Limita a spojitost LDF MENDELU

Transkript

1 Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

2 Rozšířená množina reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel je množina R rozšířená o prvky a. Značíme ji R. Tedy R = R {, }. Body ± se nazývají nevlastní body, body množiny R se nazývají vlastní body. Pro a R definujeme operace: a + =, a =, + =, = = = ( ), ( ) =, Pro a > 0: a =, a ( ) = Pro a < 0: a =, a ( ) = Nejsou definovány tyto operace: a = a = 0, ± =, ± 0, ± ±, a 0, a R Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 2 / 25

3 Okoĺı bodu Okoĺım (δ-okoĺım) bodu 0 R rozumíme otevřený interval ( 0 δ, 0 + δ), kde δ je kladné reálné číslo. Značíme O δ ( 0 ). 0 δ δ Interval ( 0 δ, 0 se nazývá levé okoĺı bodu 0, značíme O δ ( 0) a interval 0, 0 + δ) se nazývá pravé okoĺı bodu 0, značíme O + δ ( 0). 0 δ δ Ryzím (prstencovým) okoĺım (δ-okoĺım) bodu 0 R rozumíme množinu ( 0 δ, 0 + δ) { 0 }, kde δ je kladné reálné číslo. Značíme P δ ( 0 ). 0 δ δ Interval ( 0 δ, 0 ) se nazývá levé ryzí okoĺı bodu 0, značíme P δ ( 0) a interval ( 0, 0 + δ) se nazývá pravé ryzí okoĺı bodu 0, značíme P + δ ( 0). 0 δ δ Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví / 25

4 Pokud nebude hodnota δ podstatná, budeme okoĺı bodu 0 značit jen O( 0 ) a ryzí okoĺı P ( 0 ). Podobně pro jednostranná okoĺı. Okoĺım a zároveň i ryzím okoĺım bodu rozumíme každý interval (a, ), kde a R. Okoĺım a zároveň i ryzím okoĺım bodu rozumíme každý interval (, a), kde a R. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 4 / 25

5 Definice ity Definice (Limita funkce) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 R itu L R, jestliže ke každému okoĺı O(L) bodu L eistuje ryzí okoĺı P ( 0 ) bodu 0 tak, že pro všechna P ( 0 ) platí f() O(L). Píšeme f() = L. 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 5 / 25

6 Vlastní ita ve vlastním bodě: 0 R, L R f() = L 0 K libovolnému ε-okoĺı O ε (L) bodu L lze najít ryzí δ-okoĺı P δ ( 0 ) bodu 0 tak, aby platilo f() O ε (L) pro všechna P δ ( 0 ). Zhruba řečeno: Funkční hodnoty jsou libovolně bĺızké k L, pokud je dostatečně bĺızké k 0, ale 0. y L + ε L L ε 0 δ δ Na obrázku je k danému O ε (L) nalezeno největší možné ryzí okoĺı bodu 0. Ryzí okoĺı P δ ( 0 ) je lze zvolit menší. Funkční hodnota v bodě 0 není pro eistenci ity podstatná, funkce nemusí být v bodě 0 vůbec definovaná. Zajímají nás pouze funkční hodnoty v bĺızkém ryzím okoĺı bodu 0. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 6 / 25

7 Nevlastní ita ve vlastním bodě: 0 R, L = ± 0 f() = K libovolnému h R lze najít ryzí δ-okoĺı P δ ( 0 ) bodu 0 tak, aby platilo f() > h pro všechna P δ ( 0 ). y h P δ ( 0 ) je možné volit menší. 0 δ δ Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 7 / 25

8 Jednostranné ity ( 0 R) Analogicky s použitím pravého (levého) ryzího okoĺı v předchozí definici ity, můžeme definovat ve vlastním bodě vlastní i nevlastní nevlastní itu zprava (zleva). Nahradíme-li v definici ryzí okoĺı P ( 0 ) pravým ryzím okoĺım P + ( 0 ), dostáváme definici ity zprava f() = L. + 0 Nahradíme-li v definici ryzí okoĺı P ( 0 ) levým ryzím okoĺım P ( 0 ), dostáváme definici ity zleva f() = L. 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 8 / 25

