Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17
Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace ležící pouze v rovině (x y): ε = {ε x, ε y, γ xy } T (11) Konstrukce se nemůže volně deformovat ve směru osy z, a proto v ní existuje nenulové napětí σ z : σ = {σ x, σ y, σ z, τ xy } T (12) 18
Rovinná napjatost y σ y τ xy σ x Obsahuje složky napětí ležící pouze v rovině (x y): σ = {σ x, σ y, τ xy } T (13) z x Stěna se může volně deformovat ve směru osy z, složka deformace ε z je proto nenulová: ε = {ε x, ε y, ε z, γ xy } T (14) 19
Měrné stěnové síly Nx = σx h [ N m ] Ny = σy h [ N m ] Nxy = τxy h [ N m ] x yx n xy z n n n y τ xy yx h τ σ σ x y y x 20
Rovinný problém shrnutí (1) Podmínky rovnováhy σ x x + τ xy y + X = 0 (15) τ xy x + σ y y + Y = 0 Geometrické rovnice ε x = u x, ε y = v y, γ xy = γ yx = u y + v x. (16) 21
Rovinný problém shrnutí (2) Fyzikální rovnice: rovinná napjatost σ x = σ y = τ x = E 1 µ 2 (ε x + µ ε y ) E 1 µ 2 (ε y + µ ε x ) (17) E 2(1 µ) γ xy (18) 22
Rovinný problém shrnutí (3) Fyzikální rovnice: rovinná deformace σ x = σ y = τ x = E (1 + µ)(1 2µ) [(1 µ) ε x + µ ε y ] E (1 + µ)(1 2µ) [µ ε x + (1 µ) ε y ] (19) E (1 + µ)(1 2µ) γ 1 xy (1 µ) 2 23
Průběh normálových napětí N S N... nosníkové řešení, S... stěna (rovinná napjatost). 24
Hlavní napětí (1) Jsou to: normálová napětí v takovém směru, ve kterém jsou všechna smyková napětí nulová extrémní (největší, nejmenší) normálová napětí v daném místě Značíme a řadíme: σ 1 σ 2 σ 3 (20) 25
Hlavní napětí (2) v rovině σ 1 σ 2 (21) σ 1,2 = 1 2 [ (σ x + σ y ) ± ] (σ x σ y ) 2 + 4 τxy 2 (22) tg(2α) = τ xy σ x σ y (23) 26
Hl. napětí (3) Mohrova kružnice σ x σ y D τ max A τ 2α B +τ σ 2 C σ 1 27
Diskuse: spojitost a výstižnost výsledků (2) pro uvedený prvek jsou deformace aproximovány lineárně poměrné deformace a napětí jsou na prvku konstantní pro přesnější výsledky hustší sít konečných prvku ufem 0.2.53d ufem 0.2.53d CS: CART Result: s_x Set: 1: 1.000 Set: 1: 1.000 2.98177e+03 2.60905e+03 2.23632e+03 1.86360e+03 1.49088e+03 1.11816e+03 7.45442e+02 3.72721e+02 0.00000e+00-4.89130e+03-9.78261e+03-1.46739e+04-1.95652e+04-2.44565e+04-2.93478e+04-3.42391e+04-3.91304e+04 0.00000e+00-5.73718e+03-1.14744e+04-1.72115e+04-2.29487e+04-2.86859e+04-3.44231e+04-4.01602e+04-4.58974e+04 y z x y z x bigfile 06. 01. 2011 bigfile 06. 01. 2011 43
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (1) Stěna uložená jako konzola se silou na konci 44
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (2) Konzola se silou na konci: σ x uprostřed a na konci 45
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (3) Konzola se silou na konci: τ xy 46
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (4) Konzola se silou na konci: rozložení σ x 47
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (5) Stěna uložená jako konzola spojitě rovnoměrně zatížená 48
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (6) Konzola spojitě zatížená: σ x uprostřed a na konci 49
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (7) Konzola spojitě zatížená: τ xy 50
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (8) Konzola spojitě zatížená: rozložení σ x 51
