ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE"

Transkript

1 ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem České repuliky Prostějov 009

2 Alger Úvod Vytvořený výukový mteriál pokrývá předmět mtemtik, která je vyučován v osnovách temtických plánech n gymnáziích nižšího vyššího stupně. Mohou ho všk využít všechny střední zákldní školy, kde je vyučován předmět mtemtik, které mjí dosttečné technické vyvení zázemí. Cílová skupin: Podle chápání schopností studentů je stnoven úroveň náročnosti vzdělávcího plánu výukových mteriálů. Zvláště výhodné jsou tyto mteriály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou prvidelně zúčstňovt výuky. Tito studenti mohou s pomocí nšich výukových mteriálů částečně kompenzovt svou neúčst ve vyučovném předmětu mtemtik, formou e-lerningového studi.

3 Alger Osh Poměr, měřítko plánů, mp Poměr... 7 Měřítko plánu, mpy... 9 Poměr, plány, mpy Vrint A Poměr, plány, mpy... 1 Vrint B... 1 Poměr, plány, mpy... 1 Vrint C... 1 Výrzy Číselné výrzy Číselné výrzy Vrint A Číselné výrzy Vrint B Číselné výrzy Vrint C Výrzy s proměnnými, mnohočleny Výrzy s proměnnými, mnohočleny... 0 Vrint A... 0 Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint B... Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint C... Mnohočleny, operce s nimi... 5 Mnohočleny, operce s nimi... 0

4 Alger Vrint A... 0 Mnohočleny, operce s nimi... Vrint B... Mnohočleny, operce s nimi... Vrint C... Lomený výrz... 6 Lomený výrz... 7 Vrint A... 7 Lomený výrz... 9 Vrint B... 9 Lomený výrz... 1 Vrint C... 1 Rovnice... Lineární rovnice... Lineární rovnice... 5 Vrint A... 5 Lineární rovnice... 6 Vrint B... 6 Lineární rovnice... 8 Vrint C... 8 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint A Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint B... 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint C... 5

5 Alger 5 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint A Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint B Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint C Soustv dvou lineárních rovnic... 6 Soustv dvou lineárních rovnic Vrint A Soustv dvou lineárních rovnic Vrint B Soustv dvou lineárních rovnic Vrint C Kvdrtické rovnice, nerovnice... 7 Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint A Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint B Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint C Nerovnice Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 8 Vrint A... 8 Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Vrint B... 85

6 6 Alger Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Vrint C... 87

7 Alger 7 Poměr, měřítko plánů, mp. Poměr Porovnáme-li dvě veličiny ( npříkld oshy, ovody, délky, počty lidí, peněz ) rozdílem použijeme slovní spojení o kolik (npř. Petr má 60 Kč, Miln 0 Kč, o kolik Kč má Petr víc než Miln? 60-0=0. Petr má o 0 Kč víc jk Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem použijeme slovní spojení kolikrát (Kolikrát má Petr víc než Miln?: 60 0 =. Petr má třikrát víc Kč než Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem, nzýváme potom příslušný zápis poměr (počet Kč Petr Miln jsou v poměru 60:0, čteme 60 ku 0). V pri se s poměrem čsto setkáváme, npříkld v hokeji zvítězili domácí nd hosty :1, poměr rnek dných domácími hráči rnek hostů je :1, tedy domácí dli dvkrát víc rnek než hosté, čteme dv ku jedné. Poměr : čteme ku e, kde = 1. člen poměru, =. člen poměru. Poměr k němu převrácený je :. Při stnovení poměru musíme o členy vyjádřit ve stejných jednotkách (strn 1. čtverce =1cm, strn. čtverce =dm. Poměr délek strn 1.. čtverce je 1:0). Poměr můžeme npst do tvru zlomku. A lze jej tedy krátit neo rozšiřovt podle potřey. Npř.. Krácení poměru = členy poměru vydělím stejným nenulovým číslem (npř. poměr krátíme n poměr. Rozšiřování poměru = členy poměru vynásoím stejným nenulovým číslem.

