Cvičebnice stavební mechaniky

Cvičebnice stavební mechaniky Ing. Karla Labudová. vydání Tato příručka vznikla za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky.

Obsah Síly působící v jednom paprsku 7. Dvě síly o společném působišti a stejném směru............... 7. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu....... 9.3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu................................... 4 Centrické síly 9. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly)..... 9. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil).... 3 3 Obecná soustava sil v rovině 47 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině................ 47 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině................. 56 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil..................... 65 3.4 Rovnováha obecné soustavy sil v rovině................... 79 3.5 Rozklad síly do dvou rovnoběžných směrů.................. 87 4 Těžiště ploch rovinných obrazců a statické veličiny průřezu 95 5 Statika tuhé desky 09 5. Rovnováha tuhé desky............................. 09 5. Podepření tuhé desky............................. 09 5.3 Zatížení stavebních konstrukcí........................ 0 5.4 Výpočet reakcí staticky určitých nosníků.................. 5.4. Prostý nosník.............................. 5.4. Prostý nosník s převislým koncem.................. 0 5.4.3 Konzola................................. 5 5.4.4 Šikmý nosník.............................. 3 5.4.5 Lomený nosník............................. 40 6 Klíče k příkladům k procvičení 49

Předmluva Vážené žákyně, vážení žáci, cílem této cvičebnice je dát vám možnost procvičit si učivo, které jste již ve škole probrali, doma a to formou jednoduchých příkladů. V úvodu každé kapitoly je jen velmi stručně shrnuto to nejdůležitější z již probraného učiva. Najdete zde to, co pokládám za nutné stručně zopakovat či sjednotit (například značení veličin apod.) U každé kapitolky je uveden vzorový příklad, jak je dané téma možné řešit a za každou kapitolkou najdete sadu cvičení, které bych byla ráda, abyste si vyzkoušeli doma. V případě, že si s některým cvičením nebudete vědět rady, připojila jsem také klíč k řešení všech těchto cvičení, který najdete úplně vzadu této cvičebnice. Doufám, že vám tato cvičebnice pomůže poprat se s problémy, se kterými se možná potýkáte a otevře cestu k lepšímu chápání stavební mechaniky jako jednoho z oborů, bez kterého by se stavebnictví neobešlo. Stavební mechanika je nádherný vědní obor, poznejte to sami. Ing. Karla Labudová autorka cvičebnice 3

Statika v rovině V hodinách stavební mechaniky jste se dozvěděli základní informace o silách. Víte, jaké jsou druhy sil, jak se skládají, resp. rozkládají. Víte také, že statika používá k tomuto účel dva způsoby řešení početní (přesný a rychlý způsob) nebo grafický (pracnější jeho přesnost závisí na vaši pečlivosti ale názorný). Víte také, že síla je určena: působištěm - bodovým, plošným nebo prostorovým, směrem - ten je dán paprskem a smyslem velikostí - v jednotkách N nebo kn (např. 70 kn). a F = 50 kn paprsek smysl působiště 5

Síly působící v jednom paprsku V úvodu se domluvme, že síly budeme značit F s dolním indexem,, 3,..., i (např. F,, F 3,..., F i a jejich výslednici budeme značit R.. Dvě síly o společném působišti a stejném směru Při skládání dvou sil o společném působišti a stejném směru má výslednice těchto sil vždy stejný směr jako síly, jejichž je výslednicí, a její velikost je rovna součtu těchto sil. Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti a stejném směru o velikosti F = 500 N a = 700 N. Zadání F = 500 N = 700 N a) početní řešení R = F + = 500 + 700 = 00 N R = 00 N b) grafické řešení (vždy zvolte vhodné měřítko, v tomto případě cm = 00 N) F = 500 N = 700 N R = 00 N 7

Síly působící v jednom paprsku Příklady k procvičení..a F = 500 N a = 300 N F = 500 N = 300 N..B F = 00 N a = 800 N = 800 N F = 00 N..C F = 0 kn a = 30 kn F = 0 kn = 30 kn..d F = 40 kn a = 60 kn F = 40 kn = 60 kn..e F = 600 N a = 00 N F = 600 N = 00 N 8

. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu Při skládání dvou sil o společném působišti, stejném paprsku, ale opačného smyslu má výslednice těchto sil vždy stejný paprsek jako obě síly. Smysl má shodný se silou, která je větší. Velikost výslednice je pak rovna také součtu těchto sil, ovšem pozor, zde je už nutné dohodnout pravidla pro kladná a záporná znaménka sil. Dohodněme se, že všechny síly, které mají směr ve smyslu kladné osy x (tj. I. a IV. kvadrant) budou mít kladné znaménko a naopak všechny síly ve smyslu záporné osy x (tj. II. a III. kvadrant) budou mít záporné znaménko. +y II. kvadrant - I. kvadrant + -x +x - III. kvadrant -y + IV. kvadrant Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 300 N a = 500 N. Zadání = 500 N F = 300 N a) početní řešení R = F + = 300 500 = 00 N 9

