Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016
prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením vnějšího zatížení a reakcí. A x A x A y A y q q t t F F B prutech tvoří výslednice napětí v průřezu transformovaná do těžiště průřezu. Označení dle ČS ISO 3898: 1. Posouvající síla [] 2. Ohybový moment [ m] 3. ormálová síla [] e všech řezech tělesa působí vnitřní síly, které jsou v rovnováze. Definování B
Konvence Smyk Kladný směr posouvající síly Ohyb Kladný směr ohybového momentu Kladný ohybový moment táhne dolní vlákna průřezu. Tah & Tlak Kladný směr normálové síly Kladná normálová síla je tahová. Definování
Podmínky ekvivalence Definice na prutu echanické napětí síla na jednotku plochy [Pa] = [ m 2 ] σ normálové napětí v průřezu τ smykové (tečné) napětí v průřezu Osa x leží ve střednici prutu. Osy y, z jsou hlavní centrální osy setrvačnosti. y t t τ t Smyk = τ da Definování y z t t σ Ohyb t A = zσ da y z t t σ t Tah & Tlak A = σ da z A
ýpočet Posouvající síla q A x F Definování A y B Posouvající síla v libovolném průřezu se vypočte jako součet všech sil kolmých ke střednici prutu v daném řezu, které se nacházejí na jedné straně od tohoto průřezu. Kladný směr při sčítání zleva Kladný směr při sčítání zprava
ýpočet Ohybový moment q A x F Definování A y B Ohybový moment v libovolném průřezu se určí jako součet ohybových momentů všech sil nacházejících se na jedné straně od daného průřezu k těžišti tohoto průřezu. Kladný směr při sčítání zleva Kladný směr při sčítání zprava
ýpočet ormálová síla q A x F Definování A y B ormálová síla v libovolném průřezu je součet všech sil rovnoběžných se střednicí prutu v daném řezu, které se nacházejí na jedné straně od tohoto průřezu. Kladný směr při sčítání zleva Kladný směr při sčítání zprava
nitřní síly jako funkce Definování Posouvající sílu, ohybový moment i normálovou sílu mohu určit pro libovolný průřez prutu. nitřní síly můžeme vyjádřit jako funkci souřadnice x a vynášíme je do grafu. q F x = (x) = (x) = (x) Ohybové momenty vynášíme na stranu tažených vláken!
Prostý nosník Síla uprostřed & spojité zatížení na celé délce F q Definování R = 1 2 F 1 2 L 1 2 L R R = 1 2 ql L R 1 2 F 1 2 F 1 2 ql 1 2 ql 2 1 4 FL 1 8 ql2
Konzola Síla na konci & spojité zatížení na celé délce F L q L Definování F ql FL 1 2 ql2 2
lastnosti Definování a úseku, kde je spojité zatížení q = 0 platí: (x) je konstantní funkce. (x) je lineární funkce. a úseku, kde q je nenulová konstantní funkce platí: (x) je lineární funkce. (x) je parabola (polynom 2 ). a úseku, kde q je lineární funkce platí: (x) je parabola (polynom 2 ). (x) je kubická parabola (polynom 3 ). ezi funkcemi platí vztahy, které označujeme jako Schwedlerova věta: (x) = q(x) (x) = (x)
lastnosti Definování espojitost funkce (x) Posouvající síla je nespojitá v bodě, kde působí osamělá síla. Osamělou silou je i reakce. Rozdíl hodnot vlevo a vpravo je roven velikosti této síly. Graf ohybového momentu je v tomto bodě zalomen, protože je nespojitá jeho derivace.
lastnosti Definování Umístění extrému ohybového momentu: 1. Pod osamělou silou, kde je (x) nespojitá funkce a mění se v tomto bodě znaménko. 2. bodě, kde je nulová hodnota posouvající síly, tj. v bodě, kde platí (x) = (x) = 0. (U parabolického průběhu (x) není třeba kontrolovat konkávnost, resp. konvexnost, v okolí tohoto bodu.)
Lomený nosník Definování F 2 F 1 B A x A y ejprve u svislých prutů volím dolní vlákna vlevo nebo vpravo (označím čárkovanou čárou). nitřní síly vypočtu podle konvence natočené odpovídajícím směrem.
