je amplituda indukovaného dipólového momentu s frekvencí ω
|
|
- Romana Hrušková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Induované oscilující eletricé dipóly jao zdroje rozptýleného záření Ja v lasicém, ta i v vantově-mechanicém přístupu jsou za původce rozptýleného záření považovány oscilující eletricé a magneticé multipólové momenty induované v moleule eletromagneticým polem dopadajících světelných vln Běžně je nejdůležitějším multipólovým zdrojem oscilující eletricý dipól Oscilující magneticý dipól a eletricý vadrupól jsou dalšími nejdůležitějšími zdroji v řadě, ale veliost jejich příspěvu je typicy o něoli řádů menší ve srovnání s oscilujícím eletricým dipólem Proto se zpočátu omezíme pouze na oscilující induovaný eletricý dipól jao zdroj rozptýleného záření Intenzita I (střední výon vyzářený oscilujícím dipólem induovaným v moleule eletricým polem dopadajícího záření o frevenci ω do jednotového prostorového úhlu ve směru svírajícím úhel ϑ s osou dipólu je dán vztahem dφ 4 4 I ωpsin ϑ ϖωpsin ϑ dω πεc de jsme označili ω πεc () a de p je amplituda induovaného dipólového momentu s frevencí ω, terá je obecně (ale ne nutně) odlišná od ω a c je rychlost světla Zde i v následujícím teoreticém popisu je vhodné používat (ruhovou) frevenci ω Avša v případech, dy bude laden důraz na polohy pásů ve spetru, budeme ve shodě s běžnou praxí používat vlnočet (wavenumber) ν Vztah () lze potom psát v alternativním tvaru π c ν 4 4 sin ϑ ν ν sin ϑ ε I p p () de jsme označili π c ε ν a použili vztah ω πc ν () Úolem lasicého či vantově mechanicého popisu rozptylu světla je uázat, ja ω (nebo ν ) a p souvisí s vlastnostmi rozptylující moleuly a s frevencí dopadajícího eletromagneticého záření o frevenci ω (nebo vlnočtu ν )
2 Klasicá teorie ova a Ramanova rozptylu Ja eletromagneticé záření ta i látu popisujeme lasicy Ačoliv lasicá teorie nedoáže vysvětlit všechny aspety ova a Ramanova rozptylu, doáže uspoojivě vysvětlit alespoň něteré z nich, především frevenční závislost a částečně i výběrová pravidla frevenčně závislý induovaný dipólový moment moleuly () p α E (4) de E je vetor eletricé intenzity dopadající rovinné monochromaticé vlny o frevenci ω a α je tenzor polarizovatelnosti moleuly Vztah (4) může být napsán ve tvaru tří lineárních rovnic () p α E + α E + α E x xx x xy y xz z () p α E + α E + α E y yx x yy y yz z () p α E + α E + α E z zx x zy y zz z anebo užitím maticového formalizmu jao () p x αxx αxy αxz Ex () p de devět oeficientů α α α y yx yy yz y () p α z zx αzy α zz E z E (4a) (4b) α představuje složy tenzoru polarizovatelnosti α V případě nerezonančního rozptylu je tenzor polarizovatelnosti symetricý, tj α ασρ, potom má pouze šest nezávislých slože Tenzor polarizovatelnosti moleuly si můžeme graficy vyjádřit jao elipsoid mající v obecném případě tři různé poloosy Ačoli tvar elipsoidu polarizovatelnosti moleuly nezávisí na volbě souřadného systému, atuální hodnoty jeho slože na orientaci os závisí Poud osy souřadného systému oincidují s hlavními osami elipsoidu polarizovatelnosti (označme je X, Y, Z), nabývá tenzor polarizovatelnosti jednodušší diagonální tvar, tj všechny nediagonální složy vymizí ( α α α ) αxx ; αyy a α ZZ a dély poloos elipsoidu budou XY XZ YZ
