Metoda konečných prvků 3 - nelineární úlohy
|
|
- Martina Marková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nelineárn rní analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoa konečných prvků 3 - nelineární úlohy Petr Kabele petr.kabele@sv.cvut.cz people.sv.cvut.cz/~pkabele 1
2 MKP metoy řešení nelineárních úloh Diskretizovaný slabý tvar říících rovnic pro lineární úlohu: K = Můžeme také zapsat jako: =... vektor uzlových sil o zatížení povrchovými a objemovými silami... vektor uzlových sil ekvivalentních napětí působícímu v prvcích ( ) Je-li úloha materiálově a/nebo geometricky nelineární, pak vztah mezi globálními vektory uzlových sil a uzlových posunů je nelineární: ( ) = 2
3 MKP metoy řešení nelineárních úloh Úlohu pak řešíme po časových (zatěžovacích) krocích (přírůstcích, inkrementech). Přepokláejme, že řešení v kroku t je známo, např. z přechozího výpočtu. = ( ) Po inkrementální změně zatížení: ( ) + = + + Rozvoj o řay: ( + ) ( ) ( + ) = ( ) + + O ( 2 ) K ( )... tečná matice tuhosti 3
4 Vektor + můžeme považovat za zaaný (přeepsané zatížení). Vektor je třeba spočítat tak, aby byly splněny (aspoň přibližně) říící rovnice ( ) + = + Vzhleem k tomu, že závislost na je nelineární, nelze obecně nalézt inverzní operátor k analyticky. Pro řešení těchto rovnic pak můžeme použít např. násleující přibližné metoy: A. přírůstkové řešení bez iterací (Eulerova metoa) B. iterativní řešení založené na metoě Newton-Raphson C. alší iterativní metoy, např. BFGS (Broyen-Fletcher-Golarb-Shanno) 4
5 Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 1) ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) 5
6 Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 2) ( 1) nejjenoušší přístup ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = = +, ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) 6
7 Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) ( 2) ( 1) vylepšení: ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = ( 2) ( 1) ( 2) = + ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) 7
8 ( 3) ( 2) ( 1) Dopřená Eulerova metoa (Forwar Euler metho) vylepšení: ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) K = ( 0) ( 1) ( 1) ( 1) K = ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) ( 3) K = ( 2) ( 1) ( 2) = + chyba se může akumulovat a zvětšovat!! ( 0) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) 8
9 Newton-Raphsonova metoa aný přírůstek zatížení ( n 1) neznámý přírůstek posunů ( ( n ) ) ( ) ( ) = n n ( n 1) 9
10 Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n 1 ) ( n,1) ( n ) ( n 1 ) ( n,1) K δ = δ ( n 1 ) = + δ δ ( n 1) 10
11 Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n 1 ) ( n,1) ( n ) ( n 1 ) ( n,1) K δ = δ ( n 1 ) = + δ δ ( n 1) 11
12 Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n,1) ( n,2) ( n ) ( n,1) ( n,2) K δ = δ ( n,2 ) ( n,1 ) ( n,2) = + δ δ ( n,2) ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) 12
13 Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) ( n,1) ( n,2) ( n ) ( n,1) ( n,2) K δ = δ ( n,2 ) ( n,1 ) ( n,2) = + δ δ ( n,2) ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) 13
14 Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) δ ( n,2) ( n,3) ( n ) ( n,2) ( n,3) K δ = δ ( n,3) ( n,2) ( n,2) δ ( n,3 ) ( n,2 ) ( n,3) = + δ ( n 1) ( n,2) ( n,3) 14
15 Newton-Raphsonova metoa ( n,2) ( n 1) ( n, i) ( n,3) ( n,2) as i δ ( n,2) δ ( n 1) ( n,2) ( n,3) 15
16 áno: hleáme: splňující: ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( ), 1,2,3,... = n = Newton-Raphson iterace ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... tangenciální matice tuhosti se aktualizuje v kažé iteraci 16
