21. ročník, úloha II víno teče proudem (4 body; průměr 2,08; řešilo 38 studentů)

Transkript

1 1 očník, úloha II 3 víno teče poudem (4 body; půmě,8; řešilo 38 studentů) Vinaři a řidiči kamionu dobře znají šikovné přelévání kapalin z těžkých nádob Vinař Ignác chce stočit víno z jednoho demižonu do duhého Nejpve položí pázdný demižon na zem a plný do výšky Potom demižony popojí hadičkou a tochu z ní zespodu potáhne Víno začne samovolně poudit do spodního demižonu Za jak dlouho bude všechno víno stočeno? Předpokládejte, že demižony jsou stejné válce poloměu R a výšky H Vymyslel vinař Jano Lalinský Předvedeme řešení úlohy s použitím integálního počtu, ale i bez něj Přidžíme se značení ze zadání Navíc plošný půřez demižonu neboli plochu podstavy označme S D, plošný půřez hadičky S H Aktuální výšku hladiny ve spodním demižonu nazvěme x; výška hladiny opoti dnu ve vchním demižonu pak je H x Na počátku přepouštění umístíme spodní konec hadičky co nejníže až na dno spodního demižonu a dále budeme tento konec džet ponořený pod úovní hladiny Každodenní zkušenost se stáčením vína nám říká, že ychlost přečepávání by měla záviset na okamžitém ozdílu výšky hladin v demižonech, kteý je dán h = + H x Záoveň pokud budou oba konce hadičky ponořené, nebude záviset na tom, zda jsou u dna nebo těsně u hladiny Tyto postřehy však vyplynou z Benoulliho ovnice, kteou použijeme k popisu poblému Benoulliho ovnice v podstatě popisuje poudění tekutiny v tubici, kteá mění svůj půřez a výšku nad zemí, a svým způsobem vyjadřuje zákon zachování enegie po kapalinu v tomto systému I naše sudy spolu s hadičkou tvoří takovou tubici kteá mění svůj půřez a výšku nad zemí Rovnice v uvedeném tvau platí za předpokladu, že poudění je ustálené, laminání a kapalina není viskózní, tedy enegie se neztácí třením Blíže se o těchto předpokladech zmíníme na závě Podle Benoulliho ovnice po libovolná dvě místa v tubici platí 1 ϱv 1 + ϱgh 1 + p 1 = 1 ϱv + ϱgh + p, (1) kde ϱ je hustota kapaliny Po řadě v, h, p jsou ychlost kapaliny, výška nad zemí a tlak v příslušném místě tubice Nás nyní zajímá ychlost půtoku vína hadičkou Předpokládejme na chvíli, že ústí hadičky ve spodním sudu je těsně u dna Za pvní místo si zvolíme bod přesně na hladině vchního sudu a duhé místo bude bod v hadičce těsně před ústím ve spodním sudu, tedy ve výšce nula Víno se nestlačuje a objem poteklý hadičkou je tedy zřejmě stejný jako objem vyteklý ze sudu, z čehož plyne S Dv 1 = S Hv a po přehlednost v 1 = kv, k = SH S D () Dosazením do (1) získáme 1 ϱ(kv) + ϱg( + H x) + p a = 1 ϱv + p a + ϱgx, (3) kde p a je atmosféický tlak, kteý je však nad hladinou obou sudů v podstatě stejný, a odečte se tedy Můžeme si zde povšimnout, že ovnost vyjde na chlup stejná, ať už jsou konce hadičky u dna či těsně u hladiny, a nesejde na tom, jak je vysoko nejvyšší bod hadičky Rovnost podělíme hustotou ϱ a vyjádříme ychlost vína v hadičce jako v = g( + H x) (4) - 1 -

