ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista 29. 10.
GPS - výpočet drah družic Zadání: K dispozici máte soubor vysílaných efemerid ve formátu RINEX (tzv. navigační zprávu, označeni koncovkou n ) pro stanici sítě EUREF EPN vytvořený dne 17.9.2009 a kartézské souřadnice stanice v systému WGS84. Pro družici danou PRN kódem spočítejte pomocí vysílaných efemerid její polohu v čase t 1 dne 17.9.2009 (den 260). Souřadnice družice určete v systému WGS84, ve kterém jsou zadány i dráhové elementy. Pro výpočet Keplerových elementů v čase t 1 použijte vysílané efemeridy v epoše nejbližší nižší zadanému času. Dále proveďte transformaci souřadnic družice do topocentrického pravotočivého systému (N W U). Jako zeměpisné souřadnice pozorovatele použijte zadané souřadnice stanice. Kontrolně vypočtěte délku družice-stanice v obou souřadnicových systémech. Pro výpočet Keplerových elementů v čase t 1 použijte vysílané efemeridy v epoše nejbližší nižší zadanému času. Výsledkem tedy bude: Keplerovy elementy v čase t 1 Souřadnice družice v systému WGS84 Souřadnice družice v topocentrickém systému (N W U) Délka stanice-družice vypočtená v obou souřadnicových systémech Jako geocentrickou gravitační konstantu použijte hodnotu GM = 398, 6005 10 12 m 3 s 2. Jako úhlovou rychlost rotace Země ω E = 7292115, 1467 10 11 rad s 1. Číselné zadání 3: číslo stanice EPN PRN čas t 1 souřadnice zadání hod min sec X Y Z 3 GOPE 12 16 12 45 3979316 1050312 4857067 Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. Veškeré úhly jsou uváděny v radiánech a nejsou přičítány násobky 2π, délky a souřadnice jsou uváděny v metrech. 1 Načtení parametrů z navigační zprávy Ze zadaného navigačního souboru RINEX byly pomocí skriptu v programu Octave vybrány záznamy pro zadané PRN družice. Soubor navigační zprávy obsahuje nejprve hlavičku, za níž následují jednotlivé záznamy ve tvaru: δ PRN ROK MĚSÍC DEN HODINA MINUTA SEKUNDA δ c c t C rs n M 0 C uc e C uc a T oe C ic l 0 C is I 0 C rc ω 0 Ω I. Skriptem je tedy nejprve detekován konec hlavičky a poté vyhledáván vždy první řádek každého záznamu. Z tohoto řádku je načteno PRN a vyhodnoceno zda záznam přísluší zadané družici. Po vybrání všech záznamů pro dané PRN je vyhledán záznam s nejbližším nižším časem než je zadaný čas t 1. Při vyhledávání času je zohledněno i datum, neboť navigační zpráva může obahovat i záznamy z předchozího nebo následujícího dne. 2 δ c t 2
Z vybraného záznamu (nejbližší nižší čas pro dané PRN) jsou do proměnných načteny oskulační elementy a další korekční členy. 2 Výpočet Keplerovských oskulačních elementů Postupně byly vypočteny Keplerovské oskulační elementy 2.1 Střední anomálie 2.2 Excentrická anomálie M = M 0 + n(t 1 t 0 ) + n(t 1 t 0 ) = 1.520259187026rad E = M + e sin E = 1.523349928908rad Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než dvojnásobek přesnosti výpočtu (dáno možnostmi počítače). 2.3 Pravá anomálie v = 2atan ( 1 + e tg E ) = 1.526440902535rad 1 e 2 2.4 Argument šířky 2.5 Průvodič u 0 = ω 0 + v = 2.113224826955rad ω = ω 0 + C uc cos (2u 0 ) + C us sin (2u 0 ) = 0.586779172135rad u = ω + v = 2.113220074670rad r 0 = a(1 e cos E) = 26555411.2m r = r 0 + C rc cos (2u) + C rs sin (2u) = 26555207.4m Po výpočtu argumentu šířky a délky průvodiče byly určeny souřadnice družice v systému, kde oběžná dráha družice je v rovině xy, a osa x směřuje do výstupního uzlu (průsečík dráhy s rovinou rovníku). 2.6 Sklon X S = r cos u sin u 0 = 13708152.5 22743473.6 0 I = I 0 + C ic cos (2u) + C is sin (2u) + I(t 1 t 0 ) = 0.967734197596rad 2.7 Délka výstupního uzlu l = l 0 + ( Ω ω E )(t 1 t 0 ) T oeω E = 27.665143827554rad
