5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

Transkript

1 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá a I = (a, b), a < b. ( ) ( ) Z obecé teorie vyplývá, že možia všech řešeí rovice (5.) a itervalu I (tzv. obecé řešeí) je možia yˆ er( L), de ŷ je libovolě vybraé řešeí partiulárí (a I ), tj. řešeí rovice s pravou straou q, a er(l) je možia všech řešeí přidružeé rovice homogeí, tj. L[ yˆ ] q, (5.) y er( L) L[ y ]. Sutečost, že se dále vždy bude jedat o řešeí a itervalech spojitosti fuce q, ebude dále vždy zdůrazňováa. Dále je zámo, že dim(er(l)) = a tedy v prostoru er(l) eistuje báze o prvcích y, y,, y. Lze tedy aždé řešeí rovice (5.) psát ve tvaru ˆ y y c y c y c y de c, c,, c jsou ějaé ostaty. Uvedeými pozaty jsou motivováy dále uvedeé roy řešeí rovice. Postup řešeí lieárí difereciálí rovice -tého řádu s ostatími oeficiety. Vyhledáí báze možiy všech řešeí homogeí rovice (staoveí fudametálího systému), tj. alezeí -tice lieárě ezávislých řešeí y, y,, y homogeí difereciálí rovice, tj. L[ y ],,,, y, y,, y, lieárě ezávislé.. Staoveí partiulárího řešeí ŷ, tj. alezeí alespoň jedé fuce, terá řeší difereciálí rovici s pravou straou q. 3. Kostruce obecého řešeí ve tvaru y y c y c y c y. ˆ

2 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 4. Je-li řešea počátečí úloha, staoveí ostat c, c,, c ta, aby řešeí vyhovělo počátečím podmíám ( přizpůsobeí ostat ). Fudametálí systém. ( ) ( ) Nechť L[ y] y a y a y a y. Jestliže y( ) e, pa L[ y( )] L[ e ] ( e ) a ( e ) a ( e ) a ( e ) ( ) ( ) e a a a. Tedy platí: Le [ ] právě dyž a a a. (5.3) Polyom a a a je tzv. charateristicý polyom difereciálí rovice L[ y] y a y a y a y, vzie z difereciálí rovice sado záměou y ( ) ( ) ( ), =,,, ( y () y ). Z rovice (5.3) vyplývá, že fuce y( ) e je řešeím lieárí homogeí difereciálí rovice L[y] = právě dyž oeficiet je ořeem charateristicého polyomu této rovice. Poud má charateristicý polyom právě avzájem růzých (obecě ompleích) ořeů,,,, pa můžeme sado sestavit lieárě ezávislých řešeí, tj. fudametálí systém, e, e,, e. Důaz lieárí ezávislosti tato sestrojeých fucí provedeme v ásledující větě, zato i pro případ víceásobých ořeů. Má-li charateristicý polyom víceásobé ořey je situace složitější. Věta 5. (ostruce fudametálího systému - báze er(l)) Nechť charateristicý polyom lieárí difereciálí rovice y a y a y a y, (5.4) ( ) ( ) má právě,, avzájem růzých (ompleích) ořeů s ásobostmi,,,, tj. platí: a a a ( ) ( ) ( ), de i j i j,. Pa dále uvedeé fuce tvoří fudametálí systém (bázi er(l)) rovice (5.4): e, e, e,, e, e, e, e,, e, e, e, e,, e, e, e, e,, e. Pozáma 5. Fuce v (5.5) typu polyom epoeciála se azývají vazipolyomy. Než přistoupíme důazu Věty 5., prozoumejme chováí těchto vazipolyomů z hledisa derivace. (5.5) () Derivace vazipolyomu je vazipolyom. Je totiž

