Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí stejná. U MHP se na druhé straně rozděluje na prvky pouze povrch tělesa, protože k řešení problému je využita kombinace exaktních řešení platných uvnitř tělesa. MKP MHP MKP + rozšířenost + i komplikované geometrie těles + snadnější řešení nelineárních problémů + mnoho SW produktů - diskretizace celého tělesa - časová náročnost MHP + o řád nižší dimenze úlohy + diskretizuje se pouze hranice - nevhodné pro skořepiny - obtížnější řešení některých nelineárních úloh - matematická náročnost - nutná znalost fundamentálního řešení
Základní kroky v řešení MKP: 1. Rozdělení kontinua na prvky 2. olba interpolačních funkcí 3. Odvození matice tuhosti (příp. hmotnosti) prvku 4. Analýza konstrukce 5. yřešení soustavy rovnic 6. Získání dodatečně požadovaných veličin MHP: 1. Diskretizace hranice (povrchu) kontinua 2. olba interpolačních funkcí 3. Použití fundamentálního řešení 4. Stanovení koeficientů vlivu 5. Sestavení systému rovnic 6. Řešení systému rovnic 7. Získání hodnot hledaných veličin uvnitř tělesa
Používaná maticová notace Pomocné veličiny: ij Kroneckerovo delta (platí ij =1 když i= j a ij =0 když i j ) Maticový zápis: X {X } [ X ] [ I ] {0},[0] [ X ] T [ X ] 1 [ X ][Y ] skalár vektor se složkami X i, pro i=1,2,... matice s prvky X ij, pro i, j=1,2,... jednotková matice (lze zapsat pomocí Kroneckerova delta) nulový vektor a nulová matice matice transponovaná inverze matice maticový součin
Používaná tenzorová notace X X : tenzor druhého řádu s prvky X ij pro i, j=1,2,3 tenzor čtvrtého řádu s prvky X ijkl pro i, j, k, l=1,2,3 tenzorový součin (tensor product) D=b c, potom D ijkl = b c ijkl =b ij c kl úžení tenzorů (contraction) d=b:c=b ij c ij (užitím Einsteinova sčítacího pravidla) nebo d=b:c, potom d ij = B:c ij =B ijkl c kl (opět Einsteinovo sčítací pravidlo) Př: Hookeův zákon { }=[C ]{ } ~ =C : ~ ij =C ijkl kl Einsteinovo sčítací pravidlo: -vyskytuje-li se na jedné straně některý index dvakrát, budeme podle něj sčítat.
Tenzor napětí y σ y Maticově τ yz τ yx τ xy x xy xz 0 0 [ A ]=[ yx y yz 0 2 0 zx zy z]=[ 1 0 0 3], z τ zy σ z τ zx τ xz σ x x kde 1, 2, 3 jsou hlavní napětí. Z důvodu platnosti zákona sdruženosti smykových napětí lze uvažovat pouze 6 složek a použít vektorový zápis: { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T. Tenzor napětí lze rozložit na kulový tenzor a deviátor napětí kde [ A ]=[ K ] [ D ], s 0 0 x s xy xz s xy sxz [ K ]=[ 0 s 0 D ]=[ yx y s yz s yx s yy s yz 0 0 s],[ zx zy z s]=[sxx s zx s zy s zz], s = x y z /3.
Tenzor deformace Platí analogická pravidla jako pro tenzor napětí. Maticově ε x xy /2 xz /2 [ A ε ]=[ ]=[ε11 ε12 ε13 yx / 2 ε y yz /2 ε 21 ε 22 ε 23 zx /2 zy /2 ε z ε 31 ε 32 ε 33]. Při vektorovém zápisu se obvykle používá inženýrská podoba vektoru deformace { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T. Tenzor deformace lze také rozložit na kulovou a deviátorovou část [ A ε ]=[ K ε ] [ D ε ], kde s 0 0 xy/2 xz/2 exy exz [ K ε ]=[ε 0 ε s 0 D ]=[εx εs ε yx /2 ε y ε s yz /2 e yx e yy e yz 0 0 ε s],[ zx /2 zy /2 ε z ε s]=[exx e zx e zy e zz], s = x y z /3.
