Matematika 1 Numerické řešení nelineární rovnice f(x) = e x 2 x 2 Metody: gra ická, bisekce, regula falsi, tečen (Newtonova), sečen Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2016 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
Obsah Nelineární rovnice o jedné neznámé 3 Postup pr i hleda nı kor enu......................................... 4 Separace kor enu........................................... 4 Aproximace kor enu......................................... 5 Zastavovacı podmıńky........................................ 5 Příklad: f(x) = e 2 x 2 7 1. separace kor enu GRAFICKA metoda................................ 7 Startovací metody Metoda pu lenı intervalu (bisekce).................................... 8 kor en: 1 < α < 0......................................... 8 Metoda te tiv (regula falsi)......................................... 12 kor en: 1 < β < 2......................................... 13 Zpřesňující metody Metoda tec en (Newtona metoda)..................................... 16 kor en: 1 < β < 2......................................... 17 Metoda sec en................................................ 19 kor en: 1 < α < 0......................................... 20 Použitá literatura 22
Nelineární rovnice o jedné neznámé S potr ebou vyřešit ne jakou rovnici (1), nebo-li najı t kor eny funkce f(x), se setka va me v mnoha oborech, avs ak jen vy jimec ne doka z eme kor eny pr esne urc it. V takovy chto pr ıṕadech lze ale najı t pr ibliz nou hodnotu kor ene pomocı ne ktere numericke metody spoc ı vajıćı v tom, z e se v jednotlivy ch krocıćh vy poc tu postupne zıśka vajı sta le pr esne js ı aproximace hledane ho kor ene. V dals ıḿ se tedy budeme zaby vat hleda nıḿ rea lny ch kor enu rovnice f(x) = 0, (1) kdy poz adujeme najı t x ove sour adnice pru sec ıḱu grafu funkce f s osou x viz obr. 1. Obra zek 1: [8, str. 32]
O funkci jedne prome nne f(x) budeme pr edpokla dat, z e je alespon spojita. Tato vlastnost na m zaruc ı existenci kor enu. Protoz e ma -li spojita funkce ve dvou bodech opac na zname nka, ma podle Cauchyovy Bolzanovy ve ty mezi nimi kor en. Uvedena ve ta (Cauchy Bolzano) viz [7, str. 407] na m r ıḱa, z e spojitá funkce, ktera ma v krajnıćh bodech uzavr ene ho ohranic ene ho intervalu a ; b funkc nı hodnoty opac ny ch zname nek f(a) f(b) < 0 (2) ma uvnitr otevr ene ho intervalu (a ; b) aspon jeden kořen. To znamena, z e graf te to funkce protne uvnitr intervalu (a ; b) ne kde osu x. Bez pr edpokladu spojitosti nema u loha (1) smysl. Postup při hledání kořenů Hleda nı kor enu lze v za sade rozde lit na na sledujıćı dva kroky: Separace kořenů urc enı intervalu, ktery je dostatec ne maly a obsahuje jediny kor en. Pro separaci kor enu neexistuje jednoznac na a spolehliva univerza lnı metoda. Obvykle informaci o poloze kor enu zıśka va me ne ktery m z na sledujıćıćh postupu : Graficky z obra zku grafu funkce pr ibliz ne odhadneme polohu kor enu. Tento zpu sob je dnes, kdy jsou k dispozici poc ı tac ove programy, ktere graf doka z ı s velkou pr esnostı nakreslit, nejčastější. Pomocí tabulky hodnot vypoc ı ta me funkc nı hodnoty ve vhodny ch bodech x a vybereme ty intervaly, v jejichz krajnıćh bodech majı funkc nı hodnoty opac na zname nka. Tento postup byl typicky v minulosti, kdy byly k dispozici pouze kalkulac ky, pr ıṕadne tabulky. Ze zkušenos z vlastnostı proble mu, ktery je uvaz ovanou rovnicı modelova n.