3 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu ( ) ( ) ( ) P e P P e de m P( ) p p p p je ějaý polyom. Pa ovšem m m m P( ) P( ) p ( p mp ) ( p p ) p p, (5.6) m m m m m je opět polyom. () Poud derivace eměí stupě polyomů. Teto pozate plye ze vztahu (5.6), tj.: st( P) st( P P). (3) Poud pa derivace zachovává ulové polyomy, tj. P P P. Je-li P ulový polyom, pa P P je utě tay ulový polyom. Je-li P P ulový polyom, pa P emůže být eulový, jia by eplatilo tvrzeí v bodě (). Pro sazší vyjadřováí defiujme stupeň vazipolyomu vztahem st( Pe ) : st( P). Poud tedy derivováí zachovává stupeň a ulovost vazipolyomů. (důaz Věty 5.) (a) Fuce (5.5) jsou LN. Napišme ulovou lieárí ombiaci všech fucí z (5.5), dostaeme: c e c e c e c e c e c e c e c e c e. (5.7) Je zřejmé, že (5.7) je možo psát ve tvaru P ( ) e P ( ) e P ( ) e, (5.8) de jsme ozačili: P( ) c c c, ( ), (5.9) P c c c P c c c ( ). Naším cílem je uázat, že oeficiety c, c,, c, v lieárí ombiaci (5.7) emohou být eulové, tj. polyomy P i v rovici (5.8) musí utě být ulové. Za tím účelem rovici (5.8) vydělíme epoeciálou, dostaeme e P ( ) P ( ) e P ( ) e, (5.) 3

4 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu de jsme ozačili i : i, protože čísla i jsou po dvou růzá čísla (tj. platí i j ), jsou čísla i eulová a jsou opět po dvou růzá. i j Nyí budeme ěolirát po sobě derivovat rovici (5.) ta dlouho, až polyom P () vymizí. Po této operaci bude mít výsledá rovice (5.) tvar: P ( ) e P ( ) e, (5.) de podle pozámy 5. budou zachováváy stupě i ulovosti vazipolyomů, tj. st(p i ) = st(p i ) a Pi Pi, i =,,. Nyí a rovici (5.) apliujme stejý postup jao a (5.), tj. vydělme vyderivujme polyom P (). Dostaeme e a 3 3 P ( ) e P ( ) e, de jsme ozačili i : i i, opět po dvou růzá eulová čísla a opět st(p i ) = st(p i ) a Pi Pi, i = 3,,. Tato budeme postupovat doud v rovici zbude jediý vazipolyom. Zapišme posledí dva roy tohoto postupu, tj. a ro. Dostaeme P ( ) e P ( ) e, (5.) ( ) P e. (5.3) Z posledí rovice vyplývá, že polyom P je ulový, pa ovšem musí být podle pozámy 5. ulové i polyomy P, j. Odtud vyplývá, že P je ulový polyom. j Z rovice (5.) plye i ulovost polyomu P - - a tedy aoec ulovost že P - a obdobě všech ostatích polyomů (5.9). Odtud plye ulovost všech oeficietů c a tedy lieárí ezávislost fucí (5.5). (b) Sutečost, že fuce (5.5) jsou řešeím homogeí rovice (5.4) doážeme později s využitím vhodějšího aparátu. Přílad 5. Staovme obecé řešeí difereciálí rovice y y 4y 8y. Pro charateristicý polyom zadaé rovice platí: ( ) ( )( 4 ) ( )( ). 4

5 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu Polyom má tedy dva růzé ořey, z toho oře je dvojásobý. Podle Věty 5. tomu odpovídá fudametálí systém e, e, e. Obecým řešeím zadaé homogeí rovice bude libovolá lieárí ombiace vetorů báze, tj.: y c e c e c e 3. Přílad 5. (ompleí ořey charateristicého polyomu) Staovme obecé řešeí difereciálí rovice y 3y y 6y. Pro charateristicý polyom zadaé rovice platí: ( 3) ( 3) ( 3)( ) ( 3)( i )( i ). Podle Věty 5. ořeům polyomu odpovídá fudametálí systém e, e, e 3 i i Nevýhodou této báze je její ompleí charater,. (5.4) i e i cos( ) si( ), i e cos( ) isi( ), taže reálá řešeí daé difereciálí rovice je uto vyjadřovat lieárími ombiacemi s ompleími oeficiety, což se může v orétích případech jevit jao epraticé. V aždém vetorovém prostoru, tedy i v er(l), vša báze eí určea jedozačě. Jestliže a dvojici vetorů i i e, e provedeme trasformaci i y e cos( ) : y i i i e si( ) (5.5) pa fuce y, y, opět řeší daou homogeí difereciálí rovici, eboť jsou to lieárí ombiace jejího fudametálího systému a trojice fucí 3 e,cos( ),si( ) je lieárí ezávislá, eboť trasformace (5.5) je určea regulárí maticí. Je tedy možia (5.6) opět fudametálím systémem zadaé rovice. Obecé řešeí zadaé difereciálí rovice můžeme tedy vyjádřit dvěma způsoby: (5.6) ebo y c e c e c e, (5.7) 3 i i 3 y c e c cos( ) c si( ). (5.8) 3 3 Pozáma 5. 5