Geometricko-deformační vztahy Green-Lagrangeův tenzor deformace velké deformace ε x = u x 1 2[ u x 2 v x 2 w x 2], y ε y = v y 1 2[ u y 2 ε z = w z 1 2[ u 2 z γ xy = u y v x u x γ yz = v z w y u y γ xz = u z w x u z v y 2 v z 2 w y w z 2] 2],, u y v v x y w w x y, u z v v y z w w y z, u x v v z x w w z x. z A u A v w x
Geometricko-deformační vztahy Cauchyho rovnice malé deformace ε x = u x, y = v y, z = w z, γ xy = u y v x, γ xz = w x u z, γ yz = w y v z. z y A u A v w x
Podmínky kompatibility 2 ε x y 2 ε y 2 x = 2 γ xy 2 x y, 2 ε 2 y z ε z 2 y = 2 γ yz 2 y z, 2 ε z x 2 ε x 2 z = 2 γ zx 2 z x, x[ γ xy z γ xz y γ yz x ] =2 2 ε x z y, y[ γ yz x γ xy z γ xz y ] =2 2 ε y x z, z [ γ xz y γ yz x γ xy z ] =2 2 ε z x y.
Rovnice rovnováhy Pro kartézský souřadný systém platí x x yx y zx z X =0, xy x y y zy Y =0, z xz x yz y z z Z=0, kde X, Y, Z jsou složky vektoru objemové síly.
Fyzikální rovnice Obecný Hookeův zákon pro izotropní materiál: ε x = 1 E [ x y z ], xy = xy G, ε y = 1 E [ y x z ], yz = yz G, ε z = 1 E [ z y x ], xz = xz G. Maticový zápis: { }=[C]{ε}, kde 0 2G E0 E 0 0 0 0 E 0 E 0 2G E 0 0 0 0 [C]=[E E 0 E 0 E 0 2G 0 0 0 2G E0= 0 0 0 G 0 0 1 2 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G],.
Řešení úloh užitím matematické teorie pružnosti Každá trojrozměrná úloha je vnitřně třikrát staticky neurčitá, protože ve 3 rovnicích rovnováhy x x yx y zx z X =0, xy x y y zy Y =0, z xz x yz y z z Z=0, je 6 neznámých složek tenzoru napětí. Cauchyho geometricko-deformačních vztazích je celkem 9 neznámých ε x = u x,ε y= v y,ε z= w z, γ xy = u y v x, γ xz= w x u z, γ yz= w y v z, proto musí být získaný systém rovnic doplněn dalšími 6-ti rovnicemi.
Řešení úloh užitím matematické teorie pružnosti Pojítkem mezi tenzorem deformace a tenzorem napětí je obecný Hookeův zákon ε x = 1 E [ x y z ], xy = xy G, ε y = 1 E [ y x z ], yz = yz G, ε z = 1 E [ z y x ], xz = xz G. Navíc musí hledané řešení splňovat rovnice kompatibility a okrajové podmínky (na povrchu tělesa). Pozn.: jsou vlastně numerickými metodami pro řešení soustav parciálně diferenciálních rovnic 2. řádu.
Získaný systém 15 rovnic o 15-ti neznámých x x yx y zx z X =0, xy x y y zy Y =0, z xz x yz y z z Z=0, ε x = u x,ε y= v y,ε z= w z, xy = u y v x, xz= w x u z, yz= w y v z, ε x = 1 E [ x y z ], xy = xy G, ε y = 1 E [ y x z ], γ yz = yz G, ε z = 1 E [ z y x ], γ xz = xz G.
Okrajové podmínky 1. Statické (silové) e vyšetřovaném bodě na povrchu tělesa musí platit podmínky rovnováhy F 1 x x xy xz {p }={p p y yx y yz p z}=[ z]{ cos cos zx zy cos }, F 2 F N z y {p } x kde {p } je vektor plošného zatížení a úhly α, β, γ definují směr normály k povrchu. 2. Kinematické (geometrické) Předepisují hodnotu složek vektoru posunutí nebo jejich derivací na povrchu tělesa nebo jeho části. Zjednodušeně nahrazují kontakt řešeného tělesa s jiným tělesem, které může působit jako podpora. Jedná se tedy o vyjádření vazeb mezi tělesy.
