0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít"

Transkript

1 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ as e studiu apitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této apitoly budete umt použít záladní pojmy ombinatoriy vztahy pro výpoet ombinatoricých úloh - 6 -

2 0.1 Kombinatoria co to je? Kombinatoria je vstupní branou do teorie pravdpodobnosti. Zabývá se rznými zpsoby výbru prv z daného souboru. Už jste si vzpomnli? Jde pece o souást stedošolsé matematiy. Ale protože opaování je matou moudrosti, jdeme na to... Nejdíve si ujasnme s jaými výbry se v praxi mžeme setat. Prvním ritériem je uspoádanost výbru. A. Uspoádaný výbr ( Variace) je taový výbr, pi nmž záleží na poadí vybraných prv. P.: Koli trojciferných ísel lze sestavit z ísel 1; 3; 8; 9? íslo 139 a íslo 391 považujeme za dv rzné variace výbru. B. Neúspoádaný výbr ( Kombinace) je oproti tomu výbrem, pi terém na poadí vybraných prv nezáleží. P.: Koli je možností ja vsadit Sportu? 7 ísel ze 49 nap. ombinace {1;2;3;4;5;6;7} je totožná s ombinací {2;3;1;6;7;4;5} nezáleží na tom v jaém poadí jsme ísla zašrtali. Druhým ritériem je sutenost, zda se prvy po výbru do pvodní množiny vracejí i nioliv. Podle toho se výbry rozlišují na: A. Výbry s opaováním tj. vybrané prvy se vracejí do pvodní množiny P.: Z množiny {1;3;8;9} lze mimo jiné vytvoit trojíslí {131; 188; 888; 119; } B. Výbry bez opaování tj. vybrané prvy se do pvodní množiny nevracejí Matematicy je jednodušší popis výbr s opaováním, avša v praxi se astji setáte s výbry bez opaování (test není možno opaovat, nap. tažnost truby mžete testovat pouze jednou, pro další test je zapotebí použít novou trubu) 0.2 Uspoádané výbry (variace) Znovu si pipomeme, že u variací záleží na poadí vybíraných prv Variace -té tídy bez opaování Nech M je libovolná množina n prv. Každá uspoádaná -tice (supina prv) z navzájem rzných prv množiny M se nazývá variace -té tídy z množiny M bez opaování a znaíme ji V (n) varianí íslo

3 Poet variací V (n) se uruje podle vztahu: V ( n) n.( n 1).( n 2)..( n + 1) ( n )! ešený pílad: Z dvacetilenného zastupitelstva (8 z ODS, 6 z SSD, 4 z KDU-SL, 2 ze SZ) se musí zvolit ptilenné pedsednictvo (pedseda, místopedseda, 3 lenové). Kolia rznými zpsoby lze pedsednictvo sestavit: a) nejsou-li na výbr funcí žádná další omezení b) je-li stanoveno, že pedseda a místopedseda musí být ze dvou nejsilnjších stran ešení: a) Nejsou-li stanovena žádná omezení pro výbr pedsednictva, jde o typicý pílad variací páté tídy bez opaování: 20! 20! V5 (20) (20 5)! 15! V tomto pípad tedy existuje možností ja sestavit pedsednictvo zastupitelstva. b) V tomto pípad je stanoveno, že pedseda a místopedseda musí být ze dvou nejsilnjších stran (není eeno, že pedseda musí být z nejsilnjší strany). Možností ja zvolit pedsedu a místopedsedu je tedy: Zbylá ti místa v pedsednictvu mohou obsadit libovolní ti lidé ze zbývajících osmnácti (bez ohledu na stranicou píslušnost). Taových možností je: 18! 18! V3 (18) (18 3)! 15! Celových možností ja v pípad taovýchto požadav sestavit pedsednictvo je ( )

4 Výlad: Výše uvedenému postupu se íá ombinatoricé pravidlo o souinu. Je-li výbr tvoen m postupnými nezávislými roy s n 1, n 2... n m možnostmi, pa poet všech variant výbru je dán souinem hodnot n 1. n n m. V pípad, že veliost výbru je totožná s rozsahem množiny M (n) používáme pro tento typ variací název permutace. U permutací ta nejde v podstat o výbr, nýbrž o rzná uspoádání téže množiny (pesmyy) Permutace bez opaování Permutace množiny M (bez opaování) jsou všechna navzájem rzná uspoádání množiny M. Poet permutací n prvové množiny stanovíme na zálad vztahu: P( n) Vn ( n) ( n n)! ešený pílad: Vrame se opt volb pedsednictva zastupitelstva. Pedpoládejme vša, že pedsednictvo je už zvoleno a je pouze teba rozdlit si funce. Koli je možností, ja si funce rozdlit? ešení: Je zejmé, že jde o permutace (pesmyy) 5-ti lenné množiny: P ( 5) 5! Pedsednictvo si tedy mže rozdlit funce 120-ti zpsoby. Výlad: Definujme si opt M jao libovolnou n-prvovou množinu

5 0.2.3 Variace -té tídy s opaováním ta nazýváme aždou uspoádanou -tici prv z množiny M, v níž se jednotlivé prvy mohou opaovat. Poet variací -té tídy s opaováním uruje výraz V (n) V ( n) n, ešený pílad: Urete oli je možností ja sestavit 6-ti místné telefonní íslo. ešení: Zvolme si množinu M. M{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Potebujeme obsadit 6 míst. Je zejmé, že existuje celem možností ja uspoádat 10 íslic do šestice., V 6 ( 10) 10 6 V tuto chvíli si musíme uvdomit, že telefonní íslo nemže zaínat 0, proto musíme tyto možnosti od celového potu odeíst. 0 V 5(10) V 5( 10) 10 5 Mezi všemi 6-ti místnými ísly je 10 5 ísel zaínajících 0. Existuje tedy ( ) možností ja vytvoit 6-ti místné telefonní íslo

6 Výlad: Permutace s opaováním Mjme uspoádanou n-tici rzných prv, v níž se jednotlivé prvy n i (i 1, 2,..., ) rát opaují. Permutace s opaováním vzniají rzným uspoádáním pvodní n-tice. Platí: ni i 1 n Poet permutací s opaováním je dán vztahem: ' P( n) Pn 1, n2,, n P ( n ). P( n ).. P( n ) n!. n!.. n! ešený pílad: Na plaátovací plochu o apacit 10 míst se mají vylepit relamní plaáty 4 spoleností. Spolenost ARMA si pedplatila 3 plaáty, spolenost BRUNO 2 plaáty, spolenost CEKO 1 plaát a spolenost DINA 4 plaáty. Urete olia rznými zpsoby lze ploch porýt. ešení: Pedpoládáme-li, že aždá spolenost dodala pouze jediný druh plaátu, pa jednotlivé varianty polepení tvoí permutace s opaováním: 10! !.2!.1!.4! ' 43,2,1,4 Plaátovací plochu lze polepit rznými zpsoby. P Výlad: 0.3 Neuspoádané výbry (ombinace) Kombinace se používají v pípadech, dy se ze supiny prv vybírá menší podsupina, jejíž prvy nemají specificou roli, tj. jsou vzájemn zamnitelné (nezáleží na poadí vybraných prv)

7 Píladem taovéto podsupiny je závodní družstvo mladších žá pro bh na 1500 metr (reprezentujících jistou ZŠ). Definujme si znovu M jao libovolnou n prvovou množinu Kombinace -té tídy bez opaování pa nazvme aždou prvovou podmnožinu sestavenou z navzájem rzných prv množiny M. Poet rzných ombinací C (n) se urí na zálad vzorce: Hodnota C (n) se nazývá ombinaní íslo. C n ( n) ( n )!.! ešený pílad: Ve tvrtém roníu ZŠ studuje 30 chlapc a 50 dvat. Pro reprezentaci roníu v lehé atletice je teba sestavit smíšené 10-ti lenné družstvo (5 chlapc, 5 díve). Koli je možností ja taovéto družstvo sestavit? ešení: Pro výpoet použijeme ombinatoricé pravidlo o souinu: Celový poet možností ja sestavit družstvo (n) je dán souinem potu možností ja vybrat 5 chlapc ze 30-ti (n 1 ) a 5 díve z 50-ti (n 2 ). Poet možností ja vybrat 5 chlapc ze 30-ti je zejm: (30) 30 30! n C5 5 (30 5)!.5! Poet možností ja vybrat 5 díve z 50-ti je zejm ! n C5(50) 5 (50 5)!.5! A celový poet možností ja sestavit družstvo je tedy: n n n , tj. tém 302 miliard

8 Výlad: Kombinace -té tídy s opaováním nazvme aždou -lennou supinu sestavenou z prv množiny M ta, že se prvy ve supin mohou opaovat a pitom nezáleží na jejich poadí. Poet ombinací -té tídy s opaováním je dán vztahem: n + 1 ( n + 1)! C ( n) C ( n + 1) ( n 1)!.! ešený pílad: Kvalita výrobu se rozlišuje temi stupni jaosti: A, B, C. a) Urete oli rzných výsled mže mít výstupní ontrola výroby, testuje-li se valita 10-ti náhodn vybraných vzor. b) Koli rzných výsled nebude obsahovat ani jeden výrobe vality C? ešení: a) Testovaný vzore je 10-ti prvová supina složená z výrob tí typu jaosti. Poet rzných výsled ontroly je tedy dán vztahem: (12)! C (3) 10 (12 10)!.10! Existuje 66 rzných výsled ontroly vality 10-ti výrob. 66 b) Chceme-li zjistit, oli výbr 10-ti výrob neobsahuje výrobe vality C, musíme omezit poet povolených tíd ve vzoru na 2 (A, B) (11)! 11 C (2) 10 (2 1)!.10! V 11-ti rzných výsledcích ontroly vality nenajdeme výrobe vality C

9 Shrnutí: Uspoádané výbry Neuspoádané výbry Bez opaování S opaováním Bez opaování S opaováním Variace bez V ( n) n.( n 1).( n 2)..( n + 1) ( n )! opaování Permutace bez P( n) Vn ( n) ( n n)! opaování, Variace s V ( n) n opaováním Permutace s ' P( n) Pn 1, n2,, n P opaováním ( n1 ). P( n2 ).. P( n ) n1!. n2!.. Kombinace bez n C ( n) opaování ( n )!.! Kombinace s n + 1 ( n + 1)! C ( n) C ( n + 1) opaováním ( n 1)!.! Kombinatoricé pravidlo o souinu Je-li výbr tvoen m postupnými nezávislými roy s n 1, n 2... n m možnostmi, pa poet všech variant výbru je dán souinem hodnot n 1. n n m

10 Otázy 1. Co je to ombinatoria? 2. Jaá ritéria rozlišení výbru v ombinatorice znáte? 3. Definujte: a) variace bez opaování b) variace s opaováním c) permutace bez opaování d) permutace s opaováním e) ombinace bez opaování f) ombinace s opaováním

11 Úlohy ešení Z olia prv lze vytvoit 90 variací druhé tídy (bez opaování)? 2. Z olia prv lze vytvoit 55 ombinací druhé tídy (bez opaování)? Zmenší-li se poet prv o dva, zmenší se poet permutací (bez opaování) tyicetdvarát. Urete poet prv. Z olia prv lze vytvoit padesátrát více variací tetí tídy (bez opaování) než variací druhé tídy (bez opaování)? V prodejn si mžete vybrat ze sedmi druh pohlednic. Kolia zpsoby lze oupit: a) 10 pohlednic, b) 5 pohlednic, c) 5 rzných pohlednic V nihupectví prodávají 10 titul nižních novine. Kolia zpsoby lze oupit 4 nižní noviny, 5 rzných nižních novine? 7. Na hoejovém turnaji, terého se úastní 8 družstev, sehraje aždý tým s ostatními práv 1 utání. Koli zápas bude celem sehráno? 8. Z 5 bílých a 4 ervených ulie tvoíme trojice ta, aby v aždé trojici byly vždy 2 bílé a 1 ervená ulia. Koli trojic splujících tuto podmíny lze vytvoit? 9. Hoejový tým odjel na OH s 23 hrái, a to s 12 útoníy, 8 obránci a 3 branái. Koli rzných sestav mže trenér teoreticy vytvoit? 10. Kolia pímami lze spojit 7 bod v rovin, jestliže: a) žádné ti z nich neleží v pímce, b) ti z nich leží v jedné pímce? 11. Koli ružnic je ureno 10 body v rovin, jestliže žádné ti z nich neleží na pímce a žádné tyi z nich neleží na ružnici? Koli rzných hod mžeme provést a) dvmi, temi rznobarevnými ostami? 13. Koli rzných znae teoreticy existuje v Morseov abeced, sestavují-li se tey a áry ve supiny po jedné až pti?

12 14. Koli prv obsahuje množina všech pticiferných pirozených ísel? 15. Deset pátel si vzájemn poslalo pohlednice z prázdnin. Koli pohlednic celem rozeslali? 16. Kolirát více je variací -té tídy z n prv než ombinací -té tídy z tchto prv (bez opaování)? 17. V pln obsazené lavici sedí 6 žá a, b, c, d, e, f. a) Kolia zpsoby je lze pesadit? b) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žáci a, b sedli vedle sebe? c) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žá c sedl na raji? d) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žá c sedl na raji a žáci a, b sedli vedle sebe? 18. Student má v nihovn 4 rzné uebnice pružnosti, 3 rzné uebnice matematiy a 2 rzné uebnice anglitiny. Kolia zpsoby je lze seadit, mají-li zstat uebnice jednotlivých obor vedle sebe? Kolia zpsoby lze rozdlit 8 úastní finále v bhu na 100 m do 8 drah? 20. Koli rzných permutací lze vytvoit použitím všech písmen slova a) statistia, b) matematia? 21. eta vojá má vyslat na stráž 4 muže. Koli muž má eta, je-li možno úol splnit 210 zpsoby? 22. Koli úhlopíe má onvexní n-úhelní? 23. V zásobníu je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Urete, olia zpsoby lze namátou ze zásobníu vyjmout 5 náboj, z nichž alespo 3 jsou ostré. 24. Kolia zpsoby je možno na tvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole ta, aby všechna ti pole nemla stejnou barvu? 25. Kolia zpsoby je možno na šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole ta, aby všechna neležela v jednom sloupci?

13 ešení: 1. n n n 7 4. n a) možností b) 462 možností c) 21 možností 6. a) 210 možností b) 252 možností zápas možností možností 10. a) 21 pímami b) 19 pímami ružnic 12. a) 36 rzných hod b) 216 rzných hod rzných znae ísel pohled 16. Variací je! rát více než ombinací 17. a) 720 možností b) 240 možností c) 240 možností d) 24 možností zpsob zpsob

14 20. a) pesmye b) pesmye vojá 22. n ( n 3) úhlopíe možností možností možností

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ as e studiu apitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této apitoly budete umt použít záladní pojmy ombinatoriy vztahy pro výpoet ombinatoricých úloh - 6 - Výlad: 0.1 Kombinatoria

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé

Více

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme

Více

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST 1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou

Více

Kombinace s opakováním

Kombinace s opakováním 9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice

Více

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek

Dlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek 1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

9. Kombinatorika, pravd podobnost a statistika

9. Kombinatorika, pravd podobnost a statistika 9. Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 V kódu je na prvním míst jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné íslo od 11 do 45. (Existují

Více

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x) NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru

Více

DIFRAKCE SVTLA. Rozdlení ohybových jev. Ohybové jevy mžeme rozdlit na dv základní skupiny:

DIFRAKCE SVTLA. Rozdlení ohybových jev. Ohybové jevy mžeme rozdlit na dv základní skupiny: DIFRAKCE SVTLA V paprsové optice jsme se zabývali opticým zobrazováním (zrcadly, oami a jejich soustavami). Pedpoládali jsme, že se svtlo šíí pímoae podle záona pímoarého šíení svtla. Ve sutenosti je ale

Více

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD K O N S T R U K E L I H O B Ž N Í K U 2 HOINY Než istouíš samotným onstrucím, zoauj si nejdíve vše, co víš o lichobžnících co to vlastn lichobžní je, záladní druhy lichobžní a jejich vlastnosti. ále si

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a záladní vzdělávání Jaroslav Švrče a oletiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematia a její apliace Tematicý oruh: Práce s daty ombinatoria

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika 1. KOMBINATORIKA Průvodce studiem Na střední škole se někteří z vás seznámili se základními pojmy z kombinatoriky. V této kapitole tyto pojmy zopakujeme a prohloubíme vaše znalosti. Předpokládané znalosti

