Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70
Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání, porovnávání čísel 2 Substantiva, odčítání, násobení 3 Čísla 2 99 4 Čísla 00 0 9 5 Dělení 6 Zlomky 7 Desetinná čísla 8 Mocniny 9 Odmocniny 0 Logaritmy, absolutní hodnota Závorky 2 Množiny 3 Úpravy zlomků 4 Čtení indexů 5 Úpravy rovnic a nerovnic 6 Popis řešení rovnic a nerovnic Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 2 / 70
Prezentace si můžete stáhnout na adrese http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~partlond/ Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 3 / 70
Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... nula... jedna 2... dvě 3... tři 4... čtyři 5... pět 6... šest 7... sedm 8... osm 9... devět 0... deset... jedenáct 2... dvanáct 3... třináct 4... čtrnáct 5... patnáct 6... šestnáct 7... sedmnáct 8... osmnáct 9... devatenáct 20... dvacet Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 4 / 70
Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 3, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, 5. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 5 / 70
Rovná se, nerovná se =... rovná se... nerovná se =... jedna se rovná jedna 2... jedna se nerovná dvě x y... x se nerovná y a = b... a se rovná b 5 = 5, 4 7, =, 3 9, 8 2, a b, x = z, 0 20, 6 = 6. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 6 / 70
Větší než, menší než >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno 3 > 2... tři je větší než dvě 2 < 7... dvanáct je menší než sedmnáct 4... čtrnáct je větší nebo rovno jedenáct 5 5... pět je menší nebo rovno pět 0 0, 6 <, 9 > 3, 6 20, 4 < 6, x z, w u. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 7 / 70
Příklady >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno =... rovná se... nerovná se 5 = 5, 7 < 2, 20 0, 9 9, 6 > 3, 7 7,, 8 4, 6 6, 2 20, x < y, 0 = 0, 5 > 0, 3, 0 <,, 6 8, 2 0, 8 < 5, 20 3, 4 5, 7 > a, 8 = 8, 5 0, 3 9, 7 0, 2 < 4, c b. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 8 / 70
Sčítání ( + = 2) +... plus 3 + 5 = 8... tři plus pět se rovná osm 0 + 7 2... nula plus sedm se nerovná dvě x + y = z... x plus y se rovná z a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek 6 + 3 = 9... šest plus tři se rovná devět První sčítanec je šest. Druhý sčítanec je tři. Součet je devět. Výsledek je devět. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 9 / 70
Sčítání ( + = 2) a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek + 9 = 0, 4 + 3 = 7, 8 + 2 = 20, + 5 = 6, 0 + 2 = 2, 4 + 6 = 20, 3 + 5 = 8, 9 + 8 = 7, 4 + = 5, 6 + 3 = 9, 7 + = 8, 9 + 2 =, 6 + 0 = 6, 2 + 3 = 5, u + v = s. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 0 / 70
Desítky N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... deset 20... dvacet 30... třicet 40... čtyřicet 50... padesát 60... šedesát 70... sedmdesát 80... osmdesát 90... devadesát 00... sto 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 00, 70 7, 0 + 20 = 30, 50 + 40 = 90, 80, 60 > 8, 0 + 00 00, 7 + 3 = 30, a + 5 40. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70
Přirozená čísla a nula 0... nula... { jedna, jednička,... jedna, jednička, jednotka 2... dvě, dva, dvojka 3... tři, trojka 4... čtyři, čtyřka 5... pět, pětka 6... šest, šestka 7... sedm, sedmička 8... osm, osmička 9... devět, devítka 0... deset, desítka je číslo (number), je substantivum (noun).... jedenáct, jedenáctka 2... dvanáct, dvanáctka 3... třináct, třináctka 4... čtrnáct, čtrnáctka 5... patnáct, patnáctka 6... šestnáct, šestnáctka 7... sedmnáct, sedmnáctka 8... osmnáct, osmnáctka 9... devatenáct, devatenáctka 20... dvacet, dvacítka Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 2 / 70
Přirozená čísla a nula... { jedna, jednička, je číslo, je substantivum. 6 + 4 = 0 První sčítanec je šestka. Druhý sčítanec je čtyřka. Výsledek je deset. Co je tohle? Tohle je čtyřka. Na Karlovo náměstí jede (tramvaj) osmnáctka. V hospodě mají (pivo) jedenáctku a dvanáctku. 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 3 / 70
Je rovno, není rovno jedna plus dvě se rovná tři, + 2 = 3... jedna plus dvě je rovno tři, jedna plus dvě je tři. tři plus čtyři se nerovná pět, 3 + 4 5... tři plus čtyři není rovno pět, tři plus čtyři není pět. 5 + 7 = 2, 4 + 6, 7 + 3 = 30, 30 + 60 = 90, 8 + 0 20, c + 00 = g, k + s h, 5 + 4 = 9, 3 + 8 =, 4 + w 80 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 4 / 70
