Exponenciální rozdìlení

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Exponenciální rozdìlení"

Filip Pavlík
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Exponenciální rozdìlení Ing. Michael Rost, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Exponenciální rozdìlení Exp(A, λ) "Rozdìlení bez pamìti" Exponenciální rozdìlení je vhodným modelem doby èekání na výskyt nìjakého jevu. Vyu¾ívá se napøíklad v pojistné matematice pøi urèování (pravdìpodobnostního) rozdìlení vý¹e pojistného plnìní nebo èasu mezi nastalé pojistných událostí. Úzce souvisí s Poissonovým rozdìlením. Je to dùle¾ité rozdìlení pro teorii spolehlivosti. Pøíklady aplikace: doba ¾ivotnosti nìjaké vìci (tedy vlastnì doby èekání na poruchu) doba èekání ve fronì (systémy hromadné obsluhy)

3 Exponenciální rozdìlení Exp(A, λ) "Rozdìlení bez pamìti" doba od jedné poruchy ke druhé poru¹e ve fyzice pøi modelování èasu radioaktivního rozpadu èástic Jestli¾e Poissonovo rozdìlení modelovalo poèet nìjakých událostí v èase, exponenciální rozdìlení se pou¾ívá k modelování doby do výskytu pøíslu¹né události.

4 Hustota pravdìpodobnosti Hustotu pravdìpodobnosti lze vyjádøit jako: f(x) = 1 λ e (x A) λ prox > A (1) Parametr A lze interpretovat jako parametr posunutí na ose x. Parametr λ mù¾eme interpretovat stejnì jako u Poissonova rozdìlení. Zde jej lze oznaèit za intenzitu náhodné velièiny Èasto se spí¹e setkáme s neposunutým rozdìlením, kde A = 0. Hustota pak pøejde na tvar: f(x) = 1 λ e x λ. (2)

5 Graf hustoty pravdìpodobnosti

6 Graf hustoty pravdìpodobnosti Exp(0;1/13,5) f(x) x

7 Distribuèní funkce náhodné velièiny s exponenciálním rozdìlením Distribuèní funkci velièiny X Exp(A, λ) denujeme jako F X (x) = 1 e (x A) λ pro A > 0; λ > 0 (3)

8 Graf distribuèní funkce

9 Graf distribuèní funkce Exp(0;1/13,5) F(x) x

10 Charakteristiky a vlastnosti exponenciálního rozdìlení Momenty: Støední hodnota náhodné velièiny s exponenciálním rozdìlením : E(X) = A + λ Rozptyl náhodné velièiny s exponenciálním rozdìlením: var(x) = λ 2 Kvantily: α100% kvantily rozdìlení urèíme snadno následovnì: ln(1 α) Exp α (0, λ) =, pro0 < α < 1 λ

11 Charakteristiky a vlastnosti exponenciálního rozdìlení Pozn.: Exponenciální rozdìlení bývá nìkdy nazýváno jako "rozdìlení bez pamìti". Tento název je odvozen z následující vlastnosti: Pravdìpodobnost, ¾e náhodná velièina X s rozdìlením Exp(0, d) pøekroèí hodnotu x + a podmínìná jevem X > a, je pro libovolné kladné a a x rovna nepodmínìné pravdìpodobnosti jevu X > x, tj. P (X > x + a) P (X > a) = P (X > x) Pokud by tedy n.v. X pøedstavovala dobu do poruchy zaøízení, pak by pravdìpodobnost, toho, ¾e zaøízení, které pracovalo bez poruchy po dobu a hodin, bude pracovat bez poruchy je¹tì

12 Charakteristiky a vlastnosti exponenciálního rozdìlení alespoò x hodin, je rovna pravdìpodobnosti, ¾e zaøízení, které dosud nebylo v provozu, bude pracovat alespoò x hodin, jako by "zapomnìlo" døíve odpracovanou dobu. Tato vlastnost vysvìtluje pou¾ití exponenciálního rozdìlení v teorii spolehlivosti, nebo» Exp(A, λ) popisuje dobøe rozdìlení doby ¾ivota zaøízení, u kterých dochází k poru¹e ze zcela náhodných pøíèin a nikoliv v dùsledku opotøebení (mechanické opotøebení, únava materiálu apod.). Má-li doba do výskytu události stejné exponenciální rozdìlení, pak informace o tom, ¾e událost nenastala po dobu a hodin, nemìní pravdìpodobnost výskytu události v pøí¹tích x hodinách.

13 Normalizace na Exp(0; 1) Jestli¾e má náhodná velièina X rozdìlení Exp(A, λ), pak má náhodná velièina (X A) Y = (4) λ normované exponenciální rozdìlení Exp(0; 1).

14 Pøíklad Pøedpokládejme, ¾e se doba mytí øídí exponenciálním rozdìlením pravdìpodobnosti a mìjme k dispozici napozorované èasy (doby mytí aut v mycí lince): 10; 8; 7; 8; 14; 45; 13; 20; 8; 8; 9; 11; 15; 36; 7; 4; 6; 15 Prùmìrná doba mytí auta v mycí lince je cca 13 minut 30 sekund. Urèete: a) pravdìpodobnost, ¾e obsluha bude trvat více ne¾ 10 minut, b) stanovte dobu obsluhy, bìhem ní¾ bude zákazník obslou¾en s pravdìpodobností 0,9.

15 Øe¹ení 1 λ = 1 13, 5 = 0, zak.min 1 ad a) P (X > 10) = 1 P (X 10) = 1 [1 e 10.0, ] = e 0, = 0, ad b) P (0 < X < t) = 0, 9 = F X (t) F X (0) = 0, 9 1 e t/λ = 0, 9 λ t = 2, t = 2, λ = 31, 084min.

Podobné dokumenty

Matematika II Urèitý integrál

Matematika II Urèitý integrál RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Motivace Je dána funkce f(x) = 2 + x2 x 4. Urèete co