8 8 Alger Rozdělení celku v dném poměru: Tyč dlouhou, m rozděl v poměru Tyč, která je dlouhá, m se má rozdělit n dvě nestejně části, které jsou v poměru :5 První část tyče předstvuje nějké díly stejné velikosti, druhá část tyče předstvuje těchto stejných dílů 5, y yl dný poměr zchován. Dohromdy tedy 7 dílů tyče. to je 1 díl. část 1., část.. Tyč se rozřeže n díly dlouhé 1,m m. Kdyychom si chtěli provést kontrolu výpočtem: 1,m + m =,m celková délk tyče odpovídá součtu jejích dílů, 1, : máme jkýsi poměr, který jsme spočítli který rozšíříme 10, ychom z něj odstrnili desetinnou čárku, tedy dostáváme 1 : 0, následně tento dný poměr ještě vykrátíme 6, dostneme : 5, což je zdný poměr. (Poměr 1, : jsme mohli přímo krátit č. 0,6). Zvětšování zmenšování v dném poměru: Uprvit v dném poměru znmená tímto poměrem vynásoit Poměr lze psát zlomkem, tedy dné číslo, rozměr, počet tímto zlomkem vynásoíme. Je-li zlomek, tedy 1. člen menší jk. člen, jde o zmenšení, je-li zlomek, tedy 1. člen větší jk. člen, potom jde o zvětšení. Npř.: č. 00 uprv v dném poměru ) 1:00 ) :5 c) 11: ) ) c) Postupný poměr má víc jk dv členy. Jirk má 100 Kč, Petr 60 Kč, Mrtin 0 Kč. Jejich onosy jsou v poměru 100:60:0, po zkrácení 0 jsou v poměru 5::17. Postupný poměr krátíme (rozšiřujeme) jko poměr, tedy kždý člen poměru vydělíme (vynásoíme) stejným nenulovým číslem. Poměr v zákldním tvru je poměr, jehož členy mjí největšího společného dělitele č.1. Členy poměru jsou tedy nesoudělná přirozená čísl.

9 Alger 9 Měřítko plánu, mpy Měřítko plánu, mpy v ěžném životě je zpotřeí, y se dli příliš velké neo mlé ojekty znázornit n ppíře v přiměřené velikosti. K tomuto účelu slouží měřítko plánu, měřítko mpy. Je to zápis n plánku, mpě, který je ve tvru poměru, jehož 1.člen udává vzdálenost (rozměr) n mpě, plánku,. člen ve skutečnosti. : = rozměr n mpě (plánku) = rozměr skutečný npř. M 1:5 000 znmená, že 1cm n mpě je 5000 cm ve skutečnosti, tedy 50 metrů npř. M 1: znmená, že 1 cm n mpě je cm ve skutečnosti ( cm = 0 km), tedy 1 cm n mpě znmená 0 km ve skutečnosti (neo tké 1dm n mpě znmená dm tedy 00 km ve skutečnosti, 1mm n mpě znmená mm ve skutečnosti, tedy m, td.. Někdy mlé věci potřeujeme znázornit ve větším rozměru, potom máme tře poměr M :1 znmená to, že cm n výkresu předstvují 1 cm ve skutečnosti, tedy skutečný šrou dlouhý 1cm je n mpě cm, šrou dlouhý cm je n orázku znázorněn o délce 6 cm, šrou dlouhý 5cm je n mpě 15 cm. Chci-li zjistit, jká ude délk n mpě, je-li zdné měřítko mpy skutečná délk, (vzdálenost), tk dným měřítkem (poměrem) tuto skutečnou vzdálenost vynásoím. Npř. Máme mpu s měřítkem 1: Trs z Olomouce do Prostějov je dlouhá 15 km. Urči, kolik měří tto trs n dné mpě: 15 km = cm n mpě. Kdyychom převedli dnou skutečnou vzdálenost n dm, tk ychom ji vynásoili opět dným poměrem (měřítkem), le rozměr y vyšel v dm: 15 km = dm, tedy. Což odpovídá již dříve spočítné hodnotě cm. Vždy se jedná o poměr orázek : skutečnost Chci-li určit měřítko plánu mpy, položím stejné jednotky (!) do poměru tk, že 1. členem je plánek, mp,. členem je skutečnost krátím. Npříkld urči měřítko mpy, n níž cm předstvují skutečnou vzdálenost 60 km. Dostávám poměr : , krátím dostávám M 1 :

10 10 Alger Poměr, plány, mpy Vrint A Uprvte poměr n zákldní tvr: Příkld: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Ve škole je 0 chlpců 0 dívek. V jkém poměru jsou chlpci dívky ve škole? ) Uprvte n zákldní tvr poměr ) Číslo 0 uprvte v poměru ) Utvořte poměr v zákldním tvru převrácený k poměru 5) Tyč dlouhou m rozděl v poměru :1

11 Alger 11 6) Tyč dlouhou 18 dm rozděl v poměru 5: 7) N šňůře o délce cm udělej uzly tím šňůru rozděl n tři části v poměru 1:6:5. V jké vzdálenost ude 1. Suk od krje jk dlouhé udou jednotlivé díly šňůry? 8) Mp má měřítko 1: Jký úsek ve skutečnosti předstvuje n mpě ) 1cm )1dm c) 8cm d) 0cm 9) Jké je měřítko plánku, je-li skutečná velikost 8 mm znázorněn n plánku 1 cm?

12 1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint B Výdělek z rigády si Jn, Hn Jirk rozdělili v poměru 5::9. Dohromdy si vydělli 00 Kč. Kolik Kč dostl kždý z nich? Příkld: Jn Hn Jirk Provedení zkoušky: Výsledek řešení: Jn si vyděll 600 Kč, Hn 60 Kč, Jirk 1080 Kč. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Tyč dlouhá 5, m se má rozřezt n díly v poměru 1:::7. Kolik udou měřit díly? ) Měřítko mpy je 1: Kolik km předstvuