1 Popisná statistika. 2 Základy kombinatoriky. x = {15; 12; 18; 14; 21; 15; 17; 14; 25; 13},

Transkript

1 Příklady na procvičování 1 Popisná statistika Příklad 1.1 Určete první, druhé a výběrové druhé momenty datových souborů x = {15; 12; 18; 14; 21; 15; 17; 14; 25; 13}, y = {9; 21; 15; 32; 11; 5; 17; 12; 22; 11}. [ viz návody ] Příklad 1.2 Určete střední hodnotu, směrodatnou odchylku a rozptyl, výběrovou směrodatnou odchylku a rozptyl, modus, medián a rozpětí datového souboru x 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 1; 2; 3; 2; 2; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 2; 2; 1; 1; 1; 2; 3; 1; 2; 1; 1; 2; 2; 1; 3; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 2; 2; 3; 1; 1; 3; 1; 3; 2; 2; 1; 2; 3; 2; 3; 3; 3; 1; 3; 2; 2; 2; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 1; 1; 3; 2; 2; 2; 2; 3; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 3; 2. [ viz návody ] Příklad 1.3 Určete medián, dolní a horní kvartil, rozpětí, mezikvartilové rozpětí a variační koeficient datového souboru a) x = {2; 15; 12; 25; 8; 19; 14; 6}, b) x = {6; 8; 1; 4; 6; 7; 4}. [ viz návody ] Příklad 1.4 Statistickým šetřením byla získána následující data (x i jsou hodnoty, n i četnosti) x i = {5; 6; 7; 8; 9}, n i = {19; 2; 4; 18; 7}. Určete počet dat n, střední hodnotu x, modus ˆx, median x, dolní kvartil x 25, horní kvartil x 75, rozpětí R, mezikvartilové rozpětí IQR, výběrový rozptyl s 2 a výběrovou směrodatnou odchylku s. 2 Základy kombinatoriky [ viz návody ] Příklad 2.1 Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. [ 648 ] 1

2 Příklad 2.2 Je dán čtverec a na každé jeho straně je zvoleno n vnitřních bodů. Určete počet všech různých trojúhelníků, jejichž vrcholy leží na různých stranách čtverce ve vyznačených bodech. [ 4n 3 ] Příklad 2.3 V botníku je po jednom páru pohorek, tenisek, sandálů, hnědých a černých polobotek. Kolika způsoby z nich lze vybrat a) nejdříve levou a pak pravou botu, které k sobě nepatří; b) pár bot, které k sobě nepatří; c) dvě boty, které k sobě nepatří? [ a) 20, b) 40, c) 80 ] Příklad 2.4 V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má vybrat jablko nebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnost výběru. [ jablko ] Variace Příklad 2.5 Určete, kolik dvojjazyčných slovníků je třeba vydat, aby byla zajištěna možnost vzájemného přímého překladu z ruského, anglického, německého a francouzského jazyka? [ 12 ] Příklad 2.6 Na MS v hokeji hraje 8 družstev. Kolika způsoby jim lze udělit zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili. [ 336 ] Příklad 2.7 cifry různé. Určete počet všech šesticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou všechny [ ] Příklad 2.8 Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6, 7, a to každá nejvýše jednou. [ 22 ] Příklad 2.9 nesmí opakovat? Kolik sudých trojciferných čísel lze vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3, jestliže se číslice [ 10 ] Příklad 2.10 Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7. [ 96 ] 2

3 Příklad 2.11 Určete, kolika způsoby je na pětimístné lavici možno posadit pět dětí, z nichž dva chtějí sedět vedle sebe. [ 48 ] Příklad 2.12 Určete počet všech přirozených čísel a) trojciferných, sestavených pouze z číslic 1, 3, 5, 7, 9, b) pěticiferných, sestavených pouze z číslic 1, 3, 5. [ a) 125, b) 243 ] Příklad 2.13 Přístupový kód do trezoru je tvořen posloupností tří písmen a čtyř číslic. Kolik různých kódů je možno sestavit, máme-li k dispozici 28 písmen? [ ] Příklad 2.14 Kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit pomocí nejvýše čtyřprvkových skupin teček a čárek? [ 30 ] Kombinace Příklad 2.15 K volejbalovému turnaji se přihlásilo 6 družstev. Kolik utkání se bude hrát, bude-li hrát každý s každým? [ 15 ] Příklad 2.16 Kolik přímek je určeno deseti body, jestliže právě čtyři z nich leží na přímce? [ 40 ] Příklad 2.17 Ve třídě je 19 chlapců a 12 dívek. Kolika způsoby z nich lze vybrat tříčlennou skupinu, v níž jsou 2 chlapci a jedna dívka? [ ] Příklad 2.18 Určete, kolika způsoby lze na šachovnici vybrat trojici polí tak, aby všechna pole nebyla téže barvy. [ ] Příklad 2.19 Určete, kolika způsoby lze na šachovnici vybrat trojici polí tak, aby všechna ležela v témže sloupci. [ 448 ] Příklad 2.20 Ze sedmi mužů a čtyř žen se má vybrat šestičlenná skupina, v níž jsou alespoň tři ženy. Kolika způsoby to lze provést? [ 161 ] Příklad 2.21 Ve společnosti šesti lidí si přit ukl každý s každým. Kolik cinknutí se ozvalo? [ 15 ] 3

4 3 Jevová pravděpodobnost Příklad 3.1 Definujte pravděpodobnostní prostor pro náhodný pokus spočívající v hodu dvěma mincemi. Jako výsledek pokusu bereme a) S - padne-li stejné na obou mincích a R - padne-li různé; b) R - padnou-li dva ruby, L - padnou-li dva lícy a N - padnou-li nestejné strany; c) uspořádané dvojice stran (R nebo L), které padly na první a druhé minci. [ viz návody ] Příklad 3.2 Definujte pravděpodobnostní prostor pro náhodný pokus, spočívající v hodu dvěma kostkami. Jako výsledek pokusu bereme a) uspořádané dvojice bodů na první a druhé kostce; b) součet bodů na obou kostkách. [ viz návody ] Příklad 3.3 Definujte pravděpodobnostní prostor pro náhodný pokus, spočívající ve vylosování dvou korálků z krabičky, ve které je 5 bílých, 3 modré a 2 zelené korálky. Za výsledky pokusu považujeme uspořádané dvojice barev vytažených korálků. Tažení uvažujeme a) s vracením prvního korálku před druhým tahem; b) bez vracení prvního korálku před druhým tahem. [ viz návody ] Příklad 3.4 Provedeme 10 hodů hrací kostkou. Jako výsledek bereme počet šestek, které padly. Napište pravděpodobnostní prostor tohoto náhodného pokusu. [ viz návody ] 4 Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Příklad 4.1 Jaká je pravděpodobnost výhry 1. ceny ve sportce při jednom vsazení? (Je třeba uhodnout 6 čísel ze 46.) [ ] Příklad 4.2 S jakou pravděpodobností bude při jednom hodu třemi kostkami součet bodů 5? [ 1 36 ] Příklad 4.3 Ve třídě je 25 dívek a 15 chlapců. Náhodně vybereme tři žáky. Jaká je pravděpodobnost, že to budou dva chlapci a jedna dívka? [ ] Příklad 4.4 Ve třídě je 20 žáků. Mezi nimi jeden Oldřich a jedna Božena. Jména žáků napíšeme na lístky a vylosujeme dvě skupiny, větší 8 žáků a menší 5 žáků (7 žáků nebude vylosováno). S jakou pravděpodobností a) Oldřich a Božena nebudou vylosováni? b) Oldřich a Božena budou vylosováni do stejné skupiny? c) Božena bude vylosována do jedné skupiny, zatímco Oldřich nebude vylosován? 4

