Nelineárn rní analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoa konečných prvků 3 - nelineární úlohy Petr Kabele petr.kabele@sv.cvut.cz people.sv.cvut.cz/~pkabele 1
MKP metoy řešení nelineárních úloh Diskretizovaný slabý tvar říících rovnic pro lineární úlohu: K = Můžeme také zapsat jako: =... vektor uzlových sil o zatížení povrchovými a objemovými silami... vektor uzlových sil ekvivalentních napětí působícímu v prvcích ( ) Je-li úloha materiálově a/nebo geometricky nelineární, pak vztah mezi globálními vektory uzlových sil a uzlových posunů je nelineární: ( ) = 2
MKP metoy řešení nelineárních úloh Úlohu pak řešíme po časových (zatěžovacích) krocích (přírůstcích, inkrementech). Přepokláejme, že řešení v kroku t je známo, např. z přechozího výpočtu. = ( ) Po inkrementální změně zatížení: ( ) + = + + Rozvoj o řay: ( + ) ( ) ( + ) = ( ) + + O ( 2 ) K ( )... tečná matice tuhosti 3
Vektor + můžeme považovat za zaaný (přeepsané zatížení). Vektor je třeba spočítat tak, aby byly splněny (aspoň přibližně) říící rovnice ( ) + = + Vzhleem k tomu, že závislost na je nelineární, nelze obecně nalézt inverzní operátor k analyticky. Pro řešení těchto rovnic pak můžeme použít např. násleující přibližné metoy: A. přírůstkové řešení bez iterací (Eulerova metoa) B. iterativní řešení založené na metoě Newton-Raphson C. alší iterativní metoy, např. BFGS (Broyen-Fletcher-Golarb-Shanno) 4
Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 1) ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) 5
Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 2) ( 1) nejjenoušší přístup ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = = +, ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) 6
Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 2) ( 1) vylepšení: ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = ( 2) ( 1) ( 2) = + ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) 7
( 3) ( 2) ( 1) Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) vylepšení: ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) ( 3) K = ( 2) ( 1) ( 2) = + chyba se může akumulovat a zvětšovat!! ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) 8
Newton-Raphsonova metoa aný přírůstek zatížení ( n 1) neznámý přírůstek posunů ( ( n ) ) ( ) ( ) = n n ( n 1) 9
Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n 1 ) ( n,1) ( n ) ( n 1 ) ( n,1) K δ = δ ( n 1 ) = + δ δ ( n 1) 10
Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n 1 ) ( n,1) ( n ) ( n 1 ) ( n,1) K δ = δ ( n 1 ) = + δ δ ( n 1) 11
Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n,1) ( n,2) ( n ) ( n,1) ( n,2) K δ = δ ( n,2 ) ( n,1 ) ( n,2) = + δ δ ( n,2) ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) 12
Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) ( n,1) ( n,2) ( n ) ( n,1) ( n,2) K δ = δ ( n,2 ) ( n,1 ) ( n,2) = + δ δ ( n,2) ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) 13
Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) δ ( n,2) ( n,3) ( n ) ( n,2) ( n,3) K δ = δ ( n,3) ( n,2) ( n,2) δ ( n,3 ) ( n,2 ) ( n,3) = + δ ( n 1) ( n,2) ( n,3) 14
Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) ( n, i) ( n,3) ( n,2) as i δ ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) ( n,3) 15
áno: hleáme: splňující: ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( ), 1,2,3,... = n = Newton-Raphson iterace ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... tangenciální matice tuhosti se aktualizuje v kažé iteraci 16
Moiikovaná Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n,3) ( n,2) ( n, i) pro i δ ( n,2) δ ( n 1) ( n,3) 17
áno: hleáme: splňující: ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( ), 1,2,3,... = n = Newton-Raphson iterace ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... moiikovaná Newton-Raphson iterace ( n,0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... 18
