1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava 1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Literatura: (1)Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Skriptum ČVUT, Praha 1995. (2)Piska, R. - Medek, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1967. (3)Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1965. (4)Dudková, K.- Hamříková, R.: Kuželosečky, kolineace. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2005. Odkaz: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/kongo/prednaska/promitani/promitani.html Pojmy: rovnoběžné promítání, průmětna, směr promítání, nevlastní bod, nevlastní přímka, nevlastní rovina, rozšířený euklidovský prostor, průmět, promítací přímka, promítací rovina, stopník, stopa, kolmé promítání, souřadnice, souřadnicová rovina, afinita, osa afinity, směr afinity, samodružné bod. Promítání je zobrazení prostoru E 3 do jeho libovolné roviny π (E 2 )- tzv.průmětny. Rovnoběžné (paralelní) promítání zadáme průmětnou π a směrem s, kde s π a označíme (π, s ). Při úvahách o vlastnostech promítání nevystačíme v některých případech s euklidovským prostorem E 3, a proto zavedeme pojem rozšířený euklidovský prostor. 1.1 Rozšířený euklidovský prostor Nevlastním bodem ( neboli směrem ) označujeme společný bod soustavy navzájem rovnoběžných vlastních přímek. Euklidovskou přímku E 1 doplněnou o její nevlastní bod U nazveme E. rozšířenou euklidovskou přímkou a označíme 1 Nevlastní přímkou ( neboli zaměřením ) označujeme společnou přímku soustavy navzájem rovnoběžných vlastních rovin. Euklidovskou rovinu E 2 doplněnou o její nevlastní přímku u nazveme rozšířenou euklidovskou rovinou a označíme E 2. Množinu nevlastních bodů všech přímek prostoru E 3 nazýváme nevlastní rovinou a označíme ji σ. Rozšířený euklidovský prostor je potom E 3 = E 3 σ. Příklad 1.1.1 Určete rovinu procházející přímkou p a nevlastním bodem B. - 1 -

Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava Zavedením nevlastních prvků bodu, přímky, roviny jsme dosáhli zrušení zvláštního postavení rovnoběžných útvarů. Odpadá řada výjimek, které bylo nutné uvádět. Můžeme nyní říci, že: Dvě přímky ležící v téže rovině mají společný bod nebo větu: Tři roviny neprocházející touž přímkou určují vždy jeden bod. 1.2 Základní vlastnosti rovnoběžného promítání (1) Rovnoběžné (paralelní) promítání je určeno průmětnou π a směrem s, který není rovnoběžný s průmětnou. (2) Průmětem libovolného bodu A E3 je bod A π, A = s A π, kde s A je promítací přímka bodu A. (3) Průmětem přímky a // s, resp. b // s je bod a = a π, resp. přímka b π. Bod b b = P = P se nazývá stopníkem přímky b. Rovina σ b = ( s A, b) je promítací rovinou přímky b. Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou buď dva různé body ( a // b // s ) nebo jedna přímka ( σ a = σ b ) nebo dvě rovnoběžné přímky. Paralelní promítání tedy zachovává rovnoběžnost. α // s nebo celá průmětna. (4) Průmětem roviny je buď přímka ( ) α Průsečnice p = π α se nazývá stopou roviny α. (5) Promítání ( π, s) zachovává střed úsečky. (6) Je-li s π, nazýváme rovnoběžné promítání ( π, s) kolmým ( pravoúhlým ) promítáním. Průmět úsečky AB, neležící na promítací přímce, je úsečka A B. V pravoúhlém,, π, s platí: A B = AB cosϕ, kde ϕ je odchylka přímky AB od průmětny π. promítání ( ) Je tedy vždy, A B, AB. π je pravoúhlé promítání a AVB je pravý úhel. Předpokládejme, že žádné z ramen pravého úhlu AVB není kolmé k průmětně. Průmětem pravého úhlu AVB je pravý úhel právě tehdy, když aspoň jedno rameno úhlu AVB je rovnoběžné s průmětnou. (7) Nechť (, s) 1.3 Souřadnice bodu v rovině a v prostoru Pravoúhlý souřadnicový systém (kladný a záporný v rovině, pravo- a levotočivý v prostoru). 1.4 Rovnoběžný průmět tělesa - 2 -

Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava U - těleso, k - skutečný obrys tělesa, k / - zdánlivý obrys tělesa ( průmět skutečného obrysu ), U / - průmět tělesa, κ - promítací plocha tělesa 1.5 Osová afinita v rovině Odkaz: http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/uvoddopromitani/uvoddopromitani.html#rovnobeznepromitani Osová afinita v rovině je zobrazení, které lze získat vhodným rovnoběžným průmětem osové afinity mezi dvěma rovinami do dané třetí roviny. Osová afinita mezi dvěma rovinami je zvláštní případ rovnoběžného promítání, které bodům jedné roviny přiřadí body druhé roviny takto: - 3 -

Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava Směr s promítání je současně směrem afinity, průsečnice o (může být i nevlastní) daných rovin α,α' je tzv. osa afinity. Osovou afinitu v rovině pak získáme vhodným rovnoběžným promítnutím osové afinity mezi dvěma rovinami do dané třetí roviny. Základní pojmy a vlastnosti osové afinity: o o o o o osová afinita v rovině je nejčastěji dána jednou dvojicí odpovídajících si bodů A,A' a osou o; je-li směr s kolmý k ose o, nazývá se taková afinita pravoúhlá (kolmá); odpovídající si body leží na přímkách, které jsou rovnoběžné se směrem s afinity, odpovídající si přímky se protínají na ose o afinity v tzv. samodružných bodech; osová afinita zachovává rovnoběžnost a dělicí poměr (střed úsečky). Kolmou afinitu využíváme při otáčení roviny do průmětny jak v Mongeově promítání, tak v kolmé axonometrii. Příklad: Afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů A, A. Dále je dán bod M a přímka p. Najděte k nim odpovídající protějšky M a p. - 4 -

Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava Řešení: Bod X volím vhodně na dané přímce p. - 5 -

Přednáška 2 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 2 Mongeova projekce Literatura: Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 3, Mongeovo promítání. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1997 Plocková, E. - Řehák, M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 3, Základy Mongeova promítání. Skriptum VŠB- TU, Ostrava 1994 Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, Praha 1995. Piska, R. - Medek, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1967. Urban A.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1965 Gardavská, E.: Základní úlohy z deskriptivní a konstruktivní geometrie. Ostrava, VŠB - TU 2005 Elektronické studijní materiály - http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/mongeovopromitani/mongeovopromitani.html Pojmy: půdorysna, nárysna, základnice, sdružené průměty, půdorysný a nárysný stopník, půdorysná a nárysná stopa, horizontální a frontální hlavní přímky, rovina souměrnosti a totožnosti, spádová přímka vzhledem k půdorysně, resp.nárysně Mongeovo promítání představuje dvě pravoúhlá promítání se dvěma navzájem kolmými průmětnami: půdorysnou π a nárysnou ν. Jejich průsečnici x = π ν nazýváme základnicí. Nákresnu ztotožníme s nárysnou, do které otočíme i půdorysnu. Říkáme, že jsme průmětny sdružili. 2.1 Průmět bodu Bodu A E3 přiřadíme uspořádanou dvojici [ A1, A 2 ] bodů roviny ν, kde A1 je půdorys a A2 nárys bodu A, nebo-li sdružené průměty bodu A. Je-li A1 A2, je přímka A 1 A 2 x. Polohu bodu v prostoru popisujeme pomocí jeho souřadnic ve zvolené kartézské soustavě souřadnic, viz. obrázek. 2.2 Průmět přímky Půdorysem, resp. nárysem přímky je přímka nebo bod. Má-li přímka obecnou polohu vzhledem k průmětnám, pak bod P = p π je půdorysným stopníkem, N = p ν je nárysným stopníkem. - 1 -