Síly působící v jednom paprsku R = 00 N b) grafické řešení ʹ = Rʹ R = 00 N = R = 500 N F = 300 N ʹ = Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 700 N a = 400 N. Zadání: 30 F = 700 N = 400 N a) početní řešení R = F + = 700 + 400 = 300 N 30 R = 300 N 0

. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu b) grafické řešení = R F = 700 N ʹ = Rʹ 30 = 400 N R = 300 N Příklad..3 ʹ = Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 50 kn a = 30 kn. F = 30 kn = 50 kn a) početní řešení R = F + = 50 30 = 0 kn R = 0 kn

Síly působící v jednom paprsku b) grafické řešení ʹ = F = 30 kn = R R = 0 kn = 50 kn ʹ = Rʹ Příklady k procvičení..a F = 0 kn a = 50 kn = 0 kn 30 F = 50 kn..b F = 80 kn a = 90 kn F = 80 kn 0 = 90 kn

F = 700 N. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu..c F = 600 N a = 00 N = 00 N F = 600 N..D F = 700 N a = 50 N 60 = 50 N..E F = 0 kn a = 70 kn F = 0 kn = 70 kn 00 3

Síly působící v jednom paprsku.3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu Při skládání více sil ve stejném paprsku platí tytéž zásady jako u dvou sil ve stejném paprsku, ale různého smyslu. Je opět nutné dodržovat znaménkovou konvenci. V grafickém řešení opět využívám k získání výslednice tzv. složkové čáry, kterou jsme již lehce naznačili v minulé kapitole. Složkovou čáru sestrojíme tak, že vynášíme v určitém pořadí a zvoleném směru jednotlivé síly. Výslednice je pak spojnicí počátku a konce složkové čáry. Pokud je složková čára uzavřena, znamená to, že výslednice je rovna nule. Počátek síly se označuje jejím číselným indexem (,, 3,...), konce síly indexem s čarou (,, 3,...). Příklad.3. Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 0 kn, = 30 kn, F 3 = 50 kn a F 4 = 70 kn. F 4 = 70 kn F = 0 kn = 30 kn F 3 = 50 kn a) početní řešení 4 R = F i = F + + F 3 + F 4 i= R = 0 + 30 + 50 70 = 30 kn R = 30 kn b) grafické řešení = R F = 0 kn ʹ = = 30 kn ʹ = 3 F 3 = 50 kn 3ʹ = 4 4ʹ = Rʹ R = 30 kn F 4 = 70 kn Příklad.3. Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 60 kn, = 30 kn, F 3 = 40 kn, F 4 = 80 kn a F 5 = 0 kn. 4

.3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu F 3 = 40 kn = 30 kn 5 F 5 = 0 kn F = 60 kn F 4 = 80 kn a) početní řešení 5 R = F i = F + + F 3 + F 4 + F 5 i= R = 60 30 40 + 80 + 0 = 80 kn 5 R = 80 kn b) grafické řešení 3ʹ = 4 = R F3 F 5 5 ʹ = 3 R = 80 kn F ʹ = F 4 4ʹ = 5 5ʹ = Rʹ 5

Síly působící v jednom paprsku Příklad.3.3 Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 0 kn, = 60 kn a F 3 = 40 kn. = 60 kn 30 F = 0 kn F 3 = 40 kn a) početní řešení 3 R = F i = F + + F 3 i= R = 0 + 60 40 = 0 kn R = 0 kn b) graficky = R F 3 30 ʹ = 3 ʹ = F 3ʹ = Rʹ R = 0 kn 6

.3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu Příklady k procvičení.3.a F = 0 kn, = 50 kn a F 3 = 30 kn F = 0 kn = 50 kn F3 = 30 kn.3.b F = 00 N, = 600 N, F 3 = 700 N a F 4 = 500 N F = 600 N F = 00 N 30 F4 = 500 N F3 = 700 N 7

= kn Síly působící v jednom paprsku.3.c F = 80 kn, = 00 kn, F 3 = 90 kn, F 4 = 0 kn a F 5 = 5 kn F 3 = 90 kn F 5 = 5 kn F 4 = 0 kn F = 80 kn = 00 kn.3.d F = 8 kn, = 34 kn, F 3 = 40 kn a F 4 = 9 kn F = 8 kn = 34 kn F 3 = 40 kn 35 F 4 = 9 kn.3.e F = 4 kn, = kn, F 3 = 56 kn, F 4 = 66 kn a F 5 = 4 kn F 3 = 56 kn F 5 = 4 kn F 4 = 66 kn F = 4 kn 60 8

