ZÁKLADY TEORIE SIGNÁLŮ A SOUSTAV

VŠB TU Osrava, Fakula elekroechniky a informaiky, Kaedra měřící a řídící echniky ZÁKLADY TEORIE SIGNÁLŮ A SOUSTAV Pavel Nevřiva 007

PŘEDMLUVA Too skripum je věnováno základním meodám, používaným při analýze signálů a sousav. Snahou auora bylo, aby zde výklad aplikačních sránek analýzy signálů a sousav vycházel z názorného eoreického základu. OBSAH SEZNAM SYMBOLŮ 3 ÚVOD 5 ANALÝZA SIGNÁLŮ SE SPOJITÝM ČASEM 9. Základní definice 9 ANALÝZA SIGNÁLU V ČASOVÉ OBLASTI 6. Korelační analýza signálu 6 3 ANALÝZA SIGNÁLU V KMITOČTOVÉ OBLASTI 0 3. Spojié spekrum signálu 3. Diskréní spekrum signálu 40 4 ANALÝZA SOUSTAV SE SPOJITÝM ČASEM 6 4. Lineární časově invarianní sousava se sousředěnými paramery 6 5 ANALÝZA LTIL SOUSTAVY V ČASOVÉ OBLASTI 74 5. Časové odezvy LTIL sousavy 74 5. Popis LTIL sousavy diferenciální rovnicí 8 6 ANALÝZA LTIL SOUSTAVY V KMITOČTOVÉ OBLASTI 99 6. Popis LTIL sousavy kmiočovým přenosem 99 6. Transformace signálu LTIL sousavou 06 LITERATURA 06

SEZNAM SYMBOLŮ DFT { w[] n } { W k }, diskréní Fourierova ransformace signálu w [ n] -{ } ransformaci signálu w [ n] DFT W k inversní diskréní Fourierova ransformace k diskréní Fourierově E energie signálu w () E ( ) spojié spekrum energie signálu w ( ) f s F w frekvence vzorkování sousava, dynamická sousava F { ()} W ( ), Fourierova ransformace signálu w( ) - F { W( ) } inversní Fourierova ransformace k Fourierově ransformaci signálu w ( ) FFT Fas Fourier Transform FFT { w[] n } DFT { w[] n }, výpoče provedený funkcí ff MATLAB - FFT { W k } - DFT { W k }, výpoče provedený funkcí iff MATLAB ff funkce ff MATLAB w FS () vyjádření signálu w ( ) ve varu Fourierovy řady g () přechodová charakerisika, odezva sousavy na Heavisideův skok h () impulsová charakerisika, odezva sousavy na Diracův impuls H LTIL, lineární časově invarianní sousava se sousředěnými paramery H () s přenos sousavy, L{ h( ) } H ( ) kmiočový přenos sousavy, F{ h( ) } i index IFFT Inverse Fas Fourier Transform iff funkce iff MATLAB ± j k index LTI lineární časově invarianní sousava LTIL H, lineární časově invarianní sousava se sousředěnými paramery w s w L { ()} W (), Laplaceova ransformace signálu ( ) L { W () s } inversní Laplaceova ransformace k Laplaceově ransformaci signálu w ( ) n diskréní časová proměnná, nts, zv. diskréní čas, index O výsupní sousava P sřední výkon signálu w ( ) P ( a, b) sřední výkon signálu w ( ) za časový inerval ( a, b) p () okamžiý výkon signálu w ( ) P ( ) spojié spekrum výkonu signálu w ( ) P AB sřední vzájemný výkon signálů w A ( ) a w B ( ) P AB () okamžiý vzájemný výkon signálů ( ) w A a ( ) w B 3

{ P m} spekrum výkonu periodických signálů w ( ) R () τ korelační funkce signálu w ( ) R () τ vzájemná korelační funkce signálů w ( ) w ( ) s S T T AB s A, komplexní proměnná Laplaceovy ransformace sav sousavy čas perioda perioda vzorkování u () vsupní signál, vsup w () reálný signál se spojiým časem, signál w rms efekivní, RMS, hodnoa signálu w ( ) w rms ( a, b) efekivní, RMS, hodnoa signálu w ( ) za časový inerval ( a, b) w s () ideálně vzorkovaný signál w ( ) w sřední hodnoa signálu w ( ) w, sřední hodnoa signálu w ( ) za časový inerval ( a, b) ( a b) W () s Laplaceova ransformace signálu w( ) W () náhodný proces W ( ) Fourierova ransformace signálu w ( ) { w m} spekrum periodického signálu w ( ) { w m } ampliudové spekrum periodického signálu w ( ) x () řešení savové rovnice, sav sousavy () y( 0 ),y& ( 0 )K, počáeční podmínky řešení diferenciální rovnice y[ ], y[ ]K, počáeční podmínky řešení diferenční rovnice () odezva sousavy při nulovém vsupním signálu y výsup nebo celková odezva sousavy, řešení dif. rovnice y a y aa () přechodná odezva sousavy y b () odezva sousavy při nulovém počáečním savu y bb () usálená odezva sousavy y C () () y P () () úplné řešení homogenní rovnice y N úplné řešení nehomogenní rovnice libovolné parikulární řešení rovnice δ Diracův impuls (jednokový impuls) η () Heavisideova funkce (jednokový skok) θ ( ) spojié spekrum fáze signálu w ( ) w { θ m} diskréní spekrum fáze signálu ( ) () komplexně sdružená k ( ) B 4

ÚVOD Změna fyzikální veličiny v čase je sudována v mnoha aplikačních úlohách. Časo předpokládáme, že v proměnlivosi sledované veličiny je uložena určiá informace. V ěcho skripech nazýváme uo veličinu signálem. Elekrické napěí, elekrický proud, lakové impulsy, eploní změny, jsou nejběžnější signály echnické praxe. V ěcho skripech sudujeme signály, keré jsou popsané svým maemaickým modelem. Záleží na konkréní aplikační oblasi, jaká je fyzikální inerpreace určiého maemaického modelu signálu. Signály jsou generovány, ransformovány a absorbovány fyzikálními elemeny, agregáy, srukurami. V ěcho skripech yo jednoky nazýváme sousavami. Typickým reprezenanem sousav může bý skupina RC obvod, ranzisor, zesilovač, mikrofón, vysílač, saeli, přijímač, reprodukor. Jiným reprezenanem může bý skupina přísrojů eploměr, lakoměr, vlhkoměr, anemomer. V ěcho skripech popíšeme sousavu jejím maemaickým modelem. Jaká je fyzikální inerpreace určiého maemaického modelu sousavy záleží opě na konkréní aplikační oblasi. S pojmy signál a sousava se sekáváme prakicky ve všech oblasech aplikací echniky, počínaje přísroji používanými v domácnosech a konče u nejsložiějších echnických zařízení. Vývoj moderní echnologie je podložen pokrokem v rozvoji eorie a využií výsledků eorie signálů a sousav. Tao skripa nejsou věnována obecné eorii sousav jako sysémů. Je nesporné, že každý sysém lze rozloži na subsysémy a že každý sysém lze považova za subsysém určiého věšího sysému a že složios éo dekomposice a komposice má své meze. Touo filosofickou oázkou se zde nezabýváme. Sousava sudovaná v ěcho skripech má jednoduchou srukuru, má jeden vsupní signál u () a jeden výsupní signál y( ) níže. a je ukázána na obrázku Takovéo schéma kurzu přímo vede k oázkám: Je možné navrhnou a realizova jednonou meodu analýzy signálů a sousav za siuace, kdy daný signál nebo sousava mohou mí svoji vlasní fyzikální podsau, princip činnosi, způsob využií? V siuaci kdy, například, isíce 5

fyziků na celém svěě pracuje na vývoji různých meod pro vyhodnocení záznamů pozironové rezonance, magneické rezonance, CT, EEG? V siuaci, kdy poče článků věnovaných auomaické regulaci krokových moorů dosahuje několika se položek za rok? V siuaci, kdy lze uvés isíce akovýcho příkladů? Je rozumné sudova obecné přísupy k řešení úlohy analýzy signálů a sousav za siuace, kdy je v praxi vývoj nových přísrojů a zařízení v rukou úzce specializovaných odborníků? Kdy je pro dosažení pokroku v aplikaci eorie signálu a sousav pořeba široká znalos a výzkum v dané specializované aplikační oblasi? Čenář může bý ujišěn, že ve skripech najde základní časem prověřený kurz, věnovaný úvodu do problemaiky. Skripa čenáře seznámí s erminologií a s principy, keré jsou společné snad všem oázkám analýzy signálů a sousav. Usnadní mu sudium více specializované lieraury. Čenář se seznámí s moderními meodami analýzy signálů a sousav pomocí počíače. Jednoduchá srukura s LTIL sousavou diskuovanou v ěcho skripech Základní posupy analýzy signálů a sousav jsou následující. Signál budeme popisova zejména jeho vhodnými časovými průměry definovanými z časového průběhu signálu. Sousavu budeme popisova vhodnými vzahy mezi jejím výsupním signálem a počáečním savem, zejména ale mezi jejím výsupním signálem a vsupním signálem. 6

