Vybraný matematický aparát pro modelování fyzikálních polí Milan Hokr Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií 19. ledna 2009 Obsah 1 Úvod do modelování 3 2 Matematický aparát pro popis pole 4 2.1 Vektorová algebra.......................... 4 2.2 Vektorová analýza.......................... 4 3 Využití analogií potenciálového pole 6 4 Formulace a řešitelnost okrajových úloh 8 4.1 Klasifikace rovnic........................... 8 4.2 Klasifikace a význam okrajových podmínek............ 8 4.3 Podmínky existence a jednoznačnosti řešení okrajových úloh... 9 5 Literatura a odkazy 11 1
Předmluva Tento text je ve stádiu vytváření a měl by se v budoucnu stát učebním textem pro studenty doktorského studia na FM, rozšiřující teoretický základ a poskytující širší rozhled o souvislostech mezi různými obory studia a různými oblastmi aplikace modelování a numerických simulací. Práce je podpořena projektem GAČR 102/08/H081. 2
1 Úvod do modelování Termínem model v širším smyslu označujeme reprezentaci reality, která se snaží zachovat vybrané vlastnosti (tj. jen některé, které jsou v danou chvíli důležité). Modelem tedy je např. zmenšenina nějakého stroje či stavby, jakož i matematická rovnice popisující určitý děj. Termínem modelování v našem kontextu (v užším smyslu) budeme rozumět výpočet fyzikálních vlastností reálných objektů a probíhajících dějů, na základě vhodně zjednodušeného popisu jak zkoumaných objektů, tak příslušných fyzikálních principů (i obecně známé rovnice difuze, vedení tepla, elektromagnetismu jsou jen přiblížením reality, mimo jiné už z důvodu reprezentace hmoty jako kontinua). Hledané i zadané veličiny pak chápeme jako funkce u(x, y, z, t), tj. pole rozložení veličiny v prostoru, případně i čase (podle toho rozlišujeme stacionární nebo nestacionární procesy). Zkoumané jevy jsou pak typicky popsány a řízeny parciálními diferenciálními rovnicemi. Obecné přesné řešení takové úlohy ve formě tzv. analytického řešení (tj. nalezením explicitního zápisu hledané funkce u(x, y, z, t) matematickým vzorcem) je však možné nalézt jen v hodně speciálních případech, např. pravidelné geometrie tělesa (čtverec, kruh) a homogenního materiálu. V současnosti nejběžnější a obecně uznávaný postup je tzv. numerické řešení, tedy řešení přibližné, které spočívá v tom, že původní nekonečněrozměrná úloha je nahrazena konečněrozměrnou úlohou (tzv. diskretizace), kterou je již možné vyřešit přesně (v praxi je obvykle i tato úloha řešena přibližně, ale to v tomto kontextu není podstatné). 3
2 Matematický aparát pro popis pole 2.1 Vektorová algebra Na úvod připomeneme ve zjednodušené formě definice nejběžnějších typů fuzikálních veličin Skalár veličina určená svou velikostí, tj. jedním číslem (např. teplota, energie, délka) Skalární pole funkce která každému bodu oblasti (podmnožiny roviny nebo prostoru) přiřazuje hodnotu skaláru Vektor veličina určená svou velikostí, směrem a smyslem v prostoru, tj. ve zvoleném souřadném systému popsána dvěmi složkami v rovině a třemi v prostoru (např. síla, rychlost, magnetická indukce) Vektorové pole funkce která každému bodu oblasti (podmnožiny roviny nebo prostoru) přiřazuje hodnotu vektoru Tenzor veličina dále zobecňující pojem vektoru (přesnou definici neuvádíme), nejběžnější tenzor druhého řádu je v prostoru vyjádřen devíti složkami s definovanými transformačními vztahy, ve smyslu definice je skalár tenzorem nultého řádu a vektro tenzorem prvního řádu Tenzorové pole funkce která každému bodu oblasti přiřazuje hodnotu tenzoru Operace (doplnit) Vyjádření ve složkách Vlastnosti komutativnost, asociativnost, distributivnost sčítání a násobení skalárem Velikost vektoru Skalární součin + geometrický význam Vektorový součin + geometrický význam 2.2 Vektorová analýza Operátor nabla : Laplaceův operátor = ( x, y, z ) = i x + j y + k z = = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 4