Aproximace kořenů zpr esn ova nı jejich hodnoty. Hleda me takovou posloupnost c ıśel (x, x, x, ), ktera konverguje ke kor enu α. Platı tedy: lim x = α a f(α) = 0 Na poc ı tac i pochopitelne mu z eme urc it pouze konec ny poc et c lenu posloupnosti {x }. V urc ity okamz ik musıḿe proces ukonc it. Obvykle se zada male kladne c ıślo ε a posuzuje se, zda ne jaka velic ina je jiz mens ı nez toto c ıślo. Idea lnı by bylo posuzovat hodnotu x α, neboli rozdıĺ od pr esne hodnoty kor ene α. Hodnotu kor ene vs ak nezna me, proto v praxi k zastavenı iterac nı ho procesu pouz ı va me ne kterou z na sledujıćıćh zastavovacích podmínek: x x < ε (3) x x x < ε (4) f(x ) < ε (5) Jakmile je pro ne ktere n zvolena podmıńka splne na, proces ukonc ıḿe a klademe α x. C ıślo ε se nazy va přesnost řešení. Poznámka 1. Splne nı ktere koli ze zastavovacıćh podmıńek neznamena, z e absolutnı chyba r es enı α x je mens ı nez zvolene ε. Je-li napr ıḱlad graf funkce f v okolı kor ene plochy, mu z e by t hodnota f(x ) velmi mala, takz e pr i pouz itı podmıńky (5) je proces zastaven, pr estoz e kor en je jes te hodne vzda len.
Podobne je tomu i u druhy ch dvou zastavovacıćh podmıńek. 2. Pokud je kor en α blıźky nule nebo je naopak velmi velky, je vhodne pouz ı t zastav. podmıńku (4). 3. Pr i velmi pomale konvergenci je vhodne nastavit maxima lnı povoleny poc et iteracı s na slednou signalizacı, z e nebyla dodrz ena poz adovana pr esnost. V du sledku zaokrouhlovacıćh chyb se totiz mu z e sta t, z e poz adovana zastavovacı podmıńka nebude nikdy splne na. Ne ktere z da le uvedeny ch metod (pomocı ktery ch zpr esn ujeme hodnotu kor ene prova dıḿe jeho aproximaci) jsou stabilnı. To znamena, z e pro zajis te nı toho, z e vypoc tene aproximace se k hledane mu kor enu skutec ne pr ibliz ujı, stac ı zadat interval, o ne mz je zna mo, z e v ne m alespon jeden kor en lez ı. Jine metody vyz adujı zada nı poc a tec nı aproximace dostatec ne blıźko kor ene; za to je potom vy poc et efektivnı, coz jiny mi slova znamena, z e vypoc tene aproximace se ke kor enu pr ibliz ujı velmi rychle. Metody numericke ho r es enı nelinea rnı rovnice obvykle de lıḿe na dva typy: Startovací metody jsou vz dy konvergentnı, ale konvergence je pomala. Sem r adıḿe metodu bisekce (metodu pu lenı intervalu) a metodu regula falsi (metodu te tiv), ktere konvergujı za dosti obecny ch pr edpokladu, ale jejich konvergence by va pomala. Proto se pouz ı vajı pouze k hrube aproximaci kor ene. Zpřesňující metody jsou rychlejs ı, ale poc a tec nı aproximace musı by t dostatec ne blıźko kor enu, aby metoda konvergovala. Sem r adıḿe metodu tečen (Newtonovu metodu) a metodu sečen. Obvykle postupujeme tak, z e pomocí sestrojeného grafu provedeme separaci kořene. Urc ıḿe dostatec ne maly interval obsahujıćı jediny kor en dane rovnice. Pak ne kterou startovací metodou najdeme přibližnou hodnotu tohoto kořene. Tu pak zlepšíme vhodnou zpřesňující metodou. V konkre tnıḿ pr ıṕade mu z e by t startovacı metoda rychla a zpr esn ujıćı metoda pomala.