Centrické síly. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Jestliže působí na těleso dvě síly různých směrů, pak se účinek těchto sil na tělese projeví výslednicí R, jejíž velikost a směr jsou určeny úhlopříčkou rovnoběžníku jehož strany tvoří síly F a. Dvě síly, jejíž výslednici zjišťujeme, jsou opět zadávány ve vztahu k jednotkové kružnici a to tak, že průsečík os x a y je společným působištěm těchto sil a úhly α a α, kterými jsou zadávány směry sil, jsou vždy úhly vztahující se od kladné osy x a jsou vedeny proti směru hodinových ručiček. Např. y F α α x Jako vždy i zde lze síly skládat základními dvěma způsoby početně nebo graficky. A) početní řešení A) pomocí Cosinové věty, kde velikost výslednice získáváme pomocí vztahu: R = + F cos(π ϕ), kde ϕ je menší z úhlů, které svírají síly mezi sebou a π rad = 80. 9

Centrické síly např. F φ F φ Toto řešení je rychlé a přesné, ale bez náčrtku nelze určit úhel výslednice. A) pomocí rozkladu sil na složky x a y a následného složení těchto dílčích složek do výslednice. Zde je nutné si uvědomit, že každou sílu si mohu rozložit na dvě její části. Praktické je využívat k tomuto rozkladu do os x a y. Například síla F : y F F y = sinα α F x = cosα x Zároveň platí, že výslednicí sil F x a F y je síla F (z rovnoběžníku sil). Tzn., že pokud známe složky F x a F y, můžeme zpětně určit sílu F. y y F F F y F y α x α x F x F x 0

. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Lze využít Pythagorovy věty i goniometrických funkcí: = Fx + Fy F = Fx + Fy tan α = F y F x B) grafické řešení B) rovnoběžník sil y F α α R R x α B) složková čára princip již známe z předchozí kapitoly. Je nutné striktně dodržovat nejen velikosti, ale i zadané směry sil.

Centrické síly y F α x α y α ʹ = F α R α R ʹ = Rʹ x = R Příklad.. Určete výslednici těchto sil: F = 700 N, α = 30, = 400 N, α = 5 y = 400 N F = 700 N α = 5 α = 30 x

. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Početní řešení: a) Cosinova věta R = + F cos(π ϕ) R = 700 + 400 700 400 cos(80 95 ) = 775, 37 N y φ = 95 F 5 30 x b) rozkladem sil y F y y F 5 30 x x F x F x = F cos 30 = 700 cos 30 = 606, N F y = F sin 30 = 700 sin 30 = 350 N x = cos 55 = 400 cos 55 = 9, 43 N y = sin 55 = 400 sin 55 = 37, 66 N R x = F x + x = 606, 9, 43 = 376, 79 N R y = F y + y = 350 + 37, 66 = 677, 66 N 3

Centrické síly R = R x + R y = 376, 79 + 677, 66 = 775, 37 N tan α R = R y 677, 66 = =, 7985 R x 376, 79 α R = 60, 93 y R y = 677,66 N R = 775,37 N F α R = 60,93 x R x = 677,66 N 4

. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Grafické řešení a) rovnoběžník sil y R = 775,37 N F 5 α R = 60,93 30 x b) složkovou čarou ʹ = Rʹ R 5 F ʹ = α R 30 = R 5

Centrické síly Příklad.. F = 5 kn, α = 0, = 80 kn, α = 330 y F = 5 kn α = 0 x α = 330 = 80 kn Početní řešení: a) Cosinova věta R = + F cos(π ϕ) R = 5 + 80 5 80 cos(80 40 ) = 6, 94 kn y φ = 40 F 0 x 330 6

. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) b) rozkladem y F F y 0 F x x x 330 y F x = F cos 70 = 5 cos 70 = 8, 55 kn F y = F sin 70 = 5 sin 70 = 30, 49 kn x = cos 30 = 80 cos 30 = 69, 8 kn y = sin 30 = 80 sin 30 = 40 kn R x = F x + x = 8, 55 + 69, 8 = 60, 73 kn R y = F y + y = 3, 49 40 = 6, 508 kn R = Rx + Ry = 60, 73 + ( 6, 508) = 6, 94 kn tan α R = R y 6, 508 = = 0, 78 R x 60, 73 α R = 5, 7

Centrické síly y F R x = 60,73 kn x R y = 6,508 kn R α R = 5, Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y F 0 x 330 α R R = 6,94 kn 8

. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) b) složkovou čarou ʹ = 330 F 0 = R R α R ʹ = Rʹ Příklady k procvičení..a F = 60 N, α = 40, = 580 N, α = 330 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N 9

Centrické síly..b F = 450 N, α = 45, = 500 N, α = 30 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N..C F = 500 N, α = 70, = 300 N, α = 0 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N 30