Analýza v časové oblasi, analýza v kmiočové oblasi jsou pojmy budoucí diskuse. Teorie analýzy signálů a sousav má dva základní cíle. Základní úlohou analýzy signálu je popsa vlasnosi signálu jeho souhrnnými charakerisikami. Základní úlohou analýzy sousav je urči výsup sousavy buzené jejím počáečním savem a vsupním signálem. Celkové nebo inegrální charakerisiky signálu mohou bý časové průměry, inegrály a jiné hodnoy vypočíávané nebo měřené z časových průběhů signálů během určiého časového inervalu. Čím více informace yo charakerisiky obsahují, ím bývají cennější. Spekrum signálu obsahuje více informace o signálu než jeho spekrum výkonu. Spekrum výkonu obsahuje více informace o signálu než jeho sřední výkon. Sřední výkon signálu může obsahova více informace o signálu než jeho sřední hodnoa. Samozřejmě, že nemusí bý vždy snadné, dokonce nemusí bý ani vždy možné, urči spekrum nebo jiné konkréní charakerisiky daného signálu. Pokrok v moderní echnologii nám umožňuje záznam každého měřeného signálu v prakicky neomezeném poču bodů. Vzhledem k omu, že je ex skrip orienován na úvod do problemaiky analýzy signálů a sousav, omezíme diskusi na sousavu s jedním vsupním signálem a jedním výsupním signálem (SISO, single inpu-single oupu sousava). Budeme sudova lineární, časově invarianní sousavu, pro kerou, jak uvidíme, plaí princip superpozice, sudium omezíme na sousavu se sousředěnými paramery (LTIL, Linear Time invarian Lumped Sysem). Takovouo sousavu lze popsa jednoduchým maemaickým modelem. Ve skripech ji popíšeme pomocí diferenciální rovnice. Kurz podává přehled základní meodiky analýzy signálů a sousav. Cílem kurzu je, aby absolven poznal, co je fyzikální podsaou maemaického popisu dynamického chování signálů a sousav v přírodě. Analýza signálů a sousav a její sudium jsou podporovány řadou sofwarových produků. Pro eno kurz jsme zvolili MATLAB. Samoný MATLAB má řadu knihoven, násrojů, 7

oolbox(ů), specializovaných na práci se signály a sousavami. S ohledem na úvodní charaker ohoo kurzu se ve skripech použijí pouze ři z násrojů, keré MATLAB nabízí. Jsou o jádro MATLAB, na keré odkazujeme jako na MATLAB Basic Library, dále MATLAB Simulink Toolbox a MATLAB Symbolic Toolbox. I z ěcho ří sofwarových produků jsou v exu použiy pouze základní příkazy a funkce. Při použií příkazů a funkcí vyšších úrovní by zápis řešení věšiny v exu uvedených příkladů vyšel ješě sručnější. Každý kurz by měl sesáva z eoreického výkladu a z prakických cvičení. Skripa jsou sesavena ak, aby podporovala jak eoreický výklad, ak prakická procvičení láky v simulačním prosředí MATLAB. Simulační úlohy jsou zvoleny ak, aby bylo možno jak úlohy, připravené pro řešení v MATLAB Simulink Toolbox, ak úlohy připravené pro řešení v MATLAB Symbolic Toolbox snadno převés do MATLAB Basic Library. 8

ANALÝZA SIGNÁLŮ SE SPOJITÝM ČASEM Definice.0. Základní úloha analýzy signálu. Je dán signál w ( ). Základní úlohou analýzy signálu je popsa vlasnosi signálu jeho souhrnnými charakerisikami.. Základní definice Definice.. Signál w() se nazývá signál se spojiým časem, pokud časová proměnná nabývá hodno z množiny reálných čísel. Definice.. Okamžiá hodnoa signálu w ( ) Okamžiá hodnoa signálu ( ) Definice..3 Sřední hodnoa w signálu w ( ) Definice..4 Energie E signálu w ( ) w w v čase i je w ( ) T lim w()d T T (..) T i E + w ()d Definice..5 Okamžiý výkon P ( ) signálu w ( ) (..) P () w () Definice..6 Sřední výkon P signálu w ( ) (..3) +T/ P lim w () d (..4) T T T/ 9

Definice..7 Okamžiý vzájemný výkon P AB ( ) signálů w A ( ) a () () w ( ) w ( ) PAB A B (..5) w B Definice..8 Sřední vzájemný výkon AB P signálů w A ( ) a () w B +T/ AB lim w () () T/ A wb d T T P (..6) Příklad.. Výpoče výkonu Uvažujme velmi jednoduchou sousavu vořenou jediným elekrickým odporem. Sousava je popsána pouze jedním paramerem, kerým je velikos R elekrického odporu. Vsupním signálem u () sousavy nechť je napěí na odporu v( ) V cos( 0) Výsupním signálem y () sousavy nechť je proud odporem ( ) I cos( ).. i 0 () i u() R Poznamenejme, že v omo případě je vsupní a výsupní signál sousavy ve fázi, mezi vsupním a výsupním signálem není fázový posun. Obrázek.. Příklad... Elekrický odpor. Fyzikální model a schéma sousavy. Sřední hodnoa časového průběhu napěťového vsupního signálu je 0

v T lim () d T v T T T lim V cos T T T T0 V cos 0 T0 T0 ( ) 0 d ( ) d 0 (..7) kde T 0 π / 0. Obdobně, y i 0. Teno výsledek ovšem známe předem i bez výpoču, každý ví, že sřední hodnoa kosinusovky je rovna nule. Okamžiý výkon vsupního signálu ( ) V cos( ) P v v 0 je cos( 0 0 (..8) () ( V ) ) V ( + cos( )) Poznamenejme, že okamžiý výkon napěí na odporu měřený ve fyzikálních jednokách (wa) je Obdobně, p P i () () Pv (..9) R cos( 0 0 (..0) () ( I ) ) I ( + cos( )) Poznamenejme, že okamžiý výkon proudu proékajícího odporem měřený ve fyzikálních jednokách je p () RP () (..) Sřední výkon vsupního signálu ( ) V cos( ) i v 0 je P v T 0 V V lim T T 0 T +T0 / T0 / +T/ T/ +T0 / T0 / v () ( V cos( )) 0 d ( + cos( )) 0 d d (..)

Poznamenejme, že sřední výkon napěí na odporu měřený ve fyzikálních jednokách je p Pv R I Obdobně, P i (..3) Poznamenejme, že sřední výkon proudu proékajícího odporem měřený ve fyzikálních jednokách je p RPi Okamžiý vzájemný výkon mezi vsupním signálem u( ) v( ) V cos( 0) výsupním signálem y () ( ) I cos( ) odporu je i 0 a P vi () ( V cos( 0) )( I cos( 0) ) VI ( + cos(0) ) (..4) Poznamenejme, že okamžiý vzájemný výkon mezi vsupním signálem () v( ) V cos( ) a výsupním signálem y ( ) ( ) I cos( ) u 0 i 0 měřením ve fyzikálních jednokách nemění, () VI( + cos( )) p vi na odporu se 0. Sřední vzájemný výkon mezi vsupním signálem u( ) v( ) V cos( 0) signálem y () ( ) I cos( ) odporu je i 0 P vi T0 VI T VI lim 0 T T T/ +T0 / T 0 / +T0 / T0 / +T/ v ()() i ( V cos( ) )( I cos( ) ) 0 d ( + cos( ) ) 0 a výsupním Poznamenejme, že okamžiý vzájemný výkon mezi vsupním signálem () v( ) V cos( ) a výsupním signálem y ( ) ( ) I cos( ) u 0 d 0 d i 0 (..5) odporu se měřením ve fyzikálních jednokách nemění, VI p. Obrázek.. ukazuje časové průběhy signálů ( ) V cos( ) a ( ) I cos( ) konkréně signálů v( ) 4cos( ) a i ) cos( ) v 0 i 0, ( a časový průběh jejich okamžiého

vzájemného výkonu. Obrázek.. byl generovaný sekvencí příkazů MATLAB -0:0.00:0; v 4*cos(*); i *cos(*); Pvi v.*i; subplo(3) plo(,v) ylabel('v()') grid subplo(3) plo(,i) ylabel('i()') axis([-0 0-3 3]) grid subplo(33) plo(,pvi) ylabel('pvi()') grid xlabel('') Obrázek.. Příklad... Výpoče okamžiého vzájemného výkonu. 3