9 Vlastní ita v nevlastním bodě: 0 = ±, L R f() = L K libovolnému ε-okoĺı O ε (L) bodu L lze najít K R tak, aby platilo f() O ε (L) pro všechna > K. y L + ε L L ε Číslo K na obrázku je možné volit větší (více vpravo). K Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 9 / 25

10 Nevlastní ita v nevlastním bodě: 0 = ±, L = ± f() = K libovolnému h R lze najít K R tak, aby platilo f() > h pro všechna > K. y h Na obrázku je k danému h zvoleno nejmenší možné K. Číslo K je možné volit větší (více vpravo). K Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 10 / 25

11 Vlastnosti it Z definice ity vyplývá, že aby měla funkce v daném bodě itu, nemusí být v tomto bodě vůbec definovaná. Musí však být definovaná v nějakém ryzím okoĺı tohoto bodu. Například 0 ln nemá vůbec smysl, nebot funkce y = ln není definovaná v žádném levém okoĺı nuly. Smysl má tedy pouze 0 + ln. Věta Funkce f má ve vlastním bodě 0 itu (vlastní nebo nevlastní) právě tehdy, když má v tomto bodě obě jednostranné ity, které jsou si rovny. Pak platí f() = f() = f() Věta Funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu itu. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 11 / 25

12 Svislá a vodorovná asymptota Definice (Svislá asymptota (asymptota bez směrnice)) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 R svislou asymptotu (asymptotu bez směrnice) o rovnici = 0, jestliže alespoň jedna z jednostranných it v bodě 0 je nevlastní, tj. nastane alespoň jeden z případů: f() =, + 0 f() =, 0 f() =, + 0 f() =. 0 Definice (Vodorovná asymptota) Řekneme, že funkce f má vodorovnou asymptotu o rovnici y = q pro (pro ), jestliže f() = q ( f() = q). Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 12 / 25

13 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

14 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

15 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

16 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

17 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

18 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

19 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

20 Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = asymptoty: = 1, = 1 a y = 0 pro f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25

21 Spojitost funkce Definice (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 R, jestliže f() = f( 0 ). 0 Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 R zprava (zleva), jestliže f() = f( 0 ) ( f() = f( 0 )) Z definice ity vyplývá, že je-li funkce spojitá v bodě 0, pak je definovaná v tomto bodě i v nějakém jeho okoĺı. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 14 / 25

22 Definice (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá ve všech bodech tohoto intervalu. Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá ve všech jeho vnitřních bodech, v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Věta Základní elementární funkce a funkce, které vznikly součtem, rozdílem, součinem, podílem a skládáním těchto funkcí jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. Body, v nichž funkce není spojitá, se nazývají body nespojitosti. Body nespojitosti funkce z předchozího příkladu jsou, 1, 1 a. V bodě je funkce spojitá zleva. Body nespojitosti základních elementárních funkcí jsou body, v nichž tyto funkce nejsou definované. Například body nespojitosti funkce y = cotg jsou body kπ, k Z. Body nespojitosti racionální lomené funkce jsou nulové body jmenovatele. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 15 / 25

23 Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrass) Necht f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak f je na a, b ohraničená. f nabývá na a, b své největší a nejmenší hodnoty. y ma y = f() b 0 a min Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 16 / 25

24 Věta (Bolzano) Necht f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak f nabývá na a, b všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Zejména, je-li f(a) f(b) < 0, pak eistuje bod c (a, b) takový, že f(c) = 0. y y = f() f(a) f(b) c b 0 a Poznámka Na předchozí větě je založena metoda půlení intervalu, která se využívá například při řešení algebraických rovnic. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 17 / 25