Přednáška 2 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 2.3 Dvojice přímek Přímky, které neleží v jedné promítací rovině, jsou různoběžné právě tehdy, když spojnice průsečíků stejných průmětů přímek je kolmá k základnici. Přímky, které nejsou kolmé k základnici, jsou rovnoběžné právě tehdy, když nastane jedna z možností: obě přímky jsou půdorysně nebo nárysně promítací nebo stejné průměty přímek jsou rovnoběžné. Polohu přímek kolmých k základnici z průmětů přímo nepoznáme. V ostatních případech jsou přímky mimoběžné. 2.4 Průmět roviny Půdorysem i nárysem roviny, která není promítací rovinou, je celá průmětna. Je-li rovina půdorysně, resp. nárysně promítací, je jejím půdorysem, resp. nárysem přímka. Průsečnice roviny s půdorysnou, resp. s nárysnou je půdorysná, resp. nárysná stopa roviny, značíme je p α, n α. Stopy roviny se protínají na základnici nebo jsou s ní rovnoběžné. Roviny půlící pravý úhel mezi půdorysnou a nárysnou jsou dvě navzájem kolmé roviny, viz. obrázek, rovina souměrnosti σ a rovina totožnosti τ. Poznámka Neprochází-li rovina počátkem souřadnic, můžeme ji zadat velikostmi orientovaných úseků, které vytíná na osách souřadnic: ρ = (a,b,c). Je-li s některou osou rovnoběžná, nahrazujeme úsek symbolem,ρ = (2,-5, ). 2.5 Přímka v rovině Leží-li přímka v rovině, leží její půdorysný stopník na půdorysné stopě roviny a její nárysný stopník na nárysné stopě roviny. - 2 -

Přednáška 2 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 2.5.1 Příklad Sestrojme stopy roviny určené přímkou a a bodem A. 2.6 Hlavní přímky roviny Přímky roviny ρ, které jsou rovnoběžné s půdorysnou, resp. nárysnou, nazýváme horizontálními, resp. frontálními hlavními přímkami roviny ρ (někdy také hlavní přímky první, resp. druhé osnovy). 2.7 Spádové přímky roviny Přímky roviny ρ, které jsou kolmé na horizontální, resp. frontální hlavní přímky, nazýváme spádovými přímkami vzhledem k půdorysně, resp. nárysně. 2.8 Bod v rovině K tomu, aby daný bod M ležel v rovině ρ je nutné a stačí, aby v rovině ρ existovala přímka, na které daný bod leží. Touto přímkou může být hlavní přímka roviny. 2.8.1 Příklad Zjistěte, zda bod A leží v rovině ρ, určete nárys bodu C a půdorys bodu B tak, aby tyto body ležely v rovině ρ. - 3 -

Přednáška 2 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 2.9 Základní úlohy v Mongeově promítání (polohové úlohy) 1. Bodem vést rovnoběžku s danou přímkou 2. Průsečnice dvou rovin 3. Bodem vést rovinu rovnoběžnou s danou rovinou 4. Průsečík přímky s rovinou - 4 -

Přednáška 3 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 3.9 Základní úlohy v Mongeově promítání (metrické úlohy) 1. Kolmice k rovině 2. Rovina kolmá k přímce 3. Skutečná velikost úsečky, odchylka přímky od průmětny 4. Otáčení roviny http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/mongeovopromitani/metrickeulohy/otaceniroviny/otaceniroviny.html 3.9.1 Příklad Otočte bod A, který leží v rovině ρ, do půdorysny. [ρ (8; 9; 10), A (-1;?; 4)] - - 1

Přednáška 3 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 3.9.2 Vlastnosti otáčení (je to kolmá afinita): 1. Všechny body na ose otáčení jsou samodružné. 2. Původní a otočená přímka se protnou na ose otáčení, pokud s ní nejsou rovnoběžné. 3. Spojnice původního bodu a jeho otočeného protějšku leží na kolmici k ose otáčení. 4. Otáčení zachovává rovnoběžnost. 5. Otáčení zachovává dělicí poměr (střed úsečky zůstává středem otočené úsečky). 3.10 Kružnice v Mongeově promítání http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/mongeovopromitani/zobrazenikruznice/zobrazenikruznice.html v rovině rovnoběžné s průmětnou v půdorysně nebo nárysně promítací rovině, která není rovnoběžná s žádnou z průměten v obecné rovině 3.10.1 Příklad Sestrojte průměty kružnice k (S,r = 3,5 cm), která leží v obecné rovině ρ. - - 2

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 4 Pravoúhlá axonometrie Literatura: (1) Poláček, J.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4, Pravoúhlá axonometrie. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1996 (2) Stejskalová, J. Vrbenská, H.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 4, Axonometrická projekce. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1995 (3) Gardavská, E.: Základní úlohy z deskriptivní a konstruktivní geometrie. Ostrava, VŠB -TU 2005 Elektronické studijní materiály - http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/pravouhlaaxonometrie/pravouhlaaxonometrie.html Pojmy: axonometrická průmětna, axonometrický průmět, axonometrický půdorys, axonometrický trojúhelník, axonometrické jednotky, trimetrie, dimetrie, izometrie Kótované a Mongeovo promítání má řadu výhod -především snadné řešení metrických úloh. Nevýhodou je malá názornost těchto zobrazovacích metod. Vhodným názorným zobrazením je axonometrie. 4.1 Princip zobrazení Zvolíme svislou rovinu α - axonometrickou průmětnu, kterou ztotožníme s nákresnou, viz. obrázek. Pro vzájemnou jednoznačnost zobrazení zvolíme ještě pomocnou průmětnu π kosou k axonometrické průmětně α. Libovolný bod A prostoru E3 promítneme kolmo v promítání (π, s ) do pomocné průmětny π - dostaneme bod A. Oba body A a A pak promítneme v kolmém promítání (α,s ) do axonometrické průmětny α. Dostaneme body A a a 1 - axonometrický průmět bodu A a axonometrický půdorys bodu A. Axonometrie je tedy zobrazení bodů [, 1] a A a E 3 α α. Bod A prostoru je tedy zobrazen do uspořádané dvojice A nákresny α. Oba tyto body leží na kolmici (ordinále) k průsečnici p obou průměten. A a 4.2 Základní vztahy a vlastnosti Pravoúhlou souřadnicovou soustavu pro zadávání bodů umístíme tak, že osy x a y leží v pomocné průmětně π, počátek soustavy O neleží v axonometrické průmětně α a žádná z os není s axonometrickou průmětnou rovnoběžná, viz. obrázek. Souřadnicové osy x, y a z protínají postupně axonometrickou průmětnu α v bodech X, Y a Z. Trojúhelník XYZ nazveme axonometrický trojúhelník. Úmluva Budeme používat levotočivou souřadnicovou soustavu. - 1 -