17 Moiikovaná Newton-Raphsonova metoa ( n 1) ( n,3) ( n,2) ( n, i) pro i δ ( n,2) δ ( n 1) ( n,3) 17
18 áno: hleáme: splňující: ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( 1) ( 2) ( 3),,,... ( ), 1,2,3,... = n = Newton-Raphson iterace ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... moiikovaná Newton-Raphson iterace ( n,0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ i = 1,2,3,... 18
19 Iterativní metoy Newton-Raphson ( n, i 1 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ moiikovaná Newton-Raphson ( n,0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) = + δ matice tuhosti aktualizována v kažé iteraci i = 1,2,3,... (obyčejně rychlá konvergence, iterace početně náročné) matice tuhosti aktualizována v kažém kroku i(obyčejně = 1,2,3,... konvergence pomalejší, iterace početně méně náročné) metoa počáteční tuhosti (initial stiness metho) ( 0 ) ( n, i) ( n, i 1) K δ = matice tuhosti není aktualizována i = 1,2,3,... ( n, i) ( n, i 1 ) ( n, i) (pomalá konvergence, = + δ ormulace a ekompozice m.t. pouze jenou) 19
20 Konvergenční kritéria ria U iteračních meto je třeba stanovit kritéria pro ukončení iteračních cyklů einují pomínky, za jakých můžeme považovat přibližné řešení za ostatečně blízké k rovnovážnému stavu. A. Kritérium rium přírůstku přem emíst stění konvergenční tolerance (~0,01)... norma vektoru přírůstku přemístění během iterace je ostatečně malá ve srovnání s normou vektoru celkového přemístění na konci iterace 20
21 B. Kritérium rium nevyrovnaných sil (reziuí) konvergenční tolerance (~0,01)... norma vektoru reziuí v iteraci je ostatečně malá ve srovnání se normou zaaného přírůstku zatížení 21
22 C. Energetické kritérium rium konvergenční tolerance (~0,01)... práce nevyvážených sil (reziuí) na přírůstku přemístění v iteraci je ostatečně malá ve srovnání s počátečním přírůstkem vnitřní energie 22
23 Poznámky: Uveená kritéria jsou relativní. Absolutní kritéria ria lze einovat tak, že srovnávací honota ve jmenovateli je pevně zvolena. Maximální počet iterací je navíc omezen uživatelem. Poku nejsou zvolená konvergenční kritéria splněna ani při maximálním počtu iterací, řešení nezkonvergovalo. 23
24 Volba metoy přírůstkov stkového řešen ení výpočtová náročnost/iterace (nejmenší největší): bez iterací MNR BFGS NR počet iterací k osažení konvergence (nejmenší největší): NR BFGS MNR použití metoy bez iterací menší přesnost, nutnost malých kroků použití vyhleávání po linii zvyšuje výpočetní náročnost ale pomáhá osáhnout konvergence i při silné nelinearitě a snižuje počet iterací při slabé nelinearitě Volba konvergenčního kritéria ria vhoné tolerance: příliš volné nepřesné řešení, riziko ivergence příliš přísné zbytečná výpočtová náročnost, alešná ivergence obyčejně kolem 1% volba kritéria (přemístění, reziua, energetické) obyčejně postačuje energetické kritérium, existují přípay, ky je příliš volné nutno vzít v úvahu iterační metou, élku kroku a chování moelu 24
25 Příkla 3: Uvažujte zobrazený prut při jenoosé napjatosti. Určete posun u při zatížení F = 3,5 MN. Materiál prutu je nelineárně elastický a jeho chování lze popsat unkcí [MPa] A) Úlohu vyřešte analyticky. Víme-li, že pro F = 3 MN je u = 1,29 mm, pak B) vyřešte úlohu 1 krokem Eulerovy metoy bez iterací. C) vyřešte úlohu 1 krokem moiikované NR metoy. Proveďte 3 iterace. D) vyřešte úlohu 1 krokem plné NR metoy. Proveďte 3 iterace. V přípaech B)~D) určete chybu výsleku třetí iterace pole kritéria přírůstku přemístění, kritéria nevyrovnaných sil a kritéria energetického. Dále určete o kolik se liší vypočtený posun o analytického řešení. Postup oplňte obrázky. F u 1 m x 0,3 m 0,3 m 25