Příklad: Určete kořeny funkce f(x) = e x 2 x 2 1. separace kořenů GRAFICKÁ metoda Najı t kor eny funkce f(x) znamena najı t kor eny rovnice (r es it rovnici) f(x) = 0, protoz e funkc nı hodnota v kor enu α je rovna nule: f(α) = 0. V nas em pr ıṕade rovnici e 2 x 2 = 0 nejdr ı ve upravıḿe na tvar: e = 2 x + 2 I bez pr esne ho ry sova nı separujeme dva kor eny: α ( 1 ; 0) α (1 ; 2) coz si mu z eme i bez kalulac ky ove r it. Ove r enı : f( 1) = e ( ) 2 ( 1) 2, + 2 2 =, > 0 f(0) = e ( ) 2 (0) 2 = 1 0 2 = 1 < 0 f( 1) f(0) < 0 a podle ve ty 2 (Cauchyovy Bolzanovy) interval ( 1 ; 0) obsahuje alespon jeden kor en.
Obdobne : f(1) = e ( ) 2 (1) 2 2,7 4 = 1,3 < 0 f(2) = e ( ) 2 (2) 2 > 2,6 6 = 6,76 6 > 0 a podle ve ty 2 take interval (1 ; 2) obsahuje alespon jeden kor en. Metoda půlení intervalu (bisekce) kořen: α ( 1 ; 0) f(1) f(2) < 0 Za členy posloupnosti {x }, n = 0, 1, 2,, ktera konverguje ke kor enu α, volíme středy intervalů (a ; b ), Jedna se vz dy o konvergentnı metodu (napr ıḱlad [8, str. 36]), ktera je obecne pomala. Ma me vs ak dolnı i hornı odhad pro hodnotu kor enu, protoz e a < α < b. Nevyuz ı vajı se z a dne specia lnı vlastnosti funkce f (stac ı, kdyz f(a ) f(b ) < 0), ani se nevyz aduje, aby interval obsahoval jediny kor en. Pokud výchozí interval (a ; b ) obsahoval vıće kor enu, posloupnost {x } dana touto metodou sice konverguje k ne jake mu kor enu rovnice f(x) = 0, nevıḿe ovs em ke ktere mu. Ve vy sledne m intervalu (a ; b ) mu z e by t v tomto pr ıṕade vıće kor enu. Hleda me kor en α (a ; b ). Jako c len x posloupnosti aproximací volıḿe střed tohoto intervalu. Začátek CYKLU x = a + b 2 Urc ıḿe funkc nı hodnotu f(x ) ; f(x ) = 0 nas li jsme kor en a výpočet ukončíme! mohou nastat tr i moz nosti: f(a ) f(x ) < 0 poloz ıḿe a = a, b = x (obr. pro n = 0) f(x ) f(b ) < 0 poloz ıḿe a = x, b = b Konec CYKLU neplatı -li zastavovacı podmıńka, cyklus opakujeme.
Hodnoty f(x) = e 2 x 2 vc etne aproximacı kor ene mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. a = 1 b = 0 f(a ) = e 2 ( 1) 2 0,368 f(b ) = e 2 0 2 = 1 x = = = 0,5
Hodnoty f(x) = e 2 x 2 vc etne aproximacı kor ene mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. a = 1 b = 0 f(a ) 0,368 f(b ) = 1 x = 0,5 f(x ) 0,393 a = 1 b = 0,5 f(a ) 0,368 f(b ) 0,393 x = 0,75 f(x ) 0,028 Aproximace kořene: 0,5 0,75 0,875
Hodnoty f(x) = e 2 x 2 mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. 1 0 f(-1) 0,368 f(0) = -1 1 0,5 f(-1) 0,368 f(-0,5) -0,393 1 0,75 f(-1) 0,368 f(-0,75) -0,028 0,875 0,75 f(-0,875) 0,168 f(-0,75) -0,028 0,812 5 0,75 f(-0,812 5) 0,069 f(-0,75) -0,028 0,781 25 0,75 f(-0,781 25) 0,020 f(-0,765 625) -0,028 0,781 25 0,765 625 f(-0,781 25) 0,020 f(-0,765 625) -0,004 0,773 437 5 0,765 625 f(-0,773 437 5) 0,008 f(-0,765 625) -0,004 0,769 531 25 0,765 625 f(-0,769 531 25) 0,002 f(-0,765 625) -0,004 0,769 531 25 0,767 578 125 f(-0,769 531 25) 0,002 f(-0,767 578 125) -0,001