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Souřadnicové osy určují postupně tyto pomocné průmětny: π = xy půdorysna ν = xz nárysna µ = yz bokorysna Průsečnice pomocných průměten s axonometrickou průmětnou jsou postupně přímky p = XY, n = XZ, m = YZ a jsou to axonometrické stopy pomocných průměten. Místo axonometrického půdorysu lze též použít axonometrického nárysu nebo bokorysu. - 2 -

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Axonometrické průměty souřadnicových os jsou přímky x a, y a a z a, které prochází průmětem počátku O a a vrcholy X, Y, Z axonometrického trojúhelníka. Přímky x a, y a a z a tvoří axonometrický osový kříž. Platí: Věta 4.2.1 Axonometrický trojúhelník je vždy ostroúhlý. Věta 4.2.2 Axonometrický osový kříž je tvořen výškami axonometrického trojúhelníka. Věta 4.2.3 Jsou-li dány tři přímky, které procházejí jediným bodem tak, že každá z nich prochází tupým úhlem zbývajících dvou, pak existují dvě pravoúhlé axonometrie, pro něž jsou dané přímky axonometrickým osovým křížem ( nadhled nebo podhled ). - 3 -

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Úmluva V dalším textu předpokládáme, že axonometrie je nadhled. Index a v popisu axonometrických průmětů budeme dále vynechávat. Axonometrie je jednoznačně určena buď axonometrickým trojúhelníkem nebo axonometrickým osovým křížem. Axonometrický trojúhelník budeme označovat (a;b;c), kde a = XY, b = YZ, c = ZX. 4.3 Jednotky na osách Úsečky na osách x, y, z se v pravoúhlé axonometrii zkracují, zkrácené jednotky j x, j y, j z pak nazýváme axonometrické jednotky. Pokud mají všechny tři různou délku, jde o trimetrii, pokud je axonometrický trojúhelník rovnoramenný (některé ze dvou axonometrických jednotek jsou shodné), jde o dimetrii, v případě rovnostranného axonometrického trojúhelníka jde o izometrii ( j x = j y = j z ). Příklad 4.3.1 Axonometrie je dána axonometrickým trojúhelníkem (7,9,8). Sestrojte axonometrické jednotky na osách. - 4 -

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 4.4 Průmět bodu 4.4.1 Příklad Zobrazte bod A(5; 6; 7) v axonometrii (8; 10; 9). 4.5 Průmět přímky Axonometrický průmět: přímky kolmé k axonometrické průmětně ( je to axonometricky promítací přímka ) je bod. ostatních přímek je přímka. Přímka může mít až čtyři stopníky: půdorysný P, nárysný N, bokorysný M a axonometrický R, viz. obrázek. Průměty přímek ve zvláštních polohách viz. obrázek. 4.6 Průmět roviny Axonometrický průmět: roviny kolmé k axonometrické průmětně (je to axonometricky promítací rovina) je přímka. ostatních rovin je celá axonometrická průmětna. Rovina ρ může mít až čtyři stopy: - 5 -

Přednáška 4 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava půdorysnou p ρ, nárysnou n ρ, bokorysnou m ρ a axonometrickou r ρ, viz. obrázek. Průměty rovin ve zvláštních polohách viz. obrázek. 4.6.1 Příklad Sestrojte stopy roviny a) ρ = ABC. b) ρ ( -1, 3, 6) v axonometrii (8, 9, 7). 4.7 Hlavní přímky roviny Hlavní přímka první (druhé, třetí) osnovy je rovnoběžná s některou z pomocných průměten π, ν nebo µ, viz. obrázek. 4.8 Dvojice přímek Průměty rovnoběžek, různoběžek a mimoběžek viz. obrázek. 4.9 Zářezová metoda - mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/pravouhlaaxonometrie/zarezovametoda/zarezovametoda.html Při sestrojování axonometrického průmětu objektu daného půdorysem a nárysem můžeme použít zářezovou metodu, kterou popíšeme podle následujícího obrázku. - 6 -

Přednáška 5 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 5 Pravoúhlá axonometrie - základní úlohy. Útvar v souřadnicové rovině a v rovině s ní rovnoběžné. 5.1 Základní úlohy v kolmé axonometrii 1. Bodem veďte rovnoběžku s danou přímkou. 2. Bodem veďte rovinu rovnoběžnou s danou rovinou. 3. Průsečnice dvou rovin - http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/pravouhlaaxonometrie/prusecnicerovin/prusecnicerovin.html 4. Průsečík přímky a roviny http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/pravouhlaaxonometrie/prusecikprimkarovina/prusecikprimkarovina.html 5. Otáčení pomocných průměten do axonometrické průmětny (řešení metrických úloh v pomocných průmětnách nebo rovinách s nimi rovnoběžných). 5.1.1 Příklad V kolmé axonometrii ( 12; 10; 11) sestrojte v půdorysně čtverec se středem S a vrcholem A. [ S( 4; 3; 0), A(1; 3,5 ; 0) ] Pravoúhlý průmět kružnice 5.2 Kružnice v kolmé axonometrii - http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/zobrazovacimetody/pravouhlaaxonometrie/zobrazenikruznice/zobrazenikruznice.html Axonometrickým průmětem kružnice, která leží v některé z pomocných průměten, je elipsa. Z průměrů kružnice se ve skutečné velikosti promítá ten, který je rovnoběžný s axonometrickou průmětnou, tzn. je rovnoběžný s příslušnou stranou axonometrického trojúhelníka. 5.2.1 Příklad V axonometrii dané osovým křížem zobrazte kružnici k(s,r), která leží v půdorysně. 1

Přednáška 5 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Kružnice v rovině rovnoběžné s bokorysnou 5.2.2 Příklad V rovině ρ(9; ; ) sestrojte kružnici o středu S(9; 7; 6) a poloměru r = 5.. 5.4 Otáčení pomocné průmětny do axonometrické průmětny Viz. Jednotky na osách příklad 4.3.1 5.4.1 Příklad V axonometrii (7; 8; 9) sestrojte čtverec ležící v půdorysně, je-li S jeho střed a A jeho vrchol. [ S (7; 5; 0 ), A (9; 1; 0 )] 2