Definice..9 Efekivní hodnoa ef w signálu w ( ) w ef lim T P T +T/ T/ w () d (..6) Definice..0 Energeický signál w ( ) Energeický signál ( ) kde E je energie signálu w splňuje podmínky E 0 a E <, E w () d (..7) Definice.. Výkonový signál w ( ) Výkonový signál ( ) kde P je sřední výkon signálu w splňuje podmínky P 0 and P <, P lim T T T T w () d (..8) Definice.. Diracův impuls δ( x) je disribuce, kerá splňuje následující podmínky δ δ ( x) 0 x 0 ( x) 0 x 0+ (..9) δ ( x x ) dx Plaí ( x) δ( x x ) dx f ( ) f x (..0) éž ( x + x ) δ( x) dx f ( ) f x (..) kde f ( x) je jednoznačná ohraničená funkce, definovaná v x 4

Decibel Pojem decibel byl původně definovaný jako jednoka zesílení výkonu v elekrických obvodech. Nejdříve, ao definice již zasarala, byla jako jednoka výkonového zesílení přijaa jednoka bell, nazvaná podle Alexandera Grahama Bella, 847-9, amerického (narozeného ve Skosku) vynálezce elefonu. Logarimická supnice jednoky decibel umožňuje pracova s hodnoami fyzikálních veličin nacházejícími se ve velikých rozsazích klasických lineárních supnic a kompenzuje exponenciální charakerisiky mnoha fyzikálních a fyziologických zákonů a vzahů. P y y 0 P log u P bell u kde u () je vsupní signál P y () je výsupní signál (..) Posupem doby bylo zjišěno, že ao jednoka je příliš velká pro prakické používání a proo byla definována jednoka desekrá menší, jeden decibel (označená jako db). Konkréně, výkonové zesílení obvodu v decibelech je Py P u db 0 log0 Py Pu (..3) Sřední výkon signálu je druhá mocnina efekivní hodnoy signálu. V decibelech edy můžeme vyjádři poměr výkonu P signálu w ( ) k výkonu N šumu n ( ) sousavy, jako P N db P 0 log0 0 log N 0 w n ef ef, měřených v někerém bodu (..4) Poznamenejme, že míra decibel má univerzální použií. Míra decibel se časo používá pro vyjádření poměru výkonu, respekive hladiny výkonu, vzhledem k určié referenční hladině. 5

Příklad.. Decibely výkonu vzhledem k hladině výkonu mw Decibely výkonu vzhledem k hladině výkonu mw jsou definovány vzahem skuecna hladina vykonu (wa) dbm 0 log0-3 0 30 + 0 log 0 [ skuecna hladina vykonu (wa)] (..5) kde "m" v dbm označuje miliwaovou referenční hladinu. Laboraorní rádiové frekvenční signálové generáory jsou obvykle kalibrovány v dbm. ANALÝZA SIGNÁLU V ČASOVÉ OBLASTI. Korelační analýza signálu Definice.. Korelační funkce R ( τ) energeického signálu w ( ) R () τ w() w( + τ)d (..) Definice.. Korelační funkce R ( τ) výkonového signálu w ( ) R T lim T T (..) T () τ w() w( + τ)d Příklad.. Korelační funkce R () τ výkonového signálu w ( ) Uvažujme signál () w () w ( ). w + w () je náhodný šum, generovaný příkazem MATLAB w4*randn(,0000); 6

w () je harmonický signál, generovaný sekvencí příkazů MATLAB 0::00000; w.44*cos(.*); Signál w () je generovaný příkazem MATLAB w w+w; Signály (), w (), w() w jsou vykresleny sekvencí příkazů MATLAB subplo(5) plo(,w) ylabel('w()') %xlabel ('') axis([0 000 min(w+w) max(w+w)]) subplo(5) plo(,w) ylabel('w()') %xlabel ('') axis([0 000 min(w+w) max(w+w)]) ww+w; subplo(53) plo(,w) ylabel('w()w()+w()') %xlabel ('') axis([0 000 min(w+w) max(w+w)]) Signály (), w (), w( ) w ukazuje Obrázek. 3 A,B,C. Sekvence příkazů MATLAB [R,au]xcorr(w,50000,'unbiased'); subplo(54) plo(au,r) ylabel('r(au)') %xlabel('au') axis([-500 500 min(r)-5 max(r)+5]) vypočíává a zobrazuje korelační funkci ( τ) Obrázku..D. Z korelační funkce ( τ) signálu w (), kerá je v šumu ( ) parná. R výkonového signálu w (), zobrazenou na R lze deekova harmonickou složku () w skryá a není z časového průběhu signálu w () ihned w 7

Obrázek.. Příklad... Korelační funkce R ( τ) výkonového signálu () w ( ) w ( ) w + Sekvence příkazů MATLAB subplo(55) plo(au,r) ylabel('r(au)') %xlabel('au') axis([-500 500 - ]) vykresluje korelační funkci v mezích, keré nejsou závislé na velikosi náhodného šumu. Definice..3 Vzájemná korelační funkce AB( τ) w () w () A, B R energeických signálů R AB () τ w () w ( + τ)d A B (..3) 8

Příklad.. Vzájemná korelační funkce () τ R energeických signálů w ( ) w ( ) AB Uvažujme energeické signály w A ( ) a ( ) A, B w B generované sekvencí příkazů MATLAB Signály w A () a () 0::000; wasign(-00)-sign(-00); wb cos(0.*).*(sign(-300)-sign(-400)); w B jsou zobrazeny na Obrázku.. A, B. Vzájemná korelační funkce R ( τ) energeických signálů w A ( ) a () příkazem MATLAB AB w B vypočená [RAB, au]xcorr (wb,wa,'none'); je zobrazená na Obrázku.. C. Z průběhu vzájemné korelační funkce R () τ lze deekova časovou závislos signálů w A ( ) a ( ) w B. Obrázek.. byl generován následující sekvencí MATLAB AB subplo(3) plo(,wa) ylabel('wa(s)') xlabel('(s)') axis([0 000 min(wa)- max(wa)+]) grid subplo(3) plo(,wb) ylabel('wb(s)') xlabel('(s)') axis([0 000 min(wb)- max(wb)+]) grid subplo(33) plo(au,rab) ylabel('r(au)') xlabel('au(s)') axis([-500 500 min(rab)-0 max(rab)+0]) grid 9

wa() 3 0-0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 (s) wb() 0-0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 (s) R(au) 80 60 40 0 0-0 -500-400 -300-00 -00 0 00 00 300 400 500 au(s) Obrázek.. Příklad... Vzájemná korelační funkce AB( τ) signálů w () w ( ) A, B R energeických Definice..4 Vzájemná korelační funkce R ( τ) výkonových signálů w () w ( ) RAB AB () τ w () w ( + τ)d A, T lim B T T A (..4) T B 3. ANALÝZA SIGNÁLU V KMITOČTOVÉ OBLASTI V omo kurzu se nezabýváme náhodnými signály, šumy. Zbývající signály jsme rozdělili na signály energeické a na signály výkonové periodické. U obou ypů signálů budeme předpokláda, že splňují Dirichleovy podmínky, viz dále, pro práci meodami Fourierovy analýzy. Energeický signál vyjádříme pomocí Fourierovy ransformace, popíšeme ho pomocí jeho spojiého spekra. 0

Výkonový periodický signál vyjádříme Fourierovou řadou, popíšeme ho pomocí jeho diskréního spekra. Poznámka Harmonický signál w ( ) je daný rovnicí () w cos( + θ) w max (3.0.0) kde w max je konsanní paramer, ampliuda harmonického signálu + θ je fáze harmonického signálu je konsanní parameer, úhlový kmioče harmonického signálu θ je konsanní paramer, počáeční fáze harmonického signálu je nezávisle proměnná harmonického signálu, čas Poznámka: Úhlový kmioče má rozměr sekunda na mínus prvou, rad.s. na mínus prvou,. Jeho fyzikální jednoka je s. Název jeho fyzikální jednoky je radián za sekundu, Kmioče f má rozměr. Jeho fyzikální jednoka je sekunda s. Název jeho fyzikální jednoky je herz. 3. Spojié spekrum signálu Posačující, ne však nunou, podmínkou, aby byl signál analyzovaelný pomocí Fourierovy ransformace, j popsán svým spojiým spekrem je, aby signál splňoval v nekonečném časovém inervalu zv. Dirichleovy podmínky dané definicí Definice 3... Uvidíme dále, že yo podmínky jsou blízké Dirichleovým podmínkám požadovaným pro konvergenci Fourierových řad, popisujících diskréní spekrum výkonových periodických signálů. Definice 3.. Posačující Dirichleovy podmínky, aby funkce y () měla Fourierovu ransformaci jsou následující. y () musí bý absoluně inegrovaelná na inervalu ( ),, j.

