Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011

Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 2/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 3/36

Vyu ující Garant kurzu, p edná²ející a zkou²ející: Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. e-mail: jablon@vse.cz KH: st eda 13:0015:00, NB436 (V E, šiºkov) Druhý p edná²ející a zkou²ející: Ing. Jan Zouhar, Ph.D. e-mail: zouharj@vse.cz KH: pond lí 16:0017:30, NB431 (V E, šiºkov) st eda 10:3012:00, NB431 (V E, šiºkov) Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 4/36

Dal²í administrativní informace Dal²í administrativní informace dodá prof. Jablonský na p í²tí p edná²ce. Ode mne uº snad jen... Doporu ená literatura: Jablonský, J.: Opera ní výzkum. Praha: Professional publishing, 2003. Pozor, neobsahuje v²e! Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 5/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 6/36

Pár slov o kurzech Matematická ekonomie 1 a 2 kurzy nazvané Matematická ekonomie mívají na r zných oborech zcela r zný obsah tento kurz: skoro nic spole ného s obecnou ekonomií (bohudík?) viz kurzy mikro/makroekonomie zam ení na vyuºití matematických model p i rozhodovacích problémech v ekonomické (podnikové) praxi dle sylabu (pro Matematickou ekonomii 1 i 2): úvod do vybraných model a metod pro ekonomické rozhodování nejblíºe v dnímu oboru nazývanému opera ní výzkum (OV) anglická synonyma: operations (nebo operational) research management science decision science Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 7/36

Opera ní výzkum Nástroje studované a vyuºívané v rámci opera ního výzkumu: optimalizace pravd podobnost a statistika teorie graf teorie front simula ní modely N které typické aplika ní oblasti: optimalizace produk ních systém optimalizace v logistice podpora rozhodování p i ízení projekt modely ízení zásob modely hromadné obsluhy Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 8/36

Opera ní výzkum Nástroje studované a vyuºívané v rámci opera ního výzkumu: optimalizace pravd podobnost a statistika teorie graf teorie front simula ní modely N které typické aplika ní oblasti: optimalizace produk ních systém optimalizace v logistice podpora rozhodování p i ízení projekt modely ízení zásob modely hromadné obsluhy Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 8/36

Zam ení kurzu Matematická ekonomie 1 V t²inu semestru se budeme zabývat nejpropracovan j²í optimaliza ní technikou lineárním programováním (LP): má jen málo spole ného s programováním (v IT pojetí) v praxi nejpouºívan j²í OV technika (podle jednoho výzkumu pouºívá aº 80% rem, které vyuºívají n jaké matematické modely pro podporu rozhodování) dobrá dostupnost SW pro e²ení úloh znalost LP dobrým odrazovým m stkem pro sloºit j²í optimaliza ní modely a metody Ke konci semestru p ejdeme k jistému roz²í ení ke smí²enému celo íselnému lineárnímu programování (mixed integer linear programming, MILP) Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 9/36

Sylabus kurzu 1 Ekonomické rozhodování úvod 2 Formulace úloh mat. programování, typické úlohy LP 3 Základní pojmy LP a gracké e²ení úloh LP 4 Simplexová metoda podstata algoritmu 5 Dvoufázová simplexová metoda 6 Dualita v úlohách LP 7 Stabilita e²ení úloh LP 8 Postoptimaliza ní analýza 9 Distribu ní úlohy LP 10 Dopravní problém a jeho e²ení 11 P i azovací a okruºní dopravní problém 12 Celo íselné programování formulace typických úloh 13 Metody se ných nadrovin a metody v tvení a mezí Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 10/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 11/36

P íklad Koktejly Recepty: Mojito Cuba libre 4 cl kubánského rumu 8 cl kubánského rumu 1 dl vody 2 dl Coca-coly 8 kostek ledu (t í² ) 2 kostky ledu 1/2 limetky 1/4 limetky 1 lºi ka cukru (t tinového) 3 lístky erstvé máty Zásoby: 1 l kubánského rumu, 2 l Coca-coly, 120 kostek ledu (3 plata po 40), 8 ks limetek; dostatek cukru, máty a vody Cíl: Namíchat z níºe uvedených zásob co nejvíce koktejl (jde o celkový po et, je t eba se drºet p esn recept ). N jaké tipy? Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 12/36

P íklad Koktejly (pokra ování) Poznámky k p íkladu: podobné úlohy lze e²it i metodou pokus-omyl (a v praxi tomu tak bohuºel asto bývá) o získaném e²ení se v²ak nedá obecn íci nic dobrého p edev²ím nevíme, zda je nalezené e²ení nejlep²í moºné, tj. optimální jinou moºností je sestrojit po ádný matematický model rohodovacího problému a najít opravdu optimální e²ení v tomto p ípad se bude jednat o úlohu LP Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 13/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 14/36

