6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau 6 Lieárí difereciálí rvice s vaziplyiálí pravu strau Kvaziplye azýváe fuci tvaru sučiu plyu a epeciály tj P e α Keficiety plyu P() a eficiet α uvažujee becě pleí V tét seci uážee bezpchyby efetivější etdu ež jau je variace stat pr řešeí lieárí difereciálí rvice s statíi eficiety a vaziplyiálí pravu strau tj rvice typu L[ y] = P e α (6) de L[ y] = y + a y + + a y + a y a a ( ) Největší prblée etdy variace stat je itegrváí při výpčtu pcých fucí c () c () terých byl ptřeba pr sestaveí partiuláríh řešeí Má-li vša lieárí difereciálí rvice s statíi eficiety a pravé straě vaziply lze se itegrváí úplě vyhut V seci 5 již byl statvá že derivace vaziplyu je vaziply rvěž je zřejé že L-braze vaziplyu je vaziply Odtud plye že partiulárí řešeí rvice (6) bude jistě ějaý vaziply Q e α α α L[ Q e ] = P e (6) Zbývá určit jeh eficiety prváí levé a pravé stray rvice (6) Nejprve je ptřeba určit stupeň plyu Q Z Věty 5 vyplývá že bude-li eficiet α řee ásbsti charateristicéh plyu rvice (6) pa st( Q) < L[ Q e α ] = Bude tedy uté v tt případě stupeň plyu Q uvažvat větší ež stupeň plyu P V tét seci se zaěříe a aalýzu suvislstí ezi plyy P Q a charateristicý plye zbrazeí L rvěž dplíe chybějící část důazu Věty 5 Zíěé suvislsti lze veli elegatě aalyzvat zavedeí perátru derivváí D terý se uáže být veli užitečý i pr praticé pčítáí Defiice 6 (perátrvé plyy derivváí) Nechť fuce f á derivace libvléh řádu λ je pleí stata přirzeá čísla Defiuje perátr derivváí D dále uvedeýi vztahy: () D f f = () (3) Jestliže D f = f D + = D D tedy D f = f (63) [ ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau P = p + + p + p je ply s reálýi eb pleíi eficiety defiuje přidružeý perátrvý ply vztahy: P [ D] = pd + + pd + pd P [ D] f = p f + + p f + p f (64) Operátrvý ply je zbrazeí teré dau fuci f zbrazí a jiu fuci vztahe (64) Operátrvé plyy lze tedy sládat sčítat a ásbit čísle běžýi způsby stejě ja fuce viz dále (4) Jsu-li dáy dva perátrvé plyy P [ D] = p D + + p D + p D Q [ D] = q D + + q D + q D defiuje P [ D] + Q [ D] λ P [ D] P [ D] Q [ D] a ciy ( P [ D ]) záýi vztahy: ( [ ] [ ]) [ ] [ ] ( λp [ D] ) f λ ( P [ D] f ) ( P [ D] Q [ D] ) f = P [ D] ( Q [ D] f ) P D + Q D f = P D f + Q D f = (65) ( P [ ]) D = P [ D] P [ D] ( P [ D]) = D rát Důslede 6 Ze vztahů (64) a (65) lze dvdit důležité suvislsti ezi lasicý a ěu přidružeý perátrvý plye Jestliže P = p + + p + p Q = q + + q + q pa platí: ( ) ( λ ) = P [ D] + Q [ D] = P + Q [ D] λ P [ D] = P [ D] (66) P [ D] Q [ D] PQ [ D] ( P [ D]) = ( P ) [ D] Pzáa 6 Ze vztahů (66) vyplývá že s perátrvýi plyy se zachází z hledisa sčítáí a ásbeí čísle stejě ja s plyy lasicýi pzice perátrvých plyů dpvídá sučiu jejich lasicých prtějšů Z tht hledisa eí uté pužívat rzdílých syblů pr ply apř P a jeh perátrvý prtějše P a rvěž eí ptřebé ideticý perátr dlišvat d jedičy tj D = [ ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau Důslede 6 Na záladě vztahů (64) ůžee difereciálí perátr L lieárí difereciálí rvice zapsat pcí perátrvéh plyu L terý je přidruže charateristicéu plyu difereciálíh perátru L Charateristicý ply pdle pzáy 6 budee začit stejě ja ěu přidružeý perátrvý ply tj L Platí tedy: Difereciálí perátr perátrvý ply charateristicý ply L[ y] = y + a y + + a y ( ) L[ D] = D + ad + + a L ( λ) = λ + aλ + + a difereciálí rvice L[ y] = q L [ D] y = q Přílad 6 Pužíváí perátrvých plyů eí je jiý způsb zápisu difereciálích perací a difereciálích rvic Bez plyů bych si