6 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu Koeficiety lieárí ombiace jsme v rovicích (5.7), (5.8) ozačili stejými symboly c i, ač je zřejmé, že vyjadřují-li obě rovice tutéž fuci y, mohou být v aždé rovici oeficiety růzé. Uvažujeme-li ompleí oeficiety c i, pa obě formule vyjadřují tutéž možiu řešeí daé homogeí difereciálí rovice, možia všech reálých řešeí se ovšem sáze popisuje formulí (5.8). Trasformaci použitou v (5.5) je ovšem možo použít a libovolou dvojici avzájem ompleě sdružeých fucí v sezamu (5.5). Jestliže má charateristicý polyom dvojici ompleě sdružeých ořeů se stejou ásobostí, tj. v jeho rozladu a ořeové čiitele lze vyhledat výraz ( ) ( ), de i,,, pa podle Věty 5. této dvojici ořeů odpovídá posloupost fucí fudametálího systému e, e, e,, e, e, e, e,, e, terou lze opět v sezamu (5.5) ahradit posloupostí reálých fucí cos( ), cos( ), cos( ),, cos( ), e e e e si( ), si( ), si( ),, si( ), e e e e apliací stejé lieárí trasformace jao v (5.5). Partiulárí řešeí Věta 5. (variace ostat) Nechť L[ y]: p ( ) y p ( ) y p ( ) y p ( ) y, (5.9) ( ) ( ) fuce p, p,, p, q jsou spojité a I = (a, b), a < b, a fuce y, y,, y, tvoří fudametálí systém homogeí difereciálí rovice L[ y] = a I. Pa fuce yˆ( ) c ( ) y ( ) c ( ) y ( ) c ( ) y ( ) (5.) je řešeím (partiulárím) rovice L[ y] = q a I, jestliže fuce c, c,, c, vyhovují a I soustavě: 6

7 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu c c [ y,, y ]. (5.) c q c p Stačí ověřit, že fuce ŷ defiovaá formulí (5.) vyhovuje rovici L[ y] = q za předpoladu (5.). Výpočet bude přehledější, použijme-li maticový zápis. Defiujme matice: [,,, ], y y y c, pa lze psát ŷ. c Vzhledem podmíce (5.) pro derivace fuce ŷ platí: yˆ ˆ y. ( ) ( ) yˆ ( ) ( ) q yˆ p Dále yˆ yˆ L[ yˆ ] p, p,, p, p p, p,, p, p p, p,, p, p ( ) ( ) yˆ ( ) ( ) q yˆ p [ ], [ ],, [ ], [ ],,,, L y L y L y L y q q q, což se mělo doázat. Přílad 5.3 Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice y y y e. Pravá straa rovice je spojitá a (,) (, ), a této možiě bude eistovat obecé řešeí difereciálí rovice. () Fudametálí systém. Charateristicý polyom: ( ), = je jediým ořeem charateristicého polyomu a je ořeem dvojásobým. Podle Věty 5. je { e, e } báze řešeí homogeí rovice. 7

8 :44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu () Partiulárí řešeí. Podle Věty 5. je aždá fuce yˆ( ) c( ) e c( ) e partiulárím řešeím daé rovice poud pomocé fuce c, c, jsou řešeím soustavy e e c e e e c e. c Odtud plye c, tj. c c l, a tedy yˆ( ) e l e. (3) Obecé řešeí. y( ) l e ce c e. c c. Itegrací dostaeme Pozáma 5.3 V rovici (5.9) jsme zavedli oeficiet p ( ) ač ho lze vždy z rovice odstrait děleím, proto jsme jej apř. v rovici (5.) euvažovali (resp. uvažovali jsme jej jedotový). Chtěli jsme zde zdůrazit jeho vliv a tvar soustavy (5.). 8