Zápočtové úlohy pro rok ZS 2015

Transkript

1 Zápočtové úlohy pro rok ZS 2015 Úloha 1: Lambetova W-funkce (iterace, erivace) Definujme funkci y(a)=a a a.... Tuto funkci můžeme chápat jako pevný bo zobrazení y f(y)=a y. Napište proceuru, která pro zaané a naje co nejpřesnější honotu y(a). Přepokláejte,že e a >exp( 1/e) ,ažezobrazeníjekontrahující.Namalujtegraf ukazující rychlost konvergence a porovnejte v něm rychlost konvergence přímých iterací a iterací urychlených metoou Aitkena-Stefensona. Napište proceuru, která naje co nejpřesněji erivaci funkce y(a) a iskutujte její přesnost. Programynapišteobecněapotomnalezněteconejpřesněji y(e)ay (e).protestování přesnostivýpočtuerivacemůžeterovněžpoužíthonotu y (1)= 1. Výstupem k oevzání buou va obrázky(rychlost konvergence iterací a analýza chyb nalezení erivace)avěčísla y(e)ay (e). Poznámka: Funkci y(a) lze vyjářit pomocí tzv. Lambertovy W-funkce W(z), která je efinovánajakoinverznífunkcekfunkci z(w)=wexp(w).ztétoefinicesisnanoovoíte, ženášpevnýboje y(a)=w(lna)/ln a.lambertovuw-funkcilzeobecněvyužítpřiřešení algebraických rovnic obsahujících neznámou lineárně a v exponentu. 1

2 Úloha 2: Obvo Rocheova laloku v ekvatoriální rovině (numerické řešení rovnic, analýza chyby, extrapolace) V popisu ynamiky vojhvězných systémů je efinován Rocheův lalok jako oblast prostoru kolemhvězy1,kteroulzezaplnitplynem,beztoho,abypřetékalnahvězu2.tatooblastje ohraničena ekvipotenciální plochou v systému korotujícím se vzájemně se obíhajícími hvězami, nanížjepotenciálrovenpotenciáluvlagrangeověboěl 1 (bokesevyrovnávajígravitační sílyoboutělesaostřeivásíla).protutoúlohuseomezímenarovinuvnížobíhajíoběhvězy po kruhové ráze. V této rovině nalezněte čáru ohraničující tento lalok a spočtěte její élku. Počáteksouřanéhosystémupoložteohvězy1aosaxnechťsměřujeohvězy2.Délky bueme měřit v jenotkách aných vzáleností obou hvěz R. Porobnější instrukce: NajětepolohubouL 1 (vizrovniceveleobrázku)ahonotupotenciálu V L vtomtoboě. Prohonoty θ=2πn/n, n=0,1,...,n nalezněteboy x n = rcos θ, y n = rsin θnahleané ekvipotenciální ploše.boyhleejte profixní θ řešenímrovnice V(r) = V L vámi zvolenou metoou. Pokuste se najít honoty x, y s přesností blízkou strojovému ǫ. Spočtěteélku D N lomenéčáry(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...(x N,y N ).Stuujtekonvergencitétohonoty pro N. Pokuste se ientifikovat bo, ke ochází k rovnováze mezi zaokrouhlovací a iskretizační chybou. Pokuste se přesnost metoy zlepšit napříkla vhonou extrapolací iskretizační chyby. Výstupemkoevzáníbueobrázeklomenéčáry(x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...(x N, y N ),áleobrázekokumentujícíkonvergenci D N,znějžbueviětřáiskretizačníchybyanakonecco nejpřesnějšíhonota D=lim N D N. Rovniceprourčenísouřanice x L LagrangeovabouL 1 jeánarovnováhousil: x L m 2 + m 2 (1 x L ) 2 m 1 x 2 L =0. Ke m 1 = M 1 /M a m 2 = M 2 /M jsou hmotnosti obou složek v jenotkách celkovéhmotnosti M= M 1 +M 2 vojhvězy. Gravitační potenciál(v jenotkách κm/r) v korotujícím systému(včetně ostřeivé síly) je V(x, y)= m 1 r m 2 r r2 0, ke r= x 2 + y 2, r 2 = r 2 2rcosθ+1 a r 0 = r 2 2m 2 rcosθ+ m 2 2jsouvzálenosti bou (x, y) o hvězy 1, hvězy 2 a o těžiště vojhvězného systému(tj. střeu rotace). 2

