NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost, že padla šestka, za podmínky, že celkový součet je 8? (b) Jsou jevy [padla šestka] a [celkový součet je 8] nezávislé?. Házíme dvěma pravidelnými kostkami - modrou a zelenou. Označme jevy A [na modré kostce padlo sudé číslo], B [na zelené kostce padlo liché číslo], C [součet čísel je lichý]. Jsou náhodné jevy A,B,C po dvou nezávislé? Jsou jevy A,B,C nezávislé?. Házíme dvěma hracími kostkami najednou, dokud nepadne součet 5 nebo součet 7 (na obou kostkách dohromady). S jakou pravděpodobností padne dříve součet 5 než součet 7?. Mezi 00 krabicemi mandarinek ze Španělska je 5 krabic se shnilými, stejně jako mezi 00 krabicemi z Řecka. Nejdříve vybereme náhodně jednu ze zásilek a potom ze zásilky náhodně vybereme krabici. Určete, s jakou pravděpodobností obsahuje vybraná krabice shnilé mandarinky. 5. Ve třídě je 70% chlapců a 0% dívek. Dlouhé vlasy má 0% chlapců a 80% dívek. (a) Jaká je pravděpodobnost, že má náhodně vybraná osoba dlouhé vlasy? (b) Vybraná osoba má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to dívka?. Z pošty doručené na server je 80 % spamů. Spamový filtr úspěšně rozpozná 90% všech spamů, ale zároveň 5 % korektní pošty je označeno jako spam. (a) Jaké je pravděpodobnost, že email smazaný filtrem jste si chtěli přečíst? (b) Jaké je procento spamů ve vaší schránce? 7. Tři lovci vystřelili současně na divokého kance, který byl jednou střelou trefen. Určete pravděpodobnost toho, že kance zastřelil první, druhý nebo třetí střelec, jsou-li pravděpodobnosti zásahu po řadě rovny 0., 0. nebo 0..
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Opakování Necht A, B jsou náhodné jevy, P(B) > 0. Podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky B definujeme jako P(A B) P(A B). P(B) Nezávislost. Náhodné jevy A, B se nazývají nezávislé, jestliže platí P(A B) P(A) P(B). Náhodné jevy A,... A n jsou nezávislé, jestliže pro každé r n a každou {i,..., i r } podmnožinu {,..., n} platí P(A i A ir ) P(A i )... P(A ir ). (Tj. součinovou podmínku musíme ověřit pro všechny dvojice, všechny trojice... atd.) Věta o úplné pravděpodobnosti: Necht A, B, B,... jsou náhodné jevy takové, že B i B j pro všechna i j, i B i Ω a P(B i ) > 0 pro všechna i,,.... Pak P(A) i P(A B i ) i P(A B i )P(B i ). Bayesova věta: Necht A, B, B,... jsou náhodné jevy takové, že B i B j pro všechna i j, i B i Ω, P(B i ) > 0 pro všechna i, a necht P(A) > 0. Pak P(B i A) P(B i A) P(A) P(A B i)p(b i ) j P(A B j)p(b j ). Věta o násobení pravděpodobností: Jestliže náhodné jevy A,..., A n splňují P( n ia i ) > 0, pak P( n ia i ) P(A n n i A i) P(A n n i A i) P(A A )P(A ).