Metoda tě v (regula falsi) kořen: β (1 ; 2) Za členy posloupnosti {x }, n = 0, 1, 2,, ktera konverguje ke kor enu β, volíme průsečíky [x ; 0] osy x s pr ıḿkou (te tivou) procha zejıćı body A = [a ; f(a )], B = [b ; f(b )]. Jedna se vz dy o konvergentnı metodu (viz napr ıḱlad [8, str. 40]), ktera je obecne pome rne pomala. Nevyuz ı vajı se z a dne specia lnı vlastnosti funkce f (stac ı, kdyz f(a ) f(b ) < 0), ani se nevyz aduje, aby interval obsahoval jediny kor en. Pokud výchozí interval (a ; b ) obsahoval vıće kor enu, posloupnost {x } dana touto metodou sice konverguje k ne jake mu kor enu rovnice f(x) = 0, nevıḿe ovs em ke ktere mu. Ve vy sledne m intervalu (a ; b ) mu z e by t v tomto pr ıṕade vıće kor enu. Hleda me kor en β (a ; b ). Jako c len x procha zejıćı body A a B. Zvolıḿe-li jako sme rovy vektor posloupnosti aproximací volıḿe pru sec ıḱ osy x s te tivou AB= (b a ; f(b ) f(a )), pak parametricke rovnice te tivy jsou: x = a + (b a ) t y = f(a ) + (f(b ) f(a )) t a pru sec ıḱ s osou x: x = a + (b a ) t 0 = f(a ) + (f(b ) f(a )) t t = x = a f(b ) b f(a ) f(b ) f(a ) f(a ) f(b ) f(a )
Začátek CYKLU x = a f(b ) b f(a ) f(b ) f(a ) Urc ıḿe funkc nı hodnotu f(x ) ; f(x ) = 0 nas li jsme kor en a výpočet ukončíme! mohou nastat tr i moz nosti: f(a ) f(x ) < 0 poloz ıḿe a = a, b = x f(x ) f(b ) < 0 poloz ıḿe a = x, b = b (obra zek pro n = 0) Konec CYKLU neplatı -li zastavovacı podmıńka, cyklus opakujeme. Hodnoty f(x) = e 2 x 2 vc etne aproximacı kor ene mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. a = 1 b = 2 f(a ) = e 2 1 2 1,282 f(b ) = e 2 2 2 1,39 x =, (, ), (, ) 1,48
Začátek CYKLU x = a f(b ) b f(a ) f(b ) f(a ) Urc ıḿe funkc nı hodnotu f(x ) ; f(x ) = 0 nas li jsme kor en a výpočet ukončíme! mohou nastat tr i moz nosti: f(a ) f(x ) < 0 poloz ıḿe a = a, b = x f(x ) f(b ) < 0 poloz ıḿe a = x, b = b (obra zek pro n = 0) Konec CYKLU neplatı -li zastavovacı podmıńka, cyklus opakujeme. Hodnoty f(x) = e 2 x 2 vc etne aproximacı kor ene mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. a = 1 b = 2 f(a ) 1,282 f(b ) 1,39 x 1,48 f(x ) 0,567 a = 1,48 b = 2 f(a ) = 0,567 f(b ) 1,39 x 1,631
Hodnoty f(x) = e 2 x 2 mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. 1 2 f(1) -1,282 f(2) 1,39 1,48 2 f(1,48) -0,567 f(2) 1,39 1,631 2 f(1,631) -0,153 f(2) 1,39 1,668 2 f(1,668) -0,034 f(2) 1,39 1,676 2 f(1,676) -0,008 f(2) 1,39 1,678 2 f(1,678) -0,002 f(2) 1,39 1,678 27 2 f(1,678 27) -0,000 258 f(2) 1,39 1,678 33 2 f(1,678 33) -0,000 006 f(2) 1,39 Aproximace kořene: 1,48 1,631 1,668 1,676 1,678 1,678 27 1,678 33