apřílad euseli vůbec všiut že difereciálí rvici y + y 3y = e je žé řešit ja dvjici difereciálích rvic řádu de z() je řešeí rvice y + 3 y = z z z = e Tat žst plye ihed z rzladu perátrvéh plyu difereciálí rvice ebť Odtud D D D D + 3 = ( )( + 3) D + D 3 y = ( D )( D + 3) y = ( D ) z = e de ( D + 3) y = z Věta 6 (Traslačí pravidl) Nechť Q e α je vaziply L [ D ] je ějaý perátrvý ply pa platí: α α L [ D] Q e = e L [ D + α] Q (67) α α Nejprve uážee že D P e = e ( D + α ) P (68) Pr = ladee D = ( D + α) = (ideticý perátr) tj (68) platí Je-li = dstaee DP e α α α α α = P e + α P e = e ( DP + α P) = e ( D + α) P tj (68) platí [ 3 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau Nechť (68) platí pr pt D + P e α = D( D P e α α ) = ( α D e ( D + α) P) = e ( D + α)(( D + α) P) = α α e (( D + α) ( D + α) ) P = e ( D + α ) + P Kečě L[ D] Q e α = a D Q e α = a ( D Q e α ) = = = α α α a ( e ( D + α) Q) = e a ( D + α) Q = e L[ D + α] Q = = Pzáa 6 Traslačí pravidl reduuje bje výpčtů při hledáí partiuláríh řešeí difereciálí rvice ve tvaru vaziplyu yˆ = Q e α L[ y] = P e α Platí L[ Q e α ] = L [ D] Q e α α = e L [ D + α] Q e α L[ D + α] Q = P e α L [ ] D + α Q = P Věta 6 (partiulárí řešeí - etda dhadu) Uvažuje difereciálí rvici s vaziplyiálí pravu strau L[ y] = L [ D] y = ( p + + p + p ) e α (69) de p p p α Jestliže eficiet α je -ásbý řee charateristicéh plyu L [λ] partiulárí řešeí rvice (69) je vaziply tvaru yˆ = ( q + + q + q ) e α (6) (Neí-li α řee charateristicéh plyu L [λ] ladee = ) Keficiety q q q určíe dsazeí řešeí (6) d (69) dstaee rvici L [ D + α] ( q + + q + q ) = p + + p + p Nechť α je -ásbý řee charateristicéh plyu L [λ] Pa lze ply L [λ] psát ve tvaru L ( c) [ λ] = ( λ α) ϕ( λ)( λ α) + c [ 4 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau Je-li Q libvlý ply pa platí L[ Q e α ] = L [ D] Q e α α = e L [ D + α] Q = α + α α ( ϕ + α + α α + ) = ( ϕ α ) α e ( D ) ( D )( D ) c Q e ( D + ) D + c D Q (6) Z výpčtu (6) ihed dstáváe chybějící část důazu Věty 5 terý říá že je-li eficiet α -ásbý řee charateristicéh plyu L [λ] pa fuce e α e α e α řeší hgeí rvici Všechy tyt fuce jsu ttiž vaziplyy Q e α de stupeň plyu Q je eší ja a tedy ( ϕ α ) s α α s L[ e ] = e ( D + ) D + c D = pr s < ( ) D Q Q = = pdle (6) dtud plye Dále z výpčtu (6) vyplývá že á-li být vaziply Q e α rvice L[ y] = ( p + + p + p) e α pa platí partiulárí řešeí ( ϕ α ) ( D + ) D + c D Q = p + + p + p (6) Část perátrvéh plyu a levé straě rvice (6) síží řád plyu Q derivváí část perátrvéh plyu díy eulvéu eficietu c dále již řád plyu esižuje Má-li astat v (6) rvst usí utě pr stupeň plyu Q platit st(q) = + tj Q = q + q + + q + q + + q + + + + + + Prtže D ( q + + q + + + q + q + + q ) = + + D ( q + + q + + + q ) stačí ply Q uvažvat ve tvaru + + Q = q + + q + + + q = ( q q + + + + + q ) dázat cž se ěl Přílad 6 Řeše difereciálí rvici y + y y = ( + ) e (a) Fudaetálí systé λ + λ = ( λ )( λ + ) = λ { } Báze: { e e } (b) Partiulárí řešeí yˆ = Q e Pt Odtud ( D D ) Q e ( ) e + = + ( D + D ) Q e = ( + + + ( + ) ) = e ( D D) Q e D D D Q e ( D + ) + ( D + ) Q = + 3 = e ( D + 3 ) DQ Máe tedy [ 5 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau Je tedy utě DQ a b = + pt D + 3 DQ = + D + 3 ( a + b) = a + 3( a + b) = 3a + 3b + a = + Odtud 3a = 3b + a = tj a = 3 b = 9 Jestliže DQ = 3 + 9 pa ečě ˆ y = + e ( 6 9 ) Q = + tj 6 9 (c) Obecé řešeí ( 6 9 ) y = + e + c e + c e Přílad 63 Předchzí přílad bez pužití perátrvých plyů Řeše y + y y = ( + ) e (63) (a) Fudaetálí