5 [ a) 0.11, b) 0.2, c) 0.24 ] Příklad 4.5 V krabici je 6 bílých kuliček a 4 černé kuličky. Náhodně vylosujeme 2 kuličky. S jakou pravděpodobností a) nebude vybrána ani jedna bílá kulička? b) bude vybrána jedna bílá a jedna černá kulička? c) obě kuličky budou bílé? [ a) 0.13, b) 0.53, c) 0.33 ] Příklad 4.6 Čtverec je třemi vodorovnými a třemi svislými čarami rozdělen na šachovnici 4x4. Do každého řádku je na jedno z jeho čtyř polí umístěn hrací kámen. S jakou pravděpodobností v každém sloupci leží právě jeden kámen? Příklad 4.7 Na poličce je náhodně rozestaveno 10 knih. Určete pravděpodobnost, že: a) určité 3 knihy jsou v určitém pořadí postaveny vedle sebe, b) určité 3 knihy jsou postaveny vedle sebe. [ 3 32 ] [ a) 1 90, b) 1 15 ] Příklad 4.8 Tři muži a tři ženy obsadí náhodně šest míst kolem stolu. S jakou pravděpodobností sedí kolem stolu střídavě? [ 0.1 ] Příklad 4.9 V krabici je 8 kuliček s čísly 1, 2,..., 8. Postupně (bez vracení vytáhneme všechny kuličky. S jakou pravděpodobností v prvních třech tazích bude pořadí tahu shodné s číslem kuličky? [ ] Příklad 4.10 Číslice 1, 2, 3, 4, 5 jsou napsány na lístcích. Náhodně vybereme tři lístky a položíme je vedle sebe v tom pořadí, jak jsme je vybrali. S jakou pravděpodobností vzniklé trojciferné číslo bude sudé? [ 2 5 ] Příklad 4.11 Ze 32 hracích karet vybíráme dvakrát za sebou jednu kartu. Určete pravděpodobnost, že a) obě karty jsou esa, jestliže jsme první kartu nevrátili; b) obě karty jsou stejné barvy (např. srdce), jestliže jsme první vytaženou kartu opět vrátili zpět. [ a) 0.012, b) 0.25 ] Příklad 4.12 V dodávce 100 kusů křišt álových váz je 5 vadných. Při kontrole vybereme náhodně 4 kusy. S jakou pravděpodobností a) jedna vybraná váza je vadná? b) alespoň jedna z vybraných váz je vadná? [ a) 0.176, b) ] 5

6 Příklad 4.13 Výrobky považujeme za vadné, když nemají předepsanou hmotnost nebo rozměr. Výrobků, které nemají správný rozměr, je 10%, těch, které mají špatnou váhu je 30% a výrobků bez vady je 65%. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek má správnou hmotnost, ale nemá předepsaný rozměr. [ 0.05 ] Příklad 4.14 V antikvariátě se snižuje cena, jestliže má knížka vytržený alespoň jeden list, nebo je počmáraná. Knížek s vytrženým listem je 20%, počmáraných knížek je 30% a bezvadných je 70%. S jakou pravděpodobností je náhodně vybraná knížka počmáraná, ale má všechny stránky? [ 0.1 ] Příklad 4.15 V loterii je n losů, ze kterých m vyhrává. Někdo si koupil k losů. S jakou pravděpodobností vyhraje? [ viz návody ] Příklad 4.16 V klobouku je 10 lístků, na kterých jsou napsána jména 6 chlapců a 4 dívek. Lístky zamícháme a postupně dva z nich vylosujeme. Jaká je pravděpodobnost, že na nich budou jména dvou chlapců, jestliže: a) první lístek vrátíme a druhý losujeme opět ze všech lístků? b) první lístek nevrátíme a druhý losujeme z těch, co zůstaly? [ a) 0.36, b) 1 3 ] Příklad 4.17 V urně je 5 bílých a 7 černých kuliček. Vytáhneme za sebou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost vytažení dvou bílých kuliček, jestliže se po prvním tahu kulička a) nevrátí, b) vrátí. [ a) 0.15, b) 0.17 ] Příklad 4.18 Závod vykazuje při výrobě 10% zmetkovost. Určete pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými výrobky nebude ani jeden vadný. [ ] Příklad 4.19 Dodávku 100 výrobků kontrolujeme náhodným výběrem. Celou dodávku považujeme za dobrou, jestliže v sérii pěti vybraných výrobků nebude žádný výrobek vadný. S jakou pravděpodobností dodávka nebude dobrá, jestliže v ní je 5% vadných výrobků? [ 0.23 ] Geometrická pravděpodobnost Příklad 4.20 Na úsečce délky 1 jsou (rovnoměrně) náhodně zvoleny 2 body. Jaká je pravděpodobnost, že jejich vzdálenost bude menší než 1/3? [ 5 9 ] 6

7 Příklad 4.21 Do kruhu o poloměru R je vepsán čtverec. Poté je do kruhu náhodně vhozen bod. S jakou pravděpodobností tento bod padne do vepsaného čtverce? [ 2 π ] Příklad 4.22 Rovina je rozdělena systémem rovnoběžek ve vzdálenostech 6 cm. Poté je na ni vhozen kruh o poloměru 1. S jakou pravděpodobností kruh neprotne žádnou rovnoběžku? [ 2 3 ] Příklad 4.23 Hodiny, které nebyly správně nataženy, se zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi šestkou a devítkou? [ 1 4 ] Příklad 4.24 Necht pro dvě náhodně zvolená čísla x, y platí 0 < x 1, 0 < y 1. S jakou pravděpodobností jejich součet není větší než 1 a součin není menší než 0,09? [ ] Příklad 4.25 Tyč dlouhá d je náhodně rozlomená na 3 kusy. S jakou pravděpodobností lze ze tří vzniklých částí sestrojit trojúhelník? [ 1 4 ] Příklad 4.26 Dvě osoby mají stejnou možnost přijít na domluvené místo v jakoukoli dobu mezi dvanáctou a třináctou hodinou a jejich příchody jsou nezávislé. Ten, kdo přijde první, čeká na druhého dvacet minut a pak odejde. S jakou pravděpodobností se setkají? [ 5 9 ] Podmíněná pravděpodobnost a nezávislé jevy Příklad 4.27 Údaje o 100 narozených dětech jsou v tabulce: Váha do 3 kg Váha nad 3 kg Výška do 50 cm Výška nad 50 cm 15 5 Náhodně vybereme jedno dítě. Řekneme, že nastal jev A, jestliže vybereme dítě s váhou do 3 kg, nastal jev B, jestliže vybereme dítě s výškou do 50 cm. Rozhodněte, zda jevy A a B jsou závislé. [ Jsou nezávislé. ] 7

