Přímá úměrnost Přímá úměrnost Roste-li první veličina, roste i druhá. Snižuje-li se první veličina, snižuje se i druhá. (Např. čím více rohlíků koupíme, tím více za ně zaplatíme) Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zvětší (zmenší) druhá veličina. Přímá úměrnost je dána rovnicí y k x, kde k je koeficient přímé úměrnosti. Grafem přímé úměrnosti je přímka. Cvičení 1. Ze 120 kg cukrovky se získá 24 kg cukru. Z kolika tun cukrovky se získají 4 tuny cukru? a) Řešení rovnicí: y hmotnost cukrovky x hmotnost cukru y k x y k x 120 k 24 y 5 4 k 5 y 20 4 tuny cukru se získají z 20 tun cukrovky. b) Řešení trojčlenkou: Trojčlenka představuje mnemotechnický postup, jak rychle vyřešit úlohy na přímou a nepřímou úměrnost. 120 kg cukrovky. 24 kg cukru x tcukrovky. 4 t cukru x 4 120 24 4 120 x 20 24 4 tuny cukru se získají z 20 tun cukrovky. Příklad 1. 9 jízdenek stálo 153 Kč. Kolik stojí 11 jízdenek? 1 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 2. Z 20 kg pampelišek se získá 5,3 kg medu. Z kolika kilogramů pampelišek se získá 23,6 kg medu? Příklad 3. Za 4 kg papíru dostaneme ve sběrně 2 Kč. Kolik kilogramů časopisů musíme nasbírat, abychom si mohli koupit auto za 180 000 Kč? Příklad 4. Auto spotřebuje 8 litrů benzínu na 100 km. Kolik litrů benzínu spotřebuje, jestliže ujede 60 km? Příklad 5. Sedm dělníků opracuje za směnu 357 součástek. Kolik součástek opracuje za směnu 16 dělníků? Nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost Roste-li první veličina, druhá klesá. Klesá-li první veličina, druhá roste. (Např. čím rychlejší máme připojení k Internetu, tím menší dobu potřebujeme ke stažení souboru.) Kolikrát se zvětší (zmenší) jedna veličina, tolikrát se zmenší (zvětší) druhá veličina. k Nepřímá úměrnost je dána rovnicí: y, kde k je koeficient nepřímé úměrnosti. x Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola. 2 Výukový materiál pro předmět Matematika
Cvičení 2. Pět dlaždičů by vydláždilo náměstí za 12 dní. Za kolik dní by toto náměstí vydláždili 4 dlaždiči? a) Řešení rovnicí: x počet dlaždičů y počet dní k 12 5 k 60 60 y 4 y 15 4 dlaždiči vydláždí náměstí za 15 dní. b) Řešení trojčlenkou: 5 dlaždičů..12 dní 4 dlaždiči.. x dní x 5 12 4 12 5 x 15 4 4 dlaždiči vydláždí náměstí za 15 dní. Příklad 6. Na auto naložili 160 ocelových prutů, každý s hmotností 18 kg. Při další jízdě nakládali pruty s hmotností 12 kg. Kolik jich mohou naložit, má-li být celkový náklad stejný? Příklad 7. Na opravě mostu pracuje 9 dělníků. Oprava má podle plánu trvat 40 dní. Jak se musí změnit původní počet dělníků, aby byla oprava hotova o 10 dní dříve? 3 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 8. Čerpadlem o výkonu 25 litrů za sekundu se naplní nádrž za 1 hodinu a 12 minut. Za jak dlouho se naplní nádrž čerpadlem o výkonu 20 litrů za sekundu? Příklad 9. Eva vyšívá ubrus. Kdyby vyšívala denně tři čtvrtě hodiny, byla by hotová za 8 dní. Za kolik dní bude s vyšíváním hotová, bude-li denně vyšívat jen 20 minut? Příklad 10. Průměrná délka kroku Standy je 80 cm. Při přespolním běhu jich Standa napočítal 2 125. Petr má krok 85 cm. Kolik kroků udělal Petr při přespolním běhu? Jak byla dlouhá trať závodu? Úlohy 1. 