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil). Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) Pro určení výslednice takové soustavy sil lze použít stejná pravidla jako u dvou centrických sil. Lze použít obě grafické metody pro určení výslednice soustavy sil, ale z početních metod využíváme princip rozkladu sil, protože využití Cosinovy věty je příliš pracné. Pro početní řešení tedy platí, že vodorovná složka výslednice R x je součtem všech vodorovných složek jednotlivých sil F ix. Analogicky platí, že svislá složka výslednice R y je součtem všech svislých složek jednotlivých sil F iy. R x = R y = n F ix = F x + x + + F nx = F cos α + cos α + + F n cos α n i= n F iy = F y + y + + F ny = F sin α + sin α + + F n sin α n i= Přičemž respektujeme při dosazování zadané úhly od osy x, abychom správně určili výslednou orientaci složek R x a R y. Pro konečnou hodnotu výslednice se nic nemění, platí: R = R x + R y Také pro výsledný úhel, který svírá výslednice s osou x, lze opět využít goniometrické funkce, např. nebo tanα R = R y R x apod. sin α R = R y R U grafické metody pomocí rovnoběžníku sil pracujeme postupně. Nejprve uděláme výslednici sil F a a pomocí rovnoběžníku určíme jejich výslednici R. Potom určíme výslednici sil R a F 3 a dostaneme výslednici R 3. Dále najdeme výslednici síly R 3 a F 4. A tak pokračujeme dále. Poslední výslednici celé soustavy sil označíme R. U grafické metody pomocí složkové čáry platí vše, co jsme si již řekli. Znovu upozorňuji, že je nutné dodržovat přesně nejen velikost, ale i směr síly. 3

Centrické síly Příklad.. F = 300 N, α = 40, = 650 N, α = 0, F 3 = 70 N, α 3 = 00, F 4 = 60 N, α 4 = 30. Početní řešení: 4 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 + F 4 cos α 4 i= R x = 300 cos 40 + 650 cos 0 + 70 cos 00 + 60 cos 30 R x = 96, 495 N 4 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 + F 4 sin α 4 i= R y = 300 sin 40 + 650 sin 0 + 70 sin 00 + 60 sin 30 R y = 947, 38 N 3

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) y R y = 947,38 N R = 38,04 N α R = 45,95 R x = 96,495 N x R = R x + R y R = 96, 495 + 947, 38 = 38, 04 N tan α R = R y R x tan α R = 947, 38 96, 495 α R = 45, 95 =, 0335 33

Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y F 3 R,,3 R = 38,04 N 00 α R R, 30 F 40 0 x F 4 34

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 30 3ʹ = 4 F 4 4ʹ = Rʹ F 3 00 R ʹ = 3 0 ʹ = α R F 40 = R 35

Centrické síly Příklad.. F = 5 kn, α = 30, = 6 kn, α = 00, F 3 = 8 kn, α 3 = 80 y F = 6 kn α = 00 F = 5 kn α = 30 x α 3 = 80 F3 = 8 kn Početní řešení: 3 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 i= R x = 5 cos 30 + 6 cos 00 + 8 cos 80 R x = 4, 677 kn 36

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) 3 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 i= R y = 5 sin 30 + 6 sin 00 + 8 sin 80 R y = 0, 53 kn R y = 0,53 kn y R = 4,707 kn α R = 6,465 x R x = 4,677 kn R = R x + R y R = 4, 677 + 0, 53 = 4, 707 kn tan α R = R y R x tan α R = 0, 53 = 0, 33 4, 677 α R = 6, 465 37

Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y R, 00 F 80 30 α R R = 4,707 kn x F 3 38

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 80 ʹ = 3 00 ʹ = F 30 F 3 = R R = 4,707 kn 3ʹ = Rʹ α R = 6,465 39

Centrické síly Příklad..3 F = 50 N, α = 5, = 30 N, α = 80, F 3 = 740 N, α 3 = 40, F 4 = 70 N, α 4 = 90. y F3 = 740 N α 3 = 40 = 30 N α = 80 F = 50 N α = 5 x α 4 = 90 F4 = 70 N Početní řešení: 4 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 + F 4 cos α 4 i= R x = 50 cos 5 + 30 cos 80 + 740 cos 40 + 70 cos 90 R x = 43, 63 N 40

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) 4 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 + F 4 sin α 4 i= R y = 50sin5 + 30sin80 + 740sin40 + 70sin90 R y = 9, 46 N y R α R = 78,75 R x = 43,63 N R y = 9,46 N x R = R = Rx + Ry ( 43, 63) + 9, 46 = 3, 7 N tan α R = R y R x tan α R = 9, 46 43, 63 α R = 78, 75 = 5, 09 4

Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y R,,3 R = 9,46 N F 3 R, 40 80 α R F 5 x 90 F 4 4

