MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206
Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni Příkla. Mnohorozměrné normální rozělení Necht X = X,..., T je náhoný výběr z mnohorozměrného normálního rozělení N n µ, Σ. i Najěte rozělení náhoné veličiny Y = i= i X i. ii Najěte rozělení náhoné veličiny Y = X i µ i 2 /σi 2, ke σ2 i Σ. iii Za jakýcho otačných přepoklaů má náhoná veličina Z = i= n stupních volnosti? je i-tý iagonální prvek matice X i µ i 2 σ 2 i rozělení χ 2 o 2 Limitní věty Příkla 2. Konvergence normálního rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina s normálním rozělením Nµ, σ 2 n, ke σ n > 0. Dále přepokláejte, že σ n n σ. i Dokažte, že poku σ > 0, potom Nµ, n σ2. ii Dokažte, že poku σ = 0, potom δ µ, ke δ µ je Diracova míra v boě µ. n Příkla 3. Konvergence Stuentova rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina se Stuentovým t-rozělení o n stupních volnosti. Dokažte, že N0,. n Příkla 4. Konvergence Fisherova F -rozělení Necht pro kažé n N je náhoná veličina s Fisherovým F -rozělením o m a n stupních volnosti. Dokažte, že pro n posloupnost náhoných veličin Y n = m konverguje v istribuci k náhoné veličině Y se χ 2 -rozělením o m stupních volnosti. 2
Příkla 5. Poissonovo rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Porobně okažte, že n lim P Xn λ u α/2 u α/2 = α, n Xn ke = n i= X i a u β je β-kvantil normovaného normálního rozělení. Příkla 6. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení násleujícího ohau parametru p aného přepisem p n = + n i= X. i Příkla 7. Maximálně věrohoný a momentový oha v Paretově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení s hustotou { p, x, fx = xp+ 0, jinak. i Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení maximálně věrohoného ohau parametru p aného přepisem n p n = i= logx i. ii Dokažte konzistenci a ovo te asymptotické rozělení momentového ohau parametru p aného přepisem i= p n = X i i= X i n. Příkla 8. Oha rozptylu v alternativním rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Ovo te asymptotické rozělení ohau rozptylu. 3
Příkla 9. Transformace průměru Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení s nulovou stření honotou a konečným nenulovým rozptylem σ 2. i Ovo te asymptotické rozělení náhoné veličiny exp { X 3 n}. Příkla 0. Poíl průměrů Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ X s hustotou { λ X e λ X x, x 0, fx = 0, jinak. a Y,..., Y n je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ Y. Přepokláejte, že oba náhoné výběry jsou na sobě nezávislé. i Najěte asymptotické rozělení ohau poměru střeních honot aného přepisem Y n, ke a Y n jsou příslušné výběrové průměry. Příkla. Momentové ohay v gamma rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z gama rozělení Γa, p, tj. a p fx = Γp xp e a x, x 0, 0, jinak. i Najěte sružené asymptotické rozělení ohau T Xn ân, p n = Sn 2, 2 T Xn, ke, a S 2 n jsou výběrový průměr a výběrový rozptyl. Návo. Využijte věty z přenášky o sružené asymptotické normalitě, Sn 2 T a ále pak toho, že pro gama rozělení platí EX = p a, varx = p a, γ 3 = 2 p a γ 4 = 6 p + 3. S 2 n 4
3 Boové ohay Příkla 2. Nesmyslný nestranný oha pomíněné Poissonovo rozělení Necht X je iskrétní náhoná veličina s rozělením λ k e λ PX = k = e λ, k =, 2, 3,... k! i Dokažte, že T X = + X je nestranný oha parametru θ X = e λ. ii Dokažte, že T X = + X je jeiný nestranný oha parametru θ X = e λ. Příkla 3. Nesmyslný nestranný oha geometrické rozělení Necht X je iskrétní náhoná veličina s geometrickým rozělením, tj. PX = k = p k p k = 0,, 2,... i Ověřte, že T X = X je nestranný oha parametrické funkce užitečností takového ohau. p 2 p. Zamyslete se na Příkla 4. Neexistuje nestranný oha binomické rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z binomického rozělení Bim, p, tj. m PX = k = p k p m k k = 0,,..., m. k i Ukažte, že p n = n m i= X i je nestranný oha parametru p. ii Ukažte, že neexistuje nestranný oha parametru θ X =. p p Příkla 5. Oha rozptylu v alternativním rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Rozhoněte, za je oha X X 2 nestranný a konzistentní oha parametru θ X = p p. ii Rozhoněte, za je oha nestranný a konzistentní oha parametru θ X = p p. 5