1) Rozhodněte, které z následujících dvojic veličin jsou přímo nebo nepřímo úměrné: a) spotřeba benzínu a doba jízdy automobilu b) délka strany čtverce a obsah čtverce c) rychlost letadla a doba letu mezi dvěma městy d) objem nádrže a doba, za kterou se nádrž čerpadlem naplní e) tlak vzduchu a nadmořská výška f) rozloha státu a počet obyvatel g) velikost poloměru a délka kružnice h) hmotnost jednoho jablka a počet jablek v 1 kg 2) Rozhodněte, které z následujících dvojic veličin jsou přímo nebo nepřímo úměrné: 1. proměnná 2. proměnná nemění se odpověď Počet lahví šťávy Částka za ně zaplacená Cena 1 lahve Délka strany kosočtverce Velikost výšky kosočtverce Obsah kosočtverce Objem válce Výška válce Obsah podstavy Průměrná rychlost auta Doba jízdy z A do B Vzdálenost míst A a B Počet soustruhů Počet hotových výrobků Výkon soustruhu 4 Výukový materiál pro předmět Matematika
3) Na obdélníkový záhon s rozměry 8 m a 3 m bylo vysázeno 96 sazenic jahodníku. Kolik sazenic vysázíme na čtvercový záhon se stranou dlouhou 12 metrů? 4) Když traktorista použije pluh se 4 radlicemi, zorá lán za 48 hodin. Jak dlouho bude trvat orba, když použije pluh se šesti radlicemi? 5) Prázdná nádoba má hmotnost 4,6 kg. Naplněná olejem 26,68 kg. Kolik litrů oleje je v nádobě, když jeden litr oleje má hmotnost 920 gramů? 6) Na vůz se naložilo 46 beden s melouny a každá bedna vážila 13,8 kg. Kolik beden s melouny o hmotnosti 42,32 kg lze naložit na tento vůz, aby náklad zůstal stejný? 7) Bazén by se napustil třemi stejnými přívody za 52 hodiny. Po 20 hodinách byly přidány ještě další dva stejné přívody. Za kolik hodin celkem se bazén napustí? Procenta Procenta - způsob, jak vyjádřit část celku (setiny, tzn. zlomek) pomocí celého čísla. 1 1 % 0, 01 100 Název pochází z italštiny, per cento znamená ze sta. Při počítání s procenty si musíme vždy ujasnit, co je základ (100 %)! Označení údajů v úlohách z - základ...100% p - počet procent (např. 33%...p 33) č - procentová část Řešení úloh s procenty a) pomocí 1 % z b) pomocí vzorce č p 100 c) pomocí trojčlenky Výpočet procentové části Cvičení 3. Vypočítejte 18 % z 1350 Kč. a) Řešení pomocí 1 %: 100 %.. 1350 Kč 1 %... 13,5 Kč 18 % 13,5.18 243 Kč z b) Řešení pomocí vzorce č p 100 z 1350 Kč, p 18, z 1350 č p 18 243 Kč 100 100 c) Řešení pomocí trojčlenky 100 %....1350 Kč 18 %. x Kč 5 Výukový materiál pro předmět Matematika
x 18 1350 100 1350 x 18 243 Kč 100 18 % z 1350 Kč je 243 Kč. Příklad 11. Vypočítejte: 48 % ze 152 118 % z 1 932 96 % z 18 107 % ze 128 28 % z 350 Příklad 12. Žáci psali diktát, který obsahoval 80 slov. Helena napsala chybně 5 % slov, Olga a Jirka měli správně 90 % slov, Petr a Věra napsali správně 85 % slov. Kolik slov napsal správně každý z pěti žáků? Příklad 13. Z 800 žáků základní školy bylo 25 % vyznamenaných, 74,5 % prospělo a ostatní žáci neprospěli. Vypočítej, kolik žáků školy bylo s vyznamenáním, kolik prospělo a kolik neprospělo. Výpočet základu Cvičení 4. Vypočítejte základ, jestliže platí 18 % 864. a) Řešení pomocí 1 %: 18 %...864 864 1 %... 48 18 100 %...4800 6 Výukový materiál pro předmět Matematika
č b) Řešení pomocí vzorce z 100 p č 864 z 100 100 4800 p 18 c) Řešení pomocí trojčlenky Příklad 14. 18 %.... 864 100 %...x x 100 864 18 864 100 x 4800 18 Vypočítejte základ, jestliže platí: 0,86 % 0,8256 72 % 201,6 112 % 43,568 Příklad 15. Rodina Novákova platí měsíčně za byt 1 500 Kč, což je 12 % jejich příjmů za měsíc. Rodina Polákova platí stejné nájemné, které představuje 16 % jejich měsíčních příjmů. Vypočítejte měsíční příjem každé rodiny. Příklad 16. Jaká byla původní cena televize, jestliže byla zlevněna o 10 % na 5400 Kč? Příklad 17. Sušením ztrácí podběl 70 % své hmotnosti. Kolik čerstvého podbělu musíme nasbírat, abychom získali 0,75 kg sušeného? 7 Výukový materiál pro předmět Matematika
