ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK. Matematika pro fyziky I. Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5

Transkript

1 ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK Matematika pro fyziky I OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Michal Báthory, Tomáš Los, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: Čtvrtek 8:00 9:40 Pátek 8:00 9:40 Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5 Pracovna: Karlín, Sokolovská 83, P-8, 3. patro, hlavní chodba Telefon: (95155) malek@karlin.mff.cuni.cz URL: malek UPOZORNĚNÍ Přednášky jsou dlouhé 100 minut a začínají v 8:00. Prosím snažte se dostavit včas. Ve dnech 9. a 10. listopadu se přednášky ani konzultace nekonají. Dne 16. listopadu se na místo přednášky bude psát 1. zápočtová písemka. Druhou zápočtovou písemku budete psát na cvičení. Dne 17. listopadu se přednáška nekoná (státní svátek). ZÁKLADNÍ TEXTY M. Pokorný: Videozáznamy přednášek MFF odkaz ze SISu popis předmětu (Literatura) J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky II a III, Matfyzpress Praha, J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky II a III, Matfyzpress Praha, V. Souček: Matematická analýza II. a III. soucek J. Málek: Ručně psané přípravy k přednášce malek 1

2 ZKOUŠKA, ZÁPOČET Udělení zápočtu je záležitostí cvičících. Cvičící udělují zápočet a body(nejvýše 40) na základě Vaší aktivity na cvičení a výsledků 2-3 kontrolních testů(jeden test se bude psát na přednášce, pravděpodobně ve Čtvrtek ). Zápočet je nutné mít zapsaný před zahájením zkoušky. Zkouška se skládá ze dvou písemných částí a krátkého ústního rozboru. Početní písemná část obsahuje 4 příklady: variační počet, posloupnosti a řady funkcí, Lebesgueův integrál (závislý na parametru) a křivkový/plošný integrál. Délka 120 minut, maximální počet bodů 30. Pokud získáte méně než 16 bodů z početní části, tak nezávisle na hodnocení teoretické části je Vaše hodnocení neprospěl(a). Teoretická písemná část zkoušky trvá 90 minut (následuje 30 minut po početní části). Maximální počet za teoretickou část zkoušky je 20 bodů. Celkem za zkoušku je možné získat 50 bodů. Hodnocení A zkoušky: bodů výborně 32,5 40,9 bodů velmi dobře 24 32,4 bodů dobře méně než 24 bodů neprospěla(a) Hodnocení B zkoušky: K bodům, které jste získali v den zkoušky, se připočtou body získané během semestru. Opětvšak platí pravidlo: méně než 16 bodů z početní části zkoušky dává jediný možný výsledek: neprospěl(a). Maximální počet bodů v hodnocení B, který můžete získat, je tedy bodů výborně 59 73,9 bodů velmi dobře 46 58,9 bodů dobře méně než 24 bodů neprospěla(a) Výsledné hodnocení zkoušky: lepší z hodnocení A a hodnocení B Termíny zkoušek zpravidla jednou za 10 dnů v Tróji od 8:30 budou vypsány v SISu do konce listopadu

3 Sylabus přednášky MAF061 (Matematika pro fyziky I) 1. Úvod do variačního počtu funkcionály a úlohy variačního počtu- příklady a obecné formulace extremály(kritické body) a Gâteauxova(směrová derivace) funkcionálu nutné podmínky existence extrémály, Euler Lagrangeovy rovnice a její redukce v speciálních případech Gateauxův a Fréchetův diferenciál postačující podmínky existence minima funkcionálu, Jacobiho rovnice Lagrangeovy multiplikátory Legendrova transformace, Hamiltonovy rovnice 2. Posloupnosti a řady funkcí bodová a stejnoměrná konvergence kritéria stejnoměrné konvergence posloupností funkcí kritéria stejnoměrné konvergence řad funkcí (Weiestraß, Leibniz, Abel, Dirichlet) záměna limit, derivace a integrál posloupností a řad funkcí aplikace stejnoměrné konvergence: důkaz lokální existence řešení soustav ODR 1. řádu pro lipschitzovskou pravou stranu, spojitá funkce nemající derivaci v žádném bodě 3. Lebesgueův integrál σ-algebry, míry (základní vlastnosti, úplná míra) konstrukce Lebesgueovy míry, vnější Lebegueova míra, měřitelné množiny, zúžení vnější míry, základní vlastnosti Lebesgueovy míry měřitelné funkce, základní vlastnosti jednoduché funkce, věta o aproximace měřitelných funkcí pomocí jednoduchých funkcí integrál jednoduché nezáporné funkce 3

4 obecná definice integrálu, základní vlastnosti (linearita, absolutní konvergence, integrál jako množinová funkce) limitní přechod za integračním znamením (Fatouovo lemma, Léviho a Lebesgueova věta) vztah mezi Riemannovým, Newtonovým a Lebesgueovým integrálem integrály závislé na parametru (spojitost, derivace integrálu podle parametru) věta o substituci a věta Fubiniho dvě zobecnění: nevlastní Lebesgueův integrál a integrál ve smyslu hlavní hodnoty Eulerovy Γ- a B funkce 4. Křivkový a plošný integrál křivkyvr N,křivkovýintegrál1. a2. druhu,vlastnostikřivkového integrálu potenciálnost vektorového pole a souvislost s křivkovým integrálem k-plochy v R N, plošný obsah rovinných množin v R N, Grammova matice vektorový součin vektorů, plošný obsah jednoduché k-plochy, plošný integrál 1. a 2. druhu, zobecněné plochy Gauß Ostrogradského věta, Greenova věta, Stokesova věta postačující podmínky existence potenciálu vnější algebry vektorového prostoru, diferenciální formy v R N, vnější diferenciál, přenášení diferenciálních forem integrace diferenciálních forem přes regulární plochy, orientace plochy, její parametrizace, zobecněné plochy dimenze k, integrace diferenciálních forem přes zobecněné plochy zobecněná Stokesova věta a její důsledky 4

5 5. Lebesgueovy prostory definicel p prostorů,hölderova,cauchy SchwarzovaaMinkovského nerovnost, úplnost L p prostorů různé typy konvergencí husté podmnožiny v Lebesgueových prostorech, separabilita regularizátor, jeho vlastnosti, spojitost v průměru v p-té mocnině, věta o Lebesgueových bodech 5