Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Transkript

1 V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby a jiý objekt B lze vybrat způsoby, poto výběr buď A ebo B je ožé provést + způsoby. pravidlo součiu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby a jestliže po každé takové výběru lze jiý objekt B vybrat způsoby, poto výběr A a zároveň B je ožé provést. způsoby. Uvaže ásledující postup výběru předětů z ožiy obsahující koečý počet plě od sebe rozezatelých předětů. Mechaisus výběru: Je dáa ožia M obsahující růzých prvků. Z ožiy M vyberee jede prvek a odložíe ho straou, za í vyberee další a odložíe vedle prvího, atd, až jich vyberee celke k; 0 k. Z vybraých prvků straou se stala k-tice. Zdůrazěe: vybraé prvky evracíe. Zajíá ás: 1) Kolik růzých uspořádaých k-tic (rozezáváe pořadí prvků) ůžee takto dostat? 2) Kolik růzých euspořádaých k-tic (erozezáváe pořadí prvků) ůžee takto dostat? Defiice: Uspořádaá k-tice z prvků se azývá variace k-té třídy z prvků a jejich počet se začí V(k,). Uspořádaá -tice z prvků se azývá perutace z prvků a jejich počet se začí P(). Perutace je zvláští případ variace P() = V(,). Neuspořádaá k-tice z prvků se azývá kobiace k-té třídy z prvků a jejich počet se začí K(k,). Pozáka: Neuspořádaé k-tice z prvků jsou vlastě podožiy o k prvcích získaé z ožiy obsahující prvků. Věta vzorců o počtech: Počet variací k-té třídy z prvků je V(k,) =.(-1).(-2)...(-k+1) Počet perutací z prvků je P() = V(,) =! Počet kobiací k-té třídy z prvků je K(k,) = V(k,)/P(k) = ( k)

2 Úkol: U ásledujících příkladů určete, zda se jedá o perutace, kobiace ebo variace: a) Toáš, Hoza, Věra si podávají ruku. Kolik bude podáí ruky? b) Pravidelý osiúhelík á vrcholy K, L, M, N, O, P, Q, R. Kolik existuje trojúhelíků, které ají vrchol ve vrcholech osiúhelíka. c) Karel, Pavel, Duša, Eva a Karla běží závod a 100. Kolika způsoby je ožé sestavit trojici vítězů, které budou stát a stupi vítězů? d) S připoíkai k avrhovaéu zákou chce v parlaetu vystoupit 5 poslaců. Určete počet všech ožých pořadí vystoupeí jedotlivých poslaců. e) Kolika způsoby ohou Petr, Karel, Zdeěk, Fratišek a Duša ráo a táboře astoupit do řady? f) Kolika způsoby je ožé sestavit vlajku, která á být složea ze tří růzobarevých pruhů, áe-li k dispozici barvu zeleou, čerou, žlutou, fialovou, bílou? g) Kolika způsoby je ožé sestavit vlajku, která á být složea ze tří růzobarevých pruhů, áe-li k dispozici barvu zeleou, čerou, žlutou? odpověď: a) kobiace ( 3 2) = 3; b) kobiace ( 8 3) = 56; c) variace = 60; d) perutace 5! = 120; e) perutace 5! = 120; f) variace = 60; g) perutace 3! = 6; Příklad 1: Kolik přirozeých čísel větších ež 3000 lze vytvořit z cifer 1,2,3,4, jestliže se žádá cifra esí opakovat? Řešte a) ituitivě, b) vzorci (perutace, kobiace, variace) Příklad 2: Kolik příek je určeo 10 body, jestliže a) žádé tři z ich eleží v jedé příce b) právě čtyři leží v jedé příce Příklad 3: V roviě jsou dáy dvě růzé rovoběžé příky a, b. Na příce a leží růzých bodů, a příce b růzých bodů. Určete počet všech (edegeerovaých) trojúhelíků, které ají tři vrcholy v uvedeých bodech dvěa růzýi způsoby. Příklad 4: Kolika způsoby lze rozdat 52 karet ezi 4 hráče, aby a) v listu 1. hráče byla právě 4 srdce b) hráč č. 1 a 3 ěli dohroady všechy krále