Přednáška 5 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 3

Přednáška 6 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 6 Osvětlení Elektronické studijní materiály - http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/aplikace/osvetleni/osvetleni.html Pojmy: středové a rovnoběžné osvětlení, světelný paprsek, přímo osvětlená část, vržený stín, vlastní stín, mez vlastního stínu, mez vrženého stínu, metoda zpětných paprsků Chceme-li u technických výkresů zvýšit jejich názornost, pak k tomu použijeme osvětlování. Při osvětlování předpokládáme, že všechny geometrické útvary, tedy i body, jsou hmotné a neprůhledné. To znamená, že pokud takovým bodem A projde orientovaný světelný paprsek, ztratí svoji světelnou energii a říkáme, že bod A vrhá stín. 6.1 Středové a rovnoběžné osvětlení Podobně jako u promítání užíváme názvu středové osvětlení, pokud je zdroj světla bodem vlastním a rovnoběžné osvětlení, pokud je zdroj světla bodem nevlastním. Ve středovém osvětlení jsou světelnými paprsky polopřímky vycházející ze středu S osvětlení, v rovnoběžném osvětlení jsou pak světelnými paprsky přímky souhlasně orientované a rovnoběžné se směrem s osvětlení. Část objektu, na kterou mohou světelné paprsky dopadat, aniž by jim něco stálo v cestě, se nazývá přímo osvětlená část. Část objektu, na niž světelné paprsky nedopadnou, se nazývá vlastní stín objektu. Hranice mezi osvětlenou částí tělesa a vlastním stínem se nazývá mez vlastního stínu. Vržený stín meze vlastního stínu se nazývá mez vrženého stínu. Při zobrazení skupiny těles a jejich osvětlení sestrojujeme také stíny vržené jedním tělesem na druhé. Nejprve se ale sestrojí vržené stíny všech objektů na vhodnou rovinu (obvykle průmětnu). Pro určení vrženého stínu jednoho objektu na druhý užíváme postupu zvaného metoda zpětných světelných paprsků http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/aplikace/osvetleni/uvod/uvod.html 6.2 Rovnoběžné osvětlení Při rovnoběžném osvětlení je vrženým stínem bodu A na průmětnu stopník příslušného světelného paprsku. Vrženým stínem bodu A na libovolnou rovinu je průsečík příslušného světelného paprsku s touto rovinou. Nejčastěji používáme při konstrukcích vržených stínů pouček, které přímo vycházejí z vlastností rovnoběžného promítání (viz 1.přednáška): - 1 -

Přednáška 6 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 1) Protíná-li přímka a plochu Φ v bodě P, pak vržený stín přímky a na plochu Φ prochází bodem P. 2) Je-li přímka a s rovinou α rovnoběžná, pak je její stín vržený na rovinu α rovnoběžný s touto přímkou. 3) Vržené stíny přímky na roviny rovnoběžné jsou spolu rovnoběžné. 4) Kolmý průmět vrženého stínu přímky kolmé k průmětně je vždy rovnoběžný s průmětem směru světelných paprsků. 5) Mez vrženého stínu je vrženým stínem meze vlastního stínu. - 2 -

Přednáška 6 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava - 3 -

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 7 Křivky - vytvoření, rozdělení, tečna. Šroubovice. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2001 (2) Doležal, M. - Poláček, J. - Tůma, M.: Sbírka řešených příkladů z DG a KG, díl 5. - Rotační a šroubové plochy. Ostrava, VŠB TU 1995. http://mdg.vsb.cz/jdolezal/studopory/geometrie/krivky/sroubovice/sroubovice.html Pojmy: rovinná a prostorová křivka, matematická (analytická) a empirická(grafická) křivka, sečna, tečna, dotykový bod, asymptota, regulární a singulární bod, normála, binormála, tečná, oskulační, rektifikační a normálová rovina, Frenetův (průvodní) trojhran, rektifikace křivky, řídící kuželová plocha 7.1 Základní pojmy Křivka je dráha (trajektorie) bodu při spojitém pohybu. Je to nekonečná množina bodů závislá na jediném parametru. Dělení křivek: - podle umístění bodů v prostoru: rovinné prostorové - podle výtvarných zákonů: matematické (analytické) např. kuželosečky empirické (grafické) vrstevnice topografické plochy Definice: Sečna s je přímka procházející dvěma různými body A, T křivky k. Tečna t v bodě T je limitní poloha sečny AT pro A T. Asymptota je vlastní tečna v nevlastním bodě křivky. Regulární bod křivky je takový bod, v němž existuje jediná tečna, v ostatních případech je bod singulární. Normála n křivky k v bodě T je přímka kolmá k tečně v regulárním bodě T. 7.2 Rovinné křivky Rovinná matematická křivka má parametrické rovnice: x = x(t), y = y(t), t I, I R, např. elipsa: x = a.cos(t), y = b.sin(t), t 0,2π. Vyloučením parametru t dostaneme explicitní rovnici křivky y = f(x) nebo implicitní F(x,y) = 0. 1

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Dělení křivek podle tvaru rovnic: i k algebraické F( x, y) = aik x y = 0, 2 2 např. 4x 9y + 2xy = 0 transcendentní např. i, k y = cos(2x 5), y = e 3x 1 Stupeň algebraické křivky je nejvyšší exponent n = i+k v rovnici algebraické křivky. Rektifikace (rozvinutí) oblouku křivky znamená sestrojení úsečky stejné délky jako je délka rektifikovaného oblouku např. Kochaňskeho nebo Sobotkova rektifikace oblouku kružnice. 7.3 Prostorové křivky jsou ty křivky, jejichž body neleží v jedné rovině. Parametrické rovnice v pravoúhlé souřadnicové soustavě jsou ve tvaru: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I, I R. Prostorovou křivku lze také vyjádřit jako průsek tvou ploch: f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0, např. Vivianiho křivka je průnikem válcové a kulové plochy. 2

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Definice: ( v následujících definicích je T bodem prostorové křivky) Tečná rovina α v bodě T je každá rovina procházející tečnou t v bodě T křivky (tvoří svazek tečných rovin s osou t). Oskulační rovina τ v bodě T je limitní poloha tečné roviny α pro A T, kde A je bod křivky k a rovinyα. Normálová rovina ν v bodě T křivky k je kolmá k tečně a prochází bodem T. Normálou nazveme každou přímku normálové roviny, která prochází bodem T. Hlavní normála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála kolmá k oskulační rovině. Rektifikační rovina ρ je určená tečnou t a binormálou b v bodě T. Oskulační, normálová a rektifikační rovina jsou tedy navzájem kolmé roviny a tvoří Frenetův (průvodní nebo také doprovodný) trojhran křivky k v bodě T: Řídící kuželová plocha tečen Φ je tvořena tečnami t vedenými voleným bodem V rovnoběžně se všemi tečnami křivky.(viz. obrázek). Sklon křivky v bodě T je odchylka ϕ tečny t v bodě T prostorové křivky od průmětny. Spádem křivky v bodě T rozumíme tgϕ. Křivka konstantního spádu má pro všechny body T křivky k konstantní tgϕ a její řídící kuželová plocha je proto rotační. 7.4 Šroubovice Je dráha bodu, který je podroben šroubovému pohybu. 3

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Šroubový pohyb je složený ze dvou rovnoměrných pohybů: rotačního kolem přímky o osy šroubového pohybu posunutí ve směru osy o. Podle orientace rozlišujeme šroubový pohyb levotočivý nebo pravotočivý (viz. obrázek). Průmět šroubovice v Mongeově promítání Příklad 7.4.1 V Mongeově promítání sestrojte průmět části šroubovice, kterou vytváří bod A při pravotočivém šroubovém pohybu určeném osou o π, mezi body A a B. [ A (-3; 4; 0), B(-3; 4; 9), o 1 (0; 4) ] Řešení Všechny body šroubovice leží na rotační válcové ploše o poloměru r = v(a,o). Oba pohyby (posuvný a otáčivý) jsou rovnoměrné, proto otočení o úhel α = 2 π odpovídá posunutí o délku v = v(a, B). Číslo v nazveme výškou závitu. Redukovaná výška závitu v 0 je posunutí bodu A, které odpovídá otočení o úhel velikosti jeden radián. Z podobnosti trojúhelníků plyne: Kochaňskeho rektifikaci. v v0 v v0 = 2πr r 2π =. K rozvinutí kružnice je nutno použít 4