() d K < y (3..) kde K je konečná konsana. y () může mí na libovolném konečném časovém inervalu pouze konečný poče nespojiosí prvého řádu a konečný poče maxim a minim. Připomeňme, že má-li funkce v určiém bodě nespojios prvého řádu, znamená o, že zde má jak konečnou limiu zleva, ak konečnou limiu zprava, a yo limiy si nejsou rovny. Věa 3.. Časový průběh libovolného fyzikálního, j. fyzikálně realizovaelného signálu (j. signálu s konečnou energií) může bý popsán spojiou reálnou funkcí, kerá splňuje Dirichleovy podmínky. Z uvedeného vyplývá, že fyzikání signály mají eoreicky vždy své Fourierovy ransformace. Nevyplývá z oho ale závěr, že je dokážeme vždy urči. V současné lierauře se bez výjimky kosinový průběh signálů vyjadřuje pomocí souču komplexních exponenciál. Připomeňme si proo úvodem, jak se vyjádří harmonický signál pomocí komplexní proměnné. Pochopení ohoo zápisu je nezbyné pro pochopení celé další láky Jde přiom pouze o geomerickou a fyzikální inerpreaci Eulerova vzahu jx jx e + e cos x (3..)

Im j jx e j*sin(x) x Re 0 *cos(x) cos(x) Obrázek 3.. A jx e cos x jx + e Im ja j( +θ Ae ) 0 ( + θ) 0 ja sin θ A Re 0 Acos( + θ) 0 ( + θ) 0 Acos Obrázek 3.. B A cos ( + θ) j Ae ( +θ) j( +θ + Ae ) 3

Im A e ( +θ) j 0 0 A e θ ( + θ) 0 Acos j ( +θ) 0 Re j Obrázek 3.. C ( ) ( +θ) j( +θ) Acos + θ A e + A e Im jθ w e m j e m m 0 0 m θ m Re wm, max m m cos ( + θ ) jθ w e m j e m m 0 Obrázek 3.. D w ( ) w cos ( + θ ) m m, max m m 4

wm () w cos( + θ ) m,max m m wm,max j e + wm,max jθm j e e m + jθm jm w m e e + jm w me + ( m +θm ) wm,max j( +θ ) e m m wm,max jθm jm e e jθm jm w m e e jm w me (3..3) Poznámka: Uveďme ješě někeré užiečné vzahy pro manipulaci s harmonickým signálem v reálné oblasi. V reálné oblasi harmonický signál zapisujeme obvykle někerým z následujících zápisů: wm () wm max cos( m + θm ) w ( cos cosθ sin sin θ ), (3..4) m,max m m am cosm + bm sin m ze vzahu vidíme, že lze harmonický signál s fázovým posunem složi z neposunuých kosinusového a sinusového signálu. Pro jejich ampliudy snadno odvodíme m m a naopak am wm,max cosθm (3..5) bm wm,max sin θm w m, max am + bm (3..6) b θ m m an (3..7) am Definice 3.. Harmonický elemen dw i ( ) dw i π () W ( ) cos( + θ ) d i i i (3..8) Věa 3.. Každý fyzikální signál w ( ) (j. signál s konečnou energií) může bý vyjádřen inversní Fourierovou ransformací π (3..9) j () W ( ) e d F { W ( ) } w ( ), 5

kde komplexní Fourierova ransformace ( ) spojiým spekrem j ( ) w() e d F{ w() } W signálu w () je dána W (3..0), ( ) W ( ) je komplexní funkce reálné proměnné. Poznámka: Uveďme souvislos (3..9) a (3..0) se zápisem Fourierovy ransformace v reálném oboru. Ze základního kurzu maemaiky je známo, že každý signál ( ) w pro kerý plaí předchozí podmínky, může bý vyjádřen inversní Fourierovou ransformací kde () [ a( ) cos + b( ) sin ] w π 0 A π 0 (, ) a b ( ) A( ) cosθ( ) ( ) A( ) sin θ( ) ( ) cos + θ( ) ( )d d (3..) (3..) ( ) a ( ) + b ( ) ; A 0 ( ) ( ) an b a( ) ; θ( ) ( π ; +π] [ 0 ) A (3..3) θ, Pro reálné koeficieny a ( ) a ( ) ransformace a b ( ) w( ) b reálné proměnné plaí vzahy Fourierovy (3..4) cos d (3..5) w sin d (3..6) ( ) ( ) ( ) wmax ( ) θ ( ) je jednosranné spojié spekrum fáze signálu ( ) Jednosranné spojié spekrum signálu ( ) A je jednosranné spojié spekrum ampliudy signálu w (). w. w ukazuje, že na kmioču i 0 signál přispívá ke svému celkovému průběhu přírůskem 6

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + θ π + θ π d w d A i i i i i i cos cos max (3..) (3..7) Pomocí Eulerova vzahu vzorce (3..)a vzahů (3..5), (3..6) snadno rovnici (3..) upravíme do dnes již výhradně používaných varů (3..9) a poé i odvodíme vzah pro (3..0): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j e jb a e jb a e e jb e e a j e e b e e a b a + + + + + + sin cos (3..8) Označíme ( ) ( ) ( ) jb a W (3..9) Podle (3..) je ( ) ( ) ( ) + jb a W a ( ) ( ) * W W (3..0) Získáme ( ) ( ) ( ) ( ) j j e W e W b a + + sin cos (3..) Inegrál (3..) nyní jen upravíme: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π + π π + π + π + π + θ π d e W d e W d e W d e W d e W d e W e W d b a d A w j j j j j j j sin cos cos 0 0 0 0 0 0 0 (3..) ( ),

Využili jsme skuečnosi, že pro ( ) W 0 W plaí ( ) e j d W ( ) 0 e j d (3..3) Konečně odvodíme vzah pro W ( ) : W ( ) a ( ) jb( ) w () cos d j w() ()( cos jsin ) w e j d w () d sin d (3..4) ( ), Získáváme klasický var Fourierovy ransformace (3..0) a odpovídající klasický var zpěné Fourierovy ransformace (3..9): ( ) w() e j d F{ w() } W (3..0) (3..7) (3..5) ( ), ( 3..09) (3..6) j () W ( ) e d F { W ( ) } π ( ) w, Definice 3..3 Fourierova ransformace W ( ) signálu ( ) spojié) spekrum W ( ) signálu w ( ) W j ( ) w( ) e d w se nazývá (dvousranné (3..7) ( ), 8

Definice 3..4 Dvousranné spojié spekrum ampliudy ( ) W ( ) { W ( ) } + Im { W ( ) } W signálu w () Re (3..8) Definice 3..5 Dvousranné spojié spekrum fáze ( ) θ ( ) ( W ( ) ) Plaí: θ signálu w () arg (3..9) ( ) W ( ) ( ) θ( ) W θ Dvousranné spojié spekrum ukazuje, že na fyzikálním kmioču je vždy nezáporný, signál přispívá ke svému celkovému průběhu přírůskem W π i wmax π wmax π wmax π j e i i d π i e i e i d + max i e π jθ( ) j jθ + ( ) j e i e i e i e i i d j ( ) e i d + W ( ) ( ) jθ( ) j w ( ) jθ( ) ( ) ( ) cos( + θ( )) d i i i i, fyzikální kmioče i j e i d edy sejným přírůskem jako v případě jednosranného spojiého spekra. To je ovšem očekávaný výsledek. Signál se nemění, zavedl se pouze formálně jiný popis signálu. Definice 3..6 Dvousranné spojié spekrum energie ( ) ( ) W ( ) E signálu w () E (3..30) i Definice 3..7 Dvousranné spojié spekrum výkonu ( ) spekrální husoa výkonu P ( ) signálu w ( ) P ( ) lim T lim T kde ( ) W T T ET T ( ) ( ) P signálu w (), zv. (3..3) W je spojié spekrum energie signálu w () za časový T inerval T. 9