Postupy řešení úloh teorie pružnosti 1. Přímá metoda Pružné těleso je zatíženo objemovými a vnějšími povrchovými silami. Úlohou je stanovit tenzorové pole napětí a deformace, včetně vektorového pole posunutí v celém tělese. Používají se tři varianty přímé metody: a) deformační b) silová c) smíšená 2. Inverzní Pro těleso je předepsáno pole napětí nebo pole posuvů. Úlohou je stanovit vnější zatížení případně zjistit okrajové podmínky, kterým dané funkce pole napětí vyhovují (Airyho funkce napětí, apod.). 3. Poloinverzní Pro těleso jsou částečně zadány silové veličiny a částečně zadány posuvy. Uvnitř tělesa jsou známy pouze některé složky tenzoru napětí. Příkladem je vyšetřování kroucení prutů s nekruhovým průřezem. F 1 F 2 F N
Deformační varianta MKP využívá Lagrangeův princip virtuálních posunutí aproximuje se pole posuvů {u} y {p} vytváří se kompatibilní model {X} sestavuje se matice tuhosti prvku S p zatížení prvků se převádí na ekvivalentní uzlové síly {R p } sestavují se obecné globální podmínky rovnováhy a matice tuhosti konstrukce cílem je stanovení uzlových posuvů {r} z x
Lagrangeův princip virtuálních posunutí Těleso v rovnováze nechť je zatíženo silami objemovými {X }={X,Y, Z } T y {p} a povrchovými {p }={p x, p y, p z } T, které způsobí vznik napětí { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T. Jejich působením se těleso zdeformuje, tzn. {X} S p posunutí {u}={u, v, w} T deformace { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T. Takovému tělesu lze udělit virtuální posun z x {u}={ u, v, w} T a odpovídající pole virtuální deformace { }={ x, y, z, γ xy, γ yz, γ xz } T.
Lagrangeův princip virtuálních posunutí {u} musí splňovat geometrické podmínky na S u a { } podmínky kompatibility Pro virtuální stav platí Hookeův zákon Nyní lze využít princip virtuálních prací: Jsou-li v každém bodě tělesa vnější a vnitřní síly v rovnováze, pak se virtuální práce vnějších sil rovná virtuální práci vnitřních sil. Princip virtuálních posunutí potom lze zapsat takto {u} T {X }d {u} T { p}ds= { } T { }d. S p virtuální práce vnějších sil A= U vnitřních sil A U =0 A U = =0 kde je potenciální energie systému. { }=[C] {ε}.
Odvození základní rovnice MKP obecný prvek U každého prvku se musí vyjádřit posunutí a přetvoření pomocí zobecněných uzlových posuvů y r1 R 1 {p} {u}=[ N ]{r},{ε}=[g]{r}, R 2 r 2 {X} kde [ N ],[G] jsou transformační matice. Z Cauchyho geometricko-deformačních rovnic plyne {ε}=[ ] T {u}=[ ] T [N ]{r}=[g ]{r}. R 3 r 3 {u} r n R n S p Uvažováním Lagrangeova principu lze psát z {u} T {X }d {u} T { p}ds {r} T {R}= S p kde {R} je vektor zobecněných sil v uzlech prvku. { } T { }d, x Pro dynamickou úlohu odpovídají objemové síly setrvačným účinkům {X }= {ü}, kde {ü}= d 2 {u} a je hustota materiálu. dt 2 irtuální veličiny lze dále vyjádřit takto {u}=[ N ] {r}, { }=[G] {r }.
Odvození základní rovnice MKP obecný prvek Bez zahrnutí počátečních deformací a předpětí lze brát Hookeův zákon ve tvaru { }=[C]{ε}=[C ][G ]{r}. Postupně se dosadí do principu virtuálních posuvů { } T [C ]{ }d = {u} T {ü}d {u} T {p}ds {r} T {R} S p {r} T [G] T [C][G]d {r}= = {r} T [ N ] T [ N ]d { r} {r} T [ N ] T { p}ds {r} T {R} Poslední rovnice musí platit pro libovolný virtuální posuv, tzn. [G] T [C][G] d {r}= [ N ] T [ N ]d { r} [ N ] T {p}ds {R} S a lze ji zapsat maticově p [m]{ r} [ K ]{r}={r kde v } [m]= [ N ] T [ N ] d, [ K ]= [G ] T [C][G]d, {R v }= [ N ] T { p}ds {R} S p S p
Základní rovnice MKP Pro statické úlohy (setrvačné síly jsou zanedbatelné) lze uvažovat pouze [ K ]{r}={r v }. Celkový vektor zobecněných uzlových sil prvku lze obecně rozepsat takto {R v }={R p } {R } {R } {R}, kde {R p }= [N ] T { p}ds S p {R }= [G ] T [C ]{ 0 }d {R }= [G ] T { 0 }d {R} jsou uzlové síly od vnějšího zatížení, jsou uzlové síly od počátečních deformací, jsou uzlové síly od vneseného předpětí, jsou vnější zobecněné uzlové síly.