2 a ychlost v 1, jakou se posouvá hladina v demižonu, je g( + H x)k v 1 = ẋ = (5) Zápis ẋ znamená deivaci x podle času Pokud máme velký demižon a tenkou hadičku, je fakto k velmi blízký nule a výaz velmi blízký jedničce a (4) potom přechází ve známý vztah po výtokovou ychlost uváděný ve tvau v = gh Tomu se samozřejmě nedivíme, potože při umístění spodního konce hadičky do vzduchu těsně nad hladinu můžeme hovořit o volném vytékání kapaliny otvoem, kteý je v hloubce h = +H x pod hladinou ve vchním demižonu Všimněme si však jedné zady Pokud bude S H/S D = k = 1, pak podle (4) vyjde ychlost v nekonečná! To ale není možné, potože ychlost padajícího sloupce kapaliny bude odpovídat ychlosti při volném pádu Poblém je v tom, že Benoulliho ovnice v jednoduchém použitém tvau platí pouze po ustálené poudění, tedy takové, že se ychlost v čase nemění Jak se hladiny přibližují, bude se ychlost poudění měnit každopádně, avšak pokud je S D výazně větší než S H, ychlost se v čase mění jen velmi pomalu a Benoulliho ovnici lze použít Víme tedy, jak závisí ychlost vína v hadičce na výšce hladiny x ve spodním demižonu, a vi díme, že skutečně závisí na ozdílu výšky hladin mezi demižony Ještě zdůazněme, že v ovnici (4) se v a x v čase mění! Obecně tedy není možné vypočítat čas stočení tak, že objem vína vydělíme objemovým půtokem Uvedeme si hned dva způsoby, jak ze znalosti vztahu (4) vypočítat celkovou dobu T, za kteou všechno víno přeteče z vchního sudu do spod ního Pvní způsob nevyžaduje integování H Ob 1 Schéma pokusu x H + x Podívejme se pozoněji na vztah (5) Vidíme, že ychlost snižování hladiny je hubě řečeno úměná odmocnině výšky hladiny Po obyčejný ovnoměně zychlený pohyb platí, že ychlost oste hubě řečeno s pvní mocninou času a dáha oste s duhou mocninou času a ychlost je tedy také svým způsobem úměná odmocnině uažené dáhy Uvažujme nyní obecný ovno měně zychlený (zpomalený) pohyb se zychlením a Potom platí x(t) = x + v t + 1 at, což je kvadatická ovnice po čas t, kteý vyjádříme pomocí známého vzoečku t = v + p v + a(x x) a Dosazením za t do vztahu v = v + at a položením x = dostáváme v = v + ax (6) To je ale velmi podobné vztahu (5) Poovnáním (5) a (6) jistě najdeme takové hodnoty v a a, že dosáhneme ovnosti mezi (5) a (6) a nějaký ovnoměně zychlený vývoj výšky x tedy vyhovuje ovnici (5) Konkétně v = g( + H)k, a = g - - k x

3 Jediné, co víme o vývoji hladiny v sudu je pávě vztah (5) a fakt, že x(t = ) = Našli jsme tudíž takový časový vývoj hladiny, že jsou splněny pávě tyto dvě podmínky, a poto je tento časový vývoj ten skutečně ealizovaný Výška hladiny se mění ovnoměně zpomaleně a dobu přetečení T učíme snadno Automo bil jedoucí ovnoměně zychleně ujede učitou dáhu za stejnou dobu jako automobil jedoucí celou dobu ychlostí ovnou půměné ychlosti pvního auta 1 To snadno ověříme třeba tak, že si nakeslíme gaf závislosti ychlosti na čase a uvědomíme si, že uažená dáha je ovna obsahu plochy v gafu pod touto závislostí Co platí po auto, platí i po přelévání vína Na počátku x =, na konci, když je sud plný, x = H Ze vztahu (5) snadno učíme počáteční a koncovou ychlost, půměná ychlost je pak jejich aitmetický půmě a po dobu T tudíž platí T = H g( +H)k 1 k g( H)k 1 k = 1 k k 1 g + H H Jak jsme řekli, použitý postup řešení je koektní pouze po k 1 a bez stachu z velké nepřesnosti můžeme psát T = SD 1 + H H S H g Duhý způsob Je třeba se vypořádat s tím, že jak se hladiny přibližují, přetečení učitého objemu vody tvá postupně déle a déle Čas T lze dostat tak, že vždy vezmeme malý kousek objemu dv a spočteme dobu dt, za kteou tento malý kousek přeteče z jednoho sudu do duhého Přetečením objemu dv se výška hladiny změní o malý kousek dx Příští kousek objemu dv už bude tedy vytékat tošičku pomaleji než předchozí Celkový čas T pak dostaneme součtem jednotlivých dt Potože jsme dílčí objemy dv volili libovolně malé, suma přechází v integál (dv je tak malý, abychom mohli předpokládat, že během jeho potékání se ychlost půtoku vlastně nemění) Záoveň patně dv = S D dx, na počátku je x =, na konci x = H a objemový půtok hadičkou Q = S Hv Konečně tedy můžeme psát integál a aplikovat na něj klasickou matematickou mašineii T = Z T = SD S H dt = Z V s g Z dv H Q = S Ddx p S H g( + H x)/(1 k ) = Z H dx + H x Integál vypočteme užitím lineání substituce z = + H x Nové meze integálu dostaneme dosazením původních mezí do vztahu po z, tedy Z H Z dx H dz = + H x +H z = ˆ z +H = + H H H a celkový čas vychází s T = SD + H H S H g 1) Vaování: uvedené platí skutečně jen po ovnoměně zychlený pohyb - 3 -