8 Příklad 4.28 Výrobek je postupně obráběn na dvou strojích. Pravděpodobnost kvalitního zpracování výrobku na prvním stroji je 0,8 a na druhém stroji 0,9. Stroje pracují nezávisle na sobě. Jaká je pravděpodobnost zhotovení kvalitního výrobku, tj. výrobku, který nebyl pokažen ani na jednom stroji? [ 0.72 ] Příklad 4.29 Přístroj je sestaven z 300 nezávisle pracujících součástek. Pravděpodobnost poruchy každé ze součástek za jednu směnu je 0,01. S jakou pravděpodobností v náhodně vybrané směně bude přístroj pracovat bez poruchy? [ ] Příklad 4.30 Jevy A, B a C jsou vzájemně nezávislé a všechny mají pravděpodobnost 0,8. S jakou pravděpodobností při jednom pokusu a) nastanou všechny tři jevy současně, b) nenastane ani jeden z jevů, c) nastane pouze jev A, d) nastane právě jeden z těchto jevů. [ a) 0.512, b) 0.008, c) 0.032, d) ] Příklad 4.31 Podíl žárovek ve skladu od určitého výrobce je 40%. Z těchto žárovek je 90% první jakosti. S jakou pravděpodobností náhodně vybraná žárovka je od tohoto výrobce a je první jakosti? [ 0.36 ] Příklad 4.32 Házíme dvěma kostkami. S jakou pravděpodobností a) padne součet větší než 6, jestliže na první kostce padla dvojka? b) padne součet větší než 9, jestliže na první kostce padlo sudé číslo? [ a) 1 3, b) 2 9 ] Příklad 4.33 Z celkové produkce závodu je 4% zmetků. Z dobrých výrobků je 75% standardních. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek je standardní? [ 0.72 ] Příklad 4.34 Tři sportovci hází nezávisle jeden na druhém oštěpem. První překoná hranici 80m průměrně v 80%, druhý v 70% a třetí v 50% hodů. Každý z nich jednou hodí. S jakou pravděpodobností bude překonaná hranice 80m? [ 0.97 ] Příklad 4.35 Je známo, že první skupina studentů vyřeší úlohu s pravděpodobností 2/5, druhá s pravděpodobností 1/3. Obě skupiny řeší úlohu nezávisle na sobě. S jakou pravděpodobností bude úloha vyřešena? [ 0.6 ] 8

9 Příklad 4.36 Dva sportovci střílejí nezávisle na stejný cíl. Pravděpodobnost, že cíl zasáhne první, je 0,9 a druhý 0,8. S jakou pravděpodobností nezasáhne cíl ani jeden z nich? [ 0.02 ] Příklad 4.37 Přes kanál se přenáší binární signál. Pravděpodobnost změny 0 nebo 1 na opačný znak je 1%, nezávisle na předchozím znaku. Vyslali jsme signál S jakou pravděpodobností a) se signál přenese správně? b) se přenesla kombinace 11110? [ a) 0.951, b) ] Příklad 4.38 Střelec třikrát nezávisle vystřelil na cíl. Pravděpodobnost zásahů je postupně 0,5; 0,6; 0,8. S jakou pravděpodobností bude v cíli a) právě jeden zásah? b) alespoň jeden zásah? [ a) 0.26, b) 0.96 ] Příklad 4.39 Pravděpodobnost, že zákazník vejde do obchodu v průběhu jedné minuty je 0,01. S jakou pravděpodobností v průběhu 100 minut vejdou do obchodu tři zákazníci? [ ] Příklad 4.40 S jakou pravděpodobností při pěti nezávislých hodech kostkou padne a) šestka pouze při druhém a čtvrtém hodu? b) šestka právě dvakrát? [ a) 0.016, b) 0.16 ] Příklad 4.41 Pravděpodobnost, že dodávka bude mít více než 2% vadných výrobků, je 0,08. S jakou pravděpodobností bude ve třech dodávkách z dvaceti více než 2% vadných výrobků? [ 0.14 ] Příklad 4.42 Při pokusu byl křížen bílý a fialový hrách. Podle zákonů dědičnosti by měly být 3/4 potomků fialové a 1/4 bílá. Vzklíčilo 10 rostlin. S jakou pravděpodobností a) žádná rostlina nebude bílá? b) alespoň tři rostliny budou fialové? c) fialových bude alespoň 6 a nejvíce 8? [ a) 0.056, b) 0.999, c) ] Příklad 4.43 Pravděpodobnost, že ve čtyřech pokusech nastane alespoň jednou jev A je 0,59. S jakou pravděpodobností jev A nastane v jednom pokuse, jestliže pravděpodobnost je v každém pokuse stejná a pokusy jsou nezávislé? [ 0.2 ] 9

10 Příklad 4.44 Ve třídě, kde poměr chlapců a dívek je 7:3, studuje s vyznamenáním pětina chlapců a desetina dívek. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný zástupce třídy bude studovat s vyznamenáním? [ 0.17 ] Příklad 4.45 S jakou pravděpodobností při hodu dvěma mincemi padly dva ruby, jestliže víme, že padl alespoň jeden rub? [ 1 3 ] Pravděpodobnost sjednocení jevů Příklad 4.46 V loterii je 1000 losů. Jeden z nich vyhrává 1. cenu, 5 losů 2. cenu a 20 losů 3. cenu. S jakou pravděpodobností zakoupený los vyhraje? [ ] Příklad 4.47 Pravděpodobnost úspěchu určité akce je 0,8 při prvním pokusu a 0,9 při druhém pokusu. Jaká je pravděpodobnost alespoň jednoho úspěchu, jestliže výsledek prvního pokusu neovlivňuje pravděpodobnost druhého pokusu? [ 0.98 ] Příklad 4.48 Přístroj je sestaven z 300 nezávisle pracujících součástek. Pravděpodobnost poruchy každé ze součástek za jednu směnu je 0,01. S jakou pravděpodobností v náhodně vybrané směně bude mít alespoň jedna součástka přístroje poruchu? [ ] Příklad 4.49 Při náhodném pokusu může nastat jeden z jevů A B; Ā B; A B; Ā B. Všechny tyto jevy mají stejnou pravděpodobnost 0,25. Jaká je pravděpodobnost jevu A, jevu B a jevu A B? [ 0.5, 0.5, 0.75 ] Příklad 4.50 S jakou pravděpodobností ve sportce vyhrajeme alespoň pátou cenu (tj. uhodneme alespoň dvě čísla z šesti vsazených při celkovém počtu čísel 46)? [ ] Příklad 4.51 Přístroj je sestaven ze tří na sobě nezávisle pracujících částí. Ve sledovaném časovém intervalu je pravděpodobnost poruchy každé z jeho částí 0,1. S jakou pravděpodobností a) ani jedna z částí nebude mít poruchu? b) všechny části budou mít poruchu? c) právě jedna část bude mít poruchu? d) alespoň jedna část bude mít poruchu? 10 [ a) 0.729, b) 0.001, c) 0.243, d) ]

