Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Transkript

1 GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Zadání Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. ) a) y = sin x, y = sin x + b) y = cos x, y = cos x + c) y = sin x, y = sin x/ d) y = cos x e) y = sin(x- /) f) y = cos(x+ /) ) a) y = tg x b) y = cotg x c) y = tg x d) y = cotg x e) y = tg(x- /) f) y = cotg(x/+ /) ) a) Úhly ve převeďte na radiány (pomocí π): 60, 70, -90, -0, 5 Vyznačte na jednotkové kružnici! b) Úhly v radiánech převeďte na. Vyznačte na jednotkové kružnici. /; /; ; -7 ; /; - /; 7 /6 ) Vypočtěte bez kalkulačky (úhel vyjádřete pomocí základního úhlu є (0; ) a periody): sin(5 /6); cos(-70 ); tg(-7 /); cotg(5 /) 5) Která z čísel: ; -; 0,8; /; -,; 0,9 lze považovat za hodnotu funkce a) y = sin x b) y = cos x c) y = tg x d) y = cotg x 6) Na jednotkové kružnici vyznačte orientované úhly, které splňují vztahy: a) sin x = -0,7 b) cos x = 0, c) tg x = - Nepočítejte úhly! Vyznačte přibližnou polohu koncového bodu ramene. 7) Určete všechna řešení (včetně periody) rovnic: a) řešení napište ve stupních b) řešení napište v radiánech sin x = /; sin x = - /; cos x = - /; cos x = -; sin x = 0; cos x = 0; sin x = - tg x = ; cotg x = -; cotg x = /; tg x = - /; tg x = ; cotg x = - 8) Napište všechna řešení rovnic: a) sin x = ; b) sin(x /) = -/; c) cos(x/ + /) = /; d) tg x = /; e) cotg(x - /) = 9) Napište všechna řešení rovnic: a) - cos x _ b) tg x + _ + cos x tg x 0) Napište všechna řešení rovnic: a) 6cos x + sin x 5 = 0 b) cos x + /cos x = c) tg x = cotg x d) sin x + sin x cos x = 0 --

2 e) tg x = (sin x cos x) ) Bez užití kalkulačky vypočtěte hodnoty ostatních goniometrických funkcí a : a) sin = 0,6 ; є ( /; ) b) tg = -0, ; є ( ; /) ) Zjednodušte; určete podmínky pro x : a) sin x + cos x + tg x b) - sin x + cotg x sin x c) + sin x cosx ) Řešte ABC: a) a = 0cm; β = 8 0 ; γ = 50 0 b) a = 7cm; b = cm; γ = 8 c) a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm d) a = 0cm; b = 80cm; = 50 --

3 GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Řešení Sestrojte graf funkce. Určete definiční obor R, obor hodnot H, určete interval, v němž funkce roste, v němž klesá. Určete souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. ) a) y = sin x, y = sin x + H = 0 ; π π π π roste v + kπ ; + kπ roste v + kπ ; + kπ π π π π klesá v + kπ ; + kπ, klesá v + kπ ; + kπ, X = [ k π ; 0] X = [ π + kπ ; 0] Y = [0; 0] Y = [0; ] b) y = cos x, y = cos x + H = ; roste v ( π + kπ ;π + kπ roste v ( π + kπ ;π + kπ klesá v ( 0 + kπ ; π + kπ klesá v ( 0 + kπ ; π + kπ X = + kπ ;0] Y = [0; ] Y = [0; ] c) y = sin x, y = sin x/ --

4 roste v klesá π π + kπ ; + kπ 6 6 π π + kπ ; + kπ, kπ ;0, Z X = [ ] k X = [ 0 kπ;0] Y = [0; 0] Y = [0; 0] π π π π roste v ( + k ; + k π π π π klesá v ( + k ; + k + d) y = cos x e) y = sin(x- /) H = ; π roste v + kπ ;0 + kπ ) roste v ( 0 + kπ ; π + kπ π klesá v ( 0 + k ; + kπ, π + kπ;0 + kπ, k X = + kπ ;0] X = + kπ ;0] π klesá v ( ) Z Y = [0; ] Y = [-; 0] f) y = cos(x+ /) ) a) y = tg x roste v klesá v π π + kπ ; + kπ, π π + kπ ; + kπ 0 + kπ ;0, Z X = [ ] roste v neklesá k X = [ 0 kπ;0] Y = [0; 0] Y = [0; 0] π π + kπ ; + kπ + --

5 b) y = cotg x c) y = tg x π π π π, neroste roste v + k ; + k 0 π π π neklesá klesá v ( + k ; + k X = + kπ ;0], Z + k X = [ 0 kπ ;0] Y = [0; 0] neroste d) y = cotg x e) y = tg(x- /) π π π, 8 8 π 0 + kπ ; + kπ, neklesá + kπ ;0 X = π;0] 6 + k 8 neroste roste v + k ; + k klesá v ( X = ] f) y = cotg(x/+ /) Y = [0; -] -5-