Metoda tečen (Newtona metoda) kořen: β (1 ; 2) Tato metoda (pro svou rychlost se c asto uz ı va ) vyz aduje, aby existovala derivace f (x). Newtonova metoda totiz vyuz ı va k nalezenı kor enu rovnice f(x) = 0 tec ny ke grafu funkce f. Za členy posloupnosti {x }, n = 0, 1, 2,, ktera konverguje ke kor enu β, volíme průsečík [x ; 0] osy x s tečnou procha zejıćı bodem [x ; f(x )]. Tato tec na ma rovnici y f(x ) = f (x ) (x x ) a pru sec ıḱ je potom: x = x f(x ) f (x ) Metoda nemusı konvergovat. Konvergence je zaruc ena, platı -li Fourierovy podmínky (viz [3, str. 21]): f(a) f(b) < 0 f (x) 0 f (x) 0 existuje kor en funkce je ryze monoto nnı funkce je buď konka vnı nebo konvexnı Pokud nejsou splne ny Fourierovy podmıńky a poc a tec nı aproximace x nenı dostatec ne blıźko kor ene β, nemusı metoda konvergovat nebo mu z e konvergovat k jine mu kor enu. Volba x Jako poc a tec nı aproximaci kor ene x volıḿe ten krajnı bod c {a, b} intervalu (a, b), pro ne jz platı f(c) f (c) > 0. V nas em pr ıṕade : f(x) = e 2 x 2 f(1) = 1,282 f (x) = e 2 f(2) = 1,39 f (x) = e f (x) > 0 x Tedy volıḿe x = 2, protoz e: f(2) f (2) > 0.
Poc a tec nı aproximace x = 2 Začátek CYKLU Pokud f(x ) = 0 Pokud f(x ) 0 x = x f(x ) f (x ) Urc ıḿe funkc nı hodnotu f(x ). nas li jsme kor en a výpočet ukončíme! a Konec CYKLU a pokud neplatı zastavovacı podmıńka, sestrojıḿe v bode [x ; f(x )] tec nu a cyklus opakujeme. Vy poc et pro f(x) = e 2 x 2 f (x) = e 2 mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. x = 2 f(x ) 1,39 x = 2 e 2 2 2 e 2 x = 1,742 e, 2 1,742 2 e, 2 x = 1,681 4 e, 2 1,681 4 2 e, 2 x = 1,678 354 e, 2 1,678 354 2 e, 2 1,742 f(x ) 0,225 1,681 4 f(x ) 0,010 1,678 354 f(x ) 0,000 023 1,678 347 f(x ) 0,000 000 034 Aproximace kořene: 2 1,742 1,681 4 1,678 354 1,678 347
Pro jinou počáteční aproximaci dostáváme:
Metoda sečen kořen: α ( 1 ; 0) Newtonova metoda uvedena v pr edchozı kapitole je velmi rychla, ale vyz aduje existenci derivace funkce f(x) a v kaz de m kroku vy poc et hodnoty derivace f (x ). V pr ıṕadech, kdy na m tento postup nevyhovuje, se proto c asto pouz ı va na hrada tec ny za sečnu. Sec nou rozumıḿe pr ıḿku, ktera procha zı dve ma body grafu funkce f (x). Tato metoda vyz aduje dva startovacı body x, x, blıźke kor enu α rovnice f(x) = 0. Nemusı nutne platit f(x ) f(x ) < 0, tedy kor en nemusı lez et mezi nimi. Za členy posloupnosti {x }, n = 0, 1, 2,, ktera konverguje ke kor enu α, volíme průsečík [x ; 0] osy x se sečnou procha zejıćı body [x ; f(x )], [x ; f(x )]. Tato sec na ma rovnici y f(x ) = f(x ) f(x ) x x (x x ) a pru sec ıḱ je potom (viz obra zek z [8]): x = x x x f(x ) f(x ) f(x ) Pr edpokla da me, z e jmenovatel je ru zny od nuly pro libovolne n = 1, 2, 3, Metoda nemusı konvergovat. Konvergence je zaruc ena, pokud ma funkce spojitou prvnı a druhou derivaci, pr ic emz f (α) 0 (kor en je jednoduchy ), a pokud volıḿe poc a tec nı aproximace x, x blıźko kor ene α.