Iterativní metoy Newton-Raphson ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ moiikovaná Newton-Raphson ( n,0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ matice tuhosti aktualizována v kažé iteraci i = 1,2,3,... (obyčejně rychlá konvergence, iterace početně náročné) matice tuhosti aktualizována v kažém kroku i(obyčejně = 1,2,3,... konvergence pomalejší, iterace početně méně náročné) metoa počáteční tuhosti (initial stiness metho) ( 0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = matice tuhosti není aktualizována i = 1,2,3,... ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) (pomalá konvergence, = + δ ormulace a ekompozice m.t. pouze jenou) 19
Konvergenční kritéria ria U iteračních meto je třeba stanovit kritéria pro ukončení iteračních cyklů einují pomínky, za jakých můžeme považovat přibližné řešení za ostatečně blízké k rovnovážnému stavu. A. Kritérium rium přírůstku přem emíst stění konvergenční tolerance (~0,01)... norma vektoru přírůstku přemístění během iterace je ostatečně malá ve srovnání s normou vektoru celkového přemístění na konci iterace 20
B. Kritérium rium nevyrovnaných sil (reziuí) konvergenční tolerance (~0,01)... norma vektoru reziuí v iteraci je ostatečně malá ve srovnání se normou zaaného přírůstku zatížení 21
C. Energetické kritérium rium konvergenční tolerance (~0,01)... práce nevyvážených sil (reziuí) na přírůstku přemístění v iteraci je ostatečně malá ve srovnání s počátečním přírůstkem vnitřní energie 22
Poznámky: Uveená kritéria jsou relativní. Absolutní kritéria ria lze einovat tak, že srovnávací honota ve jmenovateli je pevně zvolena. Maximální počet iterací je navíc omezen uživatelem. Poku nejsou zvolená konvergenční kritéria splněna ani při maximálním počtu iterací, řešení nezkonvergovalo. 23
Volba metoy přírůstkov stkového řešen ení výpočtová náročnost/iterace (nejmenší největší): bez iterací MNR BFGS NR počet iterací k osažení konvergence (nejmenší největší): NR BFGS MNR použití metoy bez iterací menší přesnost, nutnost malých kroků použití vyhleávání po linii zvyšuje výpočetní náročnost ale pomáhá osáhnout konvergence i při silné nelinearitě a snižuje počet iterací při slabé nelinearitě Volba konvergenčního kritéria ria vhoné tolerance: příliš volné nepřesné řešení, riziko ivergence příliš přísné zbytečná výpočtová náročnost, alešná ivergence obyčejně kolem 1% volba kritéria (přemístění, reziua, energetické) obyčejně postačuje energetické kritérium, existují přípay, ky je příliš volné nutno vzít v úvahu iterační metou, élku kroku a chování moelu 24
Příkla 3: Uvažujte zobrazený prut při jenoosé napjatosti. Určete posun u při zatížení F = 3,5 MN. Materiál prutu je nelineárně elastický a jeho chování lze popsat unkcí [MPa] A) Úlohu vyřešte analyticky. Víme-li, že pro F = 3 MN je u = 1,29 mm, pak B) vyřešte úlohu 1 krokem Eulerovy metoy bez iterací. C) vyřešte úlohu 1 krokem moiikované NR metoy. Proveďte 3 iterace. D) vyřešte úlohu 1 krokem plné NR metoy. Proveďte 3 iterace. V přípaech B)~D) určete chybu výsleku třetí iterace pole kritéria přírůstku přemístění, kritéria nevyrovnaných sil a kritéria energetického. Dále určete o kolik se liší vypočtený posun o analytického řešení. Postup oplňte obrázky. F u 1 m x 0,3 m 0,3 m 25
Příkla 4: Uvažujte soustavu 2 nelineárních algebraických rovnic: ( ) = (*), ke 1 =, ( ) 2 1 3 1 + 2 = 2 3 3 1 + 2 a) Určete ( ) ( 1) ( 1) = pro 1 1.5 = 2 pro přibližné řešení násleující úlohy. ( ) a použijte ( 1) ( 1), jako počáteční stav Nalezněte řešení proveete 1 krok: b) opřeené Eulerovy metoy; ( 2) nelineární soustavy (*) pro c) moiikované Newton-Raphsonovy metoy se 3 iteracemi; ) plné Newton-Raphsonovy metoy se 3 iteracemi. ( 2) ( ( 2) ) 2.47229 = tak, že 6.34836 e) Pro kažý z příklaů b)-) spočtěte vektor konečných reziuí r (nevyvážených sil) a jeho normu a porovnejte přesnost jenotlivých meto. 26