3 Úloha 3: Moel oscilující chemické reakce (řešení obyčejných iferenciálních rovnic) V nešní obě je známo několik tzv. chemických oscilátorů(oporučuji vyhleat chemical oscillator nayoutube),cožsměslátek,vnížocházíkjistémnožiněchemickýchreakcí,které veou k oscilacím koncentrace meziprouktů. V obě svého objevu to velo k neůvěře a omítnutí(viz heslo Belousov-Zhabotinsky reaction na anglické wikipeii), ale nes existují jenouché teoretické moely, které takové chování vysvětlují. Jeen takový jenouchý moel si zkusíme prozkoumat. V našem moelu(lotka-volterra moel) se látka A mění postupně na látku B, přičemž vznikají meziproukty X a Y pole schématu A+X X+Y Y 2X 2Y B Označíme-li k 1, k 2 a k 3 reakčnírychlostitěchtoreakcí,ostanemepročasovézávislostikoncentrace A, X, Y a B soustavu iferenciálních rovnic A = k t 1AX, X = k t 1AX k 2 XY, Y = k t 2XY k 3 Y, B = k t 3Y, a = κax, τ τ τ x = κax xy, y = xy y, b = y. τ Vpravémsloupcijsmerovnicepřepsaliobezrozměrnýchveličin τ= tk 3, b=b/a 0, y= Y/A 0, x=k 2 X/k 3 a κ=k 1 /k 2,přičemž A 0 jepočátečníkoncentracelátkya.řeštetytorovnice numerickypro κ=0.002apočátečnípomínku a=498.4, x=1.5, y=0.1, b=0.porobněji: Napište proceuru pro integraci ané soustavy iferenciálních rovnic s řáem přesnosti 4. řáu. Ověřte konvergenci výsleků v závislosti na élce kroku pro výsleek ve fixním čase t=100aáleověřte,ževeličina a+x+b+ysezachovává. Nakreslete a(t)ab(t)ojenohoobrázkuanaleznětehonotučasu t,kysevyrovná koncentrace reaktantů a prouktů a(t) = b(t). Ohaněte jak přesně jste tento čas určili. Nakreslete koncentrace meziprouktů x(t) a y(t) a určete periou jejich oscilací. Ohaněte jaká je přibližně vaše přesnost určení této perioy? Rozmysletesi,žeoscilacefungujíjakojakási chemickápumpa.částcyklusvysokým xvee kezvýšenékonzumacireaktantuaačástcyklusvysokým yveekezvýšenétvorběprouktub. Výstupem buou tři obrázky(rychlost konvergence, časová závislost a(t), b(t) a časová závislost meziprouktů) a vě čísla(čas vyrovnání koncentrací a perioa oscilací). 3

4 Úloha 4: WKB aproximace (moifikace Rombergovy integrace) V kvantové mechanice se ukazuje, že v rámci WKB aproximace se ají vázané stavy nalézt pomocí pomínky x2 p(x)x=2γ E V(x)=2π(n+ 1 ), 2 x 1 ke celková energie je E, V(x) je energie potencální a konstanta γ souvisí s hmotností systému. Boy x 1 a x 2 (tzv.boyobratu)jsouboyvnichžnabýváintegrannulovéhonoty.nalezněte analytickývzorecpro x 1 a x 2 protzv.morsehopotenciál V(x)=e 2x 2e x aenergie E (0,1). Spočítejte integrál I(E)= x2 x 1 E V(x) pomocí N-boovéholichoběžníkovéhopravila I N aznázornětezávislostchyby I N I na N pro N=2,4,8,...,1024vlog/logškále.Jakopřesnouhonotu(proúčelytohotografu)vezměte I = I 1024.Porovnejtetutozávislostsohaem N 2 zeulerovy-maclaurinovyformule.pročje závislostjiná?najětezkusmosprávnýohachováníchyby N α.pokustesezpřesnitvýsleky pomocí metoy Richarsonovy extrapolace I (1) I 2N I N 2N =2α. 2 α 1 Jaký je řá chyby α nového výsleku. Pokuste se zobecnit metou Rombergovy integrace na tento přípa. Najěte co nejpřesněji umíte honotu I(E=-0.5). Výstupem z úlohy bue graf rychlosti konvergence lichoběžníkového pravila a jeho Richarsonovy extrapolace a jeno číslo(vaše nejlepší aproximace I pro E = 0.5). 4