Příkla 6. Oha parametru λ v Poissonově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Dokažte, že λ n = n i= X i a λ n = n i= Xi 2 jsou nestranné a konzistentní ohay parametru λ. ii Který z ohaů λ n, λ n byste spíše oporučili a proč? Návo. Ve ii porovnejte asymptotické rozptyly. Můžete využít toho, že špičatost γ 4 Poissonova rozělení je λ + 3. Příkla 7. Oha pravěpoobnosti PX = 0 v Poissonově rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. Uvažujte parametr θ X = PX = 0 = e λ. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Rozhoněte, za je oha θ n = e Xn nestranný a konzistentní oha parametru θ X. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. ii Rozhoněte, za je oha θ n = n i= I{X i = 0} nestranný a konzistentní oha parametru θ X. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. iii Porovnejte ohay θ n a θ n na záklaě jejich střeních čtvercových chyb. iv Porovnejte ohay θ n a θ n na záklaě jejich asymptotických rozptylů. Příkla 8. Normální rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z normálního rozělení s hustotou fx = 2πσ 2 exp { x µ2 2 σ 2 }, x R. i Rozhoněte, za σ n 2 = n i= X i 2 je konzistentní a nestranný oha parametru σ 2. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. ii Rozhoněte, za S n = n n i= X i 2 je konzistentní a nestranný oha parametru θ X = σ. Poku není nestranný, spočítejte jeho vychýlení. iii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau S n. 6
Příkla 9. Oha parametru exponenciálního rozělení při různé parametrizaci Mějme náhoný výběr X,..., z exponenciálního rozělení Expλ, tj. X i má hustotu { λ e λx, x 0,, f X x = 0, jinak, ke λ > 0 je neznámé. i Rozhoněte, za λ n = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru λ. ii Rozhoněte, za θ n = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru θ X = λ. Příkla 20. Oha θ v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0, θ s hustotou fx = θ, 0 < x < θ, 0, jinak, ke θ > 0. i Rozhoněte, za θ n = max i n X i je nestranný a konzistentní oha parametru θ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau θ n. iii Rozhoněte, za θ n = 2 je nestranný a konzistentní oha parametru θ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. iv Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau θ n. v Kterému z ohaů θ n, θ n byste ali přenost? Příkla 2. Oha posunutí exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z rozělení { λ e λx δ, x δ,, f X x = 0, jinak, ke δ R a λ > 0. i Rozhoněte, za δ n = min i n X i je nestranný a konzistentní oha parametru δ. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau δ n. iii Rozhoněte, za oha δ n = max i n X i je konzistentní oha parametru δ. iv Rozhoněte, za oha = n i= X i je nestranný a konzistentní oha parametru δ. 7