Tok vektoru orientovanou plochou S AdS. Slovo tok má obecnější význam, operace může znamenat jak skutečný tok (např. u proudění kapaliny popsaného polem rychlosti bude výsledkem operace průtok vyjádřený jako objem za jednotku času) ale i méně názorné případy (doplnit příklad) Křivkový integrál po orientované křivce c Adl. Příklad: práce síly na pohybující částici. Gradient udává maximální směrovou derivaci skalárního pole v daném bodě: gradϕ = ϕ = ( ϕ x, ϕ y, ϕ z ) Divergence vyjadřuje objemovou hustotu zdroje (zřídla) vektorového pole: diva = A = Ax x + Ay y + Az z Rotace vyjadřuje vírovost vektorového pole rota = A Potenciání (konzervativní, nevírové) pole... 3 ekvivaletní vyjádření: je gradientem, nulová rotace, křivkový integrál závisí jen na koncových bodech Nezřídlové pole ekvivalentně lze vyjádřit podmínkou diva = 0 nebo A = rotb (B je pak tzv. Vektorový potenciál ) Vybrané vzorce Integrální věty Gaussova-Ostrogradského, Stokesova 5
vedení tepla elektrostatické elektrický proud difuze pole u teplota [K] el. potenciál [V] napětí[v] koncentrace [kg/m 3 ] K tepelná vodivost permitivita [F/m] 1/resistivita [Ωm] difuzní koef. [W/m/K] [m 2 /s] q tepelný tok elektrická indukce hustota proudu hmotnostní tok [W/m 2 ] [C/m 2 ] [A/m 2 ] [kg/m 2 /s] u intenzita el. pole [V/m] f zdroje tepla hustota náboje zdroje látky [W/m 3 ] [C/m 3 ] [kg/m 3 /s] rozměr rovnice Tabulka 1: Veličiny potenciálového pole pro jednotlivé konkrétní fyzikální jevy. 3 Využití analogií potenciálového pole Potenciálové pole je jedním ze základních popisů mnoha fyzikálních jevů a vyjadřuje jejich vzájemné analogie. Rovnice potenciálového pole je též vhodným příkladem pro demonstraci použití numerických metod pro řešení fyzikálních úloh ve spojitém prostředí, např. úloh vedení tepla, vedení elektrického proudu, elektrostatiky, difuze, a částečně též úloh pružnosti a magnetostatiky. Potenciálové pole je popsáno systémem parciálních diferenciálních rovnic q = f q = K u (1) kde u je potenciál, q je rychlost toku, f je hustota zdrojů a K je koeficient úměrnosti (vlastnost prostředí). První rovnice vyjadřuje bilanci veličiny (lokální rozdíly toků jsou v rovnováze se zdroji), druhá rovnice vyjadřuje fakt, že tok je úměrný gradientu potenciálu (odtud termín potenciál. Zatímco první vztah (bilance) je obvykle fundamentálním zákonem fyziky (zákon zachování hmoty, hybnosti, energie), druhý vztah je obecně jen přibližný, jde o empirickou závislost, vlastnost materiálu, přesně platí jen pro dokonalé materiály (např. v případě elektrostatického pole ve vakuu). V závislosti na typu úlohy a materiálu může být konstanta úměrnosti buď skalár (izotropní materiál) nebo tenzor (anizotropní materiál) - v tom případě nemusí být vektor gradientu a vektor toku rovnoběžné. V tabulce 1 jsou uvedeny konkrétní interpretace vztahů pro jmenované fyzikální úlohy (názvy veličin, rozměr) - analogie mezi jednotlivými veličinami je výhodnou pomůckou při formulaci úloh, volbě okrajových podmínek a kontrole konzistentnosti dalších vstupních dat (např. fyzikální rozměr). Do uvedené sady analogií potenciálového pole zapadají i rovnice pružnosti, tj. úloha určení deformace a napjatosti těles při daném upevnění a zatížení. Rovnice elesticity (doplnit...) jsou sice mnohem složitější, ale uvedená analogie je založena právě na tom, že veličiny hrají v rovnicích podobnou roli, např. v tom smyslu že jedna je derivací druhé apod. a podobnou strukturu jako kombinace bilančního vztahu (rovnice rovnováhy sil) a konstitutivního vztahu typu 6