3 Příklad 5: Ve třídě se vyučuje 11 předětů. Kolik růzých rozvrhů a podělí je ožé sestavit, když se v podělí vyučuje 6 hodi a každý předět ůže ít ejvýše jedu hodiu. Příklad 6: Karel á 4 kihy v češtiě a 3 v agličtiě a všechy ají ázev začíající a jié píseo. Kolika způsoby je ůže uístit do kihovy a) bez ladu b) tak, aby byly zleva ejprve kihy v češtiě, a pak v agličtiě c) tak, aby byly seřazey podle abecedy Příklad 7: Do taečího kurzu dochází 15 chlapců a 24 dívek. Kolik taečích párů je ožé sestavit? Určete dvěa způsoby. Příklad 8: V lavici je 5 žáků A,B,C,D,E. Kolika způsoby je ůžee přesadit a) vůbec b) A bude sedět a kraji c) B, C budou sedět vedle sebe d) C a kraji a A, D vedle sebe Příklad 9: Kolik á -úhelík úhlopříček? >3 Příklad 10: Kolika způsoby lze seřadit 10 lidí a) do řady, b) do kruhu? Kolika způsoby lze seřadit 5 chlapců a 5 dívek c) do řady d) do kruhu, aby vedle sebe ebyli dva jedici stejého pohlaví?

4 Příklad 11: a) Kolika způsoby lze vybrat 5 karet do listu z balíčku 52 karet? b) Kolika způsoby lze vybrat 5 karet stejé barvy z balíčku 52 karet? Příklad 12: Kolik čtyřciferých čísel eších ež 4000 lze utvořit z cifer 1,3,5,7,9, eají-li se cifry opakovat? Příklad 13: Kolika způsoby lze ze šachovice vybrat 3 pole tak, aby eěla všecha tři stejou barvu? Příklad 14: Na večírku při slavostí přípitku si všech 10 přítoých přiťuklo každý s každý. Kolikrát zazělo cikutí skleiček? Příklad 15: Deset přátel si při odchodu a prázdiy slíbilo poslat vzájeě pohledice z cest. Kolik pohledic bylo celke rozesláo? Následující příklady jsou taková upoutávka a to, co ás čeká v další kapitole. Pokuste se je vyřešit sai, ať áte být a co hrdí. V další kapitole ajdete a porováí. Příklad 16: Město čtvercového půdorysu je vyezeo 5 ulicei od jihu k severu a 6 ulicei od západu a východ. Kolik cest existuje ezi jihozápadí rohe A a severovýchodí rohe B, sí-li se chodit je a východ a a sever? Příklad 17: Kolika způsoby lze rozdělit 40 jablek ezi 3 děti?

5 Příklad 18: Aražér á do výlohy uístit tři stejé svetry bílé, dva stejé svetry odré a čtyři stejé svetry červeé. Pro svetry si vybral potřebých 9 íst. Kolika způsoby ůže svetry a tato ísta uístit? ŘEŠENÍ Řešeí příkladu 1: čísla jsou založea a pozičí systéu, a tedy záleží a pořadí a) čtyřciferé číslo = čtyři pozice Aby vziklo čtyřciferé číslo z cifer 1,2,3,4 větší ež 3000, sí být a 1. ístě je 3 ebo 4; a ostatích ístech je to jedo. Na 1. ístě áe 2 ožostí a 2. ístě už je 3 ožostí, atd = 12 b) Záleží a pořadí a spotřebujee všechy prvky, jde o perutace Všech ožostí jak uspořádat 4 prvky ze čtyř je P(4). Do tohoto počtu jsou zahruty i ta čísla, která začíají 1, což evyhovuje zadáí a usíe je odečíst. 1 a začátku představuje tolik trojciferých čísel, které se dají vytvořit ze tří cifer 2,3,4 a těch je P(3). Stejě usíe odečíst čtyřciferá čísla, která začíají a 2. Celke jde tedy o P(4) 2.P(3) = 4! 2.3! = 12 čísel Řešeí příkladu 2: příka je určea dvěa body a ezáleží a pořadí, jde o kobiace a) K(2,10) = ( 10 2) = 45 b) čtyři body a jedé příce vytvářejí stále jedu příku, ale v předchozí případě jsou započítáy v počtu K(2,4) = ( 4 2) = 6 a usíe je odečíst; ale pozor, tu jedu, kterou vytvářejí, započítat usíe K(2,10) K(2,4) + 1 = = 40 Řešeí příkladu 3: trojúhelík je defiová třei ekolieáríi (eleží a jedé příce) body; ezáleží a pořadí, tedy jde o kobiace a) z (+) bodů lze vytvořit ( + 3) trojúhelíků; ale ěkteré z ich jsou degeerovaé (pouze úsečky, ejsou to trojúhelíky) a to vždy, když 3 body jsou vybráy pouze z příky a, resp. b. Takových je a příce a celke ( 3) a a příce b celke ( 3). Celke trojúhelíků dle zadáí je ( + 3) ( 3) ( 3)