Výpočet počtu procent Cvičení 5. Vypočítejte, kolik % je 24,36 z 58 a) Řešení pomocí 1 %: 100 %... 58 1 %... 0,58 p %... 24,36 b) Řešení pomocí vzorce č č p 100 z z 100 č 24,36 p 100 100 42 z 58 c) Řešení pomocí trojčlenky 100 %... 58 p %... 24,36 p 24,36 24,36 p 100 100 58 58 24,36 z 58 je 42 %. Příklad 18. Vypočítejte, kolik % je: 83 z 96 42 z 38 312 z 390 Příklad 19. V internátě je 65 žáků. Z toho je 40 chlapců a 25 děvčat. Kolik procent je chlapců a kolik děvčat? 8 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 20. Kolik procent bude činit odpad při výrobě těsnících podložek, budou-li se vyrábět ze čtvercových desek o délce strany a 20 cm. Podložka má tvar kruhu s průměrem 50 mm. Uvažte, kolik těsnících podložek je možné vyrobit z jedné desky. Příklad 21. Při střelbě trestných hodů v košíkové dosáhlo první družstvo 39 bodů z 68 hodů. Druhé družstvo dosáhlo z 89 hodů celkem 46 bodů. Které družstvo bylo úspěšnější? Příklad 22. Vyjádřete v procentech: 1 1 1 1 a) b) c) d) 2 4 5 10 3 4 7 15 e) f) h) i) 4 5 10 100 3 7 23 135 j) k) l) m) 2 4 10 100 Příklad 23. Vypočítejte zpaměti: a) 25 % z 60 b) 30 % z 20 c) 20 % z 50 d) 50 % z 15 e) 75 % 40 f) 80 % z 15 g) 120 % z 30 h) 150 % z 80 i) 300 % z 5 Příklad 24. Vypočítejte zpaměti 100%, když víte, že: 1 % je 12 100 % 7 % je 21 100 % 20 % je 100 100 % 25 % je 16 100 % 15 % je 30 100 % 50 % je 65 100 % 9 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 25. Vypočítejte zpaměti, kolik procent je: 50 ze 100 p 200 z 800 p 13 ze 13 p 150 z 1500 p 1 z 5 p 45 z 5 p Příklad 26. Z 1800 kusů žárovek je 21 vadných. Kolik procent žárovek je kvalitních? Příklad 27. Určete hmotnost soli kuchyňské v 1,2 kg patnáctiprocentního vodného roztoku. Úlohy 2. 1) Bronz je slitina cínu a mědi. Mědi je 85 %, zbytek je cín. Kolik bronzu vyrobíme z 51 kg mědi? Bude nám stačit 8 kg cínu? 2) Výroba televizorů vzrostla z 3500 ks na 4200 kusů. O kolik % se výroba zvýšila? 3) Každý pracovní den byla oseta 8 1 pole. Kolik procent pole zbývá o víkendu oset? 4) Za hodinu natře natěrač 5 metrů pletiva. Kolik metrů měří plot, jestliže za 6 hodin natřel 25 % plotu? 5) Martin, Radim a Michal si rozdělili zisk ze společného podniku. Radim dostal 35 %, Martin 0,45 zbytku. Kolik dostal každý, byl-li celkový zisk 32800 Kč? 6) Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vyšlo zmenšit, aby opět vyšlo číslo 72? 7) Žáci šestých tříd sbírali léčivé rostliny. Každá třída slíbila nasbírat nejméně 5 kg bylin. Třída 6.A závazek překročila o 5 2, 6.B splnila na 140 % a 6.C nasbírala o 2 kg více. Jaké bylo pořadí tříd? Kolik bylin celkem třídy nasbíraly? 8) V cukrárně vyrobili o 35 % šlehačky méně než měli, takže ozdobili pouze 130 zákusků. Kolik zákusků měli ozdobit původně? 10 Výukový materiál pro předmět Matematika