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 90 3ʹ = 4 F 3 F 4 40 ʹ = 3 4ʹ = Rʹ R = 9,46 N 80 α R = 78,75 F 5 ʹ = = R 43

Centrické síly Příklady k procvičení..a F = 5 kn, α = 45, = 4 kn, α = 00, F 3 = 6 kn, α 3 = 0. y F = 4 kn α = 00 F = 5 kn α 3 = 0 α = 45 x F 3 = 6 kn..b F = 860 N, α = 5, = 430 N, α = 50 F 3 = 80 N, α 3 = 90, F = 380 N, α 4 = 95. α 3 = 90 y = 430 N α = 50 F = 860 N α = 5 x F 3 = 80 N α 4 = 95 F4 = 380 N 44

. Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil)..c F = 0 kn, α = 00, = 7 kn, α = 40, F 3 = 9 kn, α 3 = 300, F 4 = kn, α 4 = 70, F 5 = 5 kn, α = 30. y F = 0 kn F 5 = 5 kn α = 00 α 5 = 30 α 4 = 70 α = 40 = 7 kn x F3 = 9 kn α 3 = 300 F 4 = kn 45

3 Obecná soustava sil v rovině 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Opět máme na výběr dva způsoby řešení početně nebo graficky. Početní řešení U každé soustavy sil v rovině musíme mít na paměti platnost: a) podmínek rovnováhy n M i = i= { n n i= F i = 0 F ix = 0 n i= F iy = 0 i= n F i p i = 0 i= kde F... síla v obecné poloze, F x... vodorovná složka síly F (působící v ose x), F y... vodorovná složka síly F (působící v ose y), y F x x F y M... statický moment síly, p... rameno, na kterém se síla otáčí (nejkratší, tj. kolmá, vzdálenost od zvoleného momentového středu). b) Varignonovy věty, která říká: algebraický součet statických momentů všech sil obecné soustavy sil v rovině k libovolně zvolenému momentovému středu je roven statickému momentu výslednice této soustavy sil k témuž bodu 47

3 Obecná soustava sil v rovině + n M i = M R i= n F i p i = Rp R i= a zároveň platí R = n i= F i { R x = n i= F ix R y = n i= F iy kde M R... statický moment výslednice ke zvolenému momentovému středu, R... výslednice soustavy sil, p R... rameno, na kterém výslednice působí ke zvolenému momentovému středu, R x... vodorovná složka výslednice R a R y... vodorovná složka výslednice R. Grafické řešení Využíváme složkovou čáru, pomocí které sestrojujeme výslednicovou čáru (tvoří výslednicový obrazec). Mějme na paměti, že jak složková, tak výslednicová čára musí být vždy uzavřena! Zatímco pomocí výslednicové čáry určíme velikost a směr výslednice R. Postup:. Provedeme složkovou čáru, pak známe velikost a směr výslednice.. Zvolíme si pól (označíme O) mimo složkovou čáru. 3. Uděláme pólové paprsky, které označíme římskými čísly (I, II, III,...) 4. V soustavě sil si zvolíme bod na první síle F a z tohoto bodu vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem I, kterou protáhneme, protože na této rovnoběžce se bude nacházet průsečík, kterým pak povedeme výslednici R. 5. Ze stejného bodu na síle F vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem II, kterou protneme paprsek síly. 6. Z bodu, kde jsme protli paprsek síly vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem III, až protneme paprsek síly F 3. 7. Tak pokračujeme postupně, dokud neprovedeme rovnoběžky se všemi pólovými paprsky. Princip je jednoduchý každý pólový paprsek musí protnout ty síly, podle kterých je označen daný vrchol složkové čáry. Např. pólový paprsek I spojuje pól O s vrcholem složkové čáry = R, pak musí protínat sílu F a výslednici R apod. 48

3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině 8. V místě, kde je průsečík prvního a posledního pólového paprsku vedeme rovnoběžku s výslednicí složkové čáry a tím máme určenu polohu výslednice. Příklad 3.. Určete výslednice této soustavy sil F = 6 kn α = 40 α = 30 = 4 kn F 3 =3 kn 4000 3000 3000 jednotky: mm Početní řešení: Protože již víme, že každou sílu lze rozložit na vodorovnou a svislou složku, doporučuji takto postupovat, aby se nám lépe určovala ramena statických momentů, která budeme dále ve výpočtu potřebovat. Stejně tak je vhodné vyznačit na nosníku, kde se soustava sil nachází, zvolený momentový střed, ke kterému budeme počítat. Budeme ho označovat malými písmeny, např. a. p p F a 40 F x = F cos40 F y = F sin 40 40 y = sin 30 30 x = cos30 F 3 4000 3000 3000 F x = 6 cos 40 = 4, 596 kn F y = 6 sin 40 = 3, 857 kn x = 4 cos 30 = 3, 464 kn y = 4 sin 30 = kn 49