26 Příkla 4: Uvažujte soustavu 2 nelineárních algebraických rovnic: ( ) = (*), ke 1 =, ( ) = a) Určete ( ) ( 1) ( 1) = pro = 2 pro přibližné řešení násleující úlohy. ( ) a použijte ( 1) ( 1), jako počáteční stav Nalezněte řešení proveete 1 krok: b) opřeené Eulerovy metoy; ( 2) nelineární soustavy (*) pro c) moiikované Newton-Raphsonovy metoy se 3 iteracemi; ) plné Newton-Raphsonovy metoy se 3 iteracemi. ( 2) ( ( 2) ) = tak, že e) Pro kažý z příklaů b)-) spočtěte vektor konečných reziuí r (nevyvážených sil) a jeho normu a porovnejte přesnost jenotlivých meto. 26
27 Praktické ray pro používání MKP- obecně Ujasníme si, jaký obecný výsleek o analýzy očekáváme (např. obecnou inormaci o eormaci rozsáhlé konstrukce, preikci šíření trhliny o ostrého etailu ap.). Uvážíme možná zjenoušení, reukci imenze (rovina), rozělení konstrukce na části působící samostatně. Zvolíme vhoné kinematické přepoklay (příhraa, prut, rovinná napjatost/eormace, osová symetrie, eska, skořepina, 3-D kontinuum). Bereme v úvahu složitost vlastního moelu, čas řešení, zpracování a vizualizaci výsleků. U složitých úloh může být výhoné kombinovat různé kinematické přepoklay pro různé části konstrukce (např. prut + rovinná napjatost). Pozor, musí se zajistit kompatibilita různých stupňů volnosti. Uěláme si empirický/zjenoušený oha přepokláaného výsleku. Ohaneme místa koncentrace eormace a místa, ke bue eormace rovnoměrnější - použijeme hustší síť či prvky vyššího stupně v místech většího graientu. 27
28 Proveeme zkušební výpočet s řiší sítí - ientiikujte místa koncentrace eormace. Zjemníme síť konečných prvků a proveeme konečný výpočet. Po kažém výpočtu: vizuálně zkontrolujeme přemístění (zvětšené) kontrola poepření, orientace zatížení ap. vizuálně zkontrolujeme pole eormace/napětí ochází-li ke koncentraci, má to tak být nebo je to ůsleek nevhoně zaveeného zatížení (osamělé břemeno), poepření (boová popora), zjenoušení geometrie (ostré rohy), ap.? zkontrolujeme, za napjatost opovíá přeepsanému zatížení zkontrolujeme, za nevznikly nežáoucí iskontinuity např. v ůsleku nevhoně proveené iskretizace 28
29 Napříkla: 29
30 Praktické ray pro nelineárn rní analýzu 1. Provést elastický převýpo evýpočet et výpočet v jenom kroku s malým zatížením (tak, aby materiál zůstal elastický) vizuálně zkontrolujeme přemístění (zvětšené) a pole eormace/napětí ientiikujeme velikost maximálního napětí, které v konstrukci vzniká 30
31 2. Volba velikosti zatěž ěžovac ovacího kroku první krok (elastický): maximální napětí z 1. porovnáme s kritériem pro nelineární chování (např. pomínkou plasticity) vypočteme aktor zatížení z 1. tak, aby napjatost v nejnamáhanějším boě byla těsně pře počátkem nelineárního chování zásaa: čím větší nelinearita, tím menší krok poku nemáme přestavu o nelineárním chování konstrukce, proveeme hrubý výpočet bez iterací s hrubým krokováním ientiikujeme zatížení, ky se nelinearita zvětšuje/zmenšuje příliš jemné krokování louhý výpočet, obrovské množství vypočtených at (nesnané zpracování) 31
32 2. Co ělat, kyž řešení nekonverguje? vžy se snažit najít yzickou postatu, proč řešení nekonverguje!! lineárně elastický výpočet: zkontrolovat poepření (není kinematicky neurčité? není výjimkový přípa?) zkontrolovat přítomnost nepoepřených uzlů/stupňů volnosti zkontrolovat, za konstrukce netvoří mechanismus nelineární výpočet: nebyla překročena únosnost konstrukce? neošlo k náhlé změně tuhosti konstrukce (i lokálně)? 32