Více

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn! MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

A 2.C. Datum: 13.5.2010

A 2.C. Datum: 13.5.2010 Jméno: Řešení Datum: 13.5.2010 A 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou

Více

VOLEBNÍ ÁD. pro volby výboru a dozorí rady Spolenosti radiologických asistent R

VOLEBNÍ ÁD. pro volby výboru a dozorí rady Spolenosti radiologických asistent R VOLEBNÍ ÁD pro volby výboru a dozorí rady Spolenosti radiologických asistent R razítko Spolenosti radiologických asistent R podpis pedsedy výboru a dozorí rady SRLA R (1) Voliem je každý ádný len SRLA

Více

VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ

VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH SESTAV YAMACO SOFTWARE 2003-2004 1. ÚVODEM Standardní souástí všech produkt Yamaco Software jsou prostedky

Více

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno

7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno 7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

DUM. Databáze - úvod

DUM. Databáze - úvod DUM Název projektu íslo projektu íslo a název šablony klíové aktivity Tematická oblast - téma Oznaení materiálu (pílohy) Inovace ŠVP na OA a JŠ Tebí CZ.1.07/1.5.00/34.0143 III/2 Inovace a zkvalitnní výuky

Více

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)

Kombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24) Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu.

Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Datový objekt [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Identita Identita datového objektu je jedinený a

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. STR 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. STR 2 < 8.. Otáza číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: b. b Opaování maturitě matematia. roč. STR :.) Zjednodušte:.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Umocněte: 7 7.. Otáza číslo Lineární a vadraticé rovnice.)

Více

íslo ryze periodické íslice /skupina íslic ), která se opakuje nazýváme perioda. V našem p ípad je perioda íslice 6.

íslo ryze periodické íslice /skupina íslic ), která se opakuje nazýváme perioda. V našem p ípad je perioda íslice 6. 2. Racionální ísla 7. roník -2. Racionální ísla 2.1. Vymezení pojmu Každé íslo, které lze vyjáditjako podíl dvou celýchísel, je íslo racionální. Pi podílu dvou celýchísel a a bmohou nastattyto situace

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3.

Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3. Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3. Popis prostedí...4 3.1 Hlavní okno...4 3.1.1 Adresáový strom...4

Více

! " # $ % # & ' ( ) * + ), -

!  # $ % # & ' ( ) * + ), - ! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti

Více

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí.

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Petr Martínek martip2@fel.cvut.cz, ICQ: 303-942-073 27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Multiplexování (sdružování) - jedná se o

Více

PLANIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE

PLANIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE Předmět: Roční: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr Tomáš MŇÁK 17 větna 2012 Název zpracovaného celu: PLNIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE Kružnice je množina všech bodů X v rovině, teré mají od daného

Více

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat? 3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.

Více

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY III. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data pomocí chí-kvadrát testu, korelaní a regresní analýzy. K tomuto budeme používat program Excel 2007 MS Office,

Více

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (

Více

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY YAMACO SOFTWARE 2006 1. ÚVODEM Nové verze produkt spolenosti YAMACO Software pinášejí mimo jiné ujednocený pístup k použití urité množiny funkcí, která

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

É š ž Ú š Ě Í É ň š Č š Č Č š š Č Ř ž ú Ř ž ú ú ň ó ú š ú š ú Ý ň ď ž ž š Ú Ž Í Ž š ž Ž Ť ž ž š š Ž ž ú ž ď ž Ťť ň š š Ó ž š Í ž ž Ř ž ú Ř ž Ý ď Ž ň ň š Č š š ó š ď Ž š ň Ž Ú š ž Á š Ý Ť ď Í ď ď ú Ý ú

Více

Zbytky zákaznického materiálu

Zbytky zákaznického materiálu Autoi: V Plzni 31.08.2010 Obsah ZBYTKOVÝ MATERIÁL... 3 1.1 Materiálová žádanka na peskladnní zbytk... 3 1.2 Skenování zbytk... 7 1.3 Vývozy zbytk ze skladu/makulatura... 7 2 1 Zbytkový materiál V souvislosti

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web: Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE

Více

Promnné. [citováno z

Promnné. [citováno z Promnné [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Abychom s datovým objektem mohli v programu njak rozumn pracovat, potebujeme se na nj njakým zpsobem odkázat. Potebujeme Pythonu íct, aby napíklad