3 Obecná soustava sil v rovině Varignonova věta n R x = F ix = F x x + F 3x i= R x = 4, 596 3, 464 + 3 = 4, 3 kn n R y = F iy = F y y + F 3y i= R y = 3, 857 = 5, 857 kn R = Rx + Ry = 4, 3 + ( 5, 857) = 7, 7 kn tan α R = R y 5, 857 = =, 47 R x 4, 3 α R = 54, 8 + momenty, které se kolem zvoleného momentového středu a, točí po směru hodinových ručiček, jsou kladné. n M R = M i = F y p + F y p i= Rp R = 3, 857 4 + 7 7, 7p R = 9, 48 p R = 4, 04 m Síla F 3 přímo prochází bodem a, pak p 3 = 0. Určím také vzdálenost výslednice R od zvoleného momentového středu a na nosníku R y r = 9, 48 r = 9, 48 R y r = 5, 0 m = 9, 48 5, 857 50

3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Výslednici vždy zakreslíme a zakótujeme do zadání α R = 54,8 R = 7,7 kn a F 40 30 F 3 4000 3000 3000 r = 500 Grafické řešení: a) výslednicová čára r = 500 α R = 54,8 R = 7,7 kn F F 40 30 III F 3 4000 3000 3000 II I IV b) složková čára = R R = 7,7 kn F I α R = 54,8 ʹ = III II IV O ʹ = 3 F 3 3ʹ = Rʹ 5

3 Obecná soustava sil v rovině Příklad 3.. Určete výslednici této soustavy sil. = 3 kn F 3 =6 kn F 5 = kn F = 6 kn α = 50 α 5 = 70 α 4 = 60 F 4 =8 kn 3 jednotky: m Početní řešení: y = sin50 F 3 F 5y = F 5 sin70 F 5 F a 50 F 4x = F 4 cos 60 70 x = cos50 60 F 5x = F 5 cos70 F 4y = F 4 sin60 F 4 3 x = 3 cos 50 =, 98 kn y = 3 sin 50 =, 98 kn F 4x = 8 cos 60 = 4 kn F 4y = 8 sin 60 = 6, 98 kn F 5x = cos 70 = 0, 684 kn F 5y = sin 70 =, 879 kn n R x = F ix = F x + x + F 4x F 5x i= R x = 6 +, 98 + 4 0, 684 =, 44 kn 5

3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině n R y = F iy = y F 3 + F 4y F 5y i= R y =, 98 6 + 6, 98, 879 = 3, 49 kn R = Rx + Ry =, 44 + ( 3, 49) =, 7 kn tan α R = R y 3, 49 = = 0, 89 R x, 44 α R = 6, 7 Rp R =, 98 + 6 5 6, 98 6 +, 879 7, 7p R = 6, 8 p R = 0, 58 m R y r = 6, 8 3, 49r = 6, 8 r =, 9 m F 3 F 5 F R =,7 kn a α R = 6, 50 70 r =,9 60 F 4 3 53

3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára II F 3 F 5 R =,7 kn a α R = 6, 50 70 F r =,9 60 I III F 4 3 VI IV V b) složková čára F ʹ = = R II 4ʹ = 5 ʹ = 3 F 5 α R = 6, 5ʹ = Rʹ I III VI R =,7 kn F 3 F 4 IV 3ʹ = 4 V O 54

3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Příklady k procvičení 3..A = 4 kn α = 60 F 3 =3 kn α 3 = 40 F 4 =6 kn 000 4000 3000 3000 F = 5 kn jednotky: mm 3..B = 4 kn α = 60 7000 F = 5 kn jednotky: mm 3..C = 8 kn F = 6 kn α = 30 8 jednotky: m 3..D F = 4 kn F 3 =6 kn α = 50 α 3 = 40 F 4 = kn 3 3 = 5 kn jednotky: m 55

3 Obecná soustava sil v rovině 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině Rovinná soustava rovnoběžných sil se liší od jiných rovinných svazků tím, že průsečík rovnoběžných sil je v nekonečnu, což logicky znamená, že výslednice takové soustavy je se silami rovnoběžná. I zde je nutné zavést si znaménkovou konvenci, proto si zavedeme souřadný systém x, y tak, že osa y je rovnoběžná se silami a všechny x-ové složky jsou tedy rovny nule. n F ix = 0 = R x = 0 = R = R y i= Pro řešení výslednice soustavy rovnoběžných sil platí stejná pravidla jako pro řešení obecné soustavy sil. Příklad 3.. Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 6 kn, = 4 kn, F 3 = 3 kn, F 4 = 6 kn. 3 a = 4 kn F 3 = 3 kn F = 6 kn F 4 = 6 kn jednotky: m Početní řešení: 4 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y i= R = 6 + 4 + 3 6 = 5 kn 56