Dále již pracujeme, až na ilusrační Poznámku u výkladu diskréních speker, jen s dvousrannými spekry, a uo skuečnos proo nezdůrazňujeme. Tam kde je o zřejmé ze symboliky aké neuvádíme, že se jedná o spekra spojiá. Příklad 3.. Fourierova ransformace pravoúhlého impulsu Je dána kladná konsana τ, symbolem Π τ impuls o délce rvání τ sekund, definovaný označujeme jednokový pravoúhlý τ τ Π, < τ Π 0 jinde τ Pravoúhlý impuls w () Π je nakreslený na Obrázku 3... τ (3..3) Π τ Obrázek 3.. Příklad 3.. Pravoúhlý impuls () Impuls má Fourierovu ransformaci W j e d τ j e d τ jτ + jτ e e j j τ sin ( ) w( ) w (3..33) 30

Vyjádříme W ( ) pomocí funkce sinc ( λ ) definované vzahem (3..34) ( πλ) sin sinc ( λ) πλ (3..34) Too vyjádření dává τ W ( ) τsinc (3..35) π Pro () Π 5 w získáme spojié spekrum ( ) W uvedené na Obr..6. Na Obr. 3..3 je naposledy, pro srovnání, uvedeno i jednosranné spojié spekrum ohoo signálu. Obrázek 3..3 Dvousranné a jednosranné a spojié spekrum pravoúhlého impulsu Π 5 3

Příklad 3.. Fourierova ransformace exponenciálního signálu Nyní uvažujme signál () w e (3..36) Analyický var Fourierovy ransformace lze opě nají mnoha způsoby. Uveďme zde komplení řešení, dané programem v prosředí MATLAB Symbolic Toolbox. syms omega; w exp(-*abs()); subplo () ezplo(w,[-3,3]); axis([-3 3 0 ]); grid W Fourier(w,,omega); subplo() ezplo(w,[-3,3]); grid % variables % signal % Fourier ransform Obrázek 3..4 Příklad 3... Graf exponenciálního signálu (A) a jeho Fourierovy ransformace určené pomocí MATLAB Symbolic Toolbox (B) 3

Příklad 3..3 Numerický výpoče Fourierovy ransformace Grafický průběh Fourierovy ransformace konkréního signálu snadno určíme numericky. Prosuduje si dále uvedený jeden akovýo jednoduchý program pro MATLAB. Je v něm zapsáno řešení příkladu 3... Navíc je v něm uvedena i zpěná Fourierova ransformace, j. rekonsrukce signálu z jeho spojiého spekra. Ověře si ao řešení a zkuse si éž vypočía spojiá spekra a rekonsrukce i jiných signálů. %Na inervalu promenne (-50,50) se suduje %signal w()o rvani 00s. Obsahuje jednokovy sudy impuls %o delce 5s a vysce. %Hleda se FT W(omega) signalu w(). %W(omega) se urci prosym vypocem ak, %ze se pro inegraci signal w() vyjadri ve 00 bodech hodnoou %vekoru w a vysledek inegrace se ulozi do 00 bodu vekoru W. %Zvolime, ze sojie spekrum budeme hleda na inervalu pro %omega vesi nez -0s- a mensi nez 0s-. %poloha clenu ve vekoru w: %w()w(-50), w(50)w(0), w(00)w(50) %casova vzdalenos jednolivych clenu ve vekoru w: %dela d0.s %vzah mezi infexem nn clenu w(nn) ve vekoru w a casem %(nn-50)/0.s %poloha clenu ve vekoru W: %W()W(omega-0s-), % W(50)W(omega0s-), % W(00)W(omega0s-) %kmiocova vzdalenos jednolivych clenu ve vekoru W: %dela omega domega0.0s- %vzah mezi indexem kk clenu W(kk) ve vekoru W a kmiocem omega: %omega(kk-50)/50.s- 33

%Program pro vypoce FT: w[zeros(,475) ones(,5) zeros(,475)]; %generuje se signal w() -50:0.:50; subplo(3); plo(,w) %vykresluje se signal w() grid; axis([-50 50 - ]); xlabel(''); ylabel('w()'); for kk::00; W(kk)0; %nuluje se vekor W, kam se ulozi FT end; for kk::00; for nn::00; W(kk)W(kk)+w(nn)*exp(-j*(kk-50)/50*(nn-50)/0)*0.; %FT end; end; omega-0:0.0:0; subplo(3); plo(omega,abs(w)) %vykresluje se W(omega) grid xlabel('omega'); ylabel('abs(w(omega))') %Rekonsrukce signalu z jeho FT %Pro rekonsrukci signalu slouzi jeho vyse spocena FT %Program pro vypoce zpene FT for nn::00; wrek(nn)0; %nuluje se vekor wrek, kam se ulozi rekonsruovany signal end; for nn::00; for kk::00; wrek(nn)wrek(nn)+/(*pi)*w(kk)*exp(j*(nn-50)/0*(kk- 50)/50)*0.0;%zpena FT end; end; subplo(33); plo(,abs(wrek)); %Vykresluje se rekonsruovany signal. %Vypocial se jen z nizkych frekvenci. %Hrany rekonsruovaneho signalu wrek() jsou proo oproi w() zkreslene. grid axis([-50 50 - ]); xlabel(''); ylabel('wrek()'); 34

Obrázek 3..5 Příklad 3..3. Numerický výpoče přímé a zpěné Fourierovy ransformace. Jednokový impuls Π (A), jeho ampliudové spojie spekrum (B) 5 a zpěná rekonsrukce (C). Vlasnosi Fourierovy ransformace Uvažujme signály w () a () u keré mají Fourierovy ransformace ( ) F{ w( ) } ( ) { ( ) } W (3..37) U F u (3..38) Ze základních vlasnosí Fourierovy ransformace uveďme yo: 35

Linearia Fourierova ransformace je lineární, proože F { au () + b w() } [ au () + b w() ] a u af j () e d + b w() { u () } + bf{ w( ) } j e d j e d (3..39) Posun v časové oblasi Posun v kmiočové oblasi j { w( )} W ( ) e 0 F 0 (3..40) j { () 0 w e } W ( ) F (3..4) 0 Dualia f ( ) F{ W () } π (3..4) Změna časového měříka F { w( a) } W, a a a 0 ( 3..4) Derivování v časové oblasi () n d w n F ( j) W ( ), n,, L (3..43) n d Inegrování v časové oblasi F w( λ) dλ W ( ) + πw ( 0) δ ( ) (3..44) j 36

Příklad 3..4 Fourierova ransformace rojúhelníkového impulsu Uvažujme rojúhelníkový impuls w ( ) uvedený na Obrázku 3..6 A. Nejdříve najdeme derivaci w& () signálu w ( ). Derivace ( ) Obrázku 3..6 B. Vidíme, že w& je zobrazena na + T 4 T 4 () w& Π Π (3..45) T T T T Obrázek 3..6 Příklad 3..4. Signál ( ) w a jeho derivace w& () Fourierova ransformace W & ( ) signálu ( ) w& může bý určena s použiím ransformačních dvojic z Tabulky. v kombinaci s věou o posunu v časové oblasi. Získáme 37

T jt jt W & ( ) sinc exp exp 4π 4 4 (3..46) T T sinc jsin 4π 4 Odud, proože w ( ) je inegrál w& ( ) získáváme, uplaněním věy o inegraci v časové oblasi W j ( ) sinc jsin + πw ( 0) δ ( ) T sin ( T 4) sin T 4 T 4π ( T 4) ( T 4) T sin 4 T 4 (3..47) Nalezli jsme edy ransformační dvojici T T F { w() } sinc (3..48) 4π Konvoluce { u () w() } U ( ) W ( ) F (3..49) Fyzikální signál se spojiým časem je vždy spojiý. V inženýrské praxi se sekáváme s modely signálů se spojiým časem, keré jsou nespojié. Je-li w ( ) v 0 nespojiý, pak inverzní Fourierova ransformace generuje sřední hodnou z w ( 0+ ) a w ( 0 ) j w ( ) + w( ) 0+ 0 W π ( ) e j d (3..50) bez ohledu na o, jaká je hodnoa w ( 0 ). V inženýrské praxi mají dva signály se spojiým časem, jejichž funkční popis se od sebe liší jen v izolovaných bodech, na sysém se spojiým 38