33 nelineární výpočet (pokračování): neochází k rémnímu lokálnímu namáhání v ůsleku nevhoně zaveených okrajových pomínek (zatížení osamělou silou, boová popora ap.)? neošlo ke vzniku plastického mechanismu, utržení části konstrukce? 33
34 opatření: eliminovat yzikálně nepřípustný stav (snížit zatížení, boové zatížení a popory roznést ap.) zmenšit élku kroku použít plnou NR metou s vyhleáváním po linii změnit způsob zatěžování: řízené silou řízené posunem použít automatickou élku kroku 34
35 Tento okument je určen výhraně jako oplněk k přenáškám a cvičením z přemětu Nelineární analýza materiálů a konstrukcí pro stuenty Stavební akulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně oplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslení aktualizace:
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceTutoriál programu ADINA
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Tutoriál programu ADINA Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2010 1 Výstupy programu ADINA: Preprocesor
VíceNelineární problémy a MKP
Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)
VíceSTATICKY NEURČITÉ RÁMOVÉ KONSTRUKCE S PODDAJNOU PODPOROU SILOVÁ METODA
Zaání STATICKY NEURČITÉ RÁOVÉ KONSTRUKCE S PODDAJNOU PODPOROU SILOVÁ ETODA Příkla č. Vykreslete průěhy vnitřníh sil na konstruki zorazené na Or.. Voorovná část konstruke (příčle) je složena z průřezu a
VícePLASTICITA A CREEP PLASTICITA V
Plasticita V / PLASIIA A REEP PLASIIA V Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@fs.cvut.cz Plasticita V / Čistá asticita vs. čistá asticita čistá asticita: čistá asticita: prou nestlačitné tekutiny, o osažení
VíceF (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)
11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VíceUNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Přírodovědecká fakulta
Chromatografie Zroj: http://www.scifun.org/homeexpts/homeexpts.html [34] Diaktický záměr: Vysvětlení pojmu chromatografie. Popis: Žáci si vyzkouší velmi jenouché ělení látek pomocí papírové chromatografie.
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VícePROTLAČENÍ. Protlačení 7.12.2011. Je jev, ke kterému dochází při působení koncentrovaného zatížení na malé ploše A load
7..0 Protlačení Je jev, ke kterému ochází při působení koncentrovaného zatížení na malé ploše A loa PROTLAČENÍ A loa A loa A loa Zatěžovací plochu A loa obyčejně přestavuje kontaktní plocha mezi sloupem
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016
MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni
VíceENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S VELKÝM UŽITNÝM ZATÍŽENÍM
P Ř Í K L A D Č. 6 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S VELKÝM UŽITNÝM ZATÍŽENÍM Projekt : FRVŠ 011 - Analýza meto výpočtu železobetonovýh lokálně poepřenýh esek Řešitelský kolektiv : Ing. Martin Tipka
VíceNCCI: Vzpěrné délky sloupů a tlačených prutů příhradových a rámových konstrukcí. Obsah
CCI: Vzpěrné élky sloupů a tlačených prutů příhraových a rámových konstrukcí Sa-CZ-EU CCI: Vzpěrné élky sloupů a tlačených prutů příhraových a rámových konstrukcí ento CCI okument se zabývá určením vzpěrných
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Ampérův zákon Peter Dourmashkin MIT 26, překla: Jan Pacák (27) Obsah 5 AMPÉRŮV ZÁKON 3 51 ÚKOLY 3 52 ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ 3 ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ PLÁŠŤ
VíceZakřivený nosník. Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Stavební statika, 1.ročník bakalářského stuia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katera stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceMezní stavy základové půdy