6 b) Aby vzikl trojúhelík a e je úsečka, usíe vybírat jede bod z příky a a dva z b resp. jede bod z příky b a dva z a jede z příky a je ožé vybrat způsoby a dva z příky b ( 2) způsoby jede z příky b je ožé vybrat způsoby a dva z příky a ( 2) způsoby za použití pravidla součiu a součtu dospějee k výsledku.( 2) +.( 2) Jde o vyjádřeí stejého počtu, tedy usí platit ( + 3) ( 3) ( 3) =.( 2) +.( 2) převeďe odčítáí a druhou strau rovosti ( + 3) = ( 3) +.( 2) +.( 2) + ( 3) a užije záé vlastosti kobiačích čísel ( x 0) = 1 a ( x 1) = x; dostaee teto vztah, který lze zobecit z 3 a k ( + 3) = ( 0)( 3) + ( 1)( 2) + ( 2)( 1) + ( 3)( 0) Je-li 0 k,, pak platí k 0 k 1 k 1... k 1 1 k 0 Řešeí příkladu 4: karetí list: ezáleží a pořadí rozdáí, kobiace; dále použijee pravidla součiu; hráči jsou přede očíslovái, s těi se již žádé záěy edělají a) 1.hráč dostae 4 srdce ze 13 a z 39 esrdcí zbývajících 9 karet (do 13) 2.hráč pak ze zbytku 39 karet svých 13 3.hráč ze zbytku 26 karet svých 13 4.hráč ze zbytku 13 karet svých 13 ( 13 4)( 39 9) ( 39 13) ( 26 13) ( 13 13) b) vezee 4 krále ze 4 a k i dalších 22 karet ze zbývajících 48 z této hroádky pak vyberee 1. hráči 13 karet z 26 a 3. hráči 13 z 13 a zbývajících 26 karet rozdáe ezi 2. a 4. hráče ( 4 4)( 48 22) ( 26 13)( 13 13) ( 26 13)( 13 13) Řešeí příkladu 5: vyučovací hodiy jsou uspořádáy, 6 hodi a 11 předětů, tedy jde o variace V(6,11) = =

7 Řešeí příkladu 6: a) 7 rozlišitelých kih a 7 íst, záleží a pořadí, tedy perutace P(7) = 7! b) použijee pravidlo součiu: v češtiě P(4), v agličtiě P(3), celke P(4)P(3)=4!3! c) každý ázev začíá jiý písee, tí je uspřádáí určeo => jediá ožost Řešeí příkladu 7: a) v taečí páru a pozici páa áe 15 ožostí, a pozici dáy 24, celke tedy ožostí b) áe celke 39 lidí; taečí pár představuje 2 lidi a ezáleží a pořadí (Aa+Karel je týž pár jako Karel+Aa); z 39 lidí vybrat 2 je ( 39 2) ožostí, ale usíe odečíst páry stejého pohlaví, tedy ( 39 2) ( 24 2) ( 15 2) = ( 24 1)( 15 1) = opět tu áe vztah ( ) = ( 15 0)( 24 2) + ( 24 1)( 15 1) + ( 15 2) ( 24 0) Řešeí příkladu 8: a) 5 žáků, 5 pozic, záleží a pořadí, perutace P(5) = 5! b) A ůže sedět vlevo ebo vpravo, když ho usadíe, zbývá 4 pozice a 4 žáky 2P(4)=2.4! c) žáky B a C ůžee posadit jako BC ebo CB, tedy 2 způsoby a dál s ii ůžee pracovat jako s jedí prvke: áe 4 žáky A, BC, D, E a 4 ísta 2P(4)=2.4! d) žáka C ůžee posadit 2 způsoby, žáky A,D 2 způsoby vedle sebe a dál s ii počítat jako s jedí prvke, výsledek 2.2P(3) = 2.2.3! Řešeí příkladu 9: Spojice dvou vrcholů -úhelíka je buď úhlopříčka, ebo straa. Stra je celke. Vyberee-li 2 body z vrcholů, ezáleží a pořadí, získáe všechy ožé dvojice. Počet úhlopříček pak určuje rozdíl ( 2) = (-3)/2 Odsud je záý vzorec počet úhlopříček je dá vzorce (-3)/2.