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 7.5 Vlastnosti šroubovice Šroubovice je křivka konstantního spádu, řídící (směrová) plocha tečen je rotační kuželová plocha s vrcholem V, výškou v 0 a poloměrem podstavy r. 7.7.1 Příklad Sestrojte Frenetův trojhran pravotočivé šroubovice dané osou o a redukovanou výškou závitu v 0 v jejím bodě M (řídící kuželová plocha binormál s vrcholem W ). 5

Přednáška 7 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 7.6 Šroubovice v kolmé axonometrii 7

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2001 (2) Doležal, M. - Poláček, J. - Tůma, M.: Sbírka řešených příkladů z DG a KG, díl 5. - Rotační a šroubové plochy. Ostrava, VŠB TU 1995. Pojmy: matematická (analytická) a empirická (grafická) plocha, algebraické a transcendentní plochy, přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné (zborcené), cyklické plochy, translační, rotační a šroubové plochy 8.1 Vytvoření a rozdělení ploch Plocha vznikne např. spojitým pohybem křivky, která není trajektorií tohoto pohybu. Z tohoto pohledu je tedy plocha jednoparametrickou soustavou křivek. Každá z tvořících křivek plochy je, jak již víme, jednoparametrickou soustavou bodů. Plochu tedy můžeme považovat za dvouparametrickou soustavu bodů v prostoru. Dělení ploch: - podle výtvarných zákonů: matematické (analytické) : a) algebraické (rovnicí je polynom o proměnných x, y, z) b) transcendentní (nelze popsat polynomem, ale jinak) empirické (grafické) topografické plochy - podle tvořících křivek: přímkové plochy: a) rozvinutelné v každém bodě tvořící přímky je stále stejná tečná rovina (válec, kužel, plocha tečen prostorových křivek - např.šroubový torzus) b) nerozvinutelné (zborcené) - v každém bodě tvořící přímky je jiná tečná rovina cyklické plochy (řídící křivka je kružnice) - podle druhu pohybu: translační ( vznikají posunutím řídící křivky ) rotační ( rotací řídící křivky) šroubové (šroubováním řídící křivky ) 1

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Druhy rovnic matematických ploch: parametrické: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), kde u a v jsou parametry. Pro v = konst. se při spojité změně parametru u vytvoří u-křivka, při u = konst. vznikne v-křivka explicitní: z = f(x,y) implicitní: F(x,y,z) = 0 8.2 Tečná rovina a normála plochy Definice: Tečny všech křivek plochy v jejím regulárním bodě T leží v jedné rovině tečné rovině τ. Tečna plochy je každá přímka tečné roviny τ procházející bodem dotyku T. Vlastní tečná rovina v nevlastním bodě dotyku je asymptotická rovina. Normála plochy je kolmice tečné roviny v bodě dotyku T. Normální rovina je každá rovina obsahující normálu plochy (její řez plochou je normální řez). Příklad V bodě T plochy Φ sestrojte její tečnou rovinu a normálu. 8.3 Zobrazení ploch Průmětem plochy je množina průmětů všech jejích bodů. Mohou nastat tyto případy: průmětem plochy je celá průmětna průmětem plochy je část průmětny (skutečný obrys plochy, jeho průmětem je zdánlivý obrys plochy). 8.4 Šroubové plochy Pojmy: helikoid, závit, hrdelní, rovníková a hraniční šroubovice, vývrtková plocha, schodová plocha 8.4.1 Vytvoření, rozdělení, základní vlastnosti Šroubová plocha (helikoid) vznikne šroubovým pohybem tvořící křivky k, která je různá od trajektorie šroubového pohybu. Osa šroubové plochy je osa zvoleného šroubového pohybu; podle orientace šroubového pohybu je plocha pravo- či levotočivá. Pokud tvořící křivka protíná osu, pak je plocha uzavřená, v opačném případě otevřená. Na šroubové ploše existují dvě význačné soustavy křivek: šroubované polohy tvořící křivky k, 2

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava šroubovice, které při šroubování vytvoří jednotlivé body tvořící křivky k (mají stejné v a v 0, ale různý poloměr nosného válce). Každým bodem T na šroubové ploše prochází po jedné křivce z každé soustavy, tečny k těmto křivkám určují tečnou rovinu plochy v bodě T. Meridián je řez šroubové plochy rovinou ρ procházející osou. Všechny meridiány jsou shodné křivky, hlavní meridián leží v rovině rovnoběžné s průmětnou, polomeridián je část meridiánu ležící v jedné polorovině vymezené osou. Každý polomeridián lze považovat za tvořící křivku; skládá se z nekonečně mnoha shodných částí posunutých o výšku závitu v. Za tvořící křivku můžeme také považovat normální řez (tj.řez rovinou kolmou k ose). Další pojmy závit, hrdelní, rovníková a hraniční šroubovice jsou analogické s pojmy na rotačních plochách resp. šroubovici.. 8.4.2 Přímkové šroubové plochy Přímkové šroubové plochy vznikají šroubováním přímky. Podle vzájemné polohy osy šroubového pohybu a tvořící přímky dělíme tyto plochy na: uzavřené (řídící přímka p protíná osu šr. pohybu o), otevřené (řídící přímka neprotíná osu šr. pohybu, mají hrdelní šroubovici), pravoúhlé (přímé p o), kosoúhlé (šikmé neboli kosoúhlé neboli klinogonální). V případě otevřené kosoúhlé šroubové plochy by tvořící přímka mohla být tečnou hrdelní šroubovice, pak by vzniklá plocha byla rozvinutelná. Všechny ostatní přímkové šroubové plochy jsou zborcené. Příklad 8.4.2a Zobrazte část levotočivé kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy (vývrtkové plochy), kterou vytvoří úsečka AB. V libovolném bodě T plochy sestrojte tečnou rovinu a sestrojte normální řez rovinou ρ. [ A (5;6;0), B (0;6;2,5), v = 12, B o, ρ (,, v/3) ] 3

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 8.4.2b Zobrazte levotočivou vývrtkovou plochu vytvořenou úsečkou AB.[A (-4,5,0), B (4,5,v/2), v 0 = 1,5 ] 5

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 8.4.2c Zobrazte pravotočivou kosoúhlou přímkovou šroubovou plochu, která vznikne šroubovým pohybem úsečky AB. V bodě T plochy sestrojte její tečnou rovinu. [ S ( 0; 5; 0), v 0 = 1,5,A ( -4; 5; 0 ), B (0;3;3 ),T ( 1,5;?; v/3 )] 6

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 8.4.2d V kolmé axonometrii zobrazte pravoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu ( jinak též schodovou plochu nebo přímý šroubový konoid ). 7

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 8.4.3 Cyklické šroubové plochy Vznikají šroubovým pohybem kružnice nebo její části. V praxi se používají tyto tři typy: plocha vinutého sloupku (normální cyklická plocha) rovina řídící kružnice je kolmá na osu šroubového pohybu. osová cyklická šroubová plocha - rovina řídící kružnice obsahuje osu šroubového pohybu. Archimedova serpentina plochu lze vytvořit šroubovým pohybem kulové plochy o středu S a poloměru r. Archimedova serpentina je obalovou plochou těchto kulových ploch. 8