4 Pokud < H, víno nepřeteče všechno a spodní sud se naplní jen do výšky x = ( + H)/ Dobu přetékání pak dostaneme jednoduše záměnou honí meze integálu za x = ( + H)/ Nakonec ještě sestavme difeenciální ovnici popisující časový vývoj výšky hladiny x Umoc něním (5) máme ẋ g( + H x)k = Teď obě stany ovnice zdeivujeme podle času Je třeba si uvědomit, že ẋ je složená funkce, jejíž časová deivace je ẋẍ Máme poto ẋẍ = 4gẋk, což podělíme ẋ, lehce upavíme a dostáváme výaz po zychlení výšky hladiny x v sudu ẍ = g k To je ale evidentně konstanta, čímž jsme potvdili úvahu povedenou během pvního způsobu řešení Dobu přečepání T lze tedy učit již uvedeným způsobem Mohla by nás třeba ještě zajímat přímo závislost x na čase Jediná funkce, jejíž duhá deivace je konstantní, je obecná kvadatická funkce x(t) = At + Bt + C Je třeba jen dopočítat koeficienty A, B, C Avšak jistě platí ẍ = A, ẋ(t = ) = B, x(t = ) = C = Vaťme se k předpokladům Benoulliho ovnice Otázku ustáleného poudění jsme již po bali Velice silným předpokladem je nulová viskozita vína Viskozita hubě řečeno vyjadřuje, jak velké je tření mezi dvěma ůzně ychlými vstvami tekutiny Při půtoku vína hadičkou se víno tře o stěny hadičky a navíc poudění je při stěně hadičky pomalejší než upostřed a pomy slné vstvy kapaliny se třou i mezi sebou Třením vzniká teplo, a poto v hadičce dochází ke ztátě enegie a Benoulliova ovnice přestává platit Čím je poudění ychlejší, tím jsou tření a ztáty enegie větší Kupříkladu když jsme zkoušeli přelévat vodu z výšky půl metu tenkou hadičkou půměu půl centimetu, pak doba přelévání byla po hadičku dlouhou jeden met o polovinu delší než po půlmetovou hadičku Rozdíl je tedy velice výazný, a vypočtený čas T je poto ja kýmsi nedosažitelným minimem Mým osobním názoem je, že by možná šla povést koekce ve vztahu (3) přidáním na pavou stanu členu αlv /, kteý vyjadřuje ztátu enegie v hadičce délky l a poloměu, přičemž α je nějaká konstanta odpovídající konkétní kapalině Uvědo mme si také, že i při vstupu kapaliny do spodního demižonu v důsledku tření dojde k jejímu zbzdění na ychlost v 1 a mechanická enegie se nevyhnutelně ztácí Zkusme si také ozmyslet, kdy je poudění v hadičce nevířivé Při popisu poudění se zavádí takzvané Reynoldsovo číslo, definované Re = vϱ η, kde v je střední ychlost poudění, polomě tubice a η dynamická viskozita Ze zkušenosti víme, že pokud ychlost vody v tubici vzoste natolik, že Re je přibližně větší než 1, poudění přejde v tubulentní Dosazením konkétních hodnot zjistíme, že se to při přelévání vína klidně může stát Uvědomme si, že při přelévání demižonů je ychlost v tubičce v ideálním případě nezávislá na poloměu a k vířivému poudění dojde spíše při použití šiší hadičky - 4 -

5 Závěem bych po vás měl jeden námět k přemýšlení Uvádí se, že kapalina se při vstupu do šiší části tubice zbzdí v důsledku většího tlaku v této šiší části Je tedy spávné uvažovat tlak na konci tubičky ve spodním demižonu p = ϱgx? Maek Scholz maa@fykosmffcunicz Fyzikální koespondenční seminář je oganizován studenty UK MFF Je zastřešen Oddělením po vnější vztahy a popagaci UK MFF a podpoován Ústavem teoetické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků - 5 -