5 Úloha 5: Ještě jenou WKB aproximace (Gaussova-Čebyševova kvaratura) Vypočtěte integrál z přechozí úlohy pomocí Gaussovy-Čebyševovy kvaratury. Nejřívesiuvěomte,žeintegransevkrajníchboech x 1, x 2 chovájako x x 1 a x2 xamáteyvtěchtoboechsingulárníerivaci.singulárníchovánísenapraví vynásobenímvýrazem (x x 1 )(x 2 x).proveďtelineárnítransformaci x y,která převee integran na interval 1, 1 a vypočtěte integrál pomocí Gaussovy-Čebyševovy kvaratury 1 y f(y) = N f(y i )w i. 1 y 2 Stuujte rychlost konvergence integrálu v závislosti na N. 1 Namalujtegrafzávislosti2γI(E)pro E ( 1,0)pro γ=16.65(opovíázhrubavibracímmolekulyh 2 ).Oečtěteznějpřibližněenergiizáklaníhostavu(vizkvantovací pomínka v zaání přechozí úlohy). Výstupemzúlohybuegrafchybyurčení Ivzávislostina Nagraffunkce2γI(E)svyznačenou přibližnou polohou energie záklaního stavu. Zájemci mohou tuto energii zkusit najít numericky co nejpřesněji. Poznámka: honotyvahprogaussovu-čebyševovukvaraturujsou w i = π/nauzlyjsou ány vzorcem y i =cos π(i 1 2 ) N. i 5

6 Úloha 6: Legenrovy polynomy (QR-faktorizace, integrace) Napište vlastní proceuru pro proveení QR faktorizace(moifikovanou Gramovou-Schmitovou nebo Householervou metoou) a otestujte, že správně funguje, tj. že pro náhoně zvolenou matici ostanete faktory, z nichž jeen je ortogonální a ruhý trojúhelníková matice a že součin těchto matic se jen málo(zaokrouhlovací chyby!) liší o půvoní matice. Aplikujte program na Vanermoeho matici 1 x 0 x x N 0 1 x 1 x x N , 1 x M x 2 M... xn M jejíž Gramovou-Schmitovou ortogonalizací ostanete Legenrovy polynomy(sloupce matice Q). Boy x 0,... x M voltetak,abypokrylyrovnoměrněinterval 1,1 skrokem0.02(tj. M=101).Nakresletezískanépolynomy P l (x)pro l=0,1,...,5,přičemžjenormujtetak, aby P l (1)=1. Napište funkci, která alternativně vypočte tyto polynomy s použitím Bonnetova vzorce a nakreslete výsleek o stejného grafu. (n+1)p n+1 (x)=(2n+1)xp n (x) np n 1 (x) Diskutujterozílyvýslekůoboumeto:Jaksezměnípokuvolíme M =1001?Jak souvisí tento rozíl s chybou kvaraturního vzorce? Moifikujte Vanermoeho matici tak, abyste zmenšili chybu polynomů nalezených QR faktorizací. Nápověa: Ortogonalita sloupců v matici Q neopovíá přesně ortogonalitě polynomů ve smyslu L 2 skalárníhosoučinu.porovnejtesvzorcemprokvaraturulichoběžníkovýmpravilem. 6

7 Úloha 7: Chaotická ynamika (integrace soustavy obyčejných iferenciálních rovnic) Řešte pohyb částice s hmotností m = 1 v silovém poli popsaném Hénonovým-Hailesovým potenciálem V(x, y)= 1 2 (x2 + y 2 )+x 2 y 1 3 y3. Trajektorii částice naleznete řešením Hmiltonových pohybových rovnic pro Hamiltonián H(x, y, p x, p y )= 1 2 (p2 x + p2 y )+V(x, y). Vyberte vhonou metou pro řešení pohybových rovnic alespoň 4. řáu přesnosti. Nakreslete graf konvergence chyby řešení v čase t = 1 metoy v závislosti na zmenšování integračního kroku v log/log škále. Místo konvergence řešení můžete stuovat konvergenci energie, která by se pro přesné řešení měla zachovávat, ale numericky bue zatížena iskretizační a zaokrouhlovací chybou. Na záklaě přechozí analýzy vyberte vhonou élku kroku a pokuste se nakreslit tzv. Poincaréhořezynásleujícímpostupem.Propočátečnípomínku x=x 0 (0.3,0.6), y=0, p x =0, p y =0.03integrujtetrajektoriiaosouboruukláejtesouřanice(x, p x, p y ) boů, ke trajektorie protíná rovinu y = 0. Trajektorii integrujte tak louho, abyste měli ost boů(stovky). Nakonec vykreslete boy o rovinného grafu(napříkla souřanice xap x ).Zkoušejtejaksezměníobrázekprorůznévolbypočátečnípomínky x 0. Výslekem úlohy bue graf emonstrující, že lokální iskretizační chyba vaší metoy integrace je alespoň 4. řáu a výběr několika reprezentativních obrázků Poincarého řezů, ukazující změny charakteruynamikypřirůznýchvolbáchpočátečnípomínky x 0. 7