časem sejný vliv a mohou bý považovány za sejný signál. Můžeme edy předpokláda, že mezi signálem w () a jeho Fourierovou ransformací ( ) W je jednoznačný vzah. Sručná abulka ransformačních dvojic Fourierovy ransformace je uvedena níže. Mnoho dalších pořebných ransformačních dvojic čenář najde pomocí MATLAB Symbolic Toolbox. Dalším zdrojem pro vyhledání ransformačních dvojic Fourierovy ransformace je INTERNET, zde pod heslem Fourierova ransformace pairs. signál w ( ) W ( ) Konsana δ ( ) Diracův impuls δ ( ) Diracův impuls v 0 δ ( 0 ) j e Heavisideův skok η ( ) π δ ( ) 0 + j Signum sgn () j Pravoúhlý impuls Π T T sinc T π Exponenciální signál e a η( ) ( j + a) Fázor ( +θ ) j e 0 jθ π e δ ( ) 0 [ ] Kosinus ( 0 jθ jθ cos +θ ) πe δ( 0 ) + e δ( + 0 ) n n k k π π 0, 0 T T Časový sled Diracových impulsů δ ( nt ) δ ( n ) Tabulka 3.. Transformační dvojice Fourierovy ransformace 39

3. Diskréní spekrum signálu Definice 3.. Periodický signál w( ) w ( ) ( kt ) w( ) vyhovuje rovnici A w + A (3..) k L,,,0, +, +,L kde T je základní perioda signálu w ( ) f A A A je základní frekvence signálu w () T A π f je základní úhlový kmioče signálu w () A V ěcho skripech aproximujeme pomocí diskréního spekra periodický signál o periodě T A. Poznamenejme, že pomocí diskréního spekra můžeme aproximova v konečném časovém inervalu ( a a + ), i každý jiný fyzikální signál se spojiým časem. T A Poznámka Je-li signál w ( ) periodický s periodou T A, je spojié spekrum W ( ) signálu w () W ( ) m w mδ( ma) (3..) m kde A π TA je základní úhlový kmioče signálu w ( ) a T A j w() e m m d T + w A a (3..3) w jsou koeficieny Fourierovy řady funkce ( ) Spojié spekrum periodického signálu obsahuje Diracovy impulsy. Pro prakické výpočy o není pohodlné. Bylo proo definováno a zavedeno zv. diskréní spekrum signálu. Informace o periodickém signálu, obsažená ve spekru je plně obsažena i v jeho diskréním spekru. 40

Definice 3.. Dirichleovy podmínky. Dirichleovy podmínky jsou posačující podmínky pro o, aby y ( ) byla rozvinuelná do konvergenní Fourierovy řady. y () je na daném konečném časovém inervalu, respekive na periodě T A, absoluně inegrovaelná, j. T A 0 y () d K < kde K je konečná konsana (3..4) y () má na daném konečném časovém inervalu, respekive na periodě T A, konečný poče nespojiosí prvého řádu a konečný poče maxim a minim. Věa 3.. Každý signál w ( ), kerý je na daném konečném časovém inervalu ( a a + ), fyzikální, (j. signál, kerý na daném konečném časovém T A inervalu nese konečnou energii) lze na omo časovém inervalu ( a a + ) m (), vyjádři pomocí komplexní Fourierovy řady T A j w m FS wme (3..5) m kde komplexní koeficieny w m (fázory) jsou dány vzahem a T A j w() e m m d T + w (3..6) A a kde m m A A π T A A je základní úhlový kmioče w FS ( ) T je perioda ( ) A w FS 4

Poznámka: Uvedeme souvislos (3..5) a (3..6) se zápisem Fourierovy řady v reálném oboru. Ze vzahů (3..4), (3..7) wm () wm max cos( m + θm ) w ( cos cosθ sin sin θ ), (3..4) (3..7) m,max m m am cosm + bm sin m vidíme, že harmonický signál s fázovým posunem lze složi z neposunuých kosinusového a sinusového signálu. Pro jejich ampliudy snadno odvodíme m m a naopak am wm,max cosθm (3..5) (3..8) bm wm,max sin θm w m, max am + bm (3..6) (3..9) b θ m m an (3..7) (3..0) am Ze základního kurzu maemaiky je známo, že každý periodický signál w () s periodou TA pro kerý plaí předchozí podmínky, může bý v reálném oboru vyjádřen inversní Fourierovou řadou ve varu j. kde () w w a0 + am cos m A + bm sin m A m am cos m A + bm sin ma m 0 () A cos( m + θ ) m 0 m A m (3..) (3..) A m am + bm ; Am 0 (3..3) θ an bm m ; θm ( π ; +π] (3..4) am Pro reálné koeficieny a m a b m plaí vzahy 4

Všimněme si, že a + T a A m w() cos m a A d TA a + T b A m w() sin m a A d TA (3..5) (3..6) a + T a A 0 w() d (3..7) TA a Množina ampliud harmonických složek signálu Am wmax, m voří jednosranné diskréní ampliudové spekrum, respekive jednosranné ampliudové spekrum signálu w (). Množina počáečních fází θ m voří jednosranné diskréní fázové spekrum, respekive jednosranné fázové spekrum signálu w ( ). Jednosranné diskréní spekrum signálu ukazuje, že na kmioču m 0 signál přispívá ke svému celkovému průběhu přírůskem Am cos( m + θm ) wmax, m cos( m + θm ) (3..8) Pomocí Eulerova vzorce vzahy (3..), (3..), (3..5-6) snadno upravíme do dnes již výhradně používaných varů (3..5) a (3..6). Vyjdeme ze vzahu (3..) pro w (), kerý opíšeme do vzahu (3..9) Upravíme w () a cos m + b sin m m 0 m A m A (3..) (3..9) jm A jm e + e A am cos ma + bm sin ma am jm A jm e + e A am am jbm jm A a e + m jm A jm A e e + bm j jm A jm e e A jbm + jbm jm A e (3..0) Označíme Je edy a w m jbm m (3..) a w m + jbm m w w * m m (3..) 43

Zopakujeme, že označujeme m A m (3..3) Po omo označení je jm A j e e m jma jm e e (3..4) Je edy Získáme * j j e m e m (3..5) j j am cos m + b m m m sin m w me + w me (3..6) Sumu (3..9) nyní již jen upravíme: () w am cosma + bm sin ma m 0 jm jm wme + w me m 0 jm wme m (3..7) Což je vzah (3..6) () m j w m FS wm e m (3..6) (3..7) Využili jsme skuečnosi, že pro j w me m plaí j * w j w me m m me (3..8) Konečně odvodíme vzah (3..5) pro w m. Podle (3..) je wm am jb m (3..) (3..9) Dosadíme za a m a b m ze vzahů (3..5) a (3..6): 44

wm am jb m a+ TA T A a a+ TA T A a a+ TA T A a [ w() cosm jw() sin m ] A cos j w() m sin m d j w() e m d A d (3..6) (3..30) Což je hledaný vzah (3..6). Poznamenejme, že je-li w () ohraničená periodická funkce kerá má v každé periodě nejvíce konečný poče lokálních maxim a minim a konečný poče bodů nespojiosi prvého řádu (Dirichleovy podmínky), pak Fourierova řada w FS ( ) funkce w ( ) konverguje k ( ) všech bodech kde je w ( ) spojiá, a konverguje ke sřední hodnoě limiy () w () zprava v bodě nespojiosi w () pro jev. w ve w zleva a limiy. V mísě nespojiosi se objevují překmiy, dosahující n minimální hodnoy 8 % z hodnoy nespojiosi. Teno jev se nazývá Gibbsův Je-li w () fyzikální signál periodický na konečném časovém inervalu, pak Fourierova řada signálu w () konverguje k () w. Je-li w () libovolná periodická funkce, kerá splňuje Dirichleovy podmínky, lze její inegrál nají inegrací členů její Fourierovy řady. Je-li w () spojiá periodická funkce, kerá splňuje Dirichleovy podmínky a splňuje-li Dirichleovy podmínky aké její derivace, pak, exisuje-li, lze její derivaci nají derivováním členů její Fourierovy řady. Definice 3..3 Diskréní spekrum periodického signálu w ( ) je uspořádaná množina komplexních koeficienů { w m } (3..3) 45