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Řešení.(a) Označme A jev, že padla šestka, a B jev, že součet je osm. Jev B je tvořen elementárními jevy (, ), (, 5), (, ), (5, ) a (, ), kde (i, j) značí jev, že na první kostce padlo i a na druhé j. Tedy P (B) 5 P (A B), P (A B) P ({(, ), (, )}), proto P (A P ) P (B). 5 (b). Jelikož P (A B) 5 P (B), nejsou jevy A a B nezávislé. 5. P (B) P (C), P (A B) P (A C) P (B C) a P (A B C) P (A B). Tedy jevy A, B a C nejsou nezávislé, ale jsou po dvou nezávislé.. I. Označme A jev, že v daném kole padl součet 5, a B jev, že padl součet 7. Jev A B tedy označuje jev, že v daném kole hra skončila. Pak P (A A B) P (A (A B)) P (A B) + P (B) 0 5. II. Druhý způsob řešení: Označme A i jev, že v i-tém hodu padne součet 5, a B i, že v i-tém hodu padne součet 7. Pravděpodobnost, že v i-tém kole bude hra ukončena a padne součet 5, je i i P (A i ) ( P (A j B j )) P (A i ) ( P (A j ) P (B j )) j Tedy pravděpodobnost, že hra bude ukončena hodem se součtem 5, je i j ( 0 ) i 5. ( 0 ) i.. Označme A jev, že ve vybrané krabici jsou špatné mandarinky, jev B, že vybraná krabice je ze Španělska, a C jev, že vybraná krabice je z Řecka. Pak P (A B) + P (A C) P (A B)P (B) + P (A C)P (C) 5 00 + 5 00 80. 5. Označme A jev, že náhodně vybraná osoba má dlouhé vlasy, a B jev, že náhodně vybraná osoba je chlapec. Pak P (B) 7, P 0 (Bc ), P (A B) a P 0 0 (A Bc ) 8. 0 (a) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) 7 00 + 8 00 00. (b) P (B c A) P (A Bc ) P (A Bc )P (B c ).
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Bonusová úloha Verze I. V jednom ze tří trezorů je skryta odměna, ostatní dva jsou prázdné. Soutěžící je vyzván, aby si vybral trezor, ve kterém myslí, že je skryta odměna. V případě, že se trefí, tak odměnu získá. Po vybrání je otevřen jeden z dvou dalších trezorů, ale vždy pouze ten, který je prázdný, o čemž je soutěžící informován. Poté je soutěžící vyzván, zda chce změnit volbu trezoru a vybrat si druhý zbývající. Je pro soutěžícího změna trezoru výhodná? Verze II. Převzato z [], str., př. : Skříňka má zásuvky. V první jsou zlaté mince, v druhé jedna zlatá a jedna stříbrná, v třetí tříbrné mince. Zvolíme náhodně jednu zásuvku, z ní vytáhneme naslepo jednu minci. Jaká je pravděpodobnost, že v zásuvce zbyde zlatá mince, jestliže vytažená mince byla stříbrná? řešení: Verze I. Zde často bojují dvě intuitivní představy. Dle první je odměna bu? v trezoru, který byl vybrán napoprvé, a nebo v tom druhém neotevřeném, a jelikož na začátku měly oba tyto trezory stejnou pravděpodobnost, že v nich bude odměna, tak by tomu mělo být i po otevření zbývajícího trezoru, a proto by pravděpodobnost výhry měla být pro oba trezory. Dle druhé úvahy jsme při první volbě volili ze tří trezorů, takže byla pravděpodobnost výhry, ta se změnit otevřením prázdného trezoru nemohla, jelikož vždy bude jeden trezor otevřen, a? jsme při první volbě zvolili trezor s odměnou, či prázdný. Proto je pravděpodobnost výhry i po otevření prázdného trezoru, a tedy se změna trezoru vyplatí, jelikož pravděpodobnost, že je cena v druhém neotevřeném trezoru, je. Nejdříve uvedeme řešení tohoto příkladu. Označme A i, i,,, jevy, že v i tém trezoru je odměna, pak P (A i ). BúNO předpokládejme, že jsme na začátku zvolili trezor číslo, a označme B i, i,, jevy, že je poté otevřen i-tý trezor (který je prázdný). Rozeberme si te? jednotlivé možnosti. Je-li odměna v námi zvoleném trezoru, pak může být otevřen libovolný ze zbývajících dvou trezorů, ani jedna z těchto variant není preferovaná, a tak P (B i A ). Jelikož P (B i A ) P (B i A ) P (A a P (A ) ), tak