Příkla 22. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Rozhoněte, za ˇp n = I{X = 0} je nestranný a konzistentní oha parametru p. ii Rozhoněte, za p n = n i= I{X i = 0} je nestranný a konzistentní oha parametru p. n+ iii Rozhoněte, za p n = n+ i= X je konzistentní oha parametru p. i Příkla 23. Oha parametrů a, b v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení Ra, b s hustotou fx = b, a b 2 < x < a + b 2, 0, jinak, ke a < b. Označme X = min i n X i a = max i n X i. i Rozhoněte, za â n = X + 2 je nestranný a konzistentní oha parametru a. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. ii Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau â n. iii Rozhoněte, za b n = X je nestranný a konzistentní oha parametru b. Poku není, spočtěte jeho vychýlení. iv Spočtěte stření čtvercovou chybu ohau b n. Návo. Uvěomte si, že náhoný výběr X,..., můžeme vyrobit pomocí lineární transformace jako X i = a + b Y i 2, i =,..., n, ke Y,..., Y n je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0,. Sružená hustota náhoného vektoru Y, Y n pak je f Y,Y n y, y 2 = nn y 2 y n 2 I { 0 < y < y 2 < }. Příkla 24. Korelační koeficient Necht X, Y T,...,, Y n T je náhoný výběr z vourozměrného rozělení s regulární varianční i= maticí. Dokažte, že oha ρ n = X i Y i Y n i= X i 2 je konzistentním ohaem korelačního n i= Y i Y n 2 koeficientu ρ = covx,y. varx vary 8
4 Intervalové ohay intervaly spolehlivosti Přepokláejme, že chceme zkonstruovat intervalový oha pro parametr θ, přičemž máme oha θ n tohoto parametru, pro který platí θn θ X ke σ 2 je funkce spojitá ve skutečné honotě parametru θ X. Interval spolehlivosti Walova typu n N 0, σ 2 θ X, Tento interval spolehlivosti je založen na tom, že íky a Cramérově-Sluckého větě ostáváme θn θ X N 0,. Tuíž σ θ n n lim P u α/2 n θn θ X u n σ θ α/2 = α, n a tey θn u α/2 σ θ n, θ n + u α/2 σ θ n je intervalový oha parametru θ X o asymptotické spolehlivosti α. 2 Interval spolehlivosti Wilsonova typu Tento interval vychází z toho, že íky máme Otu ostáváme, že pro množinu lim P u α/2 n θn θ X n σθ X u α/2 = α. B n = { θ : θn θ } u σθ α/2 3 platí, že P B n θ X = α. Zpravila je Bn interval, tuíž se s trochou nepřesnosti o ní mluví jako o intervalu spolehlivosti. Ukazuje se, že pro konečné rozsahy výběrů je skutečné pokrytí intervalu 3 zpravila blíže přeepsané hlaině α než pro interval spolehlivosti 2. Na ruhou stranu interval spolehlivosti 3 je obecně zaán pouze implicitně a a jeho sestavení může být numericky výrazně náročnější. Interval spolehlivosti založený na transformace stabilizující asymptotický rozptyl Uvažujme transformaci g takovou, že funkce [g θ] 2 σ 2 θ již nezávisí na θ. Bez újmy na obecnosti necht [g θ] 2 σ 2 θ =. Potom pomocí a -metoy ostáváme, že g θ n gθ N 0,. Tuíž g θ n u α/2, g θ n + u α/2 je intervalový oha pro gθ a n g g θn u α/2, g g θn + u α/2 4 je intervalový oha parametru θ o asymptotické spolehlivosti α. Ukazuje se, že pro konečné rozsahy výběrů je skutečné pokrytí intervalu 4 zpravila blíže přeepsané hlaině α než pro interval spolehlivosti 2, i kyž ne tak blízko jako pro interval 3. Výhoou intervalového ohau 4 oproti 3 však je, že poku umíme invertovat funkci g, tak ostáváme 9
explicitní přepis. Navíc transformace stabilizující asymptotický rozptyl je zpravila vhonější pro jenostranné intervalové ohay. Příkla 25. Poissonovo rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z Poissonova rozělení, tj. PX = k = e λ λ k, k = 0,,... k! i Najěte asymptotické rozělení a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a levostranný intervalový oha o asymptotické spolehlivosti α. ii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl a pomocí této transformace sestavte oboustranný a pravostranný intervalový oha o asymptotické spolehlivosti α. Příkla 26. Alternativní rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z alternativního rozělení, tj. PX = j = p j p j, j {0, }. i Najěte asymptotické rozělení a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a pravostranný interval spolehlivosti. ii Najěte asymptotické rozělení arcsin Xn a pomocí tohoto rozělení sestavte oboustranný a levostranný interval spolehlivosti. Příkla 27. Oha parametru exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z exponenciálního rozělení Expλ, tj. X i má hustotu { λ e λx, x 0,, f X x = 0, jinak, ke λ > 0. i Najěte asymptotické rozělení výběrového průměru a pomocí tohoto rozělení sestavte intervalový oha pro parametr λ. ii Najěte asymptotické rozělení ohau parametru λ aného přepisem λ n = a pomocí tohoto rozělení sestavte intervalový oha pro parametr λ. iii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl náhoné veličiny a pomocí této transformace sestavte intervalový oha pro parametr λ. 0