Celá čísla Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}... celá čísla... mínus 00... mínus sto x... mínus x 8,, 5, x,, 40, 5, 2, 70, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 60, 00, 80, 7, o, r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 5 / 70
Odčítání (3 2 = )... mínus 5 3 = 2... pět mínus tři se rovná dvě 0 7 2... nula mínus sedm se nerovná dvě x y = z... x mínus y se rovná z 9 = 0... mínus jedna mínus devět se rovná mínus deset a b = c menšenec mínus menšitel rovná se rozdíl, výsledek (not used) (not used) 9 = 8, 4 5 =, 8 2 = 6, 5 = 6, 0 2 = 2, 0 30 = 20, 40 + 50 = 90, 9 3 = 6, 4 = 3, h r = 80, 20 80 = 00, 9 e = i, 7 4 0, o w j, 70 + 60 = 0, 90 h > 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 6 / 70
Násobení (2 3 = 6)... krát 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest x y = z... x krát y se rovná z xy = z... x krát y se rovná z 3x = 9... tři x se rovná devět a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest První činitel je dvojka. Druhý činitel je trojka. Součin je šest. Výsledek je šest. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 7 / 70
Násobení (2 3 = 6) a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 9 = 8, 4 5 = 20, 7 0 = 70, 2 5 = 60, 0 00 = 0, 0 0 = 00, x y = 90, p 3 = 40, q = 3, 30 4 0, 5 3 = 5, 3 ( 6) = 8, 40 h <, o ( e) j, 7 + 3 = 3 0, 6 k 9 8 3 4 50, 5 ( 8) 2 9, 0 2 0, 4 0 < 90 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 8 / 70
Desítky 00... { sto, stovka, 00 je číslo, 00 je substantivum. 0... deset, desítka 20... dvacet, dvacítka 30... třicet, třicítka 40... čtyřicet, čtyřicítka 50... padesát, padesátka 60... šedesát, šedesátka 70... sedmdesát, sedmdesátka 80... osmdesát, osmdesátka 90... devadesát, devadesátka 00... sto, stovka 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 < 00, 70 > 7, 0 < 20, 90 > 50, h > 30, 0 < 00 80, 60 > 8, 6 < 70, 7 > 3, 4 < 40, 8 > 5, 20 < 30 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 9 / 70
2, 22, 23,..., 99 2... { dvacet jedna, dvacítka jednička, 2 je číslo, 2 je substantivum. 2 (20 + )... dvacet jedna, dvacítka jednička 62 (60 + 2)... šedesát dva (dvě), šedesátka dvojka 34 (30 + 4)... třicet čtyři, třicítka čtyřka 97 (90 + 7)... devadesát sedm, devadesátka sedmička 85, 49, 52, 3, 63, 77, 26, 94, 38, 82, 34, 43, 27, 69, 7, 56, 99, 3, 25, 5, 50, 55, 33, 44, 66,, 87, 22, 00, 74, 0, 29, h, e, 48 < 93, 6 50, k + m 42, 9 7 = 63, 2 36 = 72, 3 3 = 39, 89 64 = 25, 0 54, 6 ( 4) = 84 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 20 / 70
Stovky 00... sto 200... dvě stě 300... tři sta 400... čtyři sta 500... pět set 600... šest set 700... sedm set 800... osm set 900... devět set 000... tisíc 400, 00, 600, 900, 200, 000, 300, 800, 500, 700, 600, 200, 000, 800, 400, 500, 900, 700, 00, 600, 300, 700, 500, 300, 900, 000, 00, 200, 20, 39, 75, 400, 0 60 = 600, 25 20 = 500, 5 20 900, 2 200 800 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 2 / 70
0, 02, 03,..., 999 0 (00 + )... sto jedna 2 (00 + 2)... sto dvanáct 632 (600 + 32)... šest set třicet dva (dvě) 350 (300 + 50)... tři sta padesát 999 (900 + 99)... devět set devadesát devět 852, 497, 52, 38, 643, 777, 265, 942, 382, 824,, 569, 333, 57, 290, 444, 600, 55, 708, 80, 000, 906, 74, 3, 25, 555, 280, 37 < 692, 45 + 74 = 589, 222, 555, 8 6 = 288, 364 80 = 437, 973h = 000 g Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 22 / 70
Opakování 23, 456, 789, 0, 000, 98, 76, 543, 2, 2, 875, x, h + p 358, 33 + 44 777, q 905 = 26, 666 290 = 956, 82 + ( 529) = 347, 405, 30 < 7, 224 y z, 000, 88, 766 r, 444 333, 97 578 = 339, s 6 = l, 5w = i, 45 6 = 270, 3 22 = 682, 98 379 = 539, 6 7 5 = 560, 674 78 3 + 35 ( 330) = 25, x y f j + c g 7 = u Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 23 / 70
Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., 999 000) 000... tisíc 2 000... dva tisíce 3 000... tři tisíce 4 000... čtyři tisíce 5 000... pět tisíc. 32 000... třicet } {{ dva } tisíc 32. 999 000... devět } set devadesát {{ devět } tisíc 999 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 24 / 70
Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., 999 000) 23 000, 3 000, 789 000, 0 000, 000, 980 000, 2 000, 543 000, 400 000, 4 000, 26 000, 666 000, 7 000, 327 000, 5 000, 3 000, 33 000, 303 000, 330 000, 300, 33, 333 000, 444 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 25 / 70
00, 002,..., 999 999 23 456 (23 000 + 456)... sto dvacet tři tisíc čtyři sta padesát šest 789 302 (789 000 + 302)... sedm set osmdesát devět tisíc tři sta dva 444 444, 333 333,, 809 002, 65 780, 57 62, 666 666 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 26 / 70
000 000, 000 00,..., 000 000 000 000 000... milion 2 000 000... dva (dvě) miliony 3 000 000... tři miliony 4 000 000... čtyři miliony 5 000 000... pět milionů. 999 000 000... devět set devadesát devět milionů 000 000 000... miliarda 23 456 789 (23 000 000 + 456 789)... sto dvacet tři milionů čtyři sta padesát šest tisíc sedm set osmdesát devět 4 05 672, 902 503 2, 009 795, 549 009 806, 3 980 0, 234 567 890 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 27 / 70
000 000 000, 000 000 00,..., 000 000 000 000 000 000 000... miliarda 2 000 000 000... dvě (dva) miliardy 3 000 000 000... tři miliardy 4 000 000 000... čtyři miliardy 5 000 000 000... pět miliard. 999 000 000 000... devět set devadesát devět miliard 000 000 000 000... bilion 23 456 789 000 (23 000 000 000 + 456 789 000)... sto dvacet tři miliard čtyři sta padesát šest milionů sedm set osmdesát devět tisíc 3 490 05 672, 2 853 05 040, 4 003 09 75, 549 80 00 93, 476 059 000, 2 030 000 23, 87 439 000 006, 000 000 000 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 28 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2)... děleno /... děleno, lomeno x 0... x děleno nulou x... x děleno jednou x 2... x děleno dvěma x 3... x děleno třemi x 4... x děleno čtyřmi x 5... x děleno pěti x 9... x děleno devíti x 0... x děleno deseti. x 20... x děleno dvaceti x 2... x děleno dvaceti jednou.. x 8... x děleno osmi x 99... x děleno devadesáti devíti Při dělení čísly 0,,..., 99 všechna slova deklinujeme. 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 78, 4, 50, 95, 3, 23, 49, 84,, 66, 8, 52, 0, 80, 77,, 23 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 29 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) x 00... x děleno (jedním) stem x 200... x děleno dvěma sty x 000... x děleno (jedním) tisícem x 2 000... x děleno dvěma tisíci Ale: x 2 000... x děleno dvaceti jedním tisícem (jednou tisíci) x 000 000... x děleno (jedním) milionem x 2 000 000... x děleno dvěma miliony Ale: x 2 000 000... x děleno dvaceti jedním milionem (jednou miliony) x 000 000 000... x děleno miliardou x 2 000 000 000... x děleno dvěma miliardami Ale: x 2 000 000 000... x děleno dvaceti jednou miliardou Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 30 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 800, 000, 000 000, 00, 7 000, 9 000 000 000, /7 000, 66 000 000, ( 000 000), 8 000 000, 300, ( 4 000 000 000), /45, /900, /6 000 000 000, 0 000, 500, 5 000, 2 000 000, 9 000, 9 000 000, /9 000 000 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 3 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) Při dělení čísly 00, 0, 02,... máme dvě možnosti. Deklinujeme všechna slova. 987 654 32... děleno devíti sty osmdesáti sedmi miliony šesti sty padesáti čtyřmi tisíci třemi sty dvaceti jednou 23 40 000... děleno (jedním) stem dvaceti třemi miliony čtyřmi sty jedním tisícem 2 Nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice. 987 654 32... děleno devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jednou 202... děleno dvě stě dvěma 23 405 000... děleno sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 32 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 6/3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 7 x = a... sedm děleno x se rovná a 7 (x 5)= a... sedm děleno x mínus pět se rovná a a b = c dělenec děleno dělitel rovná se podíl, výsledek 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě Dělenec je šestka. Dělitel je trojka. Podíl je dvě. Výsledek je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 33 / 70
Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 276 890 95 08 493, 385 3 42 662 007, 56 ( 000), 209 000 002 7 420 500, 97 22 370 343 434 343 434, q 37, 305 996 723 52 8 37 4, k l m = o, w/800 60 03 = g 276/5, 23 59 220 9 876 = 2 345, 700 00 009 0 000 202, b 5 93 25, 402 46 030 009 620 00, 97 382 5/72 0 = 2 74, u j s/t = r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 34 / 70
Zlomky ( 2, 7,...) x y... zlomek 2 3 4 5... (jedna) polovina... (jedna) třetina... (jedna) čtvrtina... (jedna) pětina 6 7 8 9... (jedna) šestina... (jedna) sedmina... (jedna) osmina... (jedna) devítina 0,,..., 20 30, 40,..., 90... (jedna) desetina, jedenáctina,..., dvacetina... (jedna) třicetina, čtyřicetina,..., devadesátina 8, 2, 4, 5, 3, 0, 4, 7, 7, 9, 6, 3, 5, 2, 9,, 7,, 3, 4, 4, 2, 0, 2, 5, 3, 6, 9, 8, 2, 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 35 / 70
Zlomky ( 2, 57,...)... (2 = a 20) (jedna) jedenadvacetina 2... (22 = 2 a 20) (jedna) dvaadvacetina 22. 99... (99 = 9 a 90) (jedna) devětadevadesátina 8, 25, 4, 53, 39, 42, 48, 27, 80, 95, 76, 83, 5, 2, 9, 7, 55, 3, 4, 43, 2, 0, 2, 56, 48, 60, 96, 59, 2, 22, 88, 2, 24, 50, 3, 0, 4, 7, 70, 90, 6, 3, 5, 93, 55, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 36 / 70
Zlomky ( 00, 000,...)... (jedna) setina 00... (jedna) tisícina 000... (jedna) desetitisícina 0 000... (jedna) stotisícina 00 000... (jedna) miliontina 000 000... (jedna) miliardtina 000 000 000 00 000, 00, 00 000 000, 000, 000 000 000, 0 000, 0, 00 = 000 000, ( )/ = 00 000 = 000, 0 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 37 / 70
Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 0... nula pětin 5... (jedna) pětina 5 2... dvě pětiny 5 3... tři pětiny 5 4... čtyři pětiny 5 5... pět pětin 5 6... šest pětin 5. Zlomky x 5 pro x > 6 čteme 42 5... čtyřicet dva pětin 54 5... sto padesát čtyři pětin x 5... x pětin 000 000 5... milion pětin Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 38 / 70
Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 3 2, 5 7, w 4, 46, 3 2, 4 8, 9 55, 2 5, 3 000 000, 2 00 000, a 85, 23 2, 0 3, 2 73, 2, 3 00, 376 9, 84 5, 4 29, 5 3 37, 60 44, 39 000, 37 74, 5 90 427, 2 99 6, 0 0, j 4, 35 07 849 002, 000 000 3, 82 9, 9 8, 386 35, 2 7, 3 29, 5 52, 3 4, 33 96, 73, 9 00, 6 000 000 000, 20 6, 3 8, 4 000, 2 298 520, 2 9 000 000, 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 39 / 70
Zlomky ( 2 03, 835 2 345,...) Ostatní zlomky můžeme číst jako podíl. 2 02... dvacet jedna lomeno sto dvěma... sedmdesát tři lomeno devadesát devět tisíc osm set sedmdesáti 73 99 870 x y... x lomeno y 3 x 5... tři lomeno x mínus pět 2 čitatel zlomková čára jmenovatel V čitateli zlomku je jednička. Čitatel zlomku je jedna. Ve jmenovateli zlomku je dvojka. Jmenovatel zlomku je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 40 / 70
Zlomky ( 23 876, s t 8,...) Velmi složité zlomky čteme takto: x+y z s+r... Zlomek. V čitateli x plus y mínus z, ve jmenovateli s plus r. 2x 37 q... Zlomek. V čitateli dvě x mínus třicet sedm, ve jmenovateli jedenáct krát q. 7x 67, 45 2, a b x +, 53 00, 2, 2 3, q 00 000, 4/72 4, c 72/c, 5x + 7 99, 4 9, 2 + 8 7 963, 000 000, 2 000 000, k l 67, 2 98, 5 52, 0 000, 83 39, g f, 3 2, 22s + 4r w, 54 3 ( 23r 55, 23 456, 3 049 93 87, 4 82 ) = 82 4 6 = 4 8 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 4 / 70
Desetinná čísla (0,, 6,037,...),3... celá část,... desetinná čárka 3... desetinná část 0,23456... desetiny 2... setiny 3... tisíciny,2... jedna celá dvě (desetiny) 2,2... dvě celé dvě (desetiny) 3,2... tři celé dvě (desetiny) 4,2... čtyři celé dvě (desetiny) 4... desetitisíciny 5... stotisíciny 6... miliontiny 5,2... pět celých dvě (desetiny) 6,2... šest celých dvě (desetiny) 7,2... sedm celých dvě (desetiny). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 42 / 70
Desetinná čísla (0,, 6,037,...) Při čtení desetinné části (,23) máme následující dvě možnosti: Desetinnou část čteme jako zlomek.,23 ( = + 00) 23... jedna celá dvacet tři (setin),023 ( = + 23 000)... jedna celá dvacet tři tisícin,0705 ( = + 705 0 000)... jedna celá sedm set pět desetitisícin 2 Desetinnou část čteme jako posloupnost číslic.,23456... jedna celá dvě, tři, čtyři, pět, šest,0705... jedna celá nula, sedm, nula, pět 0,09... žádná/nula celá devět setin, žádná/nula celá nula, devět 93,0020... devadesát tři celých dvě stě jedna stotisícin, devadesát tři celých nula, nula, dva, nula, jedna 05,0... sto pět celých nula (desetin) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 43 / 70