11 Příklad 4.52 K osevu byly vybrány dvě odrůdy pšenice, a to 20% 1. odrůdy a 80% 2. odrůdy. Pravděpodobnost vyklíčení 1. odrůdy je 0,95 a 2. odrůdy 0,98. S jakou pravděpodobností náhodně vybrané zrno vyklíčí? [ ] Příklad 4.53 Dva střelci střílejí nezávisle na cíl. Pravděpodobnost zásahu prvního je 0,7 a druhého 0,8. S jakou pravděpodobností při současném výstřelu zasáhne cíl alespoň jeden z nich? [ 0.94 ] Příklad 4.54 Skokan do dálky má tři nezávislé pokusy na to, aby se zlepšil. Přitom pravděpodobnost zlepšení je v každém pokusu stejná, rovna 1/3. S jakou pravděpodobností se skokan během tří pokusů zlepší? [ ] Příklad 4.55 Systém se skládá ze tří zařízení jejichž pravděpodobnosti bezporuchového chodu jsou postupně 0,7; 0,8; 0,8. Určete pravděpodobnost bezporuchového chodu systému, jsou-li zařízení zapojena a) v sérii, b) paralelně. [ a) 0.448, b) ] Příklad 4.56 Mezi 100 výrobky je 15 vadných. Náhodně vybereme 10 výrobků. S jakou pravděpodobností ve výběru budou nejvýše dva vadné výrobky? [ 0.83 ] Příklad 4.57 Z dvanácti součástek jsou 2/3 bezvadných a 1/3 vadných. S jakou pravděpodobností při současném vytažení tří součástek bude mezi nimi alespoň jedna vadná? [ ] Příklad 4.58 V urně je jeden bílý a čtyři černé míčky. Dvě osoby vytahují střídavě a bez vracení vždy po jednom míčku. Vyhrává ten, kdo první vytáhne bílý míček. S jakou pravděpodobností to bude ten, kdo začíná? [ 3 5 ] Příklad 4.59 V urně jsou tři bílé, pět černých a dva červené míčky. Dvě osoby vytahují střídavě a bez vracení vždy po jednom míčku. Vyhrává ten, kdo první vytáhne bílý míček a při tahu červeného míčku končí hra nerozhodně. S jakou pravděpodobností vyhraje ten, kdo začíná? [ ] Příklad 4.60 Dva hráči házejí postupně mincí. Vyhrává ten, komu padne jako první líc. S jakou pravděpodobností vyhraje první z hráčů? [ 2 3 ] 11

12 Nezávislé pokusy Příklad 4.61 S jakou pravděpodobností při 5 hodech kostkou padne alespoň jednou šestka? [ ] Příklad 4.62 Test obsahuje 10 otázek a na každou z nich jsou 4 možné odpovědi (z nichž jen jedna je správná). Student se neučil a otázky zatrhává zcela náhodně. S jakou pravděpodobností zatrhne alespoň 5 otázek správně? [ ] Příklad 4.63 Je známo, že určitý lék úspěšně léčí dané onemocnění v 90% případů. S jakou pravděpodobností alespoň čtyři z pěti pacientů budou tímto lékem vyléčeni? [ ] Příklad 4.64 Automat vyrobí za minutu 10 součástek. Pravděpodobnost vyrobení vadné součástky je 0,01. Po kolika minutách bude pravděpodobnost, že byl vyroben alespoň jeden zmetek, rovna minimálně 0,8? [ 16 ] Příklad 4.65 Pravděpodobnost, že spotřeba elektrické energie ve všední den určitého ročního období přesáhne stanovenou normu, je 0,3. S jakou pravděpodobností v pěti náhodně vybraných všedních dnech nebude norma ani jednou překročena? [ ] Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Příklad 4.66 Na skladě jsou součástky ze tří továren. První továrna má průměrně 0,3%, druhá 0,2% a třetí 0,4% zmetků. První továrna dodala 1000, druhá 2000 a třetí 2500 součástek. S jakou pravděpodobností náhodně vybraná součástka bude zmetek? [ ] Příklad 4.67 V dílně pracuje 20 dělníků, kteří vyrábějí stejné součástky. Každý z nich vyrobí za směnu stejné množství. Deset z nich vyrobí 94% výrobků 1.třídy, šest 90% a čtyři 85%. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný výrobek bude 1.třídy? [ 0.91 ] 12

13 Příklad 4.68 Při sportovní střelbě volí střelec náhodně jednu ze čtyř pušek. Pravděpodobnosti zásahu jednotlivých pušek jsou 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Jaká je pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu? [ 0.75 ] Příklad 4.69 Na skladě je 70% přístrojů první jakosti a 30% druhé jakosti. Pravděpodobnost, že přístroj 1. jakosti pracuje bez poruchy je 0,95 a přístroj 2. jakosti 0,7. Organizace koupila jeden přístroj a ten pracoval bez poruchy. S jakou pravděpodobností byl přístroj 1. jakosti? [ 0.76 ] Příklad 4.70 Ocelové odlitky jsou kontrolované rentgenovým přístrojem. Ten odhalí chybu v odlitku s pravděpodobností 0,98 a dobrý odlitek označí jako vadný s pravděpodobností 0,001. Je známo, že se chyba vyskytuje ve 0,3% odlitků. S jakou pravděpodobností je výrobek označený přístrojem za chybný skutečně vadný? [ ] Příklad 4.71 Při vyšetřování pacienta je podezření na tři navzájem se vylučující onemocnění. Pravděpodobnost výskytu první choroby je 0,3, druhé 0,5 a třetí 0,2. Laboratorní zkouška je pozitivní u 15% nemocných s první nemocí, 30% nemocných s druhou a 30% nemocných s třetí nemocí. Jaká je pravděpodobnost druhé nemoci, je-li po laboratorním vyšetření výsledek pozitivní? [ ] Příklad 4.72 V dílně pracuje 10 dělníků, kteří za směnu vyrobí stejný počet výrobků. Pět z nich vyrobí 96% standardních výrobků, tři 90% a dva 85%. Náhodně vybereme jeden výrobek a ten je standardní. S jakou pravděpodobností jej vyrobila první skupina dělníků? 5 Náhodná veličina [ 0.52 ] Příklad 5.1 V osudí je pět lístků označených čísly 1,2,3,4,5. Najednou vytáhneme tři lístky. Náhodná veličina X udává součet vytažených čísel. Najděte rozdělení této náhodné veličiny. [ viz návody ] Příklad 5.2 Ze společnosti 10 osob, které tvoří 7 mužů a 3 ženy, vybereme náhodně 3 osoby. Náhodná veličina X udává počet žen ve výběru. Najděte rozdělení této náhodné veličiny. [ P (0) = 0.292, P (1) = 0.525, P (2) = 0.175, P (3) = ] Příklad 5.3 Automobil postupně projíždí křižovatkami se semafory tak dlouho, dokud ho některý ze semaforů nezastaví. Každý ze semaforů automobil s pravděpodobností 1/3 zastaví a s pravděpodobností 2/3 nechá projet. Náhodná veličina X udává počet křižovatek, kterými automobil projede, než bude zastaven. Najděte její rozdělení. [ P (0) = 0.333, P (1) = 0.222, P (2) = 0.148, P (3) = 0.099P (4) = 0.066,... ] 13

14 Příklad 5.4 Házíme třema kostkami. Náhodná veličina je dána počtem šestek, které při hodu padly. Najděte rozdělení této náhodné veličiny. [ P (0) = , P (1) = , P (2) = , P (3) = ] Příklad 5.5 Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0, 7. Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu zásahů, jestliže výstřely jsou nezávislé. [ P (0) = , P (1) = , P (2) = , P (3) = ] Příklad 5.6 Napište hustotu náhodné veličiny X, řídící se rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti na intervalu 1; 2. [ viz návody ] Příklad 5.7 Náhodná veličina X má rozdělení pravděpodobnosti s hustotou 1 f(x) = c, x (, ). 1 + x2 Určete konstantu c. [ c = 1 π ] Příklad 5.8 Náhodná veličina je dána distribuční funkcí F (x) 0 pro x 0, F (x) = x 2 pro 0 < x 1, 1 pro x > 1. Určete a) hustotu pravděpodobnosti f(x), b) pravděpodobnost P (0, 25 < X < 0, 75). [ a) 2x pro x 0; 1 jinde nula, b) P = 0.5 ] Příklad 5.9 Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X je dána předpisem 0 pro x 1, f(x) = x 1 2 pro 1 < x 2, 0 pro x > 2. Určete distribuční funkci F (x). [ F (x) = 0.5(x 2 x) pro x 1; 2, vlevo nula, vpravo jedna. ] Příklad 5.10 Distribuční funkce náhodné veličiny X je dána předpisem 0 pro x 0, F (x) = a + b sin x pro 0 < x π 2, 1 pro x > π 2. Určete a) konstanty a, b; b) hustotu pravděpodobnosti f(x); c) pravděpodobnost P (0 < X < π 4 ). [ a) a = 0, b = 1, b) f(x) = cos x pro x 0; π/2, c) P = ]