Definice 3..4 Diskréní spekrum ampliudy periodického signálu w () je uspořádaná množina hodno { w m } ( 3..3) Diskréní spekrum signálu ukazuje, že na fyzikálním kmioču m 0 signál přispívá ke svému celkovému průběhu přírůskem Příklad 3.. wm () j j m e m w + w m e m wmax, m j w e m m + wmax, m cos( m + θm ) Am cos( ma + θm ) ( +θ ) max, m j( +θ ) Diskréní Fourierovo spekrum časového sledu pravoúhlých impulsů Uvažujme časový sled pravoúhlých impulsů ( ) e m w o periodě T 0, ampliudě, π šířce 0. Jeho základní úhlový kmioče je 0 π 0. 346. Abychom se T0 0 při demonsraci principu analyického posupu výpoču vyhli práci s komplexními koeficieny volíme signál jako sudou funkci času. Sled impulsů je nakreslen na Obrázku 3.. A. Vyjádříme w () Fourierovou řadou. Vypočíáme 5 w 0 w() d 0. 5 0-5 0 m wm 0 π π π 5 5 jm jm 5 jm 5 jm π 0 e w()d e 0 d e 0 e 0 sin m 5 0 5 π 0 jm mπ 0 po dosazení 46

47 L π π π 5 w w 0 w w 3 w w 0 w w w w 5 5 4 4 3 3 Dosadíme do vzahu (3..5) () ( ) + m m m m j w exp w () L + π + π π + π + π π + π + π π + j e j e j e j e j e j e. w 0 5 0 5 5 0 3 0 3 3 0 0 0 5 Koeficieny jsou vykresleny na Obrázku 3.. D jako funkce indexu m, odpovídajícího úhlovému kmioču 0 0 π m m a frekvenci π f Výše uvedenou rovnici lze ihned přepsa na kosinovou Fourierovu řadu, () L L + π π + π π + π π + + π + π π + π + π π + π + π π + cos cos cos. j e j e j e j e j e j e. w 0 5 5 0 3 3 0 5 0 0 5 0 5 5 0 3 0 3 3 0 0 5 0 (3..33) Analyickou inegraci v komplexním oboru obvykle nahradíme, ve složiějších úlohách, numerickými výpočy na počíači. Pro výpoče Fourierových koeficienů k w pak můžeme použí MATLAB a nějakou jednoduchou numerickou meodu. Můžeme ovšem aké použí

analyický MATLAB Symbolic Toolbox, ad. V ěcho skripech demonsrujme pro nalezení diskréního spekra signálu použií Diskréní Fourierovy ransformace, konkréně jejího algorimu ff zv. Fas Fourier Transform. Fas Fourier Transform, Rychlá Fourierova Transformace, je algorimus a sofware, kerý počíá koeficieny časem w [] n. Signál [] n signálu w (), poom [ n] ( ) n L,,,0,,,L W k zv. Discréní Fourierovy Transformace, DFT, signálu s diskréním w může vzniknou ekvidisanním vzorkováním, odečem hodno, w w nt s, kde Ts je perioda vzorkování signálu, Nejdříve vzorkujeme jednu periodu signálu se spojiým časem w ( ), T T N N, Ts, Ts v N bodech. Vzorkovací inervalt s volíme konsanní. Poče bodů N volíme lichý. Vzorkováním signálu w ( ) získáváme signál s diskréním časem w [] n, w [] n w nt ). Hodnoy [ n] ( s w uložíme do N rozměrného vekoru MATLAB, zde do vekoru s názvem w,následovně: čás pro 0, poé, opě vzesupně, čás pro < 0, j. w [] 0, w[],, w[ ( N ) / ], w[ ( N ) / ], L, w[ ] L (3..34) Nyní je naším posupným cílem nají N koeficienů Wk výše zmíněné Diskréní Fourierovy Transformace, DFT, signálu s diskréním časem w [ n] Vzah pro { w[ n] } Wk N [] N N w n e j πkn N, k L, 0,,, L, N DFT je vzah (. 43 ) (3..35) Okamžiě vidíme, že vzah (3..35) aproximuje numerický výpoče Fourierova inegrálu (3..6). Odud již snadno najdeme hledané koeficieny w k spojiého původního signálu w () : diskréního Fourierova spekra Ts w k Wk Wk (3..36) T N 48

V MATLABu nemáme k disposici funkci, kerá by počíala přímo sumu (3..35) od do + N, máme zde funkci ff, Fas Fourier ransform, kerá počíá uo sumu od nuly do N. N Lze však ukáza, že Wk je periodické s periodou N, W k Wk + N. Hledaný MATLAB vekor Wk s DFT členy W k získáme edy například ak, že nejdříve spočeme členy periody a o DFT koeficieny W signálu [ n] k Wffk w pro k,, L, N, W k v jiné čási N Wffk Wk w n, n 0 [] e jπkn N, k,, L N (3..37) uložíme výsledky do vekoru Wffk a poé vekor Wffk přerovnáme do vekoru Wk. Pro celý výpoče použijeme pouze dvě insrukce. Velmi výkonnou funkci MATLAB ff, kde ovšem ff znamená Fas Fourier Transform a funkci ffshif pro přerovnání, on je o časý požadavek, koeficienů. Algorimus je velmi jednoduchý: Wffkff(w); Wkffshif(Wffk); (3..38) kde Wffkff(w) počíá DFT koeficieny Wff k Wk pro k 0,, L, N Wkffshif(Wffk) přerovnává koeficieny Wff k Wk generované ff(w)do MATLAB vekoru W s DFT členy W k pro N N k L, 0,,, L, Zapišme jednu periodu našeho signálu w [ n] do vekoru w v MATLABu následovně: w[ones(,5) 0.3 zeros(,9) 0.3 ones(,4)]; Zvolili jsme pro numerickou inegraci edy yo paramery: poče vzorků signálu ( ) w N 49

inerval vzorkování signalu () w T s Odpovídající program v MATLAB může mí var: T0; w[zeros(,50) ones(,00) zeros(,00) ones(,00) zeros(,00) ones(,00) zeros(,50) ]; -30:.:9.9; %vykreslení signálu w() v subplou (4) subplo(4) plo(,w) axis([ -30 30 - ]); xlabel('') ylabel('w()') grid N; %ulozeni jedne periody signalu w[n] TsT/(N-); w[ones(,5) 0.3 zeros(,9) 0.3 ones(,5)]; Wffkff(w); subplo(4) sem(abs(wffk)) axis([ 0 0]); xlabel('k') ylabel('abs(wffk)') grid Wkffshif(Wffk); subplo(43) k-0::0; sem(k,abs(wk)); axis([-0 0 0 0]); xlabel('k') ylabel('abs(wk)') grid wkwk*ts/t; subplo(44) %vypoce FFT signalu w[n] %vykresleni FFT signalu w[n] %vypoce DFT signalu w[n] %vykresleni DFT signalu w[n] %vypoce disk. Four. spekra signalu w() %vykresleni disk. Four. spekra signalu w() k-0::0; sem(k, abs(wk)) axis([-0 0 0 ]); xlabel('k') ylabel('abs(wk)') grid 50

w() abs(wffk) abs(wk) abs(wk) 0 - -30-0 -0 0 0 0 30 0 0 0 4 6 8 0 4 6 8 0 k 0 0 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 k 0.5 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 k Obrázek 3.. Příklad 3.. FFT, DFT a diskréní Fourierovo spekrum časové posloupnosi pravoúhlých impulsů Obrázek 3..A ukazuje časový průběh časové posloupnosi pravoúhlých impulsů w () Obrázek 3..B ukazuje FFT ampliudové spekrum impulsů w () Obrázek 3..C ukazuje DFT ampliudové spekrum impulsů w () Wffk vzorkovaných pravoúhlých W k vzorkovaných pravoúhlých Obrázek 3..D ukazuje diskréní Fourierovo ampliudové spekrum impulsů w () w k pravoúhlých Poznamenejme, že signál w FS () lze generova z W k přímo použiím funkce MATLAB iff, Inverzní Rychlá Fourierova ransformace. Ukáže se, že aproximace zadaného sledu pravoúhlých impulsů w () konsanní složkou a desei harmonickými je příliš hrubá. 5