Mezní stavy záklaové půy Eurokó a norma ČSN 73 1001 přeepisuje pro posuzování záklaové půy pro návrh záklaů metou mezních stavů. Mezním stavem nazýváme stav, při kterém ochází k takovým kvalitativním změnám
VíceNELINEÁRNÍ DYNAMICKÁ ANALÝZA KONSTRUKCE ZATÍŽENA SEISMICKÝMI ÚČINKY NONLINEAR DYNAMIC ANALYSIS OF STRUCTURES WITH SEISMIC LOADS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF STRUCTURAL MECHANICS NELINEÁRNÍ DYNAMICKÁ ANALÝZA KONSTRUKCE
VíceVypracoval Datum Hodnocení. V celé úloze jsme používali He-Ne laser s vlnovou délkou λ = 632, 8 nm. Paprsek jsme nasměrovali
Název a číslo úlohy - Difrakce světelného záření Datum měření 3.. 011 Měření proveli Tomáš Zikmun, Jakub Kákona Vypracoval Tomáš Zikmun Datum. 3. 011 Honocení 1 Difrakční obrazce V celé úloze jsme používali
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceNelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP
Nelineární úlohy při výpočtu konstrukcí s využitím MKP Obsah přednášky Lineární a nelineární úlohy Typy nelinearit (geometrická, materiálová, kontakt,..) Příklady nelineárních problémů Teorie kontaktu,
Více1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012
Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol řešte ve skupince 2-3 studentů. Den narození zvolte dle jednoho člena skupiny. Řešení odevzdejte svému cvičícímu. Na symetrické prosté krokevní
VíceVedení vvn a vyšší parametry vedení
Veení vvn a vyšší parametry veení Při řešení těchto veení je třeba vzhleem k jejich élce uvažovat nejenom opor veení R a inukčnost veení L, ale také kapacitu veení C. Svo veení G se obvykle zanebává. Tyto
VíceStavební mechanika 3 132SM3 Přednášky. Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků.
Stavební mechanika 12SM Přednášky Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků. Porovnání ODM a ZDM Příklad 1: (viz předchozí přednáška)
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VíceAnalýza ŽB nosníku pomocí ATENA Engineering 2D
Analýza ŽB nosníku pomocí ATENA Engineering 2D Petr Bílý kancelář B731 e-mail: petr.bily@fsv.cvut.cz web: people.fsv.cvut.cz/www/bilypet1 Popis konstrukce, zatěžovací schéma Odhad výsledků VŽDY MUSÍM JIŽ
VícePLASTOVÁ AKUMULAČNÍ, SEDIMENTAČNÍ A RETENČNÍ NÁDRŽ HN A VN POSOUZENÍ PLASTOVÉ NÁDRŽE VN-2 STATICKÝ POSUDEK
PLASTOVÁ AKUMULAČNÍ, SEDIMENTAČNÍ A RETENČNÍ NÁDRŽ HN A VN POSOUZENÍ PLASTOVÉ NÁDRŽE VN-2 STATICKÝ POSUDEK - - 20,00 1 [0,00; 0,00] 2 [0,00; 0,38] +z 2,00 3 [0,00; 0,72] 4 [0,00; 2,00] Geometrie konstrukce
VícePřednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Základní informace o výuce předmětu SSK II Metody řešení staticky neurčitých konstrukcí
VíceŘešení kontaktní úlohy v MKP s ohledem na efektivitu výpočtu
Řešení kontaktní úlohy v MKP s ohledem na efektivitu výpočtu Jan Hynouš Abstrakt Tato práce se zabývá řešením kontaktní úlohy v MKP s ohledem na efektivitu výpočtu. Na její realizaci se spolupracovalo
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceGrafické řešení úloh LP se dvěma neznámými
. přenáška Grafické řešení úloh LP se věma nenámými Moel úlohy lineárního programování, který obsahuje poue vě nenámé, le řešit graficky v rovině pravoúhlých souřaných os. V této rovině se nejprve obraí
VíceČVUT v Praze Fakulta stavební. Studentská vědecká a odborná činnost Akademický rok 2005/2006 STUDIE CHOVÁNÍ PILOT. Jméno a příjmení studenta :
ČVUT v Praze Fakulta stavební Studentská vědecká a odborná činnost Akademický rok 2005/2006 STUDIE CHOVÁNÍ PILOT Jméno a příjmení studenta : Ročník, obor : Vedoucí práce : Ústav : Jakub Lefner 5., KD Doc.