15 Najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, jejíž rozdělení je dáno tab- Příklad 5.11 ulkou x i P (x i ) 1/2 1/4 1/4. [ E[X] = , D[X] = 16 ] Příklad 5.12 Najděte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X, jejíž hustota je x pro 0 < x 1, f(x) = 2 x pro 1 < x 2, 0 jinde. [ E[X] = 1, D[X] = 1 6 ] 6 Rozdělení Příklad 6.1 Automat vyrobí za minutu 20 součástek. Vadnou součástku vyrobí s pravděpodobností Po kolika minutách vyrobí alespoň jednu vadnou součástku s pravděpodobností minimálně 0.8? [ Po osmi minutách. ] Příklad 6.2 Pravděpodobnost, že bude vyroben vadný izolátor, je S jakou pravděpodobností budou mezi 80 vyrobenými izolátory 4 vadné? [ ] Příklad 6.3 Bylo statisticky zjištěno, že na tisíc metrů určité látky připadá průměrně pět kazů. Pro dodávku bylo připraveno 50 stometrových balíků. Jaký počet bezvadných balíků lze v této dodávce očekávat? [ 30 ] Příklad 6.4 Ze zkušenosti víme, že při normálním chodu stroje je v průměru 0.1% výrobků vadných. Ke stroji nastoupil nový pracovník a z výrobků, které zhotovil, bylo 11 vadných. Spadá tento počet do běžného stavu, nebo je vyšší, např. vzhledem k nezkušenosti nového pracovníka? [ Počet vadných výrobků ukazuje na nezkušenost pracovníka. ] 15

16 7 Limitní věty Příklad 7.1 Pravděpodobnost výskytu jevu v jednom pokusu je 0.3. S jakou pravděpodobností lze tvrdit, že relativní četnost výskytu tohoto jevu je ve 100 pokusech v mezích 0.2 až 0.4? [ 0.97 ] Příklad 7.2 Pravděpodobnost, že se za dobu T porouchá přístroj, je 0.2. S jakou pravděpodobností se za dobu T ze 100 přístrojů porouchá a) alespoň 20, b) méně než 28, c) 14 až 26 přístrojů? [ a) 0.5, b) 0.977, c) ] Příklad 7.3 Při jednom pokusu získáme kladný výsledek s pravděpodobností Kolik je třeba provést pokusů, abychom s pravděpodobností 0.8 získali alespoň 5 kladných výsledků? [ n = 144 ] 8 Náhodný výběr Příklad 8.1 Určete hodnotu a, pro níž platí P (Z a) = 0, 01, víte-li, že Z N(0 1) a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení. [ a = ] Příklad 8.2 Určete hodnotu a, pro níž platí P (Z a) = 0, 99, víte-li, že Z N(0 1) a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení. [ a = ] Příklad 8.3 Určete hodnotu a, pro níž platí P (Z > a) = 0, 99, víte-li, že Z N(0 1) a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení. [ a = ] Příklad 8.4 Určete hodnotu a, pro níž platí P (X a) = 0, 01, víte-li, že X N(µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení N(0 1). [ a = ] 16

17 Příklad 8.5 Určete hodnotu a, pro níž platí P (X a) = 0, 99, víte-li, že X N(µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení N(0 1). [ a = ] Příklad 8.6 Určete hodnotu a, pro níž platí P (X > a) = 0, 99, víte-li, že X N(µ σ 2 ), µ = 1, σ 2 = 16 a z 0,01 = 2, 326 je kritická hodnota rozdělení N(0 1). [ a = ] Pravděpodobnost, že náhodná veličina je z intervalu Příklad 8.7 Po silnici se pohybuje kolona 20 vojenských vozidel, která mají vlivem nestejného nákladu, nahuštění pneumatik atd. nestejnou výšku. Ta má normální rozdělení N(µ; σ 2 ), kde µ = 2.93 a σ 2 = Výšky automobilů jsou navzájem nezávislé. V cestě stojí most vysoký 3m. Jaká je pravděpodobnost, že a) první vozidlo neprojede, b) náhodně vybrané vozidlo neprojede, c) všichni projedou. [ a) 0.058, b) 0.058, c) ] Příklad 8.8 Předpokládáme, že pasažéři letecké společnosti Flyways Airline mají průměrnou váhu 75kg se směrodatnou odchylkou 12.5kg. Letadlo má nosnost 3900kg a kapacitu 50 pasažérů. S jakou pravděpodobností bude letadlo při plném obsazení přetíženo? [ P = ] Příklad 8.9 Hmotnost kilového balení má u dobře seřízeného plnícího stroje váhu 1012,5g se směrodatnou odchylkou 7,5g. Kontrola náhodně vybírá několik balení z každé série a zjišt uje, zda jejich průměrná hmotnost je minimálně 1kg. Pokud ne, firma platí pokutu 1500Kč. Jaká je pravděpodobnost pokuty, je-li rozsah výběru a) n = 1 b) n = 4 c) n = 16. [ a) P = 0.048; b) P = ; c) P. = 0 ] Příklad 8.10 V roce 1975 měli muži v Americe příjem normálně rozdělený se střední hodnotou $ a směrodatnou odchylkou $ a) Náhodně vybereme jednoho muže. Jaká je pravděpodobnost, že se jeho plat bude od střední hodnoty lišit o více než $5 000? b) Provedeme výběr o velikosti n = 100 mužů. Jaká je pravděpodobnost, že se jejich průměrný plat bude od střední hodnoty lišit o více než $5 000? 17 [ a) P = 0.532; b) P =. = 0 ]

18 9 Vlastnosti bodových odhadů Příklad 9.1 Je dán výběr X = [X 1,..., X n ] z rozdělení s hustotou f(x) = 1 θ e 1 θ x, x > 0, s prvním a druhým obecným momentem µ 1 = θ a µ 2 = 2θ2. Ukažte, že statistika T = X je nestranným a konzistentním odhadem parametru θ. [ T je nestranný i konzistentní odhad ] Příklad 9.2 Je dán výběr X = [X 1,..., X n ] z rozdělení s hustotou f(x) = λe λx, x > 0, s prvním a druhým obecným momentem µ 1 = 1 λ a µ 2 = 2. λ 2 Ukažte, že statistika T = X je nestranným a konzistentním odhadem parametrické funkce 1 λ. [ T je nestranný i konzistentní odhad ] Příklad 9.3 Je dán výběr X = [X 1,..., X n ] z rozdělení s hustotou f(x) = π(1 π) x, x = 0; 1;... ; π (0; 1), s prvním a druhým obecným momentem µ 1 = 1 π π a µ 2 = π2 3π + 2 π 2. Ukažte, že statistika T = X je nestranným a konzistentním odhadem parametrické funkce 1 π π. [ T je nestranný i konzistentní odhad ] Příklad 9.4 Je dán výběr X = [X 1,..., X n ] z rozdělení s hustotou 2 f(x) = π. 1 x 2 σ e 2σ 2, x (0; ), s prvním a druhým obecným momentem µ 1 = σ 2 π a µ 2 = σ2. Ukažte, že statistika T = π 2 X je nestranným a konzistentním odhadem parametru σ. [ T je nestranný i konzistentní odhad ] Příklad 9.5 Je dán výběr X = [X 1,..., X n ] z rozdělení s hustotou f(x) = π x (1 π) 1 x, x {0; 1}, s prvním a druhým obecným momentem µ 1 = π a µ 2 = π. n i=1 a) Ukažte, že statistika T = p = X i n je nestranným a konzistentním odhadem parametru π. b) Ověřte, zda statistika T = n 1 = n i=1 X i je nestranným a konzistentním odhadem parametrické funkce nπ. 18 [ a) ano oba; b) nestr. ano, konz. ne ]