Matematické programování Denice (úloha matematického programování) Nech jsou dány: 1 mnoºina X, ozna ovaná jako mnoºina p ípustných e²ení, 2 funkce f : X R, ozna ovaná jako ú elová funkce. Úlohou matematického programování (ÚMP) pak ozna ujeme problém nalezení bu minima nebo maxima funkce f na mnoºin X. V p íkladu Koktejly: X v²echny kombinace po tu Mojito a Cuba libre, které lze p i daných zásobách namíchat (nap. (5,5), (10,1) apod.) f celkový po et koktejl p i daném po tu Mojito a Cuba libre(nap. 10, 11 apod.) Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 15/36

Matematické programování (pokra ování) P edchozí denice je trochu moc obecná X je libovolná abstraktní mnoºina. Zpravidla vyºadujeme, aby X byla... 1 podmnoºina n-rozm rného euklidovského prostoru, tj. X R n 2 vymezená pomocí soustavy rovnic a/nebo nerovností Standardní vymezení ÚMP Uvaºujme n jaké funkce f, g 1, g 2,..., g m : R n R. Úlohu matematického programování lze zadat ve tvaru maximalizovat f (x 1, x 2,..., x n ) za podmínek g 1 (x 1, x 2,..., x n ) 0, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) 0,. g m (x 1, x 2,..., x n ) 0, (x 1, x 2,..., x n ) R n. (1) Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 16/36

Poznámky k standardnímu vymezení ÚMP Zápis chápeme tak, ºe v²echny omezující podmínky musí být spln ny sou asn. Fakt, ºe jsem v (1) zvolil zrovna maximalizaci ú elové funkci, není nijak limitující: minimalizovat f je totiº totéº, co maximalizovat f. Stejn tak neubírá zápisu na obecnosti to, ºe jsem v²echny omezující podmínky vyjád il ve tvaru nerovností: rovnici g(x 1, x 2,..., x n ) = 0 lze nahradit dv ma nerovnostmi g(x 1, x 2,..., x n ) 0, g(x 1, x 2,..., x n ) 0. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 17/36

Poznámky ke zna ení Matematik m zpravidla p ipadá obecný zápis ÚMP v podob (1) p íli² upovídaný. Nabízí se psát: maximalizovat f (x 1, x 2,..., x n ) za podmínek g i (x 1, x 2,..., x n ) 0, i = 1, 2,..., m, (x 1, x 2,..., x n ) R n. Lze také zavést vektor ( i chcete-li, n-tici) x = (x 1, x 2,..., x n ) a psát maximalizovat f (x) za podmínek g i (x) 0, i = 1, 2,..., m, x R n. nebo nejstru n ji (ale pon kud mén p ehledn ) max{f (x) x R n & g i (x) 0, i = 1, 2,..., m}. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 18/36

Klasikace ÚMP Podle toho, jaké dodate né poºadavky klademe na funkce f a g i, rozli²ujeme r zné t ídy ÚMP, které se zna n li²í co do sloºitosti pouºívaných výpo etních technik: lineární programování kvadratické programování konvexní programování nelineární programování... a dal²í Zdaleka nejjednodu²²í t ídou je lineární programování; spadá sem nap. matematický model pro p íklad Koktejly. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 19/36

P íklad Koktejly Recepty: Mojito Cuba libre 4 cl kubánského rumu 8 cl kubánského rumu 1 dl vody 2 dl Coca-coly 8 kostek ledu (t í² ) 2 kostky ledu 1/2 limetky 1/4 limetky 1 lºi ka cukru (t tinového) 3 lístky erstvé máty Zásoby: 1 l kubánského rumu, 2 l Coca-coly, 120 kostek ledu (3 plata po 40), 8 ks limetek; dostatek cukru, máty a vody Cíl: Namíchat z níºe uvedených zásob co nejvíce koktejl (jde o celkový po et, je t eba se drºet p esn recept ). N jaké tipy? Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 20/36

P íklad Koktejly jako ÚMP O em rozhodujeme? O po tu koktejl Mojito a Cuba libre to budou na²e dv prom nné. ƒeho chceme docílit? Co nejv t²ího po tu koktejl, tzn. maximalizujeme výraz Mojito + Cuba libre. Co nás omezuje? Na²e zásoby. Nap. nesmí dojít kubánský rum jeho celková spot eba nesmí p esáhnout disponibilní mnoºství: 4 Mojito + 8 Cuba libre } {{ } celková spot eba rumu (cl) 100 }{{} zásoba (cl) Analogicky pro zbylé suroviny. Dále z ejm musí být Mojito, Cuba libre 0. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 21/36

P íklad Koktejly jako ÚMP (pokra ování) Celkem máme: maximalizovat Mojito + Cuba libre za podmínek 4 Mojito + 8 Cuba libre 100, 2 Cuba libre 20, 8 Mojito + 2 Cuba libre 120, 1 /2 Mojito + 1 /4 Cuba libre 8, Mojito, Cuba libre 0. Úkol: Najd te funkce f, g 1, g 2,..., g m tak, aby zápis ÚMP ve tvaru (1) odpovídal matematickému modelu pro p íklad Koktejly. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 22/36