Více

PÚ, NÚ teorie, tabulka+opakování: trojčlenka

PÚ, NÚ teorie, tabulka+opakování: trojčlenka VY_42_INOVACE_1SMO47 Projet: Zlepšení výuy na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581 Autor: Marie Smolíová Datum: 8. 2. a 9. 2. 2012 Roční: 7. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor:

Více

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo

Více

Lineární algebra Petriho sítí

Lineární algebra Petriho sítí ) Notace Lineární algebra Petriho sítí Definice: Neznaená PN je taková tveice Q = P Pre Post kde P = {P P n } je množina míst (konená nenulová) = { m } je množina pechod (konená nenulová) Pre: P {} vstupní

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti

Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti Martina Litschmannová Ostrava 2011 VŠB TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky Úvod Mílí čtenáři, skripta Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti a Úvod do statistiky

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

2 ELEMENTÁRNÍ POET PRAVDPODOBNOSTI. as ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt

2 ELEMENTÁRNÍ POET PRAVDPODOBNOSTI. as ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt 2 ELEMENTÁRNÍ OET RAVDODOBNOSTI as ke studiu kapitoly: 70 minut Cíl: o prostudování této kapitoly budete umt charakterizovat teorii pravdpodobnosti a matematickou statistiku vysvtlit základní pojmy teorie

Více

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící

Více

NÁVOD K POUŽÍVÁNÍ SN EN 1298

NÁVOD K POUŽÍVÁNÍ SN EN 1298 MALÉ POJÍZDNÉ SKLÁDACÍ LEŠENÍ AKG 170 Výrobce: FINTES Aluminium s.r.o. Píbraz 152 378 02 Stráž nad Nežárkou NÁVOD K POUŽÍVÁNÍ SN EN 1298 Tento návod musí být vždy k dispozici v míst používání lešení SESTAVOVAT

Více

Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema

Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Jaroslav Šmarda, smarda@vema.cz Vema, a. s., www.vema.cz Abstrakt Spolenost Vema patí mezi pední dodavatele informaních systém v eské a Slovenské republice.

Více

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Sémantika programovacích jazyk: Syntaxe a sémantika Syntaxe a sémantika Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Ti hlavní charakteristiky jazyka (sémiotika) jsou: - syntax, sémantika a pragmatika

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. Úloha 1 - Koupě nového televizoru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Chceme si oupit nový televizor v hodnotě 000,-Kč. Bana nám půjčí, přičemž její úroová sazba činí 11%. Předpoládejme, že si půjčujeme na jeden ro a

Více

1.5.7 Prvočísla a složená čísla

1.5.7 Prvočísla a složená čísla 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí:

Více

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8. GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí

Více

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí

MATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistia Přílady a otázy Petr Hebá a Hana Salsá GAUDEAMUS 2011 Autoři: prof. Ing. Petr Hebá, CSc. Autoři: prof. RNDr. Hana Salsá, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Tatiana Gavalcová, CSc.

Více

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,

9) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, Kombinatorika konzultační příklady 1) Z města A do města B vedou 2 cesty. Z města B do města C vedou 3 cesty. Kolika způsoby lze dojít z města A do města C? 2) Určete počet všech přirozených trojciferných

Více

Samostatná práce pro nadané žáky z matematiky

Samostatná práce pro nadané žáky z matematiky Samostatná práce pro nadané žáky z matematiky 3. roník RNDr. Marta Makovská, kvten 2012 Financováno z projektu. CZ.01.07/1.2.09/01.0010 GG OP VK Jihomoravského kraje. 1 Obsah I. Jednotky asu.... 3 II.

Více

3. Mocninné a Taylorovy řady

3. Mocninné a Taylorovy řady 3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole

Více

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností

Více

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna

Více

Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012

Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 6.roníku Aritmetika desetinná ísla, dlitelnost pirozených ísel Geometrie úhel a jeho velikost,

Více

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku 6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyu Úol : Určete Youngův modul pružnosti drátu metodou přímou (z protažení drátu). Prostudujte doporučenou literaturu: BROŽ, J. Zálady fyziálních měření..