3 Ačoli jednotlivé složy tenzoru polarizovatelnosti se při rotaci souřadného systému mění, něteré jejich ombinace jsou invariantní V případě symetricého tenzoru polarizovatelnosti existují dva taové invarianty: střední polarizovatelnost a definovaná vztahem a ( αxx + αyy + αzz ) (5a) a anizotropie γ definovaná vztahem γ ( αxx αyy ) + ( αyy αzz ) + ( αzz αxx ) + 6( αxy + αxz + αyz ) (5b) Pro nesymetricý tenzor polarizovatelnosti existuje ještě třetí antisymetricý invariant δ, definovaný vztahem { } xy yx xz zx yz zy δ α α + α α + α α (5c) 4 Tyto invarianty zísávají na významu v případě souboru náhodně orientovaných moleul, dy je mohutnost rozptýleného záření dána prostorovým středováním čtverců slože tenzoru polarizovatelnosti Dá se uázat, že střední hodnoty čtverců slože tenzoru polarizovatelnosti mohou být vyjádřeny pomocí invariantů a a γ 45a + 4γ αxx αyy αzz 45 γ αxy αxz αyz 5 45a γ αxxαyy αxxαzz αyyαzz 45 V literatuře se můžeme setat ještě s jinými invarianty (tzv Placzeovy) teré jsou definovány vztahy, ( s) a { αxx + αyy + αzz } ( s) { } { } α xy + αyx + αxz + αzx + αyz + αzy + αxx αyy + αxx αzz + αyy αzz ( a) { α } xy αyx + αxz αzx + αyz αzy Mezi invarianty, ( s) a ( a) a invarianty a, γ a δ zřejmě platí následující vztahy (6) ( a), (7) ( s) ( a) a γ δ (8)
4 Tenzor polarizovatelnosti bude obecně funcí jaderných souřadnic a tudíž bude záviset i na frevencích vibrací moleuly α α α ( α ) + + l +, l (9) l α v rovnovážné onfiguraci moleuly,, jsou normální de ( α ) je hodnota souřadnice vibrací o frevencích ω, ω a sčítá se přes všechny normální souřadnice l Index u derivací znamená, že jsou počítány v rovnovážné onfiguraci Omezíme se pouze na první dva členy rozvoje, tj zanedbáme členy zahrnující vyšší než první mocninu Tato aproximace se nazývá harmonicá oustřeďme se pro začáte pouze na jednu normální vibraci de V tom případě můžeme vztah (9) psát ve tvaru ( α ) ( α ) ( α ) + () l ( α ) α () α jsou složy nového tenzoru α, terý nazýváme derivovaný tenzor polarizovatelnosti ( ) a jehož složami jsou derivace polarizovatelnosti podle normální souřadnice platí pro všechny složy tenzoru, a proto můžeme psát α α + α Uvažujeme-li jednoduchý harmonicý pohyb, potom můžeme závislost jao Vztah () () na čase vyjádřit cos ωt+ δ () de je amplituda normální vibrace a δ je fázový fator Dosazením () do () dostaneme závislost tenzoru polarizovatelnosti vyplývající z -tého vibračního modu na čase α cos α + α ωt+ δ (4) Do rovnice (4) nyní dosadíme frevenční závislost dopadajícího pole E danou vztahem E E cosω t (5) Potom () p α E cosω t+ α E cos ω t+ δ cosωt Užitím trigonometricé identity (6) 4
5 cos Acos B cos( A+ B) + cos( A B) můžeme vztah (6) vyjádřit ve tvaru p p ω + p ω ω + p ω + ω () () () () (7) de () p ( ω) p cosωt p α E α α () Raman p ( ω± ω) p cos ( ω± ω) t± δ Raman Raman p α E (8) (9) () () () Raman α α () Kosinové funce ve vztazích (8) a () definují frevence induovaných dipólů, vztahy () Raman α rozptylu a () definují lasicé tenzory ova α a Ramanova ( ) Ze vztahu (7) je zřejmé, že induovaný lineární dipól má tři složy o různých frevencích:, terá je příčinou záření o stejné frevenci jao je dopadající záření a vysvětluje () p ( ω ) pružný ův rozptyl; p ω ω () ( ) vysvětluje toesův Ramanův rozptyl; a, terá je příčinou záření o frevenci ω ω a p ω ω () ( + ), terá je příčinou záření o frevenci ω + ω a vysvětluje anti-toesův Ramanův rozptyl Povšimněme si, že zatímco induovaný dipól () p ( ω ) má stejnou fázi jao dopadající vlna, induované dipóly p ω ω () ( ± ) fázově posunuty vůči dopadajícímu vlně o δ Tato veličina definuje relativní fázi normální vibrace vzhledem dopadající vlně a pro různé moleuly může být různá Tento jednoduchý lasicý přístup nám posytuje užitečný valitativní obráze mechanismu ova a Ramanova rozptylu ův rozptyl vzniá díy mitům eletricého dipólu o frevenci ω induovaného v moleule eletricým polem dopadajícího záření, jež samo mitá s frevencí ω Ramanův rozptyl vzniá díy eletricým dipólům mitajícím s frevencemi ω ± ω, teré vzniají následem modulace eletricého dipólu mitajícího s frevencí ω moleulárními vibracemi s frevencí ω Nezbytnou vazbu mezi pohybem jader a eletricým polem zajišťují eletrony, jež sledují pohyby jader a způsobují jsou 5