8 Úloha 8: Energie vázaných stavů metoou DVR (iagonalizace matic) Energie vázaných stavů v jenorozměrné potenciálové jámě lze nalézt řešením Schroingerovy rovnice, která má v bezrozměrných jenotkách tvar 2 x 2ψ(x)+γ2 [E V(x)]ψ(x)=0. UvažujmeMorsehopotenciál V(x)ahonotu γzúloh4a5.energievázanýchstavůnajeme iagonalizací operátoru 2 2 H= γ x2+ V(x) násleující metoou. Nejříve zvolíme vhoný interval a, b v němž očekáváme, že buou lokalizovány vázané stavy(napříkla a = 3, b = 5) a efinujeme bázi v prostoru kvaraticky integrovatelných funkcí na tomto intervalu φ k (x)= 2 kπ(x a) sin b a b a k=1,2,... Vtétobázivyjářímematicovéelementyhamiltoniánu H kl = φ k H φ l.maticovéelementy operátoru kinetické energie, můžeme spočíst přímo b a ] [ ] kπ φ k (x) [ γ φ x 2 l (x)x=γ 2 δ kl b a a maticové elementy potenciální energie V(x) numerickou integrací lichoběžníkovým pravilem. Nalezněteenergieprvníchtřívázanýchstavůiagonalizacímatice H kl vhonounumerickou metoou. Jaká je chyba vámi obržených honot? Pokuste se to zjistit systematickou změnou parametrů a, b, počtu kvaraturních boů a počtu prvků báze(rozměr matice H). Výslekem úlohy buou tři čísla a oha jejich chyby. Poznámka: Pro hlubší zájemce(moifikace postupu): Metoa DVR spočívá v určitém triku jak spočíst jinak maticové elementy potenciální energie V(x). Nejříve spočteme maticové elementyoperátoru x.toseáuělatanalyticky.jsounenulovéjenprolichéhonoty k+ la to 8kl(b a) X kl = xφ k (x)φ l (x)x= π 2 (k+ l) 2 (k l) 2. Matici Xiagonalizujemepomocínumerickéhonalezenípoobnostnítransformace λ=q XQ. V reprezentaci iagonalizující matici X snano najeme maticové elementy potenciálu V(λ) potépřejemezpětopůvoníbáze V= QV(λ)Q.Pokuserozhoneteimplementovattuto metou, ušetříte mezikrok numerické integrace potenciálu a získáte přesnější honoty energií vázaných stavů. Stejná metoa se á provést s jinou volbou báze, napříkla vlastních funkcí vhoně zvoleného lineárního harmonického oscilátoru(je ovšem potřeba přepočítat honoty maticových elementů kinetické energie a operátoru X v této bázi). Tím se zbavíme také parametrů a, b a stačí stuovat konvergenci výsleků s jeiným parametrem, zvyšující se velikostí báze. 8

9 Úloha 9: Výpočet Hilbertovy transformace (využití FFT pro výpočet konvoluce) Hilbertova transformace funkce f(x) je efinována jako integrál ve smyslu hlavní honoty f(x) g(y)=v.p. y x x. Napište program počítající Hilbertovu transformaci přeem zaané funkce. Využijte toho, že Hilbertova transformace má tvar konvoluce s istribucí v.p.1/x jejíž Fourierovu transformaci známe(můžete si ji spočíst integrací v komplexní rovnině, kyž si uvěomíte, že v.p. 1 x =Re 1 x+iǫ. Nejříve otestujte program pro přímou a zpětnou transformaci tím, že pomocí Fourierovy transformace spočítáte erivaci nějaké funkce a nakonec spočtěte Hilbertovu transformaci funkce θ(x)xe x (θ(x)jeheavysieovaskokováfunkce).testujtezávislostnavolběvzorkovacíhustoty a intervalu na němž provaíte transformaci. 9