Více

Instalace multiimportu

Instalace multiimportu Instalace multiimportu 1. Rozbalit archiv multiimportu (nap. pomocí programu Winrar) na disk C:\ Cesta ve výsledném tvaru bude: C:\MultiImport 2. Pejdte do složky Install a spuste soubor Install.bat Poznámka:

Více

Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly.

Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly. Výkaz rozvaha Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly. Po spuštní modulu se zobrazí základní okno výkazu: V tabulce se zobrazují sloupce výkazu. Ve

Více

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - IMPORTU DAT DO PÍSLUŠNÉ EVIDENCE YAMACO SOFTWARE 2005 1. ÚVODEM Všechny produkty spolenosti YAMACO Software

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

2. M ení t ecích ztrát na vodní trati

2. M ení t ecích ztrát na vodní trati 2. M ení t ecích ztrát na vodní trati 2. M ení t ecích ztrát na vodní trati 2.1. Úvod P i proud ní skute ných tekutin vznikají následkem viskozity t ecí odpory, tj. síly, které p sobí proti pohybu ástic

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010

Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

øez A ( 1:100) pùdprys 3.n.p. pùdprys 2.n.p. pùdprys 1.n.p. ( m 1:100) A A A A E N

øez A ( 1:100) pùdprys 3.n.p. pùdprys 2.n.p. pùdprys 1.n.p. ( m 1:100) A A A A E N W S E N A A A A A A ( m 1:100) byt 1 byt 2 pùdprys 1.n.p. pùdprys 2.n.p. pùdprys 3.n.p. øez A ( 1:100) 2323 ok Prvodní technická zpráva - 1 - 2323 ok Container for life Koncept Koncept se zabývá širším

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Stanovy a jednací ád Studentského parlamentu msta Tebíe

Stanovy a jednací ád Studentského parlamentu msta Tebíe Stanovy a jednací ád Studentského parlamentu msta Tebíe lánek I Úvodní ustanovení a) Stanovy a jednací ád Studentského parlamentu msta Tebíe (dále jen Parlament) upravuje pípravu, svolání, prbh jednání.

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND. Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,

Více

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! MA1ACZMZ07DT. Pokyny pro vyplňování záznamového archu

MATEMATIKA 1 4 A B C D. didaktický test. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! MA1ACZMZ07DT. Pokyny pro vyplňování záznamového archu MAACZMZ07DT MATURITA NANEČISTO 007 MATEMATIKA didaticý test Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém sešitu. Odpovědi pište do záznamového archu. Používejte rýsovací

Více

Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single

Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu Sudoku hlavolam (puzzle) obsahuje celkem 81 bunk (cells), devt vodorovných ádk (rows), devt svislých sloupc (columns) a devt skupin po 3 3 bukách nazývaných bloky

Více

Smrnice pro oznaování jednotek a vedení registru organizaních jednotek Junáka

Smrnice pro oznaování jednotek a vedení registru organizaních jednotek Junáka Smrnice pro oznaování jednotek a vedení registru organizaních jednotek Junáka 1. Základní a úvodní ustanovení (1) Smrnice v návaznosti na Organizaní ád Junáka uruje pravidla pro oznaování jednotek Junáka

Více

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE

MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 PŘEDNÁŠKA 5 MULTIKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ VEKTOROVÁ OPTIMALIZACE OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáša 5 Multiriteriální rozhodování

Více

Aditivní barevný model RGB pidává na erné stínítko svtla 3 barev a tak skládá veškeré barvy. Pi použití všech svtel souasn tak vytvoí bílou.

Aditivní barevný model RGB pidává na erné stínítko svtla 3 barev a tak skládá veškeré barvy. Pi použití všech svtel souasn tak vytvoí bílou. Model CMYK V praxi se nejastji používají 4 barvy inkoust a sice CMYK (Cyan Azurová, Magenta Purpurová, Yellow - Žlutá a Black - erná). ist teoreticky by staily inkousty ti (Cyan, Magenta a Yellow) ale

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104

9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104 9.1.6 Permutace I Předpoklady: 9101, 9102, 9104 Pedagogická poznámka: První tři příklady jsou opakování, je možné je přeskočit, nebo použít na zkoušení. Př. 1: Vyřeš slovní úlohy. a) Na plese se losuje

Více