19 Příklad 9.6 Statistickým průzkumem byl vytvořen výběr 2000 dat x = (x 1,..., x 2000 ). Utvoříme 3 statistiky pro odhad střední hodnoty µ: T 1 : průměr ze všech sudých dat z výběru. T 2 : průměr ze všech lichých dat z výběru. T 3 : průměr z první poloviny dat z výběru. Porovnejte vydatnosti jednotlivých statistik. [ Jsou stejné. ] Příklad 9.7 Pro odhad parametru θ byly vytvořeny tři nestranné a nezávislé statistiky T 1, T 2, T 3, pro něž platí: D[T 1 ] : D[T 2 ] : D[T 3 ] = 2 : 1 : 3. a) Zjistěte, zda statistiky S 1 = 2T 1 T 2 a S 2 = T 1 + T 2 jsou nestranné odhady parametru θ. b) Která ze statistik S 3 = T 1+T 3 2 a S 4 = T 1+T 2 +T 3 3 je vydatnější? [ a) S 1 je, S 2 není nestranná; b) S 4 je vydatnější. ] 10 Konstrukce bodových odhadů Příklad 10.1 Metodou maximální věrohodnosti i momentovou metodou odhadněte parametr δ exponenciálního rozdělení Ex(A, δ) s hustotou f(x) = 1 x A e δ, δ kde je E [X] = δ + A, D [X] = δ 2. [ ˆδ = x A ] Příklad 10.2 Metodou maximální věrohodnosti i momentovou metodou odhadněte parametr π geometrického rozdělení Ge(π) s hustotou f(x) = π(1 π) x, kde je E [X] = 1 π π, D [X] = 1 π π 2. [ ˆπ = 1 x + 1 ] Příklad 10.3 Metodou maximální věrohodnosti i momentovou metodou odhadněte parametr π negativního binomického rozdělení N egbi(π) s hustotou kde je E [X] = n 1 π π, D [X] = n1 π ( ) x + n 1 f(x) = π n (1 π) x, n 1 π 2 [ ˆπ = n x + n ] 19

20 Příklad 10.4 Metodou maximální věrohodnosti odhadněte parametr ω rozdělení s hustotou pro x > 0, ω > 0, (tady π = 3.14). f(x) = 2ω π ωx 2 e 2 [ ˆω = 1 x 2 ] Příklad 10.5 V určitém obchodě byla sledována doba čekání zákazníka na obsluhu a shromážděna následující data X i hodnota n i četnost Předpokládáme, že doba čekání má exponenciální rozdělení f(x) = 1 δ e x δ, x > 0. Metodou maximální věrohodnosti odhadněte parametr δ (střední doba čekání). [ ˆδ = x = 20 ] Příklad 10.6 Na sérii televizorů se prováděly zkoušky. Na každém televizoru byl zaznamenáván počet poruch za dobu 100 hodin. Předpokládáme, že sledovaný znak (počet poruch / 100 hod.) má Poissonovo rozdělení f(x) = e λ. λx x!. Výsledky měření jsou v tabulce X i hodnota n i četnost Metodou maximální věrohodnosti odhadněte parametr λ (střední počet poruch za 100 hod. provozu). [ ˆλ = x = 1 ] Příklad 10.7 Při kontrole výrobků se šesti stejnými součástkami byl zjišt ován počet vadných součástek. Výsledky kontroly jsou v tabulce X i hodnota n i četnost Metodou momentů odhadněte parametr π binomického rozdělení náhodné veličiny X - počet vadných součástek výrobku. Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je ( ) n f(x) = π x (1 π) n x. x [ ˆπ = 0.26 ] 20

21 Příklad 10.8 Po 10 dnů jsme zaznamenávali počet přetržených nití při šití na stroji. Získali jsme následující údaje x i počet Předpokládáme rovnoměrné rozdělení f(x) = 1 2h Metodou momentů určete parametry µ a h. prox {µ h; µ + h}. [ ˆµ = 18.9, ĥ = 2.5 ] Příklad 10.9 Na 200 vzorcích jsme zjišt ovali koncentraci chemické látky v %. Předpokládáme, že koncentrace má rozdělení N(µ; σ 2 ). Výsledky pokusu jsou v tabulce X i hodnota 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3 n i četnost Metodou momentů odhadněte parametry µ a σ 2. [ ˆµ = 1.266, ˆσ2 = ] Příklad Předpokládáme, že obsah síry v sebraných vzorcích rudy má rozdělení N(µ; σ 2 ). Výsledky měření jsou v tabulce X i hodnota 32,4 32,8 33,2 33,6 34,0 34,4 34,8 n i četnost Metodou momentů odhadněte parametry µ a σ 2. [ ˆµ = 33.3, ˆσ2 = 0.31 ] 21

22 Návody k příkladům 11 Popisná statistika Návod 1.1: x = 16.4, y = 15.5, s 2 x = 14.44, s xy = 1.9, s 2 y = a výběrové s 2 (x) = 16.04, s(xy) = 2.11, s 2 (y) = Návod 1.2: x = 1.85, s x = 0.726, s 2 x = 0.528, výběrové s = 0.73, výběrové s 2 = 0.533, modus ˆx = 2, median x = 2, rozpětí R = 2. Návod 1.3: V pořadí ze zadání: a) 13; 7; 17; 23; 10; 0.584; b) 6; 4; 7; 7; 3; Návod 1.4: s = n = 50, x = 6.84, ˆx = 5, x = 7.5, x 25 = 5, x 75 = 8, R = 4, IQR = 3, s 2 = a 12 Základy kombinatoriky Návod 2.1: Návod 2.2: 4n 3n 2n 6 Návod 2.3: a) 5 4, b) 10 4, c) 10 8 Návod 2.4: = 110; 12 9 = 108 Návod 2.5: V 2 (4) Návod 2.6: V 3 (8) Návod 2.7: V 6 (10) V 5 (9) Návod 2.8: V 1 (4) + V 2 (4) + V 2 (3) Návod 2.9: V 2 (3) V 1 (2) + V 2 (3) Návod 2.10: P (5) P (4) Návod 2.11: 2 P (4) 22

23 Návod 2.12: a) V 3(5), b) V 5(3) Návod 2.13: V 3(28) V 4(10) Návod 2.14: V 4(2) + V 3(2) + V 2(2) + V 1(2) Návod 2.15: C 2 (6) Návod 2.16: C 2 (10) C 2 (4) + 1 Návod 2.17: C 2 (19) C 1 (12) Návod 2.18: 2 C 2 (32) C 1 (32) Návod 2.19: 8 C 3 (8) Návod 2.20: C 3 (4) C 3 (7) + C 4 (4) C 2 (7) Návod 2.21: C 2 (6) 13 Jevová pravděpodobnost Návod 3.1: a) Ω = {S, R}, A = {, {S}, {R}, {SR}}, E S R P (E) b) Ω = {R, L, N}, A = {, {R}, {L}, {N}, {RL}, {RN}, {LN}, Ω}, c) Ω = {RR, RL, LR, LL}, A - má 2 4 = 16 prvků, E R L N P (E) E RR RL LR LL P (E) 1 4 Návod 3.2: a) Ω = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3},..., {6, 6}}, A - má 2 36 = prvků, E {1, 1} {1, 2} {1, 3}... {6, 6} P (E) b) Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A - má 2 11 = 2048 prvků, E P (E) Návod 3.3: Společné: Ω = {bb, bm, bz, mm, mz, zz}, A má 2 6 prvků, a) Pravděpodobnost jednoho tahu jsou P (b) = 0.5, P (m) = 0.3, P (z) =