potenciálové proudění pružnost u skalár pole posunutí vektor K skalár/tenzor 2.ř. modul pružnosti tenzor 4.ř. q vektor t. napětí tenzor 2.ř. u vektor t. deformace tenzor 2.ř. f skalár objemové síly vektor Tabulka 2: Tabulka vyjadřující analogii mezi veličinami obecného modelu potenciálového pole a veličinami teorie pružnosti. úměrnost. Základní rozdíl od něhož se vše odvíjí je ten, že na místě skalárů vystupují vektory a na místě vektorů tenzory (tabulka 2). Další méně přímá ale užitečná analogie je pro dvourozměrné (rovinné) úlohy magnetostatiky: při zavedení vektorového potenciálu (viz definice nezřídlového pole) mají rovnice stejnou strukturu, jen místo gradientu a divergence vystupují operace rotace. Rovnice, konkrétní příklad, a interpretace veličin budou doplněny. Doplnit: obdobně vyjádřené analogie u okrajových podmínek (budou netriviální případy u elektromagnetismu) 7
4 Formulace a řešitelnost okrajových úloh 4.1 Klasifikace rovnic Rovnice potenciálního proudění (a rovnice elasticity) jsou případem eliptických parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu. Obecně dělíme parciální rovnice druhého řádu do tří typů, z nichž všechny mají konkrétní fyzikální aplikace. eliptická parabolická hyperbolická 2 u x 2 + 2 u y 2 = f (2) u t + 2 u x 2 = f (3) 2 u t 2 2 u x 2 = f (4) uvedené jsou jen speciální jednoduché tvary, ale zaklasifikovat do jednoho z typů lze každou lineární PDE 2.řádu (např. se smíšenými derivacemi a prvními derivacemi). Eliptické rovnice vyjadřují stacionární fyzikální jevy, parabolické rovnice nestacionární jevy nevratné (difuze, vedení tepla) a hyperbolické rovnice vlnění (tj. dynamické varianty úloh elektromagnetizmu a elasticity) nebo transport (advekce). Zařazení rovnic v rámci této klasifikace má význam pro správnou formulaci okrajových (a počátečních) podmínek a umožňuje dále využít analogie a vzájemné souvislosti. 4.2 Klasifikace a význam okrajových podmínek Je známo, že úlohy popsané diferenciálními rovnicemi (obyčejnými i parciálními) se skládají jednak z příslušné rovnice, jednak z dodatečných podmínek, podle kontextu nazvaných okrajové nebo počáteční. Z přirozenosti věci plyne, že při zkoumání jevů v systému se neobejdeme bez specifikace interakce systému s okolím - v našem případě diferenciální rovnice popisuje fyzikální podstatu a okrajová podmínka interakci s okolím. Pro eliptické rovnice 2.řádu rozlišujeme tyto tři typy okrajových podmínek: 1. 1.druhu (Dirichletova) předepsaná hodnota potenciálu (tj. teploty, el. napětí, posunutí) u = u D (6) 2. 2.druhu (Neumannova) předepsaná hodnota toku (tj. tepelného toku, hustoty el. proudu, mechanického napětí síly) (5) (K u) n = q N (7) 3. 3.druhu (Cauchyova, Newtonova) kombinace potenciálu a toku (K u) n + λu = q 3 (8) 8
Podmínku 3.druhu je nejpřirozenější chápat jako závislost toku přes hranici na rozdílu hodnoty potenciálu uvnitř (neznámá) a vně (referenční zadaná hodnota). Vztah lze ekvivalentně zapsat (K u) n = λ(u u 3 ) q 3 = λu 3 (9) což je obvyklá forma pro zadání parametrů ve výpočetních softwarech. Pro hodnoty λ 0 se podmínka transformuje na 2.typ, pro hodnoty λ se podmínka transformuje na první typ. Podmínku lze s výhodou užít tam, kde bychom předepsali podmínku prvního typu, ale jakoby ve smyslu doporučení místo nařízení (příkazu) a hodnota λ vyjadřuje míru přísnosti. V úlohách vedení tepla popisuje podmínka 3.druhu přestup tepla (tepelný tok je úměrný rozdílu teploty povrchu tělesa a okolí zahrnuje v sobě jevy v tenké přípovrchové vrstvě), v úlohách mechaniky popisuje pružné uložení. 