8 Řešeí příkladu 10: a) 10 rozlišitelých lidí seřadíe do 10 ísté řady (perutace) P(10)=10! b) Jestliže těchto 10 lidí (obecě ) posadíe ke kulatéu stolu, je rozlišitelé pouze koho kdo á po levici a po pravici. Proto v řadě růzá seřazeí ABCDEFGHIJ, BCDEFGHIJA, EFGHIJABCD, atd v kruhu dávají jedié; těchto protočeí (A zleva až akoec vpravo, atd) je přesě tolik, kolik je účastíků tedy 10 (obecě ). Celkový počet způsobů seřazeí do kruhu tedy je P(10)/10=10!/10=9! obecě P()/=P(-1)=(-1)! c) Očísluje si pozice v řadě od 1 do 10. Aby ikde ebyli vedle sebe dva chlapci či dvě dívky, zařídíe jedoduše tak, že budee chlapce rozisťovat a lichá (sudá) čísla a dívky a sudá (lichá) čísla to představuje 2 ožosti. Uístit 5 chlapců (5 dívek) a 5 íst, záleží a pořadí, představuje perutaci P(5). Celke ožostí jak uspořádat do řady 5 chlapců a 5 dívek aiž by spolu sousedilo stejé pohlaví je 2.P(5).P(5) = 2.5!.5! d) ad c) ale do kruhu; s odvoláí a ad b) je celkový počet ožostí ad c) děleo 10 2.P(5).P(5)/10 = 2.5!.5!/10 = 5!.4! Řešeí příkladu 11: Vybírat karty z balíčku karet do listu (tak se to obvykle yslí) ezáleží a pořadí a jde tedy o kobiace. V prví případě jde o K(5.52) = ( 52 5) v druhé případě vybíráe z karet stejé barvy, zato áe 4 ožosti jak stejou barvu zvolit 4.K(5,13) = 4.( 13 5) Řešeí příkladu 12: Jde o 4 ísta z pěti prvků a záleží a uspořádáí, variace. Buď uvažujee, že a 1. pozici usí být je číslice 1,3 a zbytek je už libovolý, ebo určíe všechy čtyřciferá čísla a odečtee ty, které začíají a 5,7,9. 2.V(3,4) = V(4,5) - 3.V(3,4) Řešeí příkladu 13: Vybrat ze šachovice 3 pole => ezáleží a pořadí, tedy kobiace. Buď vyberee z bílých (z čerých) polí jedo pole a z čerých (z bílých) dvě pole, ebo budee postupovat tak, že z celé šachovice vyberee 3 pole a pak odečtee evhodé výběry = všechy trojice stejé barvy opět se objevuje záý vzorec 2.( 32 1)( 32 2) = ( 64 3) 2.( 32 3)

9 rozepište sai ( ) = ( 32 0)( 32 3) + Řešeí příkladu 14: Když si A ťukl s B, bylo to zároveň B s A. Nezáleží a pořadí, jde o kobiace ( 10 2) = 45 Řešeí příkladu 15: když A pošle pohledici B eí to totéž, jako B posílá A. Záleží a pořadí, variace. V(9,10) = 10.9 = 90 KONEC