Přednáška 8 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Osová cyklická šroubová plocha plocha sv. Jiljí Příklad 8.4.3 V MP zobrazte jeden závit cyklické šroubové plochy vinutého sloupku, který vznikne pravotočivým šroubovým pohybem kružnice k(s;r) π kolem osy o. V jeho bodě T (dán T 1 ) sestrojte tečnou rovinu. [ o π, O o, O(0; 7; 0), S (4; 7; 0), r = 2, v = 12, T(-2,5; 10;?) ] 9

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 9 Rotační plochy a rotační kvadriky Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999 (2)Doležal, M. - Poláček, J. Tůma,M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Rotační a šroubové plochy. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1995. Pojmy: rovnoběžky, rovník, hrdelní kružnice, kráterová kružnice, poledníky (meridiány), hlavní meridián, polomeridián 9.1 Vytvoření a základní pojmy Rotační plocha vznikne otáčením křivky k kolem osy o za předpokladu, že tvořicí křivka k není částí osy a neleží v rovině kolmé na osu. Definice Rovnoběžky Rovnoběžka je kružnice, která vznikne otáčením libovolného bodu tvořící křivky k kolem osy o. Rovníkovou rovnoběžku (rovník) vytvoří bod tvořící křivky, který má od osy největší vzdálenost. Hrdelní kružnici (hrdlo) vytvoří bod tvořící křivky, který má od osy nejmenší vzdálenost. Kráterovovou kružnici vytvoří bod tvořící křivky, v němž je tečna křivky kolmá na osu. Hraniční kružnici vytvoří krajní body tvořící křivky. Poledníky Každá rovina procházejíci osou protne rotační plochu v poledníku (meridiánu). Všechny meridiány na jedné rotační ploše jsou shodné křivky souměrné podle osy (polomeridiány). Hlavní meridián je ten, který leží v rovině rovnoběžné s průmětnou. Rotační plochu vytvoříme rotací libovolného polomeridiánu nebo rotací libovolné křivky na ploše, která však protíná všechny rovnoběžky. Pokud je tvořící křivka dána parametricky k = [ x(u), y(u), z(u) ] a osa o = z, pak parametrické rovnice plochy vytvořené křivkou k jsou: x = x(u)cosv y(u)sinv y = x(u)sinv + y(u)cosv z = z(u), u u 1,u, v v 1,v 2 2 Příklad V bodě A rotační plochy sestrojte její tečnou rovinu. Řešení Každým bodem na rotační ploše (pokud neleží na ose) prochází právě jedna rovnoběžka r a právě jeden meridián m. Tečny k těmto křivkám (postupně u a v ) jsou navzájem kolmé a určují tečnou rovinu plochy v bodě A. Tato tečná rovina je kolmá k rovině meridiánu, který prochází bodem A. - 1 -

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Dotyková kuželová nebo válcová plocha vznikne rotací libovolné tečny v v obecném bodě meridiánu. Vrcholem V dotykové kuželové plochy je průsečík osy s tečnou v. Pokud sestrojíme tečnu k meridiánu v bodě rovníkové nebo hrdelní kružnice, pak dotyková kuželová plocha přejde ve válcovou. Normálová kuželová nebo válcová plocha vznikne rotací normály n v libovolném obecném bodě meridiánu. Tato normála leží vždy v rovině meridiánu a protne osu v bodě W vrchol normálové kuželové plochy. V bodech kráterové kružnice přejde kuželová normálová plocha ve válcovou. Tvořící přímky dotykové a normálové kuželové plochy, které prochází jedním bodem, jsou navzájem kolmé. 9.2 Základní úlohy na rotačních plochách Tyto úlohy budeme řešit v Mongeově promítání. Příklad 9.2.1 K bodům A(A 1,?) a B(?,B 2 ) na plošeφ sestrojte chybějící průměty. Plocha je dána osou a tvořící křivkou. Příklad 9.2.2 Rotační plocha Φ je dána osou o π a hlavním polomeridiánem m. V bodě T (T 1,?) plochy sestrojte tečnou rovinu τ a normálu a plochy. Příklad 9.2.3 Otočte rovinu α kolem osy o π do polohy kolmé k nárysně. Příklad 9.2.4 Zobrazte rotační plochu danou osou o π a hlavním polomeridiánem, kterým je kružnice m = (S,r). V bodě T plochy zobrazte její rovnoběžku, polomeridián a tečnou rovinu. [ O o, O (0,6,0), S (3.5,6,3),r = 2, T (1.5,?,4.5) ] Poznámka Tato plocha se nazývá anuloid. 9.3 Rotační kvadratické plochy Pojmy: kvadrika, elipsoid, paraboloid, hyperboloid, asymptotická kuželová plocha 9.3.1 Vytvoření a základní vlastnosti Rotační kvadratická plocha (rotační plocha druhého stupně, rotační kvadrika) vznikne rotací kuželosečky kolem její osy. - 2 -

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Rotací elipsy kolem její hlavní osy vznikne rotační protáhlý (vejčitý) elipsoid. Při umístění osy rotace do osy z pravoúhlé soustavy souřadnic a středu kvadriky do počátku je její rovnice: 2 2 2 x + y z + = 1 2 2, kde 0 a b. a b 2 2 2 x + y z vedlejší osy vznikne rotační zploštělý elipsoid. + = 1 2 2, kde 0 b a. a b Rotací paraboly kolem její osy vznikne rotační paraboloid. 2 2 x + y = 2pz - 3 -

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava - 4 - Rotací hyperboly kolem její hlavní osy vznikne dvojdílný rotační hyperboloid 1 2 2 2 2 2 = + b z a y x vedlejší osy vznikne jednodílný rotační hyperboloid 1 2 2 2 2 2 = + b z a y x

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Rotační asymptotická kuželová plocha obou hyperboloidů vznikne rotací asymptoty tvořící hyperboly a má rovnici = 0 x 2 + y 2 a 2 z b Další rotační kvadriky jsou: kulová plocha rotační válcová plocha rotační kuželová plocha Rotační elipsoidy a rotační hyperboloidy jsou plochy středové; jejich střed je střed tvořící kuželosečky. Rotační paraboloid je plocha nestředová.vrcholy plochy jsou průsečíky kvadriky s osou rotace. 2 2 9.3.2 Základní úlohy na rotačních kvadrikách - určení bodu na ploše, sestrojení tečné roviny ap. řešíme stejně jako na obecných rotačních plochách. 9.4 Rovinný řez rotační kvadratické plochy Věta 9.4.1 Rovina protíná plochu druhého stupně v kuželosečce. a)řez rotačního elipsoidu Rovina různoběžná s osou protíná rotační elipsoid (oba typy) v elipse. Příklad 9.4.1 Zobrazte řez protáhlého rotačního elipsoidu s osou o π rovinou ρ. Elipsoid je zadán středem S hlavního meridiánu a jeho hlavní a vedlejší poloosou a, b. [ S(0,4,5), a = 4.5, b = 3, ρ (7,7,6) ]. - 5 -

