Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra matematiky FJFI ČVUT, Trojanova 13, Praha 2 e-mail: klika it.cas.cz, milan.krbalek fjfi.cvut.cz url: www.krbalek.cz/for_students/rmf Kritéria pro udělení zápočtu (bodovací systém): 2 písemné práce: cca v půlce a na konci semestru (ohlášeny předem) každá s maximem 40 bodů trvání: 120 minut 6 minitestů: ohlášeny předem náplň: definice a základní věty, popř. jednoduché příklady každý s maximem 4 body Aktivita na cvičení a přednáškách: za vyřešení speciálních úloh (popř. za výraznou aktivitu na cvičení) má cvičící možnost rozdělit mezi N účastníků cvičení N bodů (maximálně) body lze získávat také za aktivitu na přednášce (podle rozhodnutí přednášejícího) jeden student může touto formou získat maximálně 10 bodů (bude uzavřeno k 20.12.2013) Absence: Kritéria: 4 absence jsou povoleny bez bodových srážek za každou absenci nad povolený limit se odečítají 3 body absence omlouvat nelze za neúčast na řádném termínu zápočtové práce se odečítají 3 body neúčasti na řádných termínech zápočtových prácí se do absencí na cvičení nezapočítávají zápočet se uděluje za 50 bodů a více získá-li student 30 bodů a více (avšak méně než 50), musí pro získání zápočtu absolvovat opravnou písemnou práci alespoň s polovičním počtem bodů student, který získal méně než 30 bodů, ztrácí nárok na zápočet za každých 5 bodů nad hranicí 50 bodů se k bodovému hodnocení zkouškové písemné práce (v libovolném z platných termínů) připočítává 1 bod
Literatura pro přednášku: M. Krbálek: Úlohy matematické fyziky, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2012 opravy ke skriptům: www.krbalek.cz/for_students/files_to_load/chyby_skripta_rmf_2012.pdf Č. Burdík a O. Navrátil : Rovnice matematické fyziky, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008 Z. Pírko a J. Veit: Laplaceova transformace, SNTL, Praha 1970 P. Šťovíček: Metody matematické fyziky I - Teorie zobecněných funkcí, Česká Technika - nakladatelství ČVUT, 2006 V.S. Vladimirov: Uravnenija matematičeskoj fyziky, Nauka, Moskva 1976 Literatura pro cvičení: P. Doktor: Příklady z matematické analýzy VI - parciální diferenciální rovnice, SPN, Praha 1983 P. Čihák: Příklady z matematiky pro fyziky V, Matfyzpress, Praha 2003 F. Jirásek: Funkce komplexní proměnné a Laplaceova transformace, Ediční středisko ČVUT, Praha 1983 M. Krbálek: Úlohy matematické fyziky cvičení, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008 J. Moravčík: Matematika - vybrané části III, Alfa, Bratislava 1984 Z. Pírko a J. Veit: Laplaceova transformace, SNTL, Praha 1970 M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky I, Ediční středisko ČVUT, Praha 1988 M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky II, Ediční středisko ČVUT, Praha 1988 V.S. Vladimirov: Sbornik zadač po uravnenijam matematičeskoj fyziky, Nauka, Moskva 1974
Gaussův integrál Gamma funkce 1. cvičení: Integrace s parametry věta o záměně limity a Lebesgueova integrálu příklady věta o záměně derivace a Lebesgueova integrálu příklady integrál 0 e ax2 cos(bx) dx integrál 0 x n e ax2 dx definice hlavní hodnoty integrálu (VP) J R f(x) dx a některé výpočty 2. cvičení: Operace konvoluce a její vlastnosti definice pojmu konvoluce výpočty jednorozměrných konvolucí výpočty vícerozměrných konvolucí existenční věta pro konvoluci důkaz některých vlastností konvoluce definice pojmu hustota pravděpodobnosti a nástin pravděpodobnostní interpretace operace konvoluce věta o konvoluci dvou hustot pravděpodobnosti věta o derivaci konvoluce 3. a 4. cvičení: Hilbertovy prostory funkcí a lineární operátory na těchto prostorech faktorový prostor funkcí Hilbertův prostor funkcí pojem báze v Hilbertově prostoru Besselova nerovnost a její důkaz věta o Fourierově rozvoji libovolné funkce z Hilbertova prostoru a její důkaz Parsevalova rovnost a její důkaz ortogonální polynomy (Legendreovy, Hermiteovy, Laguerreovy polynomy) Rodriguesova diferenciální formule pro ortogonální polynomy hermiteovské operátory na Hilbertových prostorech a některé jejich vlastnosti