24 Odtud např. P (bb) = 0.5 2, P (bm) = , atd b) Pravděpodobnosti určíme např pomocí kombinací P (bb) = C2(5) C1(5)C1(3) C 2(10), P (bm) = C 2(10), atd. Návod 3.4: Ω = {0, 1, 2,..., 10}, A má 2 11 prvků, pravděpodobnosti: P (k) = ( 10 k ) ( 1 6) k ( 5 6) 10 k, k = 0, 1,..., Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Návod 4.1: 1 C 6(46) Návod 4.2: Návod 4.3: Návod 4.4: Návod 4.5: Návod 4.6: C 2(15) C 1(25) C 3(40) = a) V2(7) V = 21 V2(8)+V2(5) 2(20) 190, b) V 2(20) = a) C2(4) C, b) 6 4 C2(6) 2(10) C 2(10), c) C 2(10) V 4(4) 24 V 4 (4) = 256, c) V1(8) 7+V1(5) 7 V 2(20) = Návod 4.7: a) P (8) P (3)P (8) P (10), b) P (10) Návod 4.8: Návod 4.9: Návod 4.10: Návod 4.11: Návod 4.12: Návod 4.13: 2P (3) P (3) P (6) P (5) P (8) 2V 2(4) V 3(5) a) C2(4) C 2(32), b) 4V 2 (8) V 2 (32) a) 5C3(95) C4(95) C 4(100), b) 1 C 4(100) P (H R ) množinový diagram Návod 4.14: Návod 4.15: P (C S ) množinový diagram 1 C k(n m) C k (n) Návod 4.16: a) V 2 (6) C2(6) V 2 (10), b) C 2(10) Návod 4.17: a) C2(5) C, b) ( ) 5 2 2(12) 12 24

25 Návod 4.18: (1 0.1) 4 Návod 4.19: 1 C5(95) C 5(100) Návod 4.20: /3 0 ( x)dx Návod 4.21: 2R 2 πr 2 Návod 4.22: 4 6 Návod 4.23: Návod 4.24: x dx Návod 4.25: První dva díly označíme x a y. Příznivé výsledky jsou dány plochou: x d 2, y d 2, y d 2 x. Všechny výsledky plochou: x (0, d), y d x. Návod 4.26: Totéž jako Úloha Návod 4.27: Platí P (A B) = P (A) P (B) Návod 4.28: Návod 4.29: (1 0.01) 300 Návod 4.30: a) 0.8 3, b) 0.2 3, c) , d) 3 ( ) Návod 4.31: Návod 4.32: a) , b) 18 Návod 4.33: P (S D)P (D) = 0.75(1 0.04) Návod 4.34: 1 (1 0.8)(1 0.7)(1 0.5) 2 Návod 4.35: = 1 (1 2 5 )(1 1 3 ) Návod 4.36: (1 0.9)(1 0.8) Návod 4.37: a) , b)

26 Návod 4.38: a) 0.5(1 0.6)(1 0.8) + (1 0.5)0.6(1 0.8) + (1 0.5)(1 0.6)0.8, b) 1 (1 0.5)(1 0.6)(1 0.8) Návod 4.39: ( 100 ) Návod 4.40: a) ( 5 3 ( 1 2, ( 6) 6) b) 5 ( 5 3 ( 1 ) 2 2) 6) 6 Návod 4.41: ( 20 3 ) Návod 4.42: a) ( 3 10, ( 4) b) 1 1 ) c) ( ) ( ( 1 4 ( 6 4) 4) + 10 ) ( 3 7 ( 1 3 ( 7 4) 4) + 10 ) ( 3 8 ( 1 ) 2 8 4) 4 ( 1 ) 9 ( ) 2 ( ) 8, Návod 4.43: (1 p) 4 = p = 0.2 Návod 4.44: Návod 4.45: Možné: RR, RL, LR; příznivé: RR Návod 4.46: Návod 4.47: Návod 4.48: Návod 4.49: Použijte vzorce nebo množinový diagram P (A B) = P (A) P (A B) a P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B), Návod 4.50: 1 C6(40)+6C5(40) C 6(46) Návod 4.51: (1 0.1) 3, 0.1 3, 3 0.1(1 0.1) 2, 1 (1 0.1) 3 Návod 4.52: Návod 4.53: = Návod 4.54: 1 ( ) Návod 4.55: a) , b) Návod 4.56: C 10(85) C + 15C9(85) 10(100) C + C2(15)C8(85) 10(100) C 10(100) 26

27 Návod 4.57: 1 C3(8) C 3(12) Návod 4.58: V2(4) V 2(5) P (4) V 4(5) 1 Návod 4.59: Návod 4.60: V2(5) V 2(10) V4(5) V 4(10) 1 2 i=1 ( 1 ) 2i 1 ( 2 = 2 1 i i=1 4) = 2 1/4 1 1/4 Návod 4.61: 1 ( ) Návod 4.62: Návod 4.63: 10 i=5 C i(10)0.25 i i 5 i=4 C i(5)0.9 i i Návod 4.64: 0.99 n = n = asi 16 min Návod 4.65: (1 0.3) 5 Návod 4.66: Návod 4.67: Návod 4.68: Návod 4.69: Návod 4.70: Pozn.: odhalí chybu znamená prohlásí za vadný za podmínky, že je v něm chyba. Návod 4.71: Návod 4.72: Náhodná veličina Návod 5.1: Návod 5.2: x P (x) P (x) = Cx(3) C3 x(7) C 3(10), x = 0, 1, 2, 3 Návod 5.3: P (x) = 1 3 ( 2 ) x 3, x = 0, 1, 2,... 27

28 Návod 5.4: P (x) = C x (3) ( 1 6) x ( 5 6) 3 x, x = 0, 1, 2, 3 Návod 5.5: P (x) = C x (3)0.7 x x, x = 0, 1, 2, 3 Návod 5.6: f(x) = 1 3 pro x [ 1; 2], jinak nula. Návod 5.7: Musí platit: f(x)dx = 1 Návod 5.8: a) Hustota je derivací distribuční funkce. b) P (a < X < b) = F (b) F (a). Návod 5.9: Podle definice je F (x) = x f(ξ)dξ. Integrujeme po částech. Návod 5.10: a) musí platit: F (x) je spojitá, tj. F (0) = 0 a F (π/2) = 1; b) f(x) = ; c) P (X < π/4) = F (π/4) = sin(π/4). df (x) dx Návod 5.11: Pro výpočet použijeme sumaci. Návod 5.12: Pro výpočet použijeme integraci. 16 Rozdělení Návod 6.1: Nezávislé pokusy. Pravděpodobnost n dobrých součástek je (1 0.01) n, a ta se má rovnat Odtud n log(1 0.8) log(1 0.01) = 160. Tento počet součástek se vyrobí za 8 minut. Návod 6.2: Protože p = 0.05 je malé a n = 80 je velké, lze považovat toto rozdělení za Poissonovo, s parametrem λ = np = = 4. Z tabulek určíme P (X = 4) = Návod 6.3: Náhodnou veličinu definujeme jako počet vad na jednom metru. Ta má Poissonovo rozdělení s parametrem λ = np = = 0.5. (Jeden balík má 100 m, na jednom metru je kaz s pravděpodobností 0.005). Pravděpodobnost bezvadného balíku (což je vlastně podíl bezvadných balíků v dodávce) je P (X = 0) = λ0 0! exp { λ} = exp { 0.5} = Bezvadných balíků tedy bude =. 30. Návod 6.4: Pravděpodobnost vadného výrobku je p = Počet výrobků n = Náhodná veličina popisuje běžnou výrobu. Je definována jako počet vadných výrobků ve vyrobených a má Poissonovo rozdělení s λ = np = = 5. Pravděpodobnost, že při běžné výrobě bude 11 nebo více zmetků, je P (X 11) = 1 P (X < 11) = 1 F (11) = Takto vysoký počet zmetků je tedy za běžných okolností velmi nepravděpodobný. 28