Praktické ray pro používání MKP- obecně Ujasníme si, jaký obecný výsleek o analýzy očekáváme (např. obecnou inormaci o eormaci rozsáhlé konstrukce, preikci šíření trhliny o ostrého etailu ap.). Uvážíme možná zjenoušení, reukci imenze (rovina), rozělení konstrukce na části působící samostatně. Zvolíme vhoné kinematické přepoklay (příhraa, prut, rovinná napjatost/eormace, osová symetrie, eska, skořepina, 3-D kontinuum). Bereme v úvahu složitost vlastního moelu, čas řešení, zpracování a vizualizaci výsleků. U složitých úloh může být výhoné kombinovat různé kinematické přepoklay pro různé části konstrukce (např. prut + rovinná napjatost). Pozor, musí se zajistit kompatibilita různých stupňů volnosti. Uěláme si empirický/zjenoušený oha přepokláaného výsleku. Ohaneme místa koncentrace eormace a místa, ke bue eormace rovnoměrnější - použijeme hustší síť či prvky vyššího stupně v místech většího graientu. 27
Proveeme zkušební výpočet s řiší sítí - ientiikujte místa koncentrace eormace. Zjemníme síť konečných prvků a proveeme konečný výpočet. Po kažém výpočtu: vizuálně zkontrolujeme přemístění (zvětšené) kontrola poepření, orientace zatížení ap. vizuálně zkontrolujeme pole eormace/napětí ochází-li ke koncentraci, má to tak být nebo je to ůsleek nevhoně zaveeného zatížení (osamělé břemeno), poepření (boová popora), zjenoušení geometrie (ostré rohy), ap.? zkontrolujeme, za napjatost opovíá přeepsanému zatížení zkontrolujeme, za nevznikly nežáoucí iskontinuity např. v ůsleku nevhoně proveené iskretizace 28
Napříkla: 29
Praktické ray pro nelineárn rní analýzu 1. Provést elastický převýpo evýpočet et výpočet v jenom kroku s malým zatížením (tak, aby materiál zůstal elastický) vizuálně zkontrolujeme přemístění (zvětšené) a pole eormace/napětí ientiikujeme velikost maximálního napětí, které v konstrukci vzniká 30
2. Volba velikosti zatěž ěžovac ovacího kroku první krok (elastický): maximální napětí z 1. porovnáme s kritériem pro nelineární chování (např. pomínkou plasticity) vypočteme aktor zatížení z 1. tak, aby napjatost v nejnamáhanějším boě byla těsně pře počátkem nelineárního chování zásaa: čím větší nelinearita, tím menší krok poku nemáme přestavu o nelineárním chování konstrukce, proveeme hrubý výpočet bez iterací s hrubým krokováním ientiikujeme zatížení, ky se nelinearita zvětšuje/zmenšuje příliš jemné krokování louhý výpočet, obrovské množství vypočtených at (nesnané zpracování) 31
2. Co ělat, kyž řešení nekonverguje? vžy se snažit najít yzickou postatu, proč řešení nekonverguje!! lineárně elastický výpočet: zkontrolovat poepření (není kinematicky neurčité? není výjimkový přípa?) zkontrolovat přítomnost nepoepřených uzlů/stupňů volnosti zkontrolovat, za konstrukce netvoří mechanismus nelineární výpočet: nebyla překročena únosnost konstrukce? neošlo k náhlé změně tuhosti konstrukce (i lokálně)? 32
nelineární výpočet (pokračování): neochází k rémnímu lokálnímu namáhání v ůsleku nevhoně zaveených okrajových pomínek (zatížení osamělou silou, boová popora ap.)? neošlo ke vzniku plastického mechanismu, utržení části konstrukce? 33
opatření: eliminovat yzikálně nepřípustný stav (snížit zatížení, boové zatížení a popory roznést ap.) zmenšit élku kroku použít plnou NR metou s vyhleáváním po linii změnit způsob zatěžování: řízené silou řízené posunem použít automatickou élku kroku 34
Tento okument je určen výhraně jako oplněk k přenáškám a cvičením z přemětu Nelineární analýza materiálů a konstrukcí pro stuenty Stavební akulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně oplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslení aktualizace: 16.04.2009 35