5. a 6. a 7. cvičení: Integrální rovnice Fredholmova rovnice prvního a druhého druhu řešení integrálních rovnic se separovatelným jádrem přímou metodou řešení Fredholmových integrálních rovnic metodou postupných aproximací řešení Fredholmových integrálních rovnic metodou iterovaných jader Volterova rovnice druhého druhu a její řešení metodou postupných aproximací Volterova rovnice druhého druhu a její řešení metodou iterovaných jader důkazy některých vět z teorie 8. a 9. cvičení: Parciální diferenciální rovnice a jejich normalizace kvazi-parciální diferenciální rovnice definice a normální tvar parciální diferenciální rovnice převody rovnic s konstantními koeficienty na normální tvar eliptické, hyperbolické a parabolické rovnice odvození tvaru převodních vztahů pro parabolickou nebo eliptickou rovnici (doplněk k přednášce) transformace rovnic s nekonstantními koeficienty na normální tvary 10., 11. a 12. cvičení: Teorie zobecněných funkcí definice distribucí podrobný rozbor δ funkce δ( x) a centrovaná δ funkce δ µ ( x) věta o derivaci skokové funkce a její použití Heavisideova funkce Θ( x) a centrovaná Heavisideova funkce Θ µ ( x) a jejich vztah k delta-funkci základní a pokročilé operace ve třídě D (E r ) konvergence ve třídě D (E r ) Sochockého distribuce a konečná část (partie finie) Sochockého vzorce 13. 15. cvičení: Tenzorový součin a konvoluce zobecněných funkcí tenzorový součin a důkazy jeho vlastností
rozklad prostoru D(E r+s ) konvergence k jedničce (výklad) konvoluce ve třídě D (E r ) důkazy základních vztahů propojení pojmu klasické konvoluce s pojmem zobecněné konvoluce 16. a 17. cvičení: Laplaceova transformace definice obrazy základních funkcí základní pravidla pro Laplaceovu transformaci (důkazy) výpočty Laplaceových obrazů řešení obyčejných diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací výpočty integrálů pomocí Laplaceovy transformace Laplaceův obraz δ funkce (diskuse) řešení integrodiferenciálních rovnic užitím Laplaceovy transformace 18. 20. cvičení: Fourierova transformace definice na S, L 1, resp. S obrazy základních funkcí a distribucí základní pravidla pro Fourierovu transformaci (důkazy) inverzní transformace Fourierův obraz δ funkce výpočty obrazů funkcí 21. a 22. cvičení: Fundamentální řešení operátorů obyčejný diferenciální operátor základní operátory definice fundamentálního řešení určení fundamentálního řešení obyčejného diferenciálního operátoru žitím pomocné věty
určení fundamentálního řešení užitím integrálních transformací fundamentální řešení základních parciálních diferenciálních operátorů 23. a 24. cvičení: Řešení rovnic matematické fyziky řešení obyčejných diferenciálních rovnic s nulovými okrajovými podmínkami řešení obyčejných diferenciálních rovnic s nenulovými okrajovými podmínkami rovnice vedení tepla a její řešení vlnová rovnice a její řešení Burgersova rovnice a její řešení 25. a 26. cvičení: Eliptické diferenciální rovnice eliptický diferenciální operátor a jeho vlastní hodnoty odvození Greenových formulí okrajová úloha pro eliptickou rovnici Sturm-Liouvilleova úloha řešení úlohy na vlastní hodnoty metodou separace proměnných 27. cvičení: Kvantový harmonický oscilátor a jeho řešení aplikace probírané teorie na kvantový LHO