Postup p i pouºití optimaliza ního modelu Implementace Rozpoznání problému Ekonomický model Matematický model Výpo et a verikace Cíl analýzy (zisk, náklady) Ú elová funkce Procesy (výroba, p eprava) Prom nné ƒinitele (technologie) Omezující podmínky Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 23/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 24/36

Denice úlohy lineárního programování (ÚLP) Zobecníme-li matematický model z p íkladu Koktejly, dostaneme obecný zápis úlohy lineárního programování (ÚLP). Budeme pouºívat následující zna ení pro prom nné a parametry: m po et tzv. vlastních omezení n po et prom nných x j j-tá prom nná a ij strukturní koecient v i-tém omezení u j-té prom nné b i pravá strana i-té omezující podmínky c j cenový koecient (tj. koecient v ú elové funkci) u j-té prom nné Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 25/36

Denice úlohy lineárního programování (ÚLP) (pokra ování) Denice (standardní maximaliza ní ÚLP) M jme dány reálné koecienty a ij, b i a c j pro i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Úlohou lineárního programování rozumíme problém maximalizovat z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n za podmínek a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2,. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n b m, kde x 1, x 2,..., x n jsou reálné prom nné. x j 0, j = 1,..., n, Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 26/36

Denice úlohy lineárního programování (ÚLP) (pokra ování) Dv p irozené otázky: Pro to ozna ení lineární? Jak p esn souvisí denice ÚLP s denicí ÚMP? Odpov na ob otázky lze snadno vy íst z následující denice: Denice (lineární funkce více prom nných) M jme funkci f : R n R. ekneme, ºe f je lineární, pokud lze f vyjád it na R n p edpisem f (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n pro n jaká reálná ísla c 1, c 2,..., c n. Poznámka: Máte-li v tomto semestru lineární algebru, srovnejte p edchozí denici s pojmem homomorsmu. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 27/36

Poznámky k denici ÚLP 1 A koli v denici jsme úlohu zavedli jako maximaliza ní, budeme n kdy uvaºovat i úlohy minimaliza ní lze je ostatn mezi sebou p evád t: Pozorování Minimalizovat z je totéº, jako maximalizovat z. 2 Není rovn º limitující, ºe se v denici vyskytují pouze omezení typu ; snadno bychom z nich p ípadn vytvo ili omezení typu nebo =: Pozorování g(x) b i g(x) b i g(x) = b i g(x) b i & q(x) b i Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 28/36

Poznámky k denici ÚLP (pokra ování) 3 Budeme proto za ÚLP automaticky povaºovat úlohy maximaliza ní i minimaliza ní, kde se vyskytují omezení libovolného typu (, =); podstatné je, ºe v ú elové funkci i omezeních jsou p ítomny pouze lineární funkce prom nných 4 Zápis matematického modelu je op t p íli² upovídaný. Lze jej zestru nit bu pouºitím suma ního operátoru a indexace omezení: n maximalizovat z = c j x j za podmínek j=1 n a ij x j b i, i = 1,..., m, j=1 x j 0, j = 1,..., n, Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 29/36

Poznámky k denici ÚLP (pokra ování)... nebo pouºitím maticového zápisu. Ozna íme-li a 11 a 12 a 1n b 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A =......, b = b 2., x = x 2. a m1 a m2 a mn b m x n a c = (c 1, c 2,..., c n ), m ºeme ÚLP vyjád it ve tvaru nebo je²t úsporn ji jako maximalizovat z = c x za podmínek Ax b, x 0 max{c x Ax b & x 0}. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 30/36

Poznámky k denici ÚLP (pokra ování) 5 (Terminologická poznámka) Omezení, kde se vyskytují strukturní koecienty a ij, se nazývají vlastní omezení, omezení typu x j 0 ozna ujeme jako podmínky nezápornosti. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 31/36

Maticový zápis p íkladu Koktejly V p íkladu Koktejly jsme se dopracovali k následujícímu matematickému modelu: maximalizovat Mojito + Cuba libre za podmínek 4 Mojito + 8 Cuba libre 100, 2 Cuba libre 20, 8 Mojito + 2 Cuba libre 120, 1 /2 Mojito + 1 /4 Cuba libre 8, Mojito, Cuba libre 0. Úkol: Zapi²te matici strukturních koecient A, vektor pravých stran b, vektor cenových koecient c a vektor prom nných x. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 32/36

Maticový zápis p íkladu Koktejly (pokra ování) Výsledek: A = 4 8 0 2 8 2 1/2 1/4, b = 100 20 120, 8 [ ] Mojito x = Cuba libre a c = [ 1 1 ]. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 33/36

Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní pojmy LP a jejich gracká interpretace Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 34/36

Mnoºina p ípustných e²ení p i 2 prom nných P ípustné e²ení Bude dopn no. Optimální e²ení Bude dopln no. Gracké znázorn ní omezení: viz tabule. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 35/36

Ekvivalentní soustava rovnic, základní e²ení ÚLP Bude dopln no. Matematická ekonomie 1: Úvod snímek 36/36