Příkla 28. Oha parametru p v geometrickém rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z geometrického rozělení, tj. PX = k = p p k, k = 0,, 2,... i Najěte asymptotické rozělení ohau p n = + a na záklaě tohoto rozělení ovo te interval spolehlivosti Walova typu. ii Najěte asymptotické rozělení ohau p n = n i= I{X i = 0} a na záklaě tohoto rozělení ovo te interval spolehlivosti Walova typu. iii Který z intervalů spolehlivosti ovozených v i a ii byste si vybrali a proč? Příkla 29. Poíl průměrů Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ X s hustotou { λ X e λ X x, x 0, fx = 0, jinak, a Y,..., Y n je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ Y. Přepokláejte, že oba náhoné výběry jsou na sobě nezávislé. i S využitím asymptotického rozělení Y n sestavte oboustranný intervalový oha pro λ X λy. ii Najěte asymptotické rozělení náhoné veličiny log Y n a využijte této znalosti ke konstrukci oboustranného intervalového ohau pro λ X λy. Příkla 30. Korelační koeficient Necht X, Y T,...,, Y n T je náhoný výběr z vourozměrného normálního rozělení s regulární i= varianční maticí a korelačním koeficientem ρ. Označme ρ n = X i Y i Y n i= X i 2 oha n i= Y i Y n 2 korelačního koeficientu. Potom se á pomocí -metoy okázat, že ρn ρ n N 0, ρ 2 2. i Pro parametr ρ sestavte intervalový oha Walova typu. ii Pro parametr ρ sestavte intervalový oha Wilsonova typu. iii Najěte transformaci, která stabilizuje asymptotický rozptyl ohau korelačního koeficientu ρ n a pomocí této transformace sestavte intervalový oha pro parametr ρ.
Příkla 3. Oha θ v rovnoměrném rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z rovnoměrného rozělení R0, θ s hustotou fx = θ, 0 < x < θ, 0, jinak, ke θ > 0. i Na záklaě výběrového maxima = max i n X i najěte intervalový oha pro parametr θ. ii Sestavte oboustranný a levostranný intervalový oha na záklaě asymptotického rozělení výběrového průměru a porovnejte s intervalovým ohaem z i. Návo. V i využijte toho, že θ neznámých parametrech. je pivotální statistika tj. statistika jejíž rozělení nezávisí na Příkla 32. Oha posunutí exponenciálního rozělení Mějme náhoný výběr X,..., z rozělení { λ e λx δ, x δ,, f X x = 0, jinak, ke δ R je neznámý parametr a λ > 0 je známá konstanta. i Ověřte, že Z n = min i n X i δ je pivotální statistika. ii Pomocí Z n najěte oboustranný intervalový oha pro parametr δ. 2
5 Empirické ohay Příkla 33. Ohay istribuční funkce exponenciálního rozělení Necht X,..., je náhoný výběr z exponenciálního rozělení Expλ s hustotou { λ e λ x, x 0, fx = 0, jinak. Naším cílem je ohanout honotu istribuční funkce v nějakém aném boě y, tj. θ X = e λ y. Uvažujte násleující va ohay θ n = n I{X i y} θn = e λ n y, ke λn =. n i= Který z ohaů se Vám za vhonější a proč? Příkla 34. Poroní hmotnost chlapců V násleující tabulce jsou zachyceny poroní hmotnosti chlapců narozených v aném roce v aném regionu. Hmotnost [kg].5, 2.0] 2.0, 2.5] 2.5, 3.0] 3.0, 3.5] 3.5, 4.0] 4.0, 4.5] 4.5, 5.0] 5.0, 5.5] Počet 4 0 769 904 65 369 37 3 4 838 i Boově i intervalově ohaněte o kolik je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 4 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně. ii Boově i intervalově ohaněte, kolikrát je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 4 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně. iii Boově i intervalově