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceÚloha II.E... čočkování
Úloha II.E... čočkování 8 boů; průměr 5,46; řešilo 65 stuentů V obálce jste spolu se zaáním ostali i vě čočky. Vaším úkolem je změřit jejich parametry ruh a ohniskovou vzálenost. Poznámka Poku nejste stávající
Více1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
1 Parciální iferenciální rovnice prvního řáu 11 Lineární homogenní parciální iferenciální rovnice ve vou nezávisle proměnných ax, y + bx, y0 1 Řešenímjefunkce uux, y Hleáme vrstevnice funkce u Nechť mají
Více4.6 Složené soustavy
4.6 Složené soustavy vznikají spojením jednotlivých konstrukčních prvků (tuhých těles, tuhých desek a/nebo bodů) deska deska G G 1 vazby: vnitřní - spojují jednotlivé prvky vnější - připojují soustavu
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
Více1 Stabilita prutových konstrukcí
1 STABLTA PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ 1 1 Stabilita prutových konstrukcí Pod účinky tlakových sil dochází u štíhlých prutů k vybočení stabilitní problém Posuny ve směru střednice u a rotace ϕ y zůstávají malé,
VíceÚloha č. 1 pomůcky Šíření tepla v ustáleném stavu základní vztahy
Úloha č. pomůcky Šíření tepla v ustáleném stavu záklaní vztahy Veení Fourriérův zákon veení tepla, D: Hustota tepelného toku je úměrná změně teploty ve směru šíření tepla, konstantou úměrnosti je součinitel
VíceIII. MKP vlastní kmitání
Jiří Máca - katedra mechaniky - B325 - tel. 2 2435 4500 maca@fsv.cvut.cz III. MKP vlastní kmitání 1. Rovnice vlastního kmitání 2. Rayleighova Ritzova metoda 3. Jacobiho metoda 4. Metoda inverzních iterací
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceKonečný automat Teorie programovacích jazyků
Konečný automat Teorie programovacích jazyků oc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@menelu.cz Automaty v běžném životě Konečný automat Metoy konstrukce konečného automatu
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
Vícegeologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha v geomechanice I
1 Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Karlova Univerzita, Praha Přednášky pro předmět Matematické modelování v geomechanice I 3. část numerické metody David Mašín 2 Obsah Výstavba
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3. ročník bakalářského stua oc. Ing. Martn Krejsa, Ph.D. Katera stavební mechanky Moely položí Záklaové konstrukce Záklaové konstrukce zajšťují: přenesení tíhy vrchní stavby o položí
VícePrincip řešení soustavy rovnic
Princip řešení soustavy rovnic Tomáš Kroupa 20. května 2014 Tento studijní materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah Formulace úlohy Metody řešení
VícePružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test
Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled
VíceTvorba výpočtového modelu MKP
Tvorba výpočtového modelu MKP Jaroslav Beran (KTS) Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování
Více4.6.3 Příhradové konstrukce
4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m "Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen
VíceProjekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace
Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového
VíceKONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška
1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební
VícePLASTICITA A CREEP PLASTICITA IV