Poc a tec nı aproximace x = 1 x = 0 Začátek CYKLU x = x Urc ıḿe funkc nı hodnotu f(x ). Pokud f(x ) = 0 Pokud f(x ) 0 x x f(x ) f(x ) f(x ) nas li jsme kor en a výpočet ukončíme! a Konec CYKLU a pokud neplatı zastavovacı podmıńka, sestrojıḿe v bodech [x ; f(x )] a [x ; f(x )] sec nu a cyklus opakujeme. Vy poc et pro f(x) = e 2 x 2 mu z eme zapsat do na sledujıćı tabulky. x = 1 f(x ) 0,368 x = 0 f(x ) = 1 x = 0 x = 0,73 x = 0,775 0 ( 1) e 2 0 2 [e 2 ( 1) 2] 0,73 f(x ) 0,058 0,73 0 e, 2 ( 0,058) 2 [e 2 0 2] 0,775 f(x ) 0,011 0,775 ( 0,73) e, 2 0,011 2 [e, 2 ( 0,058) 2] 0,768 f(x ) 0,000 06 Aproximace kořene: 1 0 0,73 0,775 0,768
Pro jinou počáteční aproximaci dostáváme:
Použitá literatura [1] C, L., H, R. Numerické metody. Obrazovkova verze kapitoly 5, z: Čermák, L., Hlavička, R. Numerické metody. Skriptum, 2. vyda nı Brno : Fakulta strojnı ho inz eny rstvı VUT, 2008, 110 s. ISBN 978 80 214 3752 4. [on line] http://mathonline.fme.vutbr.cz/default. aspx?section=90 [2] C, R., M, M., V, J., Z, C. Základy numerické matematiky a programování. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Celosta tnı vysokos kolska uc ebnice pro strojnı, elektrotechnicke a stavebnı fakulty vysoky ch s kol technicky ch, Praha 1987, 448 s. [3] D, J. Matematika IV, Numerická analýza. Brno : Fakulta stavebnı VUT, 2009, 130 s. [Dostupne z adresy:] https://intranet.fce.vutbr.cz/pedagog/predmety/opory.asp [4] D, A. Numerické metódy na osobnom počítači. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatu ry, 1988, 184 s. [5] D, J., B, J. Matematika IV. [skriptum] Brno : VUT, Fakulta elektrotechnicka, 1991, 120 s. [Dostupne z adresy:] http://rschwarz.wz.cz/fast/db_skripta.pdf [6] F, B., R, I. Matematika 3. Brno : Fakulta elektrotechniky a komunikac nıćh technologiı VUT, [on line] http://www.umat.feec.vutbr.cz/~hlavicka/skripta/matematika3.pdf [7] K, J., S, P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, 2006, vi+346 s. ISBN 80 248 1192 8. [on line] http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdf
[8] K, J., R, P. Numerické metody. Univerzita obrany, [Dostupne z adresy:] https://moodle.unob.cz/course/view.php?id=1169 [9] K, R., M, Z. Numerická matematika. Vysoka s kola ba n ska Technicka Univerzita Ostrava, ISBN: 978 80 248 3893 9. [on line] http://mdg.vsb.cz/portal/nm/nm.pdf [10] M, S. Numerické metody algebry. Praha : Sta tnı nakladatelstvı technicke literatury, Matematika pro vysoke s koly technicke, ses it IV, Praha, 1982, 176 s. [11] P, I., V, V. Numerické metody I. Vysoka s kola ba n ska Technicka univerzita Ostrava, Za padoc eska univerzita v Plzni, 2011, 191 s. [on line] http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/numericke_metody.pdf [12] R, I., H, R. Numerické metody. Brno : Fakulta strojnı ho inz eny rstvı VUT, [on line] http://physics.ujep.cz/~jskvor/nme/dalsiskripta/numerika.pdf [13] S, O. Desať kapitol z numerických, gra ických a iných metod. Bratislava : Alfa Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatu ry, Bratislava, 1978, 1. vydanie, 328 s.