3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině M R = R r = 4 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 + i= 5r = 6 0 + 4 3 5 + 6 6 5r = 3 r =, 6 m Momentový střed je vhodné (ale ne nezbytné) volit na jedné ze sil. Zakreslení výslednice 3 r =,6 F 3 a R = 5 kn F F 4 Grafické řešení: a) výslednicová čára III II 3 IV r =,6 V F 3 F I R = 5 kn F 4 57

3 Obecná soustava sil v rovině b) složková čára 3ʹ = 4 = R IV I ʹ = 3 III O R = 5 kn 4ʹ = Rʹ V II Příklad 3.. ʹ = Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 4 kn, = 3 kn, F 3 = kn, F 4 = 6 kn, F 5 = 3 kn. F 3 = kn 3 4 a = 3 kn F 5 = 3 kn F = 4 kn F 4 = 6 kn jednotky: m Početní řešení: 5 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y + F 5y i= R = 4 3 + + 6 + 3 = 4 kn 58

3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině M R = R r = 5 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 + F 5y r 5 + i= 4r = 4 0 + 3 5 6 7 3 r = 9, 75 m Zakreslení výslednice F 3 3 4 8,75 a r = 9,75 F 5 F F 4 R = 4 kn 59

3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára IV V III II F 3 VI 3 4 8,75 r = 9,75 F 5 I F F 4 R = 4 kn b) složková čára 5ʹ = Rʹ VI R = 4 kn 4ʹ = 5 V = R I O ʹ = 3ʹ = 4 II IV III ʹ = 3 60

3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině Příklad 3..3 Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 3 kn, = 8 kn, F 3 = 5 kn, F 4 = kn. a F 3 = 5 kn 4 F 4 = kn F = 3 kn = 8 kn jednotky: m Početní řešení: 4 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y i= R = 3 8 + 5 + = 5 kn M R = R r = 4 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 i= 5r = 3 0 + 8 5 5 7 r = 4, 8 m 6

3 Obecná soustava sil v rovině Zakreslení výslednice F 4 r = 4,8 4 a F R = 5 kn F 3 Grafické řešení: a) výslednicová čára r = 4,8 I V IV 4 III F 4 R = 5 kn F II F 3 6

3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině b) složková čára = R I ʹ = II R = 5 kn 4ʹ = Rʹ 3ʹ = 4 V IV O III ʹ = 3 Příklady k procvičení 3..A 3 4 a F 3 = kn F = 3 kn F 4 = 4 kn = 5 kn jednotky: m 63

3 Obecná soustava sil v rovině 3..B a 3 F = 5 kn = 4 kn F 3 = 3 kn F 4 = 4 kn jednotky: m 3..C F 4 = 400 N F 3 = 800 N a 4 3 F = 500 N F 5 = 600 N = 700 N jednotky: m 64

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil 3..D F 3 = 40 kn = 0 kn a F = 70 kn jednotky: m 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Aby byla jakákoliv soustava sil v rovnováze, musí být splněny podmínky rovnováhy (viz kapitola 3.). Právě pomocí těchto rovnic v případě početního řešení, nebo pomocí složkové čáry a výslednicového obrazce v případě grafického řešení, dáváme soustavu sil do rovnováhy. U grafické metody je základní nosnou myšlenkou, že jak složková, tak výslednicová čára musí být uzavřena. Příklad 3.3. Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil V a a V b, jejichž poloha je dána. Určete jak jejich velikost, tak i jejich smysl. 65

3 Obecná soustava sil v rovině 3 4 F 3 = 4 kn V a F = 8 kn V b = 6 kn jednotky: m Početní řešení: Zvolíme si na síle V b momentový střed b a sestavíme momentovou podmínku rovnováhy k bodu b, ze které vypočítáme sílu V a. Sílu V a uvažujeme vždy kladnou, teprve až znaménko výsledku nám ukáže orientaci momentu, který síla V a vyvolává. Sílu V b nemusíme uvažovat, protože r b = 0. n M ib = 0 i= V a r a + F r + r + F 3 r 3 = 0 + V a 5 8 3 + 6 4 6 = 0 5V a = 36 V a = 7, kn + Z předchozího výsledku vyplývá, že síla V a musí vyvolat kolem momentového středu b kladný moment, potom V a. Zvolíme si na síle V a momentový střed a a sestavíme momentovou podmínku rovnováhy k bodu a, ze které vypočítáme sílu V b. I zde platí, že neznámou sílu V b uvažujeme jako kladnou a teprve výsledné znaménko nám ukáže, zda moment, který síla V b vyvolává kolem bodu a, bude kladný nebo záporný. Tomu pak přizpůsobíme smysl síly. Ani v tomto případě nebudeme zahrnovat sílu V a do momentové podmínky, protože stejně platí r a = 0. 66