6 Neroste π π π π klesá v ( + k ; + k X = [ 0 + kπ;0] Y = [0; 0] ) a) Úhly ve převeďte na radiány (pomocí π): 60, 70, -90, -0, 5 Vyznačte na jednotkové kružnici! π π π π π 60 = ; 70 = ; -90 = - ; -0 = - ; 5 = c) Úhly v radiánech převeďte na. Vyznačte na jednotkové kružnici. / = 60 ; / = 5 ; = 70 ; -7 = -60 ; / = 90 ; - / = -80 ; 7 /6 = 0 ) Vypočtěte bez kalkulačky (úhel vyjádřete pomocí základního úhlu є (0; ) a periody): sin(5 /6) = ; cos(-70 ) = 0; tg(-7 /) = ; cotg(5 /) = - 5) Která z čísel: ; -; 0,8; /; -,; 0,9 lze považovat za hodnotu funkce a) y = sin x b) y = cos x c) y = tg x d) y = cotg x -6-

7 5) a),8; ;0,9 0 b) ; ;0,8; ;,;0, 9,8; ;0,9 0 c) ; ;0,8; ;,;0, 9 d) 6) Na jednotkové kružnici vyznačte orientované úhly, které splňují vztahy: a) sin x = -0,7 b) cos x = 0, c*) tg x = - Nepočítejte úhly! Vyznačte přibližnou polohu koncového bodu ramene. a) sin x = -0,7 b) cos x = 0, c*) tg x = - 7) Určete všechna řešení (včetně periody) rovnic: c) řešení napište ve stupních d) řešení napište v radiánech sin x = /; sin x = - /; cos x = - /; cos x = -; sin x = 0; cos x = 0; sin x = - tg x = ; cotg x = -; cotg x = /; tg x = - /; tg x = ; cotg x = - 7) a) sin x = / x = 0 + k 60, x = 50 + k 60 ; sin x = - / x = k 60, x = 0 + k 60 ; cos x = - / x = 5 + k 60, x = -5 + k 60 ; cos x = - x = 80 + k 60 ; sin x = 0 x = 0 + k 80 ; cos x = 0 x = 90 + k 80 ; sin x = - x = 70 + k 60 ; tg x = x = 5 + k 80 ; cotg x = - x = -5 + k 80 ; cotg x = / x = 60 + k 80 ; tg x = - / x = -0 + k 80 ; tg x = x = 60 + k 80 ; cotg x = - x = -0 + k 80 ; b) sin x = / x = 6 π + k π, x = sin x = - / x = cos x = - / x = 5π + k π, x = π + k π, x = cos x = - x = π + k π; sin x = 0 x = k π; cos x = 0 x = π + k π; sin x = - x = π + k π; tg x = x = π + k π; 5π + k π; 6 π + k π; π + k π; -7-

8 cotg x = - x = π + k π; cotg x = / x = π + k π; tg x = - / x = π + k π; 6 tg x = x = π + k π; cotg x = - x = π + k π 6 8) Napište všechna řešení rovnic ( ): a) sin x = ; b) sin(x /) = -/; c) cos(x/ + /) = /; d) tg x = /; e) cotg(x - /) = 8) a) π/ + kπ ; b) π/6 + kπ; 5π/6 + kπ ; c) -π/6 + kπ; -5π/6 + kπ ; d) 9 + k 90 ; e) k 5 ; 9) Napište všechna řešení rovnic ( ): a) - cos x _ b) tg x + _ + cos x tg x 9) a) 60 + k 60 ; 00 + k 60 ; b) 7 + k 80 0) Napište všechna řešení rovnic: d) 6cos x + sin x 5 = 0 e) cos x + /cos x = f) tg x = cotg x d) sin x + sin x cos x = 0 e) tg x = (sin x cos x) a) { k 60 ; k 60,0 + k 60,50 + k 60 }; b) { k 60 }; c) {7 + k 80 ; -5 + k 80 }; d){ k 80 ; k 80 }; e){0 + k 60 ; -0 + k 60,5 + k 80 }; ) Bez užití kalkulačky vypočtěte hodnoty ostatních goniometrických funkcí a : c) sin = 0,6 ; є ( /; ) cos = -0,8, tg = -/, cotg = -/; d) tg = 0, ; є ( ; /) sin = ) Zjednodušte; určete podmínky pro x : c) sin x + cos x + tg x = + tg x = 09 d) - sin x + cotg x sin x = cos x; x π c) + sin x cosx = + sin x sin x, x ) Řešte ABC: e) a = 0cm; β = 8 0 ; γ = 50 0 f) a = 7cm; b = cm; γ = 8 g) a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm h) a = 0cm; b = 80cm; = 50 ) a) α = 8 0, b = 7,5 cm, c = 7,876 cm b) α =09, β = 7, c =,5685 cm c) α = 5 58, β = 59 7, γ = 66 5 d) = 0 = 99 7, c = 5,6 cm β, γ -8-0, cos =, cotg = 0/ 09 π ; x + kπ cos x k π π + k