Desetinná čísla (0,, 6,037,...) 0,68, 3,907, 003,0, 0,432, 2,090807, 3,630, 0,4443, 2,052, 4,27 +,000 = 5,270, 4 782,50039, 23,057, 5,92674, 0,5, 0,25, 3 733,357/3809 = 0,9803, 25 + 0,76 = 0,80, 23,456789, 22,64, 6 98246,092 8472,249 = 89773,9843, 4 782,50039, 2,7, 0,0909, 8,07, 6,300, 0,25, 0,00003, 002,056, 0,23 0,987 = 0,240, 7,04003, 0,72, 0,06002, 2 098 004,05, 8,56, 64,9070, 3,98/5 = 0,2654 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 44 / 70
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7... x na nultou... x na prvou... x na druhou... x na třetí... x na čtvrtou... x na pátou... x na šestou... x na sedmou x 8 x 9 x 0 x x 9 x 20... x na osmou... x na devátou... x na desátou... x na jedenáctou.... x na devatenáctou... x na dvacátou j, x 9, c 4, p 7, f 7, x 0, o 4, k 6, x 3, x 2, a 5, r 3, x 2, e 9, x, w 20, m 8, z 8, q 5, v 6, h 4, s 0, u 2, f 20, n 0, w 9, d 3, g 7, t, i 0, b 4, y 2, x 9, g 3, p 0, n 4, u 0, e, c 2, j 5, k 2, l 3, a 9 x 9, s 4, z 7 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 45 / 70
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 2 exponent základ (mocniny) 3 2... Základ mocniny je trojka. Exponent je dvojka. 3 2... Základ mocniny je číslo tři. Exponent je číslo dvě. Při čtení mocnin s různými základy základ nedeklinujeme. 2 2... dvě na druhou 7 5... sedmnáct na patnáctou ( 6 4)... jedna čtvrtina na šestou 0,047 4... žádná celá čtyřicet sedm tisícin na čtvrtou ( ) 0... mínus jedna na nultou ( ) 3 ( 4 0,257 5,, 29 ) 9, 5 432 2, 23 456 789,987 654 7, w 5, 4 0, 0, 2, 7 2 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 7 ( ) 4 7 2 2 43,, 4 444 4, 333 333 8, d 20, 0,,, s, 3 6 4 3 5 34 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 46 / 70
( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... Při čtení mocnin s písmenem latinské abecedy v exponentu čteme: 2 x... dvě na x-tou 2 n... dvě na n-tou Pokud je exponent mocniny složitější, deklinovat nemusíte. 4 2,57... čtyři na dvě celé padesát sedm 7 x2 +2x+4... sedm na x na druhou plus dvě x plus čtyři x 2 3... x na dvě třetiny a 2 b 2 ( ) 27 a + b = a b, 5 8 6 3 + 25c+23r, x,, r s 456 3, ( 0,23) 789, 0 0, 4 a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2) ( ) n 32, 7,0509 3,4, e x, 2 4,, 4 2, 6 ) 0x 3 5x 2 y+y 4, a b (8 423/209 730) 29 4, ( 2,783) 9,2000x, ( ) n n, ( 20 2 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 47 / 70
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... ( x... první odmocnina z x) x... (druhá) odmocnina z x 3 x... třetí odmocnina z x 4 x... čtvrtá odmocnina z x 5 x... pátá odmocnina z x 6 x... šestá odmocnina z x 7 x... sedmá odmocnina z x 8 x... osmá odmocnina z x 9 x... devátá odmocnina z x 0 x... desátá odmocnina z x x... jedenáctá odmocnina z x 2 x... dvanáctá odmocnina z x. 9 x... devatenáctá odmocnina z x 20 x... dvacátá odmocnina z x j, 9 x, 4 c, 7 p, 7 f, x, 4 o, 20 k, 3 z, 3 r, 5 a, 0 w, 2 q, 9 e, y, 8 m, 8 p, 5 q, 6 v, 4 a, 9 s, 2 u, 0 n, 3 3 w, d, 7 g, 7 4 t, i, b, 2 y, 9 x, 3 g, 0 p, 6 n, c, 5 e, 2 s, 5 7 3 j, k, l, 9 a 9 y, 4 t, 6 z, 20 y, 6 k Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 48 / 70
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 0... odmocnina z nuly 9... odmocnina z devíti... odmocnina z jedné 2... odmocnina ze dvou 3... odmocnina ze tří 4... odmocnina ze čtyř 5... odmocnina z pěti. 8... odmocnina z osmi 0... odmocnina z deseti.. 20... odmocnina z dvaceti 2... odmocnina z dvaceti jedné 22... odmocnina z dvaceti dvou. 99... odmocnina z devadesáti devíti Při odmocňování deklinujeme (= skloňujeme) stejně jako při dělení. S výjimkou čísel 0,, 2, 3, 4. ( 0... odmocnina z deseti, 0... děleno deseti) 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 8, 4, 6 50, 95, 3, 6, 23, 0 49, 84,, 66, 3 8, 52, 0, 80, 7 77,, 92, 3, 64, 29, 9 53, 42, 7, 3 0,, 2, 4 76, 2, 0 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 49 / 70