6 harmonicou modulaci polarizovatelosti Užijeme-li analogie s hudbou, můžeme říci, že frevence pozorované při Ramanově rozptylu jsou frevence rázů mezi frevencí záření ω a frevencí moleulární vibrace ω Je zřejmé, že nutnou podmínou pro existenci ova rozptylu je nenulovost α Jeliož všechny moleuly jsou v menší či větší míře polarizovatelné, lasicý rovnovážný tenzor α bude vždy mít nějaé nenulové složy a tudíž α bude vždy nenulový Všechny moleuly tedy vyvolávají ův rozptyl Analogicou podmínou pro existenci Ramanova rozptylu spojeného s moleulovou vibrací o frevenci ω je nenulovost derivovaného tenzoru polarizovatelnosti Raman α To znamená, že alespoň jedna ze slože ( ) α α musí být nenulová Podle vztahu () je ( α derivací složy tenzoru polarizovatelnosti podle normální souřadnice ) v rovnovážné onfiguraci jader Podmínou pro existenci Ramanova rozptylu tedy je, aby alespoň pro jednu ze slože tenzoru polarizovatelnosti měla její závislost na normální souřadnici v rovnovážné onfiguraci nenulový gradient, tedy α ( α ) (4) Potom říáme, že taová vibrace je ativní v Ramanově spetru Poud naopa jsou pro nějaou vibraci všechny složy α nulové, potom říáme, že taová vibrace je v Ramanově spetru neativní Vztah α α (5) odráží citlivost polarizovatelnosti moleuly na změny onfigurace jader při normální vibraci 6
do jednotkového prostorového úhlu ve směru svírajícím úhel ϑ s osou dipólu je dán vztahem (1) a c je rychlost světla.
Induované oscilující eletricé dipóly jao zdroje rozptýleného záření Ja v lasicém, ta i v vantově-mechanicém přístupu jsou za původce rozptýleného záření považovány oscilující eletricé a magneticé multipólové
VíceOptické vlastnosti látek
Opticé vlastnosti láte Isaac Newton 64 77 Jan Marcus Marci z Kronlandu 595 677 Světlo je eletromagneticé vlnění James Cler Maxwell 83 879 Maxwellovy rovnice E, B B E, t B j E t Energie eletromagneticých
VíceKmity a rotace molekul
Kmity a rotace moleul Svět moleul je neustále v pohybu l eletrony se pohybují oolo jader l jádra mitají olem rovnovážných poloh l moleuly rotují a přesouvají se Ion H + podrobněji Kmity vibrace moleul
VíceTransformátory. Mění napětí, frekvence zůstává
Transformátory Mění napětí, frevence zůstává Princip funce Maxwell-Faradayův záon o induovaném napětí e u i d dt N d dt Jednofázový transformátor Vstupní vinutí Magneticý obvod Φ h0 u u i0 N i 0 N u i0
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
Vícek + q. Jestliže takový dipól kmitá s frekvencí ν (odpovídající
Vlastnosti kmitajíího dipólu Podle klasiké teoie je nejefektivnějším zdojem elektomagnetikého záření kmitajíí elektiký dipól. Intenzita jeho záření o několik řádů převyšuje intenzity ostatníh zdojů záření
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceTěleso na nakloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo
TEORETICKÁ MECHANIKA INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY Záladní pojmy z mechaniy Mechanicý systém: jaáoli soustava částic nebo těles teré se rozhodneme popisovat (eletron atom Zeměoule planetární systém ).