Přednáška 9 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava b)řez rotačního paraboloidu Rovina různoběžná s osou plochy protíná paraboloid v elipse. Rovina rovnoběžná s osou plochy protíná paraboloid v parabole shodné s tvořící parabolou. To znamená, že všechny paraboly na rotačním paraboloidu jsou shodné. Věta 9.4.2 Pravoúhlým průmětem elipsy na rotačním paraboloidu do roviny kolmé k jeho ose je kružnice. Příklad 9.4.2 Zobrazte řez rotačního paraboloidu, který má vrchol V, osu bodem R, rovinou ρ. [ V (0,5.5,0), R (1.5,1.5, 6), ρ (-2,2,-1) ] b)řez rotačního hyperboloidu o π a prochází Věta 9.4.3 Rotační hyperboloid je proťat rovinou v kuželosečce, která je téhož druhu jako kuželosečka řezu příslušné asymptotické kuželové plochy touto rovinou. Obě tyto kuželosečky jsou soustředné a souosé. O druhu řezu rozhodneme užitím vrcholové roviny příslušné asymptotické kuželové plochy, kterou vedeme jejím vrcholem rovnoběžně s rovinou řezu. - 7 -

Přednáška 10 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 10 Rozvinutelné plochy. Zborcené plochy. Literatura: Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999 Doležal, M. - Poláček, J. Tůma,M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Rotační a šroubové plochy. Skriptum VŠB -TU, Ostrava 1995. http://www.deskriptiva.webzdarma.cz/studimatr.html Pojmy: rozvinutelná a zborcená, šroubový torzus, torzální přímka, přímkové reguly 10.1 Rozvinutelné plochy Rozvinutelné plochy jsou přímkové plochy, které mají ve všech bodech téže tvořící přímky stále stejnou (jedinou) tečnou rovinu. Tečná rovina se tedy dotýká plochy podél její tvořící přímky. Jediné rozvinutelné plochy jsou rovina, válcové plochy, kuželové plochy a plochy tečen prostorových křivek (např. šroubový torzus, což je plocha tvořená tečnami šroubovice). Každou rozvinutelnou plochu lze rozvinout do roviny (komplanovat). Komplanací (rozvinutím) plochy do roviny rozumíme takovou spojitou deformaci plochy v rovinu, při které se zachovávají délky křivek ( tzn. i velikosti úhlů). - 1 -

Přednáška 10 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 10.2 Zborcené (nerozvinutelné) plochy Zborcená plocha je taková přímková plocha, na které je v každém bodě jediné tvořící přímky jiná tečná rovina. Tzn., že při pohybu bodu T po tvořící přímce p se tečné roviny otáčí kolem přímky p a vytvoří tak svazek tečných rovin s osou p. Nerozvinutelnou (zborcenou) přímkou plochu vytvoří například přímka, která při svém pohybu stále protíná tři řídící křivky nebo se dotýká tří řídících ploch. Zborcená plocha vznikne např. i při rotaci přímky kolem osy, která je s ní mimoběžná (rotační jednodílný hyperboloid) nebo šroubovým pohybem (šroubové přímkové plochy). Pokud ve všech bodech tvořící přímky na zborcené ploše je stále stejná tečná rovina, pak je tato přímka torzální přímkou plochy a tečná rovina je torzální tečná rovina. Bod na torzální přímce, ve kterém existuje ještě jiná tečná rovina než torzální, se nazývá kuspidální bod. Kuspidální body plochy určené třemi řídícími křivkami mohou ležet jen na těchto křivkách. Pokud jsou na přímkové ploše všechny přímky torzální, pak se jedná o plochu rozvinutelnou. 10.3 Vytvoření a základní vlastnosti zborceného rotačního hyperboloidu Rotační jednodílný hyperboloid lze také vytvořit rotací přímky kolem osy, která je s ní mimoběžná. Vyplývá to z rovnice této kvadriky: - 2 -

Přednáška 10 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava x 2 + y 2 a 2 z b 2 2 = 1. Tvořící hyperbola v bokorysně µ = (y,z), tzn. x = 0 má rovnici: y a 2 2 b z 2 2 = 1, tečná rovina τ v bodě H (a,0,0) hrdelní kružnice má rovnici x = a a protne hyperboloid ve dvou přímkách o rovnicích: y z a 0, a b b y z a + = 0 y =. a b b přímka p: x = a, = y = z přímka q: x = a, z Tyto přímky mají společný bod H. Tato dvojice přímek je souměrná podle půdorysny (rovina hrdelní kružnice) i podle nárysny (rovina meridiánu). Zjistili jsme, že na jednodílném rotačním hyperboloidu leží dvě přímky. Protože je to rotační plocha, pak na ploše leží i každá otočená poloha těchto přímek. Jednu soustavu přímek přímkový regulus vytvoří při rotaci přímka p, druhou přímka q. Pro oba reguly přímek na jednodílném rotačním hyperboloidu platí: Všechny přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné. Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu až na jednu, se kterou je rovnoběžná. Přímky opačných regulů určují ve svém průsečíku tečnou rovinu plochy. Rovnoběžné přímky obou regulů jsou souměrné podle roviny jdoucí osou o plochy. Rovnoběžné přímky obou regulů určují asymptotickou rovinu. Každý z obou regulů lze vytvořit kolmou souměrností z druhého podle roviny libovolného meridiánu nebo podle roviny hrdelní kružnice. Rotační hyperboloid je zborcenou (nerozvinutelnou) přímkovou plochou. - 3 -

Přednáška 10 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 10.3.1 V Mongeově promítání zobrazte zborcený hyperboloid vytvořený rotací přímky a = AB kolem osy o π. Plochu omezte rovnoběžkami bodů A a B a v bodě T plochy sestrojte její tečnou rovinu. [ A ( -1;11;0 ), B ( 5;4;9 ), O ( 0;6;0 ), T( 0,5 ;?;? ), T AB ] Řešení viz. následující obrázek: - 4 -

Přednáška 11 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 11 Hyperbolický paraboloid a konoidy. Literatura: Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999 11.1 Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid je zborcená plocha s těmito řídícími prvky: mimoběžky a, b, nevlastní přímka c, která neobsahuje nevlastní body přímek a, b. Nevlastní přímka je reprezentována řídící rovinou ρ (ta není rovnoběžná s žádnou z přímek a, b). Tvořícími přímkami jsou příčky mimoběžek a, b rovnoběžné s řídící rovinou ρ (viz. obrázek). Mimoběžky a, b jsou rovnoběžné s rovinou σ. Dvě příčky mimoběžek a, b - např. přímky m, n určují spolu s rovinou σ tutéž plochu jako trojice a, b, ρ. Hyperbolický paraboloid má dvě řídící roviny a dva přímkové reguly, které mají tyto vlastnosti: každé dvě přímky téhož regulu jsou mimoběžné, všechny přímky téhož regulu jsou rovnoběžné s jednou řídící rovinou, každé dvě přímky různých regulů se protínají a určují tečnou rovinu hyperbolického paraboloidu ve svém průsečíku, na hyperbolickém paraboloidu neexistují torzální přímky. Libovolná dvojice přímek jednoho regulu a libovolná dvojice přímek druhého regulu určují tzv. zborcený čtyřúhelník ABCD. Je to čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v jedné rovině. Příklad 11.1.1 Sestrojte několik tvořících přímek obou regulů hyperbolického paraboloidu zadaného zborceným čtyřúhelníkem ABCD. [A (5,6,0); B (5,0,0); C (0,0,6); D (0,6,0), izometrie ] Směr osy je průsečnice s 0 = ρ σ řídících rovin. Vrchol V je bod, ve kterém je tečná rovina kolmá na osu. Osa o plochy je přímka procházející vrcholem rovnoběžně se směrem osy. Vrcholová tečná rovina se plochy dotýká ve vrcholu V a protíná plochu ve vrcholových tvořících přímkách u a v. Ty jsou souměrné podle hlavních rovin. Ortogonální hyperbolický paraboloid má řídící roviny navzájem kolmé. - 1 -