ohaněte, o kolik je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností větší než 4 kg. iv Boově i intervalově ohaněte, kolikrát je větší pravěpoobnost, že se naroí chlapec s hmotností o 3 kg včetně než pravěpoobnost že se naroí chlapec s hmotností větší než 4 kg. Příkla 35. Asymptotické rozělení třetího centrálního momentu Necht X,..., je náhoný výběr. i Najěte asymptotické rozělení třetího centrálního momentu µ 3 = n i= X i 3. ii Na záklaě znalosti z i sestavte intervalový oha pro µ 3. iii Najěte asymptotické rozělení třetího centrálního momentu µ 3 za přepoklau, že X i má normální rozělení Nµ, σ 2. Návo. Všimněte si, že v i můžete bez újmy na obecnosti přepokláat, že EX = 0. 3
Příkla 36. Asymptotické rozělení empirického ohau šikmosti Necht X,..., je náhoný výběr z normálního rozělení Nµ, σ 2. i Najěte asymptotické rozělení empirického ohau šikmosti γ 3 = n i= X i 3 n i= X i 2 3/2. ii Zkuste promyslet, jak by se informace z i ala využít k testování normality tj. testování, že náhoný výběr pochází z normálního rozělení. Návo. Všimněte si, že v i můžete bez újmy na obecnosti přepokláat, že µ = 0 a σ 2 =. Příkla 37. Empirický kvantil Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení se spojitou istribuční funkcí F X. Necht u X β je β-kvantilem rozělení F X a û n α je empirický výběrový α-kvantil. i Pro α = 0.25, β = 0.30 a n = 00 spočtěte přibližně pravěpoobnost P û n α > u X β. ii Jaká bue pravěpoobnost z i pro n = 000? Příkla 38. Intervalový oha pro meián Necht X,..., je náhoný výběr z rozělení se spojitou istribuční funkcí F X. Označme m meián rozělení F X. Najěte největší možné přirozené číslo k a nejmenší možné přirozené číslo k 2 takové, že P X k > m α 2, P X k2 < m α 2. Ukažte, že X k, X k2 je intervalový oha pro m se spolehlivostí alespoň α. 4
6 Testování hypotéz Příkla 39. P-honota oboustranného testu Necht náhoná veličina U má rovnoměrné rozělení na intervalu 0,. Dokažte, že potom také náhoná veličina V = 2 minu, U má rovnoměrné rozělení na 0,. 5
7 Výsleky některých příklaů Příkla 6 i p n p Příkla 7 i p n p ii p n p Příkla 8 n N 0, p 2 p. n N 0, p 2. n N 0, pp 3 p 2 i p p Příkla 9. n p = 2 ostáváme p p i exp { X 3 n Příkla 0 i Y n λ X λy Příkla } N 0, σ 2 n n N 0, 2 λ2 X λ. 2 Y N 0, 2p 2 p p pro p 2. Všimněte si, že pro P n 0. i ] [ân a 0 n p n p N 2, V, ke V = D Σ D T, přičemž n 0 Příkla 8 D = a 2 p, i n 2 n Γ ii biass n = σ 2 Γ n 2 a2 p 2a, a 2 a Σ = p a 2, 2p 2p a 3, a 3 p 2 a 4 6 p + 2. 6
Příkla 23 i Oha â n je nestranný a konzistentní oha parametru a. ii MSEâ n = varâ n = b 2 2n+2n+. iii Oha b n není nestranný, ale je konzistentní oha parametru b. iv MSE b n = var b n + [ E b n b ] 2 = b 2 n 2n+2n+ 2 + Příkla 25 i Oboustranný interval Walova typu X n u α/2 interval by byl u α n, b2 3 b = 2 n+ 2 2n+2n+. Oboustranný interval Wilsonova typu + u2 u α/2 2 n X 2 α/2 n n + u4 α/2, X 4 n 2 n + u2 α/2 2 n + + u2 α 2 n u X 2 α n n Levostranný interval by byl ii u α/2 + u2 α/2 4 n, + u α/2 + u2 α 4 n + u2 α/2 4 n + u4 α, + u α/2. Levostranný,. 4 n 2 u 2 α/2 n + u4 α/2 4 n 2., přičemž levou stranu intervalu spolehlivosti nahraíme nulou, poku < u2 α/2 4 n 0,. Pravostranný interval by byl + u α n, Příkla 27 i Interval Walova typu Interval Wilsonova typu ii Interval Walova typu Interval Wilsonova typu iii, + u, α/2 n u α/2 u α/2, + u α/2 u α/2, exp n exp u α/2, + u α/2, u α/2,, + u, α/2 n u α/2 Příkla 33 Poíl asymptotických rozptylů je avar θ n avar θ n = eλ y λ y 2 >. 7
Příkla 34 i Boový oha je přibližně 0.735. Intervalový oha se spolehlivostí 0.95 je přibližně 0.722, 0.747. ii Boový oha je přibližně 5.07. Intervalový oha se spolehlivostí 0.95 je přibližně 4.7, 5.42. Příkla 35 i µ 3 µ 3 N0, n v2, ke v 2 = µ 6 µ 2 3 6 µ 2 µ 4 + 9 µ 3 2 iii n µ 3 N0, 6 n σ6 Příkla 36 i γ 3 N0, 6 n 8