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (9) Stěna jako prostý nosník rovnoměrně spojitě zatížený 52
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (10) Nosník spojitě zatížený: σ x uprostřed a na konci 53
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (12) Nosník spojitě zatížený: σ x v 1 4 rozpětí 54
Diskuse 2: okrajové podmínky a zatížení (11) Nosník spojitě zatížený: τ xy 55
Téma 3: Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 2. výpočet deformačních a silových veličin na tenké desce metodou sítí 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) 1
Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (K1) technická teorie ohybu tenkých desek jednotlivé vrstvy desky na sebe netlačí σ z = 0 normálová napětí ve střednicové rovině jsou nulová body ve střednicové rovině se mohou přemist ovat pouze ve směru osy z normály střednicové roviny zůstávají i po deformaci přímé a kolmé k této rovině h z u ϕ w(x,y) 2
Vnitřní síly na desce (K2) Posunutí a pootočení : w, ϕ x, ϕ y [m] Napětí: σ x, σ y, τ xy, τ xz, τ yz [P a] Poměrné deformace: ε x, ε y, γ xy [ ] Měrné vnitřní síly: Měrné momenty: m x, m y (ohybové), m xy (krouticí) [ N m m ], [N] Měrné posouvající síly: q x, q y [ N m ] 3
Vnitřní síly na desce (K3) x τ xy τ xz τ yz y τ yx z σ y σ x m x m xy q x m yx m y q y 4
Deformace a poměrné deformace (K4) h z u = z w x, w v = z y (1) u ϕ w(x,y) ε x = u x = z 2 w x 2 (2) ε y = u y = z 2 w y 2 (3) γ xy = u x + v y = 2 z x y (4) 5
Fyzikální rovnice na desce (Hookeův zákon) (K5) σ x = σ y = E 1 µ 2 (ε x + µ ε y ) = E 1 µ 2 E 1 µ 2 (ε y + µ ε x ) = E 1 µ 2 τ xy = G γ = E 2 (1 + µ) 2 z 2 w x y ( 2 w x 2 + µ 2 w y 2 ( 2 w y 2 + µ 2 w x 2 ) ) (5) (6) (7) 6
Vnitřní síly na desce (K6) m x = m y = m xy = ( 2 σ w x z dx = D t/2 x 2 + µ 2 w y 2 t/2 t/2 t/2 σ y z dx = D t/2 kde D je desková tuhost: ( µ 2 w x 2 + 2 w y 2 ) ), (8), (9) t/2 τ xy z dx = D (1 µ) 2 w x y, (10) D = E t 3 12 ( 1 µ 2) (11) q x = q y = t/2 t/2 τ xzdz = D t/2 t/2 τ yzdz = D ( 3 w x 3 + ( 3 w x 3 + 3 ) w x y 2 3 w x 2 y ) (12) (13) 7
Desková rovnice (1) Získáme z podmínek rovnováhy na elementu desky: p Qy1 M x1 Qx1 M yx1 y z x M xy1 My1 h M yx2 Mx2 My2 Qy2 Mxy2 Qx2 dy dx 8
Desková rovnice (7) Do rovnice: 2 m x x 2 + 2 2 m xy x y + 2 m y x 2 = p lze dosadit vztahy: ( 2 w m x = D x 2 + µ 2 w y 2 q x = D ) ( 3 w x 3 +, m y = D ( µ 2 w x 2 + 2 w y 2 ) 3 ) ( w 3 w x y 2, q y = D x 3 +, m xy = D (1 µ) 2 w x y, 3 w x 2 y ) Po úpravě vznike desková rovnice: 4 w x 4 + 2 4 w x 2 y 2 + 4 w y 4 = p D (14) 14
Desková rovnice (8) Rovnici (14) lze stručně zapsat pomocí Laplaceových operátorů : w(x, y) = p(x, y) D (15) Kde D je desková tuhost: D = E t 3 12 ( 1 µ 2) 15
Příklad 1 - obdélníková deska (1) Porovnejte výsledky výpočtu obdélníkové desky o velikosti 6 x 3 x 0.2 m prostě uložené na koncích vetknuté na jednom konci. Deska je zatížena vlastní tíhou. Deska je řešena metodou konečných prvků (program ufem). 28
Příklad 1 - obdélníková deska (2) 29
Příklad 1 - obd. deska: m x (3) 30
Příklad 1 - obd. deska: m y (4) 31
Příklad 1 - obd. deska: m xy (4) 32
Příklad 2 - obdélníková deska (1) Porovnejte výsledky výpočtu obdélníkové desky o velikosti 6 x 3 x 0.2 m prostě uložené na koncích vetknuté na jednom konci. Deska je zatížena vlastní tíhou. 0.8m 1.1m 1.1m 2.1m 0.9m 1.0m 33