29 17 Limitní věty Návod 7.1: Zadání: P (p (0.2; 0.4)) = P 0. Normování: Z = p π n. π(1 π) Přepočet a normování: P (p 0.4) = P (Z 2.18) = (1 P 0 )/2 = Odtud: P 0 = Návod 7.2: Normování: Z = p π n, podíl p = n + /n, kde n + je počet. π(1 π) a) z = = 0.5, P (Z > 0) = 0.5. b) Z = = 1.74, P (Z < 1.74) = c) Z 1 = = 1.3; Z 1 = = 1.3, P (Z ( 1.3; 1.3)) = 1 2 P (Z > 1.3) = = Návod 7.3: Normování: Z = n+ nπ. nπ(1 π) Zadání a normované zadání: P (n + 5) = P n n = 0 n. = 144. ( Z ) n+ 5n = 0.8. Odtud n+ 5n = z 0.8 = 0.84 nπ(1 π) nπ(1 π) 18 Náhodný výběr Návod 8.1: a je 0.01-kritická hodnota, tj. minus 0.01-kvantil. Návod 8.2: a je 0.99-kritická hodnota, tj kvantil. Návod 8.3: a je 0.99-kvantil, tj. minus 0.01-kvantil. Návod 8.4: P (X a) = 0.01 }{{} normování Návod 8.5: P (X a) = 0.99 }{{} normování Návod 8.6: P (X > a) = 0.99 }{{} normování P ( ) Z a 1 4 = 0.01 a 1 4 = ζ 0.01 = P ( ) Z a 1 4 = 0.99 a 1 4 = ζ 0.99 = P ( ) Z > a 1 4 = 0.99 a 1 4 = z 0.99 = Návod 8.7: a) P (X > 3) = P (Z > ) = P (Z > 1.565) = 0.058; b) totéž jako předchozí, c) P ( jeden projede ) = 1 P (X > 3) = 0.941; P ( všichni projedou ) = = Návod 8.8: Náhodná veličina S - součet vah pasažérů má normální rozdělení se střední hodnotou nµ = 50 75, a rozptylem nσ = ( ) ( ) Hledáme P (S > 3900) }{{} = P Z > S nµ nσ = P Z > = P (Z > 1.697) = normování Návod 8.9: X hmotnost ( balení ) N(µ; σ 2 ), µ = , σ = 7.5. Průměrná váha výběru X N µ, σ2 n ( Počítáme: P (X > 1000) = P Z > X µ ) σ n pro n = 1, 4, 16. Návod 8.10: X - plat N(10000, ). 29

30 a) Náhodná veličina: P ( X > 5000) = 2P (X > 15000) = }{{} b) Výběr: ( P ( X > 5000) = 2P Z > X µ σ normování 2P ( ) Z > = ) n = 2P ( ) Z > = Vlastnosti bodových odhadů Návod 9.1: Nestr.: E[T ] = µ 1 = θ. Konz.: D[X] = µ 2 µ 2 1 = 2θ 2 θ 2 = θ 2 ; D[T ] = D[X]/n = θ 2 /n 0 pro n. Návod 9.2: Nestr.: E[T ] = µ 1 = 1/λ. Konz.: D[X] = µ 2 µ 2 1 = 2(1/λ) 2 (1/λ) 2 = (1/λ) 2 ; D[T ] = D[X]/n = (1/λ) 2 /n 0 pro n. Návod 9.3: n. Nestr.: E[T ] = µ 1 = 1 π π. Konz.: D[X] = µ 2 µ 2 1 = 1 π π ; D[T ] = D[X]/n 0 pro 2 Návod 9.4: Nestr.: E[T ] = n. 2 π µ 1 = σ. Konz.: D[X] = µ 2 µ 2 1 = π 2 π σ2 ; D[T ] = D[X]/n 0 pro Návod 9.5: a) E[T ] = µ 1 = π; D[T ] = D[X]/n = π(1 π)/n 0 pro n b) E[T ] = nπ; D[T ] = nd[x] = nπ(1 π) pro n. Návod 9.6: Výběrový průměr je nestranný odhad střední hodnoty. Proto je jeho vydatnost dána rozptylem. Ten je D[T ] = D[X]/n úměrný počtu dat, který je ve všech výběrech stejný. Návod 9.7: a) E[S 1 ] = 2E[T 1 ] E[T 2 ] = 2θ θ = θ, E[S 2 ] = E[T 1 ] + E[T 2 ] = θ + θ = 2θ; b) Označíme: D[T 2 ] = σ 2 D[T 1 ] = 2σ 2, D[T 3 ] = 3σ 2. Potom D[S 3 ] = D [ ] T 1+T 3 2 = 1 4 (D[T 1] + D[T 3 ]) = 5 4 σ2 ; D[S 4 ] = D [ T 1+T 2+T 3 ] 3 = 1 9 (D[T 1] + D[T 2 ] + D[T 3 ]) = 2 3 σ2. 20 Konstrukce bodových odhadů Návod 10.1: Q = 1 δ ; U = x A; S = n(x A); R = ln δ Návod 10.2: Q = ln(1 π); U = x; S = nx; R = ln π Návod 10.3: Q = ln(1 π); U = x; S = nx; R = n ln π Návod 10.4: Q = ω 2 ; U = x2 ; S = nx 2 ; R = 0.5 ln ω 30

31 Návod 10.5: Q = 1 δ ; U = x; S = nx; R = ln δ Návod 10.6: Q = ln λ; U = x; S = nx; R = λ Návod 10.7: f(x) = ( 6 x) π x (1 π) 6 x, x = 0, 1,..., 6; E[X] = 6π; x = 1.56 Návod 10.8: µ 1 = µ; µ 2 = µ 2 + h 2 /3; M 1 = x = 18.9; M 2 = 359.3; rovnice: ˆµ = x; ˆµ 2 + h2 3 = M 2 ˆµ = x; ĥ = 3(M 2 ˆµ2 ) Návod 10.9: µ 1 = µ; µ 2 = σ 2 + ˆµ 2 ; M 1 = x = 1.266; M 2 = 1.85; rovnice: ˆµ = x; σ 2 + ˆµ 2 = M 2 ˆµ = x; ˆσ2 = M 2 ˆµ 2 Návod 10.10: µ 1 = µ; µ 2 = σ 2 + ˆµ 2 ; M 1 = x = 33.3; M 2 = ; rovnice: ˆµ = x; σ 2 + ˆµ 2 = M 2 ˆµ = x; ˆσ2 = M 2 ˆµ 2 31