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil n M ia = 0 i= F r + V b r b + r + F 3 r 3 = 0 8 + V b 5 6 7 4 = 0 5V b = 4 V b =, 8 kn Zkouška n F i = 0 i= V a + F + V b + + F 3 = 0 7, 8 +, 8 6 + 4 = 0 0 = 0 Zakreslení výsledků do zadání a b 3 4 V b =,8 kn F 3 F V a = 7, kn 67

3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára V b =,8 kn IV 3 4 V III F 3 I V a = 7, kn II F 68

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára = aʹ I V a = 7, kn bʹ = a V O V b =,8 kn ʹ = II IV 3ʹ = b III ʹ = 3 69

3 Obecná soustava sil v rovině Příklad 3.3. 3 4 F 3 = 3 kn F = 7 kn = 8 kn V a V b jednotky: m Početní řešení n M ib = 0 i= F r + V a r a + r + F 3 r 3 = 0 0 + V a 7 8 5 + 3 = 0 7V a = 07 V a = 5, 86 kn n M ia = 0 i= F r + r + F 3 r 3 + V b r b = 0 7 3 + 8 3 6 + V b 7 = 0 V b = 3, 86 kn 70

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Zkouška n F i = 0 i= F + V a + + F 3 + V b = 0 7 + 5, 86 8 + 3 3, 86 = 0 0 = 0 Zakreslení do zadání 3 4 V b = 3,86 kn F 3 a b F V a = 5,86 kn 7

3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení a) výslednicová čára 3 4 F 3 V b = 3,86 kn IV III II V F I V a = 5,86 kn 7

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára = aʹ I V a = 5,86 kn ʹ = II O IV 3ʹ = b V b = 3,86 kn III V ʹ = 3 bʹ = a 73

3 Obecná soustava sil v rovině Příklad 3.3.3 F = 3 kn 3 V a V b = 5 kn jednotky: m Početní řešení n M ib = 0 i= F r + V a r a + r = 0 3 4 + V a 5 = 0 V a = kn n M ia = 0 i= F r + V b r b + r = 0 3 3 + V b 5 3 = 0 V b = 4 kn Zkouška n F i = 0 i= F + + V a + V b = 0 3 + 4 + 5 = 0 0 = 0 74

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Zakreslení do zadání: 3 F V a = kn V b = 4 kn a b 75

3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení a) výslednicová čára F 3 V b = 4 kn V a = kn III II IV I 76

3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára ʹ = b III = aʹ I O II ʹ = V a = kn V b = 4 kn IV bʹ = a 77

3 Obecná soustava sil v rovině Příklady k procvičení Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil V a a V b, jejichž poloha je dána. Určete jak jejich velikost, tak jejich smysl. 3.3.A F = 4 kn 3 3 V a = 6 kn V b F 3 = 8 kn jednotky: m 3.3.B 3 3 F = 5 kn V a = 8 kn F 3 = 4 kn V b jednotky: m 78

3.4 Rovnováha obecné soustavy sil v rovině 3.3.C F 4 = kn 3 3 V a = 4 kn F 3 = 6 kn V b F = 7 kn jednotky: m 3.3.D F 3 = 400 N 3 F = 600 N = 800 N V a V b F 4 = 500 N jednotky: m 3.4 Rovnováha obecné soustavy sil v rovině Princip řešení je stále stejný. Pokud má být soustava sil v rovnováze, je nutné, aby splňovala podmínky rovnováhy. 79

3 Obecná soustava sil v rovině Pro názornost si představme, že obecná soustava sil působí na nosníku, jehož osu si budeme schematicky znázorňovat vodorovnou čarou. Místa, kde působí síly, které dávají soustavu sil do rovnováhy, si představme jako místa podpor nosníku (např. stěny). Dohodněme se také na značení. Síly kolmé k ose nosníku budeme označovat V, síly působící v ose nosníku označíme N a síly v obecné poloze ponecháme označeny jako reakce R. Všechny síly budou mít vždy dolní index dle označení místa působení (podpory). Omezíme se pouze na početní řešení, které je rychlejší a přesnější. Příklad: Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil, u kterých znáte buď místo působení nebo působiště i paprsek. Je dáno působiště a, působiště b a paprsek síly. Příklad 3.4. Zadání: F = 5 kn α = 30 a α = 5 = 8 kn b 3 4 jednotky: m Rozložení sil: F F y 50 30 a y 5 b F x x 3 4 F x = 5 cos 50 = 3, 4 kn F y = 5 sin 50 = 3, 83 kn x = 8 cos 5 = 7, 5 kn y = 8 sin 5 = 3, 38 kn 80