systé λ + λ = ( λ )( λ + ) = λ { } Báze - { e e } (b) Partiulárí řešeí yˆ = Q e Prtže eficiet α = je jedásbý řee charateristicéh plyu zadaé difereciálí rvice budee pdle Věty 6 frule (6) partiulárí řešeí hledat ve tvaru yˆ = ( a + b) e Tt řešeí dsadíe d rvice (63) a prváí bu stra rvice zísáe vztahy pr eficiety a b yˆ ( a b) e ( a b) e = + = + ( ) = + + + = + + + yˆ ( a b) e ( a b) e ( a ( a b) b) e = + + + + + + = + + + + yˆ ( a ( a b)) e ( a ( a b) b) e ( a (4 a b) a b) e e : a + b + b = e : 4a + b +a + b b = e : a + a a = Řešeí sustavy dstaee a = 6 b = 9 (c) Obecé řešeí y = + e + c e + c e 6 9 Pzáa 63 Mezi vaziplyy pčítáe taé dále uvedeé typy fucí: σ σ P e cs( ω ) P e si σ ω e ( P cs( ω ) P si( ω ) ) + [ 6 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau Tyt fuce lze ttiž vyjádřit ja reálu či iagiárí část ějaéh vaziplyu P e α s pleíi eficiety Napřílad ( + ) ( cs( ω ) + si( ω )) = Re ( ) j e σ P P P j P e σ ω Dá se sad uázat: Má-li lieárí difereciálí perátr reálé eficiety tj L[ y] = y + a y + + a y + a y a a ( ) ta platí: L[ y] = q L[ y] = q L[Re( y)] = Re( q) L[I( y)] = I( q) (64) Uvedeé evivalece jsu důslede liearity perátru L a dále uvedeých vlaststí pleích čísel: Napřílad jestliže L[ y] z w = z w z + w = z + w Re( z) = ( z + z ) I( z) = ( z z ) L[ y] + L[ y] = L[ y] L[ y] = q pt q = L[ y] = L[ y] a dále L[Re( y )] = L[ ( y + y)] = + = Re ( [ ]) L y = Re( q ) atd j Přílad 64 Řeše difereciálí rvici y + y = cs (a) Fudaetálí systé λ + = ( λ + j)( λ j) tj {cs si } je fudaetálí systé (b) Partiulárí řešeí Prtže j cs = Re( e ) hledeje partiulárí řešeí pr rvici Pt y + y = e α de α = j Měje yˆ c = Qe α α α ( D ) Qe e + = ( D + α) DQ = D + + Q = (( α) ) D + D + + Q = ( α α ) Odtud plye DQ = a + b tj a + α(a + b) = tj α a = a a + α b = Dstáváe a = α b = ( α) tj a = j b = 4 Tedy ečě DQ = j + Q = j + yˆ c = j + e 4 4 4 4 4 řešeí půvdí rvice dstaee ja reálu část pleíh řešeí tj j Partiulárí [ 7 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau = = + = 4 4 j yˆ Re( yˆ c ) Re j e cs + si 4 4 (c) Obecé řešeí y = cs + si + c cs + c si 4 4 Přílad 65 Předchzí přílad bez pužití perátrvých plyů j (b) Partiulárí řešeí Prtže cs = Re( e ) de čísl j je jedásbý řee charateristicéh plyu budee pdle Věty 6 partiulárí řešeí hledat ve tvaru ( A + B) e j de yí eficiety A a B hu být pleí Z tht řešeí vezee pa reálu část avša Re ( ( A B) e j ) eficiety a b c d jsu yí již je reálé + = ( ( a b) cs ( c d)si ) + + + de Odtud vyplývají jisté žsti ja se vyhut pleí aritetice Řešíe-li difereciálí rvici ůžee hledat partiulárí řešeí rvu ve tvaru y + y = cs (65) yˆ = ( a + b) cs + ( c + d)si a ezáé reálé staty a b c d určit dsazeí d rvice (65) Lze si představit že je t v tt případě dsti pracé Dále uvedeá věta předchzí výsledy suarizuje a dplňuje Věta 63 (etda dhadu) Nechť a a ( ) y + a y + + a y + a y = q je difereciálí rvice s vaziplyiálí pravu strau Nechť α = σ + jω je -ásbý ře charateristicéh plyu tét rvice σ = Re( α) ω = I( α) Následující tabula uvádí v jaé tvaru je žé hledat partiulárí řešeí ŷ pr růzé variaty vaziplyu q [ 8 ]
6 37 3: Jsef Herdla lieárí difereciálí rvice se speciálí pravu strau ŷ q() Q e α st(q) = st(p) P e α ( cs( ω ) + si( ω )) σ e Q Q st(q ) = st(q ) = st(p) ( cs( ω ) + si( ω )) σ e Q Q st(q ) = st(q ) = st(p) ( cs( ω ) + si( ω )) σ e Q Q st(q ) = st(q ) = a{st(p ) st(p )} σ P e cs( ω ) σ P e si( ω ) ( cs( ω ) + si( ω )) σ e P P superpzice dvu růzých vaziplyů σ e P cs( ω ) + e P si( ω ) σ σ σ eb ω ω [ 9 ]