Příklad 2 - obdélníková deska (2) ufem 0.2.57 CS: CART Time: 1 ETyps: 1 RSets: 1 Mats : 1 KPs : 8 GEnts: 2 Nodes: 3782 Elems: 3204 Disps: 155 Loads: 0 y z x ufem_deska2 14. 10. 2011 34
Příklad 2 - obd. deska: m x (3) 35
Příklad 2 - obd. deska: m y (4) 36
Příklad 1 - obd. deska: m xy (4) 37
Konečné prvky na pružném podloží modely podloží deska na Winklerově pružném podloží další možnosti modelování 38
Obvyklé modely podloží pružný poloprostor vrstevnatý pružný poloprostor kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 39
Pružný poloprostor (1) vychází z předpokladů teorie pružnosti pružná oblast ohraničená jen z jedné strany ( povrch poloprostoru ) homogenní, obvykle izotropní materiál: E, ν 40
Pružný poloprostor (2) P Klasické řešení válcový souřadný systém (r, ϕ, z): z R θ θ R σ z cos(θ) = z R (36) (37) σ r τrz σ R σθ = 0 τ rz σ r sin(θ) = r R r 2 = x 2 + y 2 (38) R 2 = r 2 + z 2 (39) R 2 = x 2 + y 2 + z 2 (40) r r 41
Pružný poloprostor (3) Pro zatížení osamělým břemenem (J. Boussinesque): σ z = 2 P 3 π R 5 (41) σ r = P [ 1 2 µ 2 π R(R + z) 3 z r2 ] R 5 (42) σ e ta = P [ ] z (1 1 µ) 2 π R 3 1 (43) R(R + z) τ rz = 3 P 2 π z 3 z 2 r R 5 (44) 42
Pružný poloprostor (4) Pro zatížení osamělým břemenem (J. Boussinesque): u = w = P (1 + µ) 2 π E P (1 + µ) 2 π E [ r z r (1 2 µ) R3 R(R + z) [ 2(1 µ) + z2 ] R R 3 ] (45) (46) (47) Pro povrch poloprostoru (z = 0): w pp = R (1 µ)2 π E r (48) 43
Pružný poloprostor (5) Řešení v MKP modelování jen dostatečně velkého výseku poloprostoru modelování jen výseku poloroviny pro úlohy rovinné deformace vrstevnatý poloprostor: různé vlastnosti konečných prvků 44
Kontaktní modely podloží (1) Winklerův model: p(x,y) q(x, y) = C w(x, y) (49) C... součinitel stlačitelnosti podkladu [ N m 3]. q(x,y) 45
Kontaktní modely podloží (2) Pastěrnakův model: p(x,y) q(x,y) q(x, y) = C 1 w(x, y) C 2 w(x, y) x (50) C 1... součinitel stlačitelnosti podkladu [ N m 3], C 2... zohledňuje vliv smyku. 46
Deska na Winklerově podkladu (1) v MKP se obvykle tuhost podloží rozloží do uzlů na obdélníkovém prvku např.: b K h K = 1 4 C 1 b h možno použít i ručně pokud to výpočetní program nepodporuje například program ANSYS: prvek SHELL63, reálná konstanta EFS K K K 47
Deska na Winklerově podkladu (2) výpočet matice tuhosti podloží pomocí tvarových funkcí N: K e = C 1 A NT N da, b K h kde C 1 je konstanta Winklerova podkladu pro čtyřuzlový obdélníkový prvek: K K K = 1 4 C 1 b h K 48
Opakování: Dimenzační momenty m x,dim = m x + sgn(m x ) m xy m y,dim = m y + sgn(m y ) m xy 49
Veličiny pro dimenzování (1) Normové vzorce převážně pro dimenzování prutů Desku je možné dimeznovat jako prut při použití dimenzačních momentů Dále popsaný postup je třeba provést pro oba směry (x a y) pro příslušný moment v daném směru 50
Veličiny pro dimenzování (2) y A Postup: 1. Řez A-A 2. Vykreslení m dim v řezu A-A 3. Po částech konstantní náhrada m dim 4. Dimenzujeme na M i = a i m i Doporučení: polohu řezu A-A zvolíme z rozložení výsledků ve 2D zobrazení náhrada m i : průměr v poli a i nebo o něco vyšší provést několik řezů po délce desky A m i A m x,dim A x ai 51