Více22. Mechanické a elektromagnetické kmity
. Mechanicé a eletromagneticé mity. Mechanicé mity Mechanicé mitání je jev, při terém se periodicy mění fyziální veličiny popisující mitavý pohyb. Oscilátor těleso, teré je schopné mitat, (mitání způsobuje
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceGeometrická zobrazení
Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceELEKTRONICKÉ ČÁSTI HERNÍCH KOMPONENT
ELEKTRONICKÉ ČÁSTI HERNÍCH KOMPONENT Laserová zbraň (phaser) je Iniciátor laserového paprsu podobně jao laserové uazováto. Pomocí přijímací IR diody čte signál z vesty protihráče a vyhodnotí zásah. Přijímací
Více16. Matematický popis napjatosti
p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti
VíceCvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti
Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze
VíceRovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí
Rovinná monochromatická vlna v homogenním, neabsorbujícím, jednoosém anizotropním prostředí r r Další předpoklad: nemagnetické prostředí B = µ 0 H izotropně. Veškerá anizotropie pochází od interakce elektrických
Více7. TRANSFORMÁTORY. 7.1 Štítkové údaje. 7.2 Měření odporů vinutí. 7.3 Měření naprázdno
7. TRANSFORMÁTORY Pro zjednodušení budeme měření provádět na jednofázovém transformátoru. Na trojfázovém transformátoru provedeme pouze ontrolu jeho zapojení měřením hodinových úhlů. 7.1 Štítové údaje
VíceElektronová a absorpční spektroskopie, Vibrační spektroskopie (absorpční a Ramanova rozptylu)
Elektronová a absorpční spektroskopie, Vibrační spektroskopie (absorpční a Ramanova rozptylu) Průchod optického záření absorbujícím prostředím V dipólové aproximaci platí Einsteinův vztah pro pravděpodobnost
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Vícezpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční
Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceNávrh vysokofrekvenčních linkových transformátorů
inové transformátory inové transformátory Při požadavu na transformaci impedancí v široém frevenčním pásmu, dy nelze obsáhnout požadovanou oblast mitočtů ani široopásmovými obvody, je třeba použít široopásmových
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceMATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál
Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a
VíceFYZIKA 3. ROČNÍK. Vlastní kmitání oscilátoru. Kmitavý pohyb. Kinematika kmitavého pohybu. y m
Vlastní itání oscilátoru Kitavý pohb Kitání periodicý děj zařízení oná opaovaně stejný pohb a periodic se vrací do určitého stavu. oscilátor zařízení, teré ůže volně itat (závaží na pružině, vadlo) it
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
Více22. Mechanické a elektromagnetické kmity
. Mechanicé a eletroagneticé ity. Mechanicé ity Oscilátor tleso, teré je schoné itat, (itání zsobuje síla ružnosti, nebo tíhová síla, i itání se eriodicy ní otenciální energie oscilátoru v energii ineticou
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceV této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako
[2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové
VíceG( x) %, ν%, λ. x, x, N, N nezáporné přídatné proměnné, ( ) 2 Matematické programování
Matematicé programování Označení a definice veličin. opt i/maimalizace w, Žádaná hodnota,transpozice, relace typu nebo Inde diagonální formy vetoru. Obecná omezovací podmína Γ ( ( = ( Є, R, y podmíny typu
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VícePostupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí
Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceKritéria porušení laminy
Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém
VíceCvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
VíceMetody nelineární optiky v Ramanově spektroskopii
Metody nelineární optiky v Ramanově spektroskopii Využití optických nelinearit umožňuje přejít od tradičního studia rozptylu světla na fluktuacích, teplotních elementárních excitacích, ke studiu rozptylu
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceRovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA
Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic
Více1 Gaussova kvadratura
Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro
VíceTeorie plasticity PLASTICITA
Teore platcty PLASTICITA TEORIE PLASTICKÉHO TEČENÍ IDEÁLNĚ PRUŽNĚ-PLASTICKÝ MATERIÁL BEZ ZPEVNĚNÍ V platcém tavu nelze jednoznačně přřadt danému napětí jedné přetvoření a naopa, ja tomu bylo ve tavu elatcém.