25 Výpočet ity Věta (Pravidla pro počítání s itami) Necht f a g jsou funkce, které mají itu v bodě 0 R a necht c R. Pak platí 0 c = c c f() = c f() 0 0 ( ) f() ± g() = f() ± g() ( ) f() g() = f() g() f() 0 g() = f() 0 g() 0 pro g() 0. 0 Při výpočtu ity 0 f() postupujeme tak, že dosadíme bod 0 do funkce f. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 18 / 25

26 Limita spojité funkce Je-li funkce f spojitá v 0, pak dostaneme po dosazení bodu 0 do funkce funkční hodnotu (konečné číslo), která je zároveň itou funkce v daném bodě. Příklad (Limita spojité funkce) = arctg2 = arctg1 = π 4 V bodech, ve kterých je funkce spojitá, nemá výpočet ity velký význam. Dále se tedy budeme zabývat pouze funkcemi, které nejsou v bodě 0 spojité. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 19 / 25

27 Limita typu a ±, a R Pokud při výpočtu ity podílu funkcí f g dostaneme výraz a ±, tj. pak 0 f() = a, a R, f() 0 g() = 0. 0 g() = ±, Příklad (Limita typu = 1 = 0 a ± sin ln = 0 = 0, a R) Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 20 / 25

28 Limita typu a, a R {0} 0 Pokud při výpočtu ity podílu funkcí f g dostaneme výraz a, tj. 0 0 f() = a, a R {0}, pak nastane právě jedna ze tří možností: 0 g() = 0, f() g() =, pokud eistuje ryzí okoĺı bodu 0 takové, že podíl f() g() > 0 0 pro všechna z tohoto okoĺı. f() g() =, pokud eistuje ryzí okoĺı bodu 0 takové, že funkce 0 < 0 pro všechna z tohoto okoĺı. f() g() f() g() neeistuje, pokud se ita zprava nerovná itě zleva, tj. podíl 0 f() g() mění v bodě 0 znaménko. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 21 / 25

29 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

30 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

31 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

32 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + ( ) = ( ) neeistuje. + + =, ( ) = + =, Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

33 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: ( 5) 2 = ( ) = ( ) neeistuje =, ( ) = + =, Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

34 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: ( 5) 2 = ( ) = + + =, ( ) = + =, ( ) neeistuje. 2 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

35 Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + ( ) = + + =, ( ) = + =, ( ) neeistuje ( 5) 2 = 2 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Čitatel 7 je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu 5 záporný, jmenovatel ( 5) 2 je kladný. Takže 7 5 ( 5) 2 = + =. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25

36 Neurčité výrazy typu 0 nebo ± 0 ± Dostaneme-li při výpočtu ity podílu dvou funkcí výraz typu 0 nebo 0 ± ±, pak se jedná o tzv. neurčitý výraz. Tímto typem it se budeme obecněji zabývat až po probrání pojmu derivace. Zde si ukážeme jen výpočet v případě podílu dvou polynomů. Další neurčité výrazy: ± 0,, 0 0, 0, 1 se dají převést na výpočet ity typu 0 nebo ±. Těmito typy it se zabývat nebudeme. 0 ± Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 2 / 25

37 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

38 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± 1 ( ) a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

39 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

40 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 =. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

41 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

42 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

43 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = 1. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

44 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

45 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

46 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

47 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 =. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

48 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

49 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 = = 5 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

50 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 = = 5 2 = 5 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

51 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 = = 5 2 = 5 = 5 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

52 Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n a n 1 + a n b 0 m + b 1 m b m 1 + b m = 1 ( ) = 2 = = = = = 2 4 = = 5 2 = 5 = 5 = 0. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25

53 Využití systémů počítačové algebry Příklad Vypočtěte ity: ln 2, , Řešení pomocí Wolfram Alpha ( (^5-^4+-2)/(2^+4) as ->infty (ln )/ as ->0+ ((+2)/(-1)) as ->1 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 25 / 25