Plasticita IV 1/44 PLATIITA A REEP PLATIITA IV Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@s.cvut.cz Plasticita IV /44 Pomínka asticity tvary parametrů (, α, ) (, α ) ( ) vnitřní proměnné (internal variables) e
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceTéma 7, modely podloží
Pružnost a plastcta II.,.ročník bakalářského stua, přenášky Janas, Téma 7, moely položí Úvo Wnklerův moel položí Pasternakův moel položí Pružný poloprostor Nosník na pružném Wnklerově položí, řešení ODM
VíceSTAD. Vyvažovací ventily ENGINEERING ADVANTAGE
Vyvažovací ventily STAD Vyvažovací ventily Uržování tlaku & Kvalita voy Vyvažování & Regulace Termostatická regulace ENGINEERING ADVANTAGE Vyvažovací ventil STAD umožňuje přesné hyronické vyvážení v širokém
VícePostup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou
Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Petr Frantík Obsah 1 Vytvoření modelu 2 2 Styčníkové vektory modelu
VícePostup při měření rychlosti přenosu dat v mobilních sítích dle standardu LTE (Metodický postup)
Praha 15. srpna 2013 Postup při měření rchlosti přenosu at v mobilních sítích le stanaru LTE (Metoický postup Zveřejněno v souvislosti s vhlášením výběrového řízení za účelem uělení práv k vužívání ráiových
VíceNumerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VícePRUŽNOST A PLASTICITA I
Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice
Více4.5.5 Magnetické působení rovnoběžných vodičů s proudem
4.5.5 Magnetické působení rovnoběžných voičů s prouem Přepoklay: 4502, 4503, 4504 Př. 1: Dvěma velmi louhými svislými voiči prochází elektrický prou. Rozhoni pomocí rozboru magnetických inukčních čar polí
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda oddělených elementů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
VícePosouzení stability svahu
Inženýrský manuál č. 25 Aktualizace 07/2016 Posouzení stability svahu Program: MKP Soubor: Demo_manual_25.gmk Cílem tohoto manuálu je vypočítat stupeň stability svahu pomocí metody konečných prvků. Zadání
VíceVýpočet sedání terénu od pásového přitížení
Inženýrský manuál č. 21 Aktualizace 06/2016 Výpočet sedání terénu od pásového přitížení Program: Soubor: MKP Demo_manual_21.gmk V tomto příkladu je řešeno sednutí terénu pod přitížením pomocí metody konečných
VíceNamáhání ostění kolektoru
Inženýrský manuál č. 23 Aktualizace 06/2016 Namáhání ostění kolektoru Program: MKP Soubor: Demo_manual_23.gmk Cílem tohoto manuálu je vypočítat namáhání ostění raženého kolektoru pomocí metody konečných
VíceStavební mechanika 2 (K132SM02)
Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D2034 e-mail: matej.leps@fsv.cvut.cz konzultační hodiny budou upřesněny později https://mech.fsv.cvut.cz/student/
VícePružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14
Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:
VíceLABORATORNÍ ZKOUŠKY VZORKY LABORATORNÍ ZKOUŠKY. Postup laboratorních zkoušek
LABORATORNÍ ZKOUŠKY Jednou z hlavních součástí grantového projektu jsou laboratorní zkoušky elastomerových ložisek. Cílem zkoušek je získání pracovního diagramu elastomerových ložisek v tlaku a porovnání
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 5. Aplikace tahová úloha CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah cvičení: Zadání
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VícePružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.
Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových
VíceGenerování sítě konečných prvků
Generování sítě konečných prvků Jaroslav Beran Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování vlastností
VícePředpokládáme ideální chování, neuvažujeme autoprotolýzu vody ve smyslu nutnosti číselného řešení simultánních rovnováh. CH3COO
Pufr ze slabé kyseliny a její soli se silnou zásaou např CHCOOH + CHCOONa Násleujíí rozbor bue vyházet z počátečního stavu, ky konentrae obou látek jsou srovnatelné (největší pufrační kapaita je pro ekvimolární
VíceKlasifikace rámů a složitějších patrových konstrukcí
Klasifikace rámů a složitějších patrových konstrukcí Klasifikace závisí na geometrii i zatížení řešit pro každou kombinaci zatížení!! 1. Konstrukce řešené podle teorie 1. řádu (α > 10): F α 10 Pro dané
VíceKritéria porušení laminy
Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém
VícePříhradové konstrukce
Příhradové konstrukce Základní předpoklady konstrukce je vytvořena z přímých prutů pruty jsou navzájem pospojovány v bodech =>styčnících vzájemné spojení prutů se ve všech styčnících se předpokládá kloubové
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3. ročník bakalářského stua oc. Ing. Martn Kresa Ph.D. Katera stavební mechank Řešení nosných stěn metoou sítí 3 Řešení stěn metoou sítí metoa sítí (metoa konečných ferencí) těnová
VíceProgram předmětu YMVB. 1. Modelování konstrukcí ( ) 2. Lokální modelování ( )
Program předmětu YMVB 1. Modelování konstrukcí (17.2.2012) 1.1 Globální a lokální modelování stavebních konstrukcí Globální modely pro konstrukce jako celek, lokální modely pro návrh výztuže detailů a
VíceMateriály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB
Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECH Zpracoval: Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Prutové soustavy Prutové soustavy představují speciální soustavy těles, které se uplatňují při navrhování velkorozměrových
VíceNelineární analýza ohýbaného nosníku pomocí ATENA Engineering 2D
Nelineární analýza ohýbaného nosníku pomocí ATENA Engineering 2D Petr Bílý kancelář B731 e-mail: petr.bily@fsv.cvut.cz web: people.fsv.cvut.cz/www/bilypet1 Terminologie Materiálová nelinearita neplatí
VíceDEHA ÚCHYTY S KULOVOU HLAVOU KKT 08 BETON
DEHA ÚCHYTY S KULOVOU HLAVOU KKT 08 BETON Informace o výrobku Přepravní úchyty DEHA s kulovou hlavou se zabetonují společně s vynechávkou. Po ostranění vynechávky se vytvoří spojení zaháknutím univerzální
VíceZadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2
Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu
VíceCvičení 9 (Výpočet teplotního pole a teplotních napětí - Workbench)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návody do cvičení) Cvičení 9 (Výpočet teplotního pole a teplotních napětí - Workbench)
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
Více4. FRAUNHOFERŮV OHYB NA ŠTĚRBINĚ
4. FRAUNHOFERŮV OHYB NA ŠTĚRBINĚ Měřicí potřeby 1 helium-neonový laser měrná obélníková štěrbina 3 stínítko s měřítkem 4 stínítko s fotočlánkem 5 zapisovač Obecná část Při opau rovinné monochromatické
VícePRAVDĚPODOBNOSTNÍ PŘÍSTUP K HODNOCENÍ DRÁTKOBETONOVÝCH SMĚSÍ. Petr Janas 1 a Martin Krejsa 2
PAVDĚPODOBNOSTNÍ PŘÍSTUP K HODNOCENÍ DÁTKOBETONOVÝCH SMĚSÍ Petr Janas 1 a Martin Krejsa 2 Abstract The paper reviews briefly one of the propose probabilistic assessment concepts. The potential of the propose
VíceMetody teorie spolehlivosti
Metoy teorie spolehlivosti Historické metoy mpirické metoy Kalibrace Pravěpoobnostní metoy FOM úroveň II AKTNÍ úroveň III Kalibrace MTOD NÁVH. BODŮ Kalibrace MTODA DÍLČÍCH SOUČINITLŮ úroveň I Nejistoty
VícePRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK OCELOVÉHO RÁMU METODOU IMPORTANCE SAMPLING
I. ročník celostátní konference POLEHLIVOT KONTRUKCÍ Téma: Rozvoj koncepcí posuku spolehlivosti stavebních konstrukcí 15.3.2000 Dům techniky Ostrava IBN 80-02-01344-1 73 PRAVDĚPODOBNOTNÍ POUDEK OCELOVÉHO
VíceBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF STRUCTURAL MECHANICS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF STRUCTURAL MECHANICS POROVNÁNÍ RŮZNÝCH METOD NELINEÁRNÍHO
VíceFYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU
FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU F. Dušek, D. Honc Katera řízení procesů, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Univerzita Parubice Abstrakt Článek se zabývá sestavením nelineárního ynamického moelu
VíceZjednodušená deformační metoda (2):
Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
VíceMechanika s Inventorem
CAD data Mechanika s Inventorem Optimalizace FEM výpočty 4. Prostředí aplikace Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah cvičení: Prostředí
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
Více