tvaru: Tabulka poměrných diferencí: P 2 (x) = 0,6667 + 0,6667(x + 0,5) 1,3333(x + 0,5)(x 0) x i f i -0,5 0,6667 0,6667-1,3333 0 1-0,6667 0,5 0,6667 P 2 (0,2). = 0,9467 Přesně: 1/(1 + 2 0,2 2 ). = 0,9259