Přednáška 11 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 11.1.2 Sestrojte osu, vrchol a vrcholové přímky hyperbolického paraboloidu daného zborceným čtyřúhelníkem ABCD. [ (8; 10; 11), A (3,0,9); B(0,6,3); C (8,10,4); D (11,4,2) ] Řez hyperbolického paraboloidu rovinou, která je rovnoběžná s některou z řídících rovin, je jedna tvořící přímka; tečnou rovinou plochy, je dvojice tvořících přímek; rovnoběžná s osou plochy (ne s řídící rovinou), je parabola s osou rovnoběžnou s osou plochy; jiná než předchozí, je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné s průsečnicemi roviny řezu s řídícími rovinami hyperbolického paraboloidu. Je-li rovina řezu specielně kolmá na osu plochy, je řezem hyperbola se středem na ose plochy a asymptotami rovnoběžnými s vrcholovými přímkami u a v. Hlavní roviny protínají plochu v hlavních (sedlových) parabolách. Hyperbolický paraboloid lze také sestrojit jako translační plochu z jeho sedlových parabol. - 2 -

Přednáška 11 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Užití plochy: zastřešení hal, jako přechodové plochy u silničních staveb apod. 11.2 Konoidy Řídící prvky těchto zborcených ploch jsou: vlastní přímka, nevlastní přímka (reprezentovaná řídící rovinou), libovolná křivka, příp. plocha. Pokud je vlastní řídící přímka kolmá na řídící rovinu, pak je konoid přímý (kolmý), jinak je šikmý (kosý). Podle řídící křivky má konoid přívlastek: kruhový (řídící křivkou je kružnice), parabolický, eliptický, šroubový (řídící křivkou je šroubovice), apod. Jestliže se řídící křivky neprotínají a řídící křivka je algebraická stupně n, pak je konoid stupně 2n. Nejjednodušší konoid je hyperbolický paraboloid. Jeho řídící křivka je přímka, je to tedy plocha druhého stupně. - 3 -

Přednáška 11 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 11.2.1 Sestrojte několik tvořících přímek přímého parabolického konoidu zadaného těmito řídícími útvary: parabola v bokorysně procházející počátkem, s vrcholem V a osou o // z; řídící rovina π ; řídící přímka a π procházející bodem A. Proveďte v kolmé izometrii. V bodě T plochy (dáno T 1 ) sestrojte tečnou rovinu. - 4 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava 12 Další plochy stavební praxe. 12.1 Montpellierský oblouk Řídící prvky této zborcené plochy jsou: kružnice k(s,r) v rovině ρ, přímka a procházející bodem S kolmo k rovině ρ (přímka a nemusí procházet bodem S), přímka b rovnoběžná s rovinou kružnice ρ, mimoběžná s a a neležící v ρ. Plocha je 4. stupně, má dvě torzální přímky a na nich dva kuspidální body (průsečíky torzálních přímek s řídící přímkou a). Této plochy se ve stavební praxi používá na markýzy chránící vstup do budov, podstavce válcových sloupů, které přechází do hranolu apod. http://mdg.vsb.cz/jdolezal/dgfast/cviceni/konusoidy/montpellierskyoblouk.html - 1 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 12.1.1 Montpellierský oblouk je dán půlkružnicí k = (S,r) v nárysně ν, řídící přímkou a ν a řídící přímkou b // x. Sestrojte tvořící přímky, torzální přímky a kuspidální body. [ S (5,0,0), M b, M (0,9,8), r = 3] - 2 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Řešení pomocí svazku rovin s osou v přímce a. 12.2 Marseillský oblouk Řídící prvky této zborcené plochy jsou: kružnice 1 k( 1 S, 1 r) v rovině 1 ρ, kružnice 2 k( 2 S, 2 r) v rovině 2 ρ, kde 1 ρ // 2 ρ, přímka a procházející středem jedné z kružnic kolmo k jejich rovinám. - 3 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Plocha je 6. stupně ( n = 2.2.2 2.1, kružnice mají dva nevlastní body společné), má dvě torzální přímky a na nich dva kuspidální body (průsečíky torzálních přímek s řídící přímkou a). http://mdg.vsb.cz/jdolezal/dgfast/cviceni/konusoidy/marseillskyoblouk.html Příklad 12.2.1 V izometrii sestrojte část plochy Marseillského oblouku mezi kruhovými oblouky 1 k( 1 S, 1 r) v nárysně a 2 k( 2 S, 2 r). Řídící přímka je osa y. [ 1 S (0,0,-2), 1 r = 8, 2 S (0,8,0), 2 r = 5 ] - 4 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Řešení pomocí svazku rovin s osou v ose y. 12.3 Plocha šikmého průchodu - 5 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Řídící prvky této zborcené plochy jsou: kružnice 1 k( 1 S, 1 r) v rovině 1 ρ, kružnice 2 k( 2 S, 2 r) v rovině 2 ρ, kde 1 ρ // 2 ρ, přičemž spojnice obou středů 1 S 2 S není kolmá na roviny kružnic; přímka a procházející bodem S kolmo k rovinám řídících kružnic. Bod S je střed úsečky 1 S 2 S. Plocha je 4. stupně ( n = 2.2.2 2.1-2, kružnice mají dva nevlastní body společné a vzniklý kužel do plochy nezapočítáváme), má dvě torzální přímky a na nich dva kuspidální body (průsečíky torzálních přímek s řídící přímkou a). http://mdg.vsb.cz/jdolezal/dgfast/cviceni/konusoidy/sikmypruchod.html - 6 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 12.3.1 V kolmé izometrii sestrojte část plochy šikmého průchodu mezi kruhovými oblouky 1 k( 1 S, 1 r) a 2 k( 2 S, 2 r) v rovinách rovnoběžných s nárysnou. Řídící přímka p prochází bodem S kolmo k nárysně. [ 1 S (4,0,0), 1 r = 5, 2 S (0,8,0), 2 r = 5, S je střed 1 S 2 S ] Řešení pomocí svazku rovin s osou v přímce p. 12.4 Štramberská trúba - 7 -

Přednáška 12 Mgr.Güttnerová FAST Dg VŠB-TU Ostrava Příklad 12.4.1 V kolmé izometrii sestrojte osm tvořících přímek zborcené plochy, jejíž řídící útvary jsou: kružnice v půdorysně o středu S a poloměru r, řídící přímka a jdoucí bodem A rovnoběžně s osou y, řídící přímka b jdoucí bodem B rovnoběžně s osou x. Vyšetřete torzální přímky a kuspidální body. [ S ( 0,0,0 ), r = 4, A (0,0,5),B(0,0,10) ] Řešení pomocí svazku rovin s osou v přímce a. - 8 -