I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

Transkript

1 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy je ) e z = e x cos y + j si y); c) je e z 0; d) je e z = e z ) 1 = e x cos y j si y); e) je e z 1+z 2 = e z 1.e z 2 ; f) je e z = e x = e Re z ; g) fukce je periodická s periodou 2πj, tedy e z+2kπj = e z pro celé k; h) fukce je holomorfí v C a e z ) = e z, z C. II. Goiometrické fukce 1. Fukce sius a kosius jsou pro komplexí hodoty z C defiováy vztahy ) si z = 1 2j e jz e jz), cos z = 1 2 e jz + e jz). Vlastosti fukcí sius a kosius: a) je 1) k z 2k+1 si z = 2k + 1)!, cos z = b) fukce jsou holomorfí v C a si z) = cos z, cos z) = si z; 1) k z 2k, z C; 2k)! c) fukce jsou periodické s periodou 2π, tedy si z + 2kπ) = si z a cos z + 2kπ) = cos z, k Z; d) je si x + jy) = si x cosh y + j cos x sih y, e) pro ulové body platí: cos x + jy) = cos x cosh y j si x sih y; si z = 0 z = kπ, cos z = 0 z = π 2 + kπ, k Z; f) je si 2 z + cos 2 z = Fukce tages a kotages jsou pro komplexí hodoty defiováy vztahy tg z = si z cos z = ejz e jz je jz + e jz ) = e2jz 1 je 2jz + 1), z π 2 + kπ; 42

2 cotg z = cos z si z = jejz + e jz ) e jz e jz = je2jz + 1) e 2jz 1, z kπ; Vlastosti fukcí tages a kotages: a) fukce jsou holomorfí a celém defiičím oboru a tg z) = 1 cos 2 z, cotg z) = 1 si 2 z ; b) fukce jsou periodické s periodou π, tedy tg z + kπ) = tg z a cotg z + kπ) = cotg z, k Z; c) tg z.cotg z = 1. III. Hyperbolické fukce 3. Fukce hyperbolický sius a kosius jsou pro komplexí hodoty z C defiováy vztahy ) sih z = 1 2 e z e z), cosh z = 1 2 e z + e z). Vlastosti fukcí hyperbolický sius a kosius: a) je z 2k+1 sih z = 2k + 1)!, cosh z = z 2k 2k)!, z C; b) fukce jsou holomorfí v C a sih z) = cosh z, cosh z) = sih z; c) fukce jsou periodické s periodou 2πj, tedy sih z + 2kπj) = sih z a cosh z + 2kπj) = cosh z; d) je sih x + jy) = sih x cos y + jcosh x si y, e) pro ulové body platí: cosh x + jy) = cosh x cos y + jsih x si y; sih z = 0 z = kπj, cos z = 0 z = πj 2 + kπj, k Z; f) je g) cosh 2 z sih 2 z = 1. si z = jsih jz), si jz = jsih z; cos z = cosh jz), cos jz) = cosh z. 4. Fukce hyperbolický tages a kotages jsou pro komplexí hodoty defiováy vztahy tgh z = sih z cosh z = ez e z e z + e z = e2z 1 e 2z + 1, z πj 2 + kπj; 43

3 cotgh z = cosh z sih z = ez + e z e z e z = e2z + 1 e 2z 1, z kπj; Vlastosti fukcí hyperbolický tages a kotages: a) fukce jsou holomorfí a celém defiičím oboru a tgh z) = 1 cosh 2 z, cotg z) = 1 sih 2 z ; b) fukce jsou periodické s periodou πj, tedy tgh z + kπj) = tgh z a cotgh z + kπj) = cotgh z; c) tgh z.cotgh z = Iverzí fukce Defiice: Je-li f : G C prostá fukce, pak fukci f 1, která je defiováa předpisem w = f 1 z) z = fw), z Hf, w Df, azýváme iverzí fukcí k fukci f. Věta. Pro fukci a fukci iverzí platí: Mohozačé fukce Df = Hf 1, Hf = Df 1, f 1 ) 1 = f, ff 1 z)) = z, z Hf, f 1 fz)) = z, z Df. V případě fukcí komplexí proměé uvažujeme zobecěí iverzí fukce i pro případy, kdy fukce f eí prostá. Pak má rovice w = fz) jako řešeí vzor f 1 w) = {z; w = fz), z Df}, který je možiou ěkolika hodot. Takové přiřazeí považujeme také za fukci, kterou azýváme mohozačou fukcí. Defiice: Je-li f : G C komplexí fukcí, pak iverzí fukcí k fukci f azýváme fukci f 1, která je defiovaá předpisem f 1 z) = {w; z = fw), w Df, z Hf}. V případě, že f 1 z) obsahuje více hodot, mluvíme o mohozačé fukci. Pokud provedeme v možiě f 1 z) výběr jedié hodoty, dostaeme jedozačou fukci, kterou azýváme jedozačou větví mohozačé fukce f 1. Pozámka: Mohozačou fukci a její jedozačé větve ozačujeme stejým symbolem. Rozlišujeme je tak, že u mohozačé fukce je prví písmeo velké a u jedozačé větve malé. Např. Arg, arg, arg α. IV. Odmocia Je-li z = z cos ϕ + j si ϕ) komplexí číslo zapsaé v goiometrickém tvaru, pak rovice ) )) ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ z = w w = z cos + j si má růzých řeší pro 0 k 1. Tato řešeí jsou hodotami začé fukce, která je iverzí k fukci z = w. Nazýváme ji -tou odmociou a začíme ji w = z. Pro z = 0 je 0 = 0 a odmocia má jediou hodotu. 44