3 Rotace do WGS Rotace do systému WGS probíhá ve dvou krocích. Nejprve sklopením kolem osy x o úhel I v matematicky záporném smyslu. Tím je ztotožněna osa z s osou Z systému WGS. Druhým krokem je pak rotace kolem osy Z o úhel l v matematicky záporném smyslu. R Z ( l) = cos ( l) sin ( l) 0 sin ( l) cos ( l) 0 0 0 1 X WGS = R Z ( l)r X ( I)X S 3861164.8 X WGS = 18422760.0 18731587.2 R X ( I) = 1 0 0 0 cos ( I) sin ( I) 0 sin ( I) cos ( I) 4 Transformace do lokálního (topocentrického) systému (NWU) Rotace do systému NWU probíhá přes pomocný systém TOPO do kterého je transformace provedena ve třech krocích. Nejprve je v systému WGS provedem posun počátku ze středu elipsoidu do stanoviska stanice. Ve druhém kroku je provedena rotace kolem osy Z o úhel λ (geodetická délka stanoviska stanice) v matematicky kladném smyslu. Posledním krokem je pak rotace kolem nové osy Y o úhel B (geodetická šířka stanoviska stanice). R Y ( B) = X TOPO = R Y ( B)R Z (λ)(x druzice WGS X stanice 15265751.8 X TOPO = 16827355.1 18494254.8 cos ( B) 0 sin ( B) 0 1 0 sin ( B) 0 cos ( B) R Z (λ) = 4.1 Výpočet geodetické šířky B a geodetické délky λ WGS ) cos (λ) sin (λ) 0 sin (λ) cos (λ) 0 0 0 1 K realizaci rotací bylo nutné určit zeměpisnou délku a geodetickou šířku stanoviska stanice. Ty lze přibližně, avšak dostatečně přesně, určit ze vztahů: ( ) Z a Θ = atan = 0.869503762462rad, X 2 + Y 2 b kde X, Y, Z jsou souřadnice stanice v systému WGS a a = 6378137m, b = 6356752.3142m jsou hlavní a vedlejší poloasa elipsoidu WGS-84. Geodetická šířka: ( Z + e 2 b sin 3 ) Θ B = atan = 0.871158507502rad, X 2 + Y 2 e 2 a cos 3 Θ kde e 2 = a2 b 2 a e a 2 = a2 b 2 2 b 2 Geodetická délka: jsou první a druhá excentricita elipsoidu WGS-84. λ = atan X Y = 0.258057687805rad V pomocném systému TOPO směřuje kladná osa X vzhůru, kladná osa Y k východu a kladná osa Z k severu. Transformace do systému NWU je pouze záměnou souřadnic. X TOPO (3) 18494254.8 X NWU = X TOPO (2) = 16827355.1 X TOPO (1) 15265751.8
5 Výpočet délky družice - stanice v obou systémech Na závěr byla vypočtena délka mezi družicí a stanicí v obou souřadnicových systémech: r 1 = X druzice WGS X stanice WGS = 29295742.3m r 2 = X NWU = 29295742.3m Porovnání obou délek bylo použito jako kontrola provedených rotací. 6 Číselné výsledky Souřadnice družice v systému WGS: Souřadnice družice v systému NWU: X WGS = X NWU = 3861164.8 18422760.0 18731587.2 18494254.8 16827355.1 15265751.8 Délka stanice - družice: r = 29295742.3m Závěr: Pro zadané PRN družice a čas t 1 byly na základě navigační zprávy určeny souřadnice družice v systémech WGS-84 a místním topocentrickém systému NWU pro danou stanici. Ze souřadnic v obou systémech byla vypočtena délka mezi stanicí a družicí. Dvojím výpočtem délky byla částečně ověřena správnost výpočtu (pouze transformace mezi systémy, nikoliv výpočet Keplerových elementů). Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 29.10.2010 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)