Lomený nosník F 2 Definování F 1 B A x A y Při opačné volbě dolních vláken: Znaménko a se nezmění. Znaménko jednoznačně určuje směr a. Znaménko je opačné. Při dodržení pravidla na stranu dolních vláken vynesu průběh ohybových momentů stejně. Pravidlo na stranu tažených vláken jednoznačně určuje smysl.
Staticky určitá soustava Definování q q C y C x C x C y A x A x B x B x A y B y A y B y K výpočtu v daném řezu mohu použít: Statické schéma celé soustavy (řez v místě daného průřezu musí rozdělit soustavu na 2 části). Statické schéma jednotlivé desky nebo prutu. Při libovolné volbě způsobu výpočtu musí vyjít stejný výsledek, protože konstrukce je ve statické rovnováze!
Staticky určitá soustava Definování F F C x C x C y C y D D A x A x A y B A y B některých případech nelze využít statické schéma celé soustavy, protože daný řez nerozdělí soustavu na 2 samostatné celky.
Příklad Přímý nosník Definování A x = 0,70k a A y = 6,99k F = 4k q = 4k/m α F = 80 c b d 2m 1m 1m B = 4,95k Posouvající síly: ac = A y = 6,99 k c = A y q.2 = 1,01 k dc = A y q.2 = 1,01 k db = A y q.2f sinα F = 4,95 k bd = A y q.2f sinα F = 4,95 k
Příklad Přímý nosník Definování A x = 0,70k a A y = 6,99k F = 4k q = 4k/m α F = 80 c b d 2m 1m 1m B = 4,95k Ohybové momenty: a = 0 k m c = A y.2 1 2 q.22 = 5,97 k m d = B.1 = 4,95 k m b = 0 k m
Příklad Přímý nosník Definování A x = 0,70k a A y = 6,99k F = 4k q = 4k/m α F = 80 c b d 2m 1m 1m B = 4,95k ormálové síly: ac = A x = 0,70 k c = A x = 0,70 k dc = A x = 0,70 k db = A x F cosα F = 0 k b = A x F cosα F = 0 k
Příklad Přímý nosník A x = 0,70k a A y = 6,99k 6,99 F = 4k q = 4k/m α F = 80 c b d 2m 1m 1m 1,01 1,01 4,95 4,95 0 0 2 5,97 4,95 0 0 0,70 0,70 (x) = A y qx = 0 x = 1,75 m (x) = A y x 1 2 qx 2 = 6,10 k m x B = 4,95k Definování
Příklad Přímý nosník F = 4k q = 4k/m α F = 80 a b A x = 0,70k c d 2m 1m 1m A y = 6,99k B = 4,95k 6,99 [k] 1,75m 1,01 1,01 4,95 4,95 0 0 [k m] 2 6,105,97 4,95 0 0 [k] 0,70 0,70 Definování
Příklad Lomený nosník - kontrola rovnováhy ve styčníku q = 4k/m F 1 = 2k c b d 1,5m a F 2 = 5k 1m 4 0 2 3 Definování 1m 1m 2 0 0 2 [k] 2 2 4 5 [k] 2 [km]
Příklad Lomený nosník - kontrola rovnováhy ve styčníku - součtové podmínky 4 q = 4k/m F 1 = 2k c 0 b d 1,5m 2 a F 2 = 5k 1m 3 Definování 1m 1m 2 0 cb = 2k [k] cb = 0k cd = 0k 4 ca = 2k cd = 4k [k] ca = 4k : cb cd ca = 0 : cb cd ca = 0
Příklad Lomený nosník - kontrola rovnováhy ve styčníku - momentová podmínka q = 4k/m F 1 = 2k c b d 1,5m a F 2 = 5k 1m Definování 5 1m 1m 0 2 2 [km] 2 2 cb = 0km cd = 2km ca = 2km : cb cd ca = 0
Kontrolní otázka Určete, který průběh posouvající síly odpovídá danému zatížení. F F F Definování A) B) C)
Kontrolní otázka Určete, který průběh ohybových momentů odpovídá danému zatížení. F q Definování A) B) 2 C) 2
Konec přednášky Definování Děkuji za pozornost. ysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému Å Ì ÈÇËÌ.