P (A B i ). Je-li odměna v i-tém trezoru, i,, pak nemůže být po první volbě otevřen a musí být otevřen trezor zbývající, proto P (A i B i ) 0 a P (B j A i ) pro i j P (A i B j ) pro i, a i j. Jelikož jsou jevy A, A a A disjunktní a dohromady pokrývají celý pravděpodobnostní prostor (jsou v nich obsaženy všechny možné výsledky pokusu), tak P (B i ) j P (A j B i ) + 0 +. Pak P (A B i ) P (A B i ) P (B i ) P (A j B i ) P (A j B i ) P (B i ),, i j, tedy i po otevření prázdného trezoru zůstane pravděpodobnost výhry pro prvně zvolený trezor stejná, ale pro zbývající trezor je dvojnásobná. Kde tedy nastala v první úvaze chyba? Chyba je právě v tom, že by i po otevření jednoho z trezorů měla být pravděpodobost uložení výhry do zbylých trezorů stejné. Trezor, který jsme si vybrali, otevřený být nemohl, zatímco například druhý trezor ano. A tak informace,
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) že nebyl otevřen ani druhý trezor, zvyšuje šanci, že v tomto trezoru bude výhra. V jistém smyslu je po otevření třetího trezoru druhý trezor reprezentantem obou těchto trezorů, a proto je pravděpodobnost, že v něm bude výhra rovna. Verze II. řešení je převzato z []. Tak jako v předchozí verzi lze i tady snadno dojít k špatnému výsledku úvahou, že jelikož stříbrnou minci lze vytáhnout jen z druhé nebo třetí zásuvky a ve druhé zásuvce zbude zlatá mince zatímco ve třetí stříbrná, je hledaná pravděpodobnost rovna. Můžeme ale uvažovat i takto. Pouze z druhé či třetí zásuvky mohu vytáhnout stříbrnou minci, v nich je ale jen jedna zlatá mince a po vytažení jedné stříbrné v nich zbudou ještě dvě stříbrné mince, tedy hledaná pravděpodobnost by měla být. Pro řešení příkladu si zavedeme následující značení: (, z ) je jev, že z první zásuvky vytáhneme první zlatou minci, podobně označíme další elementární jevy (, z ), (, z), (, s), (, s ) a (, s ). První číslo vždy značí, z jaké zásuvky bylo taženo a s, resp. z, značí tažení stříbrné, resp. zlaté, mince. Označíme-li jev byla tažena stříbrná mince písmenem B a jev v zásuvce zbyla zlatá mince jako jev A, pak P (A B) P (A B) P (P ) P ({(, s)}) P ({(, s), (, s ), (, s )}). Chyba v úvaze, která vedla ke špatnému řešení, byla opomenutí skutečnosti, že pravděpodobnost, že vytáhnu stříbrnou minci z druhé zásuvky, je dvakrát menší než pravděpodobnost, že ji vytáhnu z poslední zásuvky. A tedy víme-li, že jsme vytáhli stříbrnou minci, je dvakrát větší pravděpodobnost, že jsme ji tahali ze třetí zásuvky než ze zásuvky druhé. Ačkoliv se mohou zdát tyto dvě úlohy velmi odlišné, koneckonců i uvedená řešení jsou jiná, jde v zásadě jen o modifikaci téže úlohy. Jev B i byl otevřen i-tý trezor odpovídá pak jevu B byla tažena stříbrná mince a jev A odměna je v prvním trezoru odpovídá jevu A v zásuvce zbyla stříbrná mince. Jsou-li to ale v podstatě stejné úlohy, tak by měly jít vyřešit i stejným postupem. Zkusme tedy první verzi vyřešit pomocí postupu aplikovaného na druhou verzi úlohy. Zde bychom mohli použít elementární jevy (, o ), (, o ), (, o ) a (, o ), kde první číslo značí, ve kterém trezoru je výhra, a o i značí, že byl otevřen i-tý trezor. Jelikož tyto jevy nemají stejnou pravděpodobnost, první dva mají pravděpodobnost, zatímco druhé dva, tak si ještě každý z jevů (, o ) a (, o ) rozdělíme na dva disjunktní podjevy, které už budou mít také pravděpodobnost. Tedy budeme pracovat s elementárními jevy (, o ), (, o ), (, o ), (, o ), (, o ) a (, o ). Pak P (A B ) P (A B ) P (B ) P ({(, o )}) P ({(, o ), (, o ), (, o )}). Reference [] Calda E., Dupač V. (0): Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Prometheus, Praha. 5