7.2.4 Násobení vektoru číslem

Transkript

1 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí: AC = k AB je-li k 0 leží bod C a polopřímce AB, je-li k < 0, leží bod C a polopřímce opačé k polopřímce AB. Vektor C A ozačjeme symbolem k. Velmi podobé defiici stejolehlosti bod C je stejolehlý s bodem B ve stejolehlosti H A; k. Př. : Je dá vektor = B A a) = C A b) B. Sestroj graficky vektory: = D A A a) = C A C B A b) = D A B -0,5 A D

2 Ještě zbývá dokázat, že výsledý vektor ezávisí a volbě místěí vektor. Důkaz vyžívající postí přeskočíme. Jaké bdo sořadice vektor k? Pomocí stejolehlosti se dají odvodit věty: = ; v roviě a pro každé reálé číslo k platí: Pro každý vektor ( ) k = ( k; k ). Pro každý vektor = ( ; ; 3 ) k = ( k ; k ; k ). 3 Př. : Je dá vektor = ( ;; 3) v prostor a pro každé reálé číslo k platí:. Urči sořadice vektorů: a) b) 3 c) a) = ( ;; 3) = ( ; ; [ 3] ) = ( ;4; 6) b) 3 = 3( ;; 3) = ( 3 ; 3 ; 3 [ 3] ) = ( 3; 6;9) c) [ ] = ; ; 3 = ; ; 3 = ; ; 3 Pedagogická pozámka: Stejě jako sčítáí doporčji stdetům psát zkráceý zápis = ;; 3 = ;4; 6. takto: Př. 3: Doplň vět s pravidly: Pro každé dva vektory a v a každá dvě čísla k, l platí: a) 0 = = k l = b) c) d) k ( + v ) = e) ( k + l) = a) 0 = o b) ( ) = c) k ( l) = ( kl) d) k ( + v) = k + kv e) ( k + l) = k + l Platí pravidla, která záme z ásobeí reálých čísel při ásobeí vektorů bdeme moci postpovat tak, jak jsme zvyklí. Př. 4: Jso dáy vektory = ( ; 3;) a = ( ;; ) ( 4; ;5) v. Urči vektor w = 3v. ( ) [ ] w = 3v = ; 3; 3 ;; = 3 ; 3 3 ; 3 = = Pedagogická pozámka: Předchozí příklad je možé řešit i postpě rčeím ásobků a pak jejich sočt. Pedagogická pozámka: Pokd začíám s toto hodio během vyčovací hodiy, ktero jsem a začátk věoval velikosti vektor, kočím ekvivaletem příklad 4 a další hodi začíám příkladem 4.

3 Vektor w jsme získali jako sočet ásobků vektorů a v, říkáme, že vektor w je lieárí kombiací vektorů a v. Jso dáy vektory ; ;...; a reálá čísla a; a;...; a. Vektor v = a + a a se azývá lieárí kombiace vektorů ; ;...;. Reálá čísla a; a;...; a azýváme koeficiety této lieárí kombiace. Př. 5: V příklad 4 byl hledaý vektor w jako lieárí kombiace vektorů a v rče vztahem w = 3v. Urči koeficiety této lieárí kombiace a číslo. w = 3v vektor w je lieárí kombiací dvo vektorů = w = 3v srováme vztahy: v = a + a a =, a = 3 Pedagogická pozámka: Jako vždy v podobých příkladech i tady mají stdeti ejvětší problémy s rčeím čísla. Př. 6: Jso dáy vektory a = ( ;;4 ) a b = ( ;; ) a) = ( 5;5;) b) v = ( ;3;3 ) a) = ( 5;5;). Rozhodi zda vektory: jso lieárí kombiací vektorů a, b. Pokd ao, rči koeficiety této lieárí kombiace. pokd je vektor lieárí kombiací vektorů a, b msí platit: = ka + lb - protože vektory mají tři sořadice, jde o sostav tří rovic (pro každo = ka + lb sořadici jeda) pro dvě ezámé (hledaé koeficiety k, l): 5 = k + l Dosadíme sořadice: 5 = k + l = k 4 + l Odečteme drho rovici od třetí: 5 = 4k k + l l 6 = k k = 3 Z drhé rovice dopočítáme l: 5 = 3 + l l = Dosadíme do prví rovice a zkotroljeme zda vyjde: 5 = 3 + = 5 = ka + lb = ka + lb Sostava má řešeí vektor je lieárí kombiací vektorů a, b: = 3a b v = ;3;3 b) pokd je vektor v lieárí kombiací vektorů a, b msí platit: 3