4 Věta. O derivaci iverzí fukce. Je-li f : G C prostá a holomorfí fukce v oblasti G, kde f z) 0, pak je iverzí fukce v oblasti f 1 G) holomorfí a a tedy f 1 w)) = 1, w = fz), z G. f z) Příklad. Pro z 0 je z ) = z 1 0. Je w = z z = w w) = 1 z = 1 1 w 1 = 1 w 1 1. V. Logaritmus je defiová jako iverzí fukce k expoeciálí fukci. Protože je vždy e z 0, pak defiujeme logaritmickou fukci předpisem ) w = L z z = e w, z 0. Vzorec pro hodotu logaritmu Pro z 0 je logaritmus mohozačou fukcí a Fukci L z = l z + jarg z = l z + jarg z + 2kπ), k Z. l z = l z + jarg z azýváme hlaví hodotou logaritmu. Jedozačé větve logaritmu l α z = l z + jarg α z jsou holomorfí fukce v oblasti {z; z 0, α π < arg z < α + π} a je: l α z) = 1 e w ) = 1 e w = 1 z. VI. Cyklometrické fukce dostaeme jako iverzí fukce ke goiometrickým fukcím. Odvodíme si jejich vyjádřeí jako možiu řešeí odpovídajících rovic, ale ebudeme hledat, kde mají jedozačé větve. Vzorce pro derivace jsou shodé s jejich vyjádřeím v případě reálé proměé. 5. Fukce arkussius je iverzí k fukci sius a platí: w = Arcsi z z = si w. w = Arcsi z = jl jz ± 1 z 2 ), z C. 6. Fukce arkuskosius je iverzí k fukci kosius a platí: w = Arccos z z = cos w. w = Arccos z = jl z ± z 2 1 ), z C. 45

5 7. Fukce arkustages je iverzí k fukci tages a platí: w = Arctg z z = tg w. w = Arctg z = j 2 L j + z j z, z ±j. 8. Fukce arkuskotages je iverzí k fukci kotages a platí: w = Arccotg z z = cotg w. w = Arccotg z = j 2 L z j z + j, z ±j. VII. Hyperbolometrické fukce dostaeme jako iverzí fukce k hyperbolickým fukcím. Odvodíme si jejich vyjádřeí jako možiu řešeí odpovídajících rovic, ale ebudeme hledat, kde mají jedozačé větve. Vzorce pro derivace jsou shodé s jejich vyjádřeím v případě reálé proměé. 9. Fukce argumet hyperbolického siu je iverzí k fukci hyperbolický sius a platí: w = Argsih z z = sih w. w = Argsih z = L z ± 1 + z 2 ), z C. 10. Fukce argumet hyperbolického kosiu je iverzí k fukci hyperbolický kosius a platí: w = Argcosh z z = cosh w. w = Argcosh z = L z ± z 2 1 ), z C. 11. Fukce argumet hyperbolické tagety je iverzí k fukci hyperbolický tages a platí: w = Argtgh z z = tgh w. w = Argtgh z = 1 2 L 1 + z 1 z, z ± Fukce argumet hyperbolické kotagety je iverzí k fukci hyperbolický kotages a platí: w = Argcotgh z z = cotgh w. w = Argcotgh z = 1 2 L z + 1 z 1, z ±1. 46