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 3 x odmocnitel základ (odmocniny), číslo pod odmocninou 3 2... Pod odmocninou je dvojka. Pod odmocninou je číslo dvě. 3 2... Základ odmocniny je dvojka. Odmocnitel je trojka. 3 2... Základ odmocniny je číslo dvě. Odmocnitel je číslo tři. Pokud je odmocnitel písmeno latinské abecedy, čteme ho následovně: n 5... n-tá odmocnina z pěti x 3... x-tá odmocnina ze tří Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 50 / 70
( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Pokud je výraz pod odmocninou složitější, deklinovat ho nemusíme. 2,5... odmocnina z čísla dvacet jedna celých pět desetin 0 4... odmocnina z (výrazu/čísla) deset mínus jedenáct čtvrtin n 2 + 2n + 4... odmocnina z (výrazu/čísla) n na druhou plus dvě n plus čtyři Pokud je odmocnitel složitejší, čtěte odmocninu následujícím způsobem: 2n 2... Odmocnina. Odmocnitel je 2n, pod odmocninou je číslo dvě/dvojka. x2 + 3w + 4... Odmocnina. Odmocnitel je x 2 +, pod odmocninou je číslo/výraz tři w plus čtyři. 27 000 5... Odmocnina. Odmocnitel je sto dvacet sedm tisíc, pod odmocninou je číslo pět/pětka. 3 2 3 + x0, n nn, 9 + 2, t 2 x8 3y 2, q+s k/2 23/456, 2 g+h, j 0, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 5 / 70 y e x
Logaritmy (log 0 2, ln x,...) log a x... logaritmus x při/o základu a, logaritmus x log x ( = log 0 x)... logaritmus x ln x ( = log e x)... přirozený logaritmus x, logaritmus x e... Eulerovo číslo, e = 2,78... log a b argument logaritmu základ logaritmu Argument logaritmu čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). ln 257... přirozený logaritmus dvě stě padesáti sedmi log 4 3 00... logaritmus tři tisíce jedné při základu čtyři log 2 2... logaritmus odmocniny ze dvou při základu dvě log a x + log a y = log a (xy), log a x log a y = log a ( x y ), c log a x = log a x c, ln 23, log 85 987 654 32, log a x = log a b log b x, log2 2 32 =? Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 52 / 70
Absolutní hodnota ( x, 0,...)... absolutní hodnota x číslo v absolutní hodnotě absolutní hodnota Číslo v absolutní hodnotě čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). x... absolutní hodnota x... absolutní hodnota mínus jedné x 2 + 2... absolutní hodnota výrazu/čísla x na druhou plus dvě 3 2... absolutní hodnota třetí odmocniny z mínus dvou ln 4... absolutní hodnota přirozeného logaritmu čtyř ln 4... přirozený logaritmus absolutní hodnoty mínus čtyř 200, 35, q, x2 + 4x + 4 =?, 74 9, 2x, x2 = x, e s = e s,, 7 3 872 log 3 8 =?, x + y x + y, x y = xy Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 53 / 70
Závorky ((), [], {}, ) (... kulatá závorka [... hranatá závorka {... složená závorka... špičatá/ostrá závorka ()... kulaté závorky []... hranaté závorky {}... složené závorky... špičaté/ostré závorky (... levá závorka )... pravá závorka (x), [x], {x}, x... x v závorce (x + ), [x + ], {x + }, x +... x plus jedna (to celé) v závorce (x + ) 3... x plus jedna to celé/v závorce krát tři ln(4x + 3)... logaritmus výrazu/čísla čtyři x plus tři ( + x) n... jedna plus x to celé na n-tou 6/(2 + 4)... šest děleno závorka dvě plus čtyři konec závorky (4/(x + y) + ) 5... čtyři děleno závorka x plus y konec závorky plus jedna to celé (v závorce) krát pět Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 54 / 70
Závorky ((), [], {}, ) (a + b) (a b) = a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, 5(4r + 3h), [ ( 3 42 27 5 2 2 ln )] e 3 =?, (m + n) l + m + n = (m + n) (l + ), ( ) { p/2 345 log 4 254 786 + r } [ ] 90 45, + e 2(3s g) 5 q 67 24 3, 20 7 720 5 6 723 905 = 3, (x + a) w (log y 37 6u) 8 000 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 55 / 70
Množiny (R, x 0,, A B) {, a, +}... množina, která obsahuje prvky jedna, a, plus A = {, a, +}... Množina A obsahuje prvky jedna, a, plus. x A... x patří/náleží do množiny A, x je v A,5 / A... (číslo) jedna celá pět desetin nepatří/nenáleží do množiny A, (číslo) jedna celá pět desetin není v A A B... Množina A je podmnožinou množiny B. A je v B. A B... Množina B je nadmnožinou množiny A. A B... Množina A není podmnožinou množiny B. A není v B. A B... průnik množin A a B, A průnik B A B... sjednocení množin A a B, A sjednoceno s B A \B... rozdíl množin A a B, A mínus B x A B... x patří do průniku množin A a B, x je v průniku množin A a B, x je v A a i v B Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 56 / 70