4 v = ka + lb - protože vektory mají tři sořadice, jde o sostav tří rovic (pro každo v = ka + lb sořadici jeda) pro dvě ezámé (hledaé koeficiety k, l): = k + l Dosadíme sořadice: 3 = k + l v = ka + lb v = ka + lb = k 4 + l Odečteme drho rovici od třetí: 3 3 = 4k k + l l 0 = k k = 0 Z drhé rovice dopočítáme l: 3 = 0 + l l = 3 Dosadíme do prví rovice a zkotroljeme zda vyjde: = = 6 - rovost eplatí sostava emá řešeí vektor v eí lieárí kombiací vektorů a, b. Co získáme, když bdeme dělat ásobky vektor (fakticky lieárí kombiace z jedoho vektor)? Získáme ásobky tohoto vektor. Všechy tyto vektory leží a stejé přímce (mají stejý ebo opačý směr). Dva vektory leží a stejé přímce (jso rovoběžé), právě když je jede ásobkem drhého. (to eí žádá výzamá věta, ale bdeme ji často požívat) Teď můžeme rčit vektor, který bde mít rčitý směr a potřebo velikost. Př. 7: Najdi vektor v, který je rovoběžý s vektorem = ( 3;4) Dvě možosti jak příklad vyřešit:. Sestaveí podmíek pro sořadice vektor v = ( v ; v ) a jehož velikost je. vektor v je rovoběžý s vektorem vektor v je ásobek vektor v sořadicích: v = k, v = k zatím dvě rovice pro tři ezámé potřebjeme ještě jed rovici. podmíka: velikost v je v = v + =. v v = k Máme tři rovice pro tři ezámé. Vyřešit by to šlo, ale eí to moc komfortí.. Vyžití velikosti vektor. Spočítáme velikost vektor : = + = = 5 Vektor v má mít velikost msí být 5krát meší 4

5 platí: v = k, kde k ; = = ( 3;4 ) = ; v v 3 4 = = 3;4 = ; Pedagogická pozámka: Slšý chaos můžete ve třídě vyvolat pokd kážete a tabli, že vektor v má být pětkrát meší, existjí tedy dvě řešeí pro k ; 5 5 a apíšete v = a v =. Někteří stdeti se přestao orietovat, že ejde o složky, ale o celé vektory a totálě zpaikaří. Př. 8: Najdi vektor w, který je rovoběžý s vektorem = ( 3;4) a jehož velikost je 0. Spočítáme velikost vektor : = + = = 5 Vektor w má mít velikost 0 msí být krát větší w = = 3;4 = 6;8 Máme dva vektory a, b v roviě. Co získáme, když bdeme vyrábět jejich všechy možé lieárí kombiace? a b Získáme všechy vektory v roviě. Co vlastě zameá, že vektor má sořadice = ( ; )? 5

6 y 4 e y - e x 4 x - Sořadice vektor jso vlastě koeficiety lieárí kombiace, ktero sestavíme teto vektor pomocí jedotkových vektorů ve směrech sořadých os. Př. 9: Petáková: straa 99/cvičeí 5 straa 00/cvičeí 8 straa 00/cvičeí 9 straa 00/cvičeí 0 Shrtí: Při ásobeí vektor číslem se měí jeho velikost avzájem rovoběžé vektory jso svými ásobky. 6