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná
VíceModelování blízkého pole soustavy dipólů
1 Úvod Modelování blízkého pole soustavy dipólů J. Puskely, Z. Nováček Ústav radioelektroniky, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, VUT v Brně Purkyňova 118, 612 00 Brno Abstrakt Tento
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
Více3. Mocninné a Taylorovy řady
3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole
VíceAbsorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE
Absorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE N. Bogatyreva, M. Bartlová, V. Aubrecht Faulta eletrotechniy a omuniačních technologií, Vysoé učení technicé v Brně, Technicá 10, 616 00 Brno Abstrat Článe
VíceMĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU
Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové
VíceTransformace dat mezi různými datovými zdroji
Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
63. roční matematicé olympiády Úlohy rajsého ola ategorie A 1. Najděte všechna celá ladná čísla, terá nejsou mocninou čísla 2 a terá se rovnají součtu trojnásobu svého největšího lichého dělitele a pětinásobu
Více23 - Diskrétní systémy
23 - Disrétní systémy Michael Šebe Automaticé řízení 218 29-4-18 Disrétní čas: z podstaty, z měření či z pohonu Otáčející se radar - měření polohy cíle jednou za otáču radaru motivace v počátcích historie
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
VíceDiplomová práce. aktivity krystalů ve směru kolmém k optické ose
Vysoá šola: Univerzita Palacého Faulta: Přírodovědecá Katedra: Optiy Šolní ro: 008/009 Diplomová práce Název práce: Použití Condonových relací v řešení opticé ativity rystalů ve směru olmém opticé ose
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceKinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VíceDISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Vícevztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další
p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů
VíceIsaac Newton Jan Marcus Marci z Kronlandu
Optié vlastnosti láte Isaa Newton 64 77 Jan Marus Mari z Kronlandu 595 677 Světlo je eletromagnetié vlnění James Cler Maxwell 83 879 Maxwellovy rovnie ρ E, B E B E, B μ j + μ t t Energie eletromagnetiýh
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceZáklady Mössbauerovy spektroskopie. Libor Machala
Základy Mössbauerovy spektroskopie Libor Machala Rudolf L. Mössbauer 1958: jev bezodrazové rezonanční absorpce záření gama atomovým jádrem 1961: Nobelova cena Analogie s rezonanční absorpcí akustických
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VíceJiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
Více5. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivka a její orientace Z kapitoly 4.1 víme, že vektorovou funkcí jedné nezávisle proměnné t
Matematia IV Křivový integrál 5. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Proč řivový integrál? Integračním oborem je řiva. Křiva neorientovaná integrál I. druhu (neorientovaný) Křiva orientovaná integrál II. druhu (orientovaný)
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceObr.1 Princip Magnetoelektrické soustavy
rincipy měřicích soustav: 1. Magnetoeletricá (depreszý) 2. Eletrodynamicá 3. Induční 4. Feromagneticá 1.ANALOGOVÉ MĚŘICÍ ŘÍSTROJE Magnetoeletricá soustava: Založena na působení sil v magneticém poli permanentního
VíceGeometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr
Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,
Více(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)
Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
Více7 Optická difrakce jako přenos lineárním systémem
113 7 Opticá difrace jao přenos lineárním systémem 7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difraci 7. Přenosová funce pro Fresnelovu difraci jao Fourierova transformace impulsové odezvy 7.3 Fourierovsý rozlad
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceDifuze v procesu hoření
Difuze v procesu hoření Fyziální podmíny hoření Záladní podmínou nepřetržitého průběhu spalovací reace je přívod reagentů (paliva a vzduchu) do ohniště a zároveň odvod produtů hoření (spalin). Pro dosažení
VíceFAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
Více