9) 12 7 elektrické energie bylo vyrobeno v tepelných elektrárnách, 5 1 ve vodních elektrárnách, zbytek v atomových elektrárnách. Kolik % energie bylo vyrobeno v atomových elektrárnách? 10) Zahradnictví má připravit 6000 ks sazenic rajčat pro drobný prodej. Klíčivost semen je 80 %, množství uhynulých rostlin z vyklíčených je 15 %. Kolik semen musí v zahradnictví zasít, aby mohli zajistit dodávku 6000 ks rostlin? 11) Zboží s původní cenou 568 Kč bylo třikrát po sobě zlevněno. Poprvé o 12 %, podruhé o 5 % a naposledy o 25 % z novější ceny. Jaká byla konečná cena zboží a o kolik % bylo zboží zlevněno celkem? 12) Ve firmě mají celkový stav zásob v hodnotě 22 845 000 Kč tj. 125 % normované výše. Jaké jsou nadnormativní zásoby v Kč? 13) 5,5 kg bílé barvy bylo určeno k natření plochy o velikosti 25 m 2. Natěrači však vystačila jen na 86 % plánované plochy. Kolik m 2 natěrač natřel? Kolik kg barvy ještě potřebuje, aby práci dokončil? Jednoduché úrokování Základní pojmy K jistina, kapitál (půjčená nebo uložená částka) p úroková sazba t úrokovací doba (doba uložení kapitálu, doba zapůjčení kapitálu) ú úrok (odměna věřiteli za to, že poskytl kapitál) Je-li úrokovací doba t kratší než úrokovací období jde o jednoduché úrokování. Je-li úrokovací doba t delší než úrokovací období jde o složené úrokování Úrokovací období p.a. úrokovací období 1rok p.q. úrokovací období 1čtvrtletí p.m. úrokovací období 1 měsíc Základní vztah jednoduchého úrokování: K ú p t K i t, kde 100 p i 100 Cvičení 6. Kolik Kč úroku zaplatí dlužník, který si na půl roku vypůjčil 24 000 Kč při 12 % p.a.? 24000 ú 12 0,5 1440 100 Za daných podmínek je úrok 1440 Kč. Cvičení 7. (důležité) Jak vysoký je úrok z úvěru 86 400 Kč při 4 % p.a. za dobu od 5. 3. do 14. 12.? a) výpočet úrokovací doby t: platí zde určité dohody: d t, kde d je počet dnů mezi 5. 3. a 14. 12., 360 11 Výukový materiál pro předmět Matematika
den změny je den splatnosti tj. nepočítá se 5. 3., ale počítá se 14. 12. nebo naopak den půjčky počítá se 5. 3., ale ne 14. 12. měsíc má 30 dní rok má 360 dní d 25 + 8 30 + 14 279 86400 279 b) výpočet úroku: ú 4 2678, 4 100 360 Dlužník zaplatí úrok 2678, 40 Kč. Příklad 28. Vypočítejte úroky: a) 6% p.a. z Kč 2 450 000,-- od 2. 2. do 31. 12. b) 5% p.a. z Kč 46 825,-- od 12. 4. do 8. 11. Cvičení 8. Dlužník zaplatil při 12% p.a. za 330 dnů úroky ve výši 2024 Kč. Jak vysokou měl půjčku? ú ú K i t K i t 2024 330 0,12 360 18400 Dlužník si vypůjčil 18 400 Kč. Cvičení 9. Jakou částku jsme uložili na účet úročený 12% p.a., jestliže za 130 dní byl zůstatek na účtu včetně úroků 13 167 Kč? K K + ú K + K i t K ( 1 + i t) K K 1+ i t K 13167 130 1+ 0,12 360 12620 Na účet jsme vložili 12 620 Kč. 12 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 29. Jak velká byla původní jistina, jestliže po připsání úroků při 9% p.a. byl na účtu po 96 dnech zůstatek 32 768 Kč? Příklad 30. Jak velký byl připsaný úrok za 85 dní při 12% p.a., jestliže po připsání činila jistina 24 600 Kč? Příklad 31. Vypočtěte, jak velká byla jistina, kolik Kč činil úrok, když podnik vyrovnal dluh a úroky částkou 687 644,44 Kč při 8% p.a. Půjčka byla poskytnuta 16.1. a splacena 21.12. Příklad 32. Banka požaduje splacení půjčky 42 000 Kč poskytnuté na 295 dnů. Současně uplatňuje nárok na úroky ve výši 3097,5 Kč. Vypočítejte roční úrokovou sazbu, při které byla půjčka poskytnuta. 13 Výukový materiál pro předmět Matematika
Úlohy 3. 1) Podnik zaplatil 10 676,40 Kč úroků a splatil půjčku 246 000 Kč půjčenou na 7,2% p.a. Kolik dnů měl podnik peníze půjčeny? 2) Stanovte roční úrokovou míru, při které poskytne jistina 11 520 Kč za 55 dní 158,4 Kč úroku. 3) Kolik dní byl úročen vklad 2700 Kč, který při 4% p.a. přinesl úrok 26,70 Kč? 14 Výukový materiál pro předmět Matematika