Definice 3..5 Diskréní spekrum fáze periodického signálu ( ) množina reálných koeficienů w je uspořádaná { θ m} (3..39) kde [ ] θ m arg w m (3..40) Definice 3..6 Diskréní spekrum výkonu periodického signálu w () je uspořádaná množina reálných koeficienů { m } { w m } P (3..4) w 0 w periodického signálu w () se základní periodou T A je rovna w 0 TA w()d T A TA (3..4) Definice 3..7 Konsanní složka ( ) 0 Definice 3..8 Harmonické složky w m ( ), m,, L periodického signálu w A ( ) jsou wm kde () w m exp( jm) + wm exp( + jm) w cos( + θ ) m, max m TA m w w m w T A TA m () exp( j )d jsou koeficieny komplexní Fourierovy řady (3..5) m (3..43) (3..44) Příklad 3.. Fourierova analýza harmonických složek signálu Uvažujme signál w () generovaný programem MATLAB 0:0.0:*pi w-cos(); w0.7*cos(0*); w3.*sin(*); ww+w+w3; 5

Signál w () je zobrazen na Obrázku 3.. A. Z Obrázku 3.. A sěží rozeznáme kmiočy harmonických složek, ze kerých se signál skládá. K odhalení kmiočů harmonických složek použijeme Fourierovu analýzu. Příkaz ff programového prosředí MATLAB Wff(w); vypočíává DFT koeficieny k W k k W k 0e+00 * 0e+00 * -0.00 8 0.0095-0.0070i -3.40-0.04i 9 0.034-0.0094i 3 0.007-0.004i 0 0.05-0.03i 4 0.0060-0.00i.07 + 0.058i 5 0.0060-0.0030i -0.03-0.047i 6 0.0066-0.0040i 3 0.430-3.768i 7 0.0076-0.0053i 4 0.0093 + 0,054i................................... ukázané na Obrázku 3.. B, B Významné jsou koeficieny W, W a W 3 a jejich komplexně sdružené koeficieny W 69, W 60 a W 68 odpovídající úhlovým kmiočům, 0 a. 53

Obrázek 3.. Příklad 3.. Analýza harmonických složek signálu Zde T π, krok jsme zvolili T 0. 0, odud perioda FFT N π / 0. 0. s Odpovídající komplexní koeficieny Fourierova spekra signálu se spojiým časem w ( ) w,w0, w, w,w 0, w, jsou w W N 0.500 0.008i w0 W N 0.3504 + 0.0084i w W3 N 0.08 0.5997i w W69 N 0.500+ 0.008i w 0 W60 N 0.3504 0.0084i w W68 N 0.08 + 0.5997i 54

Tyo koeficieny popisují hledané harmonické složky w w w 3 () cos( ) () 0.7 cos( 0) (). sin( ) (3..45) signálu w (), ukázané na Obrázku 3.. C, D, E. Čenář si může posup ověři na varianách obdobných úloh. Výsledný signál ( ) w ( ) + w ( ) w ( ) wfs + 3 zakreslený na Obrázku 3.. F. Úplný program v MATLABu může bý například následující je Ts0.0; T*pi; NT/Ts; 0:Ts:*pi; w-*cos(); w0.7*cos(0*); w3.*sin(*); ww+w+w3; % ime sep Ts % signal period subplo(6) plo(,w) axis([0 *pi -3 3]) ylabel('w()') grid Wff(w); subplo(63) sem(abs(w)) axis([ 30 0 000]) ylabel('abs(wk)') grid % ff MATLAB funcion subplo(64) sem(abs(w)) axis([600 630 0 000]) ylabel('abs(wk)') grid ww()/n.*exp(j*) + W(69)/N.*exp(-j*); ww()/n.*exp(j*0*) + W(60)/N.*exp(-j*0*); w3w(3)/n.*exp(j**) + W(68)/N.*exp(-j**); subplo(63) plo(,w) axis([0 *pi -3 3]) 55

ylabel('w()') grid subplo(64) plo(,w) axis([0 *pi -3 3]) ylabel('w()') grid subplo(65) plo(,w3) axis([0 *pi -3 3]) ylabel('w3()') grid wfsw+w+w3; subplo(66) plo(,wfs) axis([0 *pi -3 3]) ylabel('wfs()') grid Příklad 3..3 Numerický výpoče diskréního Fourierova spekra %Urcuje se diskreni Fourierovo spekrum w(k) periodickeho signalu w(). % %************************************************************************** % Aby se predeslo problemum s cielnosi v oznaceni promennych, oznacime v % omo prikladu w(k)c(k) %************************************************************************** % %Signal w()je voren casovou posloupnosi pravouhlych impulsu f(), %kde f()je sudy jednokovy pravoúhlý impuls o delce 0s a sride 5s. %Pociaji se koeficieny c(k)diskreniho Fourierova signalu w() % %Signal w() budeme sudova pro periodu [-5,5]. %Ulozime 00 ime-ekvidisannich hodno signalu w() do MATLAB %vekoru w (,00). % %K disposici mame 00 vzorku signalu w(). Muzeme edy urci az %00 koeficienu c(k), pro k-500,-499,...,-,-,0,,,...,499,500 % %Urceme si maximální hodnou omega pro maximální k v c(k): %fmax fsampling/.hz 00/.Hz 50.Hz %omegamax.pi.fmax.rad/s.pi.00/.rad/s 00pi.rad/s % %omega0.pi.f0.rad/s.pi/t.rad/s.pi/0.rad/s %d 0/000.s /00.s % %Ulozime 00 kmiocove-equidisannich hodno koeficienu spekra %c(k) do MATLAB vekoru c(,00). % 56

%Posice clenu vekoru w : %w(-5)w(nn), w(0)w(nn50), w(5)w(nn00) %Vzah mezi casem v w() a indexem nn v MATLAB vekoru w(nn): %(nn-)/00-5 % %Posice clenu vekoru c : %c(k-500)c(kk), c(k0)c(kk50), c(500)c(kk00) %Vzah mezi indexem k v c(k) a indexem kk v MATLAB vekoru c(kk): %kkk-50 % %MATLAB program: % omega0*pi/0; d/00; w[zeros(,50) ones(,50) zeros(,50)]; %definice signalu w() n0::000; subplo(4); plo(n/00-5,w) %vykresleni signalu w() grid; axis([-5 5 - ]); xlabel(''); ylabel('w()'); for kk::00; c(kk)0; %nulovani vekoru c end; for kk50::00; for nn::00; c(kk)c(kk)+w(nn)*exp(-j*(kk-50)*omega0*((nn-)/000*0-5))*d; end; c(kk)c(kk)/0; end; for kk::500; c(kk)conj(c(00-kk)); end; k-5::5; %rozsak k pro vykresleni c(k) subplo(4) sem(k,abs(c(k+50))) %vykresleni spekra c(k) grid xlabel('k'); ylabel('abs(c(k))') % %Rekonsrukce signalu w() z jeho spekra c(k)vypocianého vyse uvedenym %programem. %wrec()je rovno FS-{c(k)}. %MATLAB program: % for nn::00; wrec(nn)0; %nulovani vekoru wrec end; for nn::00; for kk::00; wrec(nn)wrec(nn)+c(kk)*exp(j*kk*omega0*((nn-)/000*0-5)); end; end; subplo(43) -5:0.0:5; plo(,abs(wrec)) %vykresleni signalu wrec() grid axis([-5 5 - ]); xlabel(''); 57

ylabel('wrec()'); %Rekonsrukce signalu w() z jeho desei spekralnich slozek c(k), %vypocianych vyse uvedenym programem. %MATLAB program: for nn::00; wrec0(nn)0; %nulovani vekoru wrec0 end; for nn::00; for kk49::5; wrec0(nn)wrec0(nn)+c(kk)*exp(j*kk*omega0*((nn-)/000*0-5)); end; end; subplo(44) -5:0.0:5; plo(,abs(wrec0)) %vykresleni signalu wrec0() grid axis([-5 5 - ]); xlabel(''); ylabel('wrec0()'); w() abs(c(k)) wrec() wrec0() 0 - -5-4 -3 - - 0 3 4 5 0.5 0-5 -0-5 0 5 0 5 k 0 - -5-4 -3 - - 0 3 4 5 0 - -5-4 -3 - - 0 3 4 5 Obrázek 3..3 Numerický výpoče diskréního Fourierova spekra a rekonsrukce signálu 58