Množiny (R, x 0,, A B) Intervaly (0, )... otevřený interval od nuly do jedné 0,, [0, ]... uzavřený interval od nuly do jedné (a, b)... otevřený interval od a do b Číslo 0 je dolní mez intervalu a číslo je horní mez intervalu. Meze intervalu čteme jako číslo pod odmocninou (2. pád). (0,... zleva otevřený zprava uzavřený interval od nuly do jedné 0, )... zleva uzavřený zprava otevřený interval od nuly do jedné x (3,4)... x patří/náleží do otevřeného intervalu od tří do čtyř, x není v otevřeném intervalu od tří do čtyř Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 57 / 70
Množiny (R, x 0,, A B) x (2,3), q / [ 7, ], ( 3, 7) ( 2, 9), (c,d) {c, d} = c,d, {8, 5, 7} 4, 0), 0, 6 3, 5 =?, (8, 7 (7, 8) =?, (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 58 / 70
Množiny (R, x 0,, A B) Důležité množiny N... množina všech přirozených čísel (x N... x je přirozené) Z... množina všech celých čísel (x Z... x je celé) Q... množina všech racionálních čísel (x Q... x je racionální) R... množina všech reálných čísel (x R... x je reálné) R +... množina všech kladných reálných čísel (x R +... x je kladné) R... množina všech záporných reálných čísel (x R... x je záporné) R + 0... množina všech kladných reálných čísel a nuly R... rozšíření množiny všech reálných čísel (R = R {+, }) +... plus nekonečno,... mínus nekonečno C... množina všech komplexních čísel (x C... x je komplexní) C... rozšíření množiny všech komplexních čísel (C = C { })... nekonečno... prázdná množina Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 59 / 70
( ) Úpravy zlomků 2 = 4 2 2, 3 7 + 2 5 = 29 35,... Krácení a rozšiřování zlomků (krátit zlomek, rozšířit zlomek) Číslo, kterým krátíme/rozšiřujeme, čteme jako při dělení (7. pád). 2... Zlomek dvě čtvrtiny zkrátíme dvěma (na tvar jedna polovina). 4 2 x3x x2 7 3 3 3... Zlomek x na třetí lomeno x na druhou zkrátíme x na druhou.... Zlomek tři sedminy rozšíříme třemi. Jak můžeme zkrátit zlomek 30 3 6. 60 5? Například dvěma na tvar 30 nebo deseti na tvar Převod zlomků na společného jmenovatele (převést zlomky na společného jmenovatele) 3 7 + 2 5 = 29 35... Zlomky tři sedminy a dvě pětiny převedeme na společného jmenovatele (třicet pět) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 60 / 70
Čtení indexů ( a, x n, x 3,... ) Čtení indexů x... x jedna, x s dolním indexem jedna... dolní index x 2, x (2)... x dvě, x s horním indexem dvě 2, (2)... horní index x,2... x jedna dvě x n... x n Další způsob čtení výrazu x y x 0... x je různé od nuly (čteme v 2. pádě, jako číslo pod odmocninou) x y... x je různé od y Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 6 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) x 2 + 2x 3 = 0... rovnice (s neznámou x), x 2 = 2x + p... rovnice (s neznámou x a parametrem p), x 2 2x + p... nerovnice (s neznámou x a parametrem p) x 2 = 2x + p levá strana rovnice rovnítko, znak rovnosti pravá strana rovnice x je neznámá. p je parametr. Na levé straně rovnice je (výraz/číslo) x 2. Na pravé straně rovnice je (výraz/číslo) 2x + p. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 62 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x 2 = 2x 0 = x 2 2x Převedeme (výraz/číslo) x 2 z levé strany (rovnice) na pravou (převést). x 2 = 2x x 2 + 2x = 0 Převedeme (výraz/číslo) 2x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). 2x 2 = 2x x = Vydělíme rovnici číslem/výrazem 2x (vydělit). 2x = = 2x Vynásobíme rovnici číslem/výrazem 2x (vynásobit). x 2 + 4x = 4 x 2 + 4x+y = 4+y K levé i pravé straně rovnice přičteme číslo y (přičíst). x 2 + 4x + 4 = 0 x 2 + 4x + 4 y = 0 y Od levé i pravé strany rovnice odečteme číslo y (odečíst). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 63 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x + = 0 x + = 0 Rovnici umocníme na druhou (umocnit). (x + ) 2 = 0 x + = 0 Rovnici odmocníme (odmocnit). 2 x = log 2 2 x = log 2 Rovnici logaritmujeme (logaritmovat). log 2 2 x = log 2 2 x = Rovnici odlogaritmujeme (odlogaritmovat). x 2 + 2x + = 0 (x + ) (x + ) = 0 Levou stranu rovnice převedeme na součin (převést). Levou stranu rovnice vyjádříme jako součin (vyjádřit). Levou stranu rovnice převedeme na tvar (x + ) (x + ). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 64 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic log 2 2 x 2 = x =... Levou stranu rovnice zjednodušíme (na (tvar) x ). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). ln 2 ln x=a x + 3ln x + 2 = 0 = a 2 + 3a + 2 = 0 Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). a 2 + 3a + 2 a= = 2 + 3 + 2 Za a dosadíme číslo jedna. (dosadit). x 3 + 3x 2 + 2x = x ( x 2 + 3x + 2 ) Z výrazu vytkneme číslo x. (vytknout). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 65 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice 3x 2 = 6 3x (s neznámou x R) Máme řešit rovnici 3x 2 = 6 3x. 2 3 x 2 = 6 2 3 x... Rovnici vydělíme třemi. 3 x 2 = 2 x x 2 +x 2 = 0... Výraz dvě mínus x převedeme z pravé strany na levou. Převedeme všechno/vše na levou stranu. 4 x 2 + x 2 = 0 (x + 2) (x ) = 0... Levou stranu převedeme na součin x plus dva krát x mínus jedna. 5 x = 2 nebo x =... Řešením rovnice jsou čísla mínus dvě a jedna. Rovnici řeší čísla mínus dvě a jedna. Rovnice má dvě řešení, čísla mínus dvě a jedna. x = 2, x 2 =... Řešením rovnice jsou čísla x jedna a x dvě, kde x jedna se rovná mínus dvě a x dvě se rovná jedna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 66 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 2 (x 2)2 < 6 (s neznámou x R). Řešíme nerovnici 2 (x 2)2 < 6. 2 2 (x 2)2 < 6 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6... Rovnici logaritmujeme (logaritmem při základu dvě). 3 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6 (x 2) 2 < 4... Levou i pravou stranu rovnice zjednodušíme. Obě strany rovnice zjednodušíme. 4 (x 2) 2 < 4 x 2 < 2... Rovnici odmocníme. 5 x > 0 a zároveň x < 4... Řešením rovnice jsou všechna čísla x (, která jsou) větší než nula a zároveň menší než čtyři. Řešením rovnice jsou všechna x z otevřeného intervalu od nuly do čtyř (všechna x (0, 4)). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 67 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 4x 3 7+x Máme řešit nerovnici 4x 3 7+x > 0. 2 > 0 (s neznámou x R). 4x 3 7+x > 0 7 + x 0 x 7 Určíme, pro která x má zlomek smysl. Určíme, za jakých podmínek má zlomek smysl. Zlomek má smysl pro (všechna) x různá od mínus sedmi. 3 4x 3 = 0 nebo 7 + x = 0 x = 3 4 nebo x = 7... Určíme/nalezneme nulové body čitatele a jmenovatele. x = 3 4... nulový bod 4 x < 7 4x 3 7+x > 0, x ( 7, 3 4 ) 4x 3 7+x < 0, x > 3 4 4x 3 7+x > 0 Určíme, znaménka zlomku v intervalech (, 7), ( 7, 3 4 ) a ( 3 4, + ). Určíme, kdy je zlomek kladý a kdy (je) záporný. 5 x (, 7) ( 3 4, + )... Řešením rovnice jsou všechna čísla x ze sjednocení otevřeného intervalu od mínus nekonečna do mínus sedmi s otevřeným intervalem od tří čtvrtin do plus nekonečna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 68 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice x 2 = 2 x (s neznámou x R) Řešíme rovnici x 2 = 2 x. 2 a)... x 2 0, b)... x 2 > 0... Rozdělíme řešení na dva případy. 3 a) x 2 0 x 2 = (x 2) = 2 x... Za a. Pokud je výraz x mínus dvě menší nebo roven nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar dvě mínus x. 4 b) x 2 > 0 x 2 =x 2 Za b. Pokud je výraz x mínus dvě větší než nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar x mínus dvě. Za b. Pro x mínus dva větší než nula se absolutní hodnota z x 2 rovná x mínus dvě. 5 x 2... Řešením rovnice jsou všechna čísla x menší nebo rovna dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 69 / 70
Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice xp = 0 s neznámou x R a parametrem p R Řešíme rovnici xp = 0 s parametrem p R. 2 a)... p = 0, b)... p 0 V závislosti na hodnotě parametru p rozdělíme řešení na případy a a b (rozdělit). Rozlišíme následující dva případy: p je nula a p není nula. Rozdělíme řešení na případ, kdy p je nula, a případ, kdy p je různé od nuly. 3 a) p = 0 0 x = 0 x R Za a. Pokud je p nula, dostáváme rovnici nula x se rovná nula, takže řešením jsou všechna reálná x. 4 b) p 0 x p = 0 x = 0 Za b. Pro p různé od nuly vydělíme rovnici (číslem) p, takže dostáváme, že x je nula. 5 Pro p 0 (různé od nuly) má rovnice řešení x = 0 (x se rovná nula) a pro p = 0 (p se rovná nula) rovnici řeší všechna x R (reálná x). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 70 / 70