4.3 Podmínky existence a jednoznačnosti řešení okrajových úloh Při konstrukci nějakého modelu v podobě okrajové úlohy pro diferenciální rovnici má smysl se ptát, zda takto zadaná úloha vůbec má nějaké řešení a zda toto řešení je jednoznačné, tj. zda nemůže existovat více různých řešení. Přirozená intuice nám sice říká, že když modelujeme nějaký reálný systém, tak ten přece existuje a má určité vlastnosti a ne jiné a to je tedy ono jednoznačné řešení naší úlohy. Problém je v tom, že na papíře nebo v počítači řešíme úlohu, která je jen modelem reality a takto zjednodušená úloha již nemusí mít všechny potřebné vlastnosti původního reálného systému (možná jsme zanedbali nějakou vlastnost, která je ve skutečnosti pro probíhající děje, tedy pro existenci správného řešení, klíčová). Z pohledu přesné matematické formulace je problematika existence a jednoznačnosti řešení docela složitá. Zde zmíníme jen hlavní aspekty, důležité při zadávání úloh do výpočetního software. Například přesné splnění diferenciálních rovnic a okrajových podmínek vyžaduje hodně přísné podmínky na spojitost neznámých funkcí (pole počítané veličiny), parametrů (rozložení materiálových vlastností) a tvaru oblasti, které reálně ani nemohou být splněny (těleso má rohy a hrany, na sebe navazují dva různé materiály apod.), a nelze je tedy požadovat při zadávání úloh do výpočetních programů. Některé matematické podmínky tedy nejsou tak podstatné pro získání rozumného řešení pomocí modelovacího software, některé však je nutno dodržet, nebo alespoň vědět, jaké případné závady v řešení při jejich nedodržení hrozí. Základní pravidlo pro jednoznačné řešení: u eliptické rovnice 2. řádu (tj. modely stacionárního vedení tepla, elektrostatiky, elasticity, atd.) musí být alespoň na jedné části hranice předepsána okrajová podmínka prvního nebo třetího druhu (tj. nelze formulovat úlohu jen s podmínkami druhého druhu). U úlohy s předepsanou podmínkou 2.druhu nastávají dva případy: 9
Zadané toky dovnitř a ven z oblasti jsou v rovnováze se zdroji, tj. Γ q N ds f = 0, potom má úloha nekonečně mnoho řešení, které Ω se navzájem liší o aditivní konstantu (v úloze jsme všude zadali jen derivace, takže po přičtení konstanty zůstávají hodnoty všech derivací stejné). Hodnoty potenciálu tedy nejsou jednoznačně určeny, ale hodnoty toku (derivace) již jednoznačně určeny jsou. Zadané toky dovnitř a ven z oblasti nejsou v rovnováze se zdroji, tj. Γ q N ds f 0, potom úloha nemá žádné řešení a nemá ani rozumný Ω fyzikální smysl (takové zadání nemohlo vzniknout přílišným zjednodušením reality, ale spíše zcela chybnou úvahou). Úlohy s předepsanou podmínkou 2.druhu splňující podmínku rovnováhy toků (podmínka kompatibility) tedy svůj význam mít mohou: např. známe celkový tok, zajímá nás jeho rozložení v prostoru, a přitom nás nezajímají hodnoty potenciálu. To jak na takové zadání reaguje použitý software je různé: buď ohlásí, že je zadáno málo okrajových podmínek (nedourčená úloha) a odmítne výpočet provést nebo v tichosti spočítá výsledek s tím, že si automaticky použil nějakou předdefinovanou hodnotu potenciálu. Každopádně je však lepší mít jistotu co počítáme a tuto hodnotu si raději zvolit sami tj. předepsat okrajovou podmínku 1. druhu v jednom zvoleném referenčním bodě. V úlohách mechaniky (pružnosti) odpovídá splnění uvedených podmínek tomu, že těleso je ve statické rovnováze (nemůže se vlivem zadaných sil začít pohybovat). 10
5 Literatura a odkazy Tera Analysis Ltd.: QuickField Finite Element Analysis System, User s Guide, 2006, www.quickfield.com Kvasnica J.: Matematický aparát fyziky, Academia Mauch Sean: Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, online book, http://www.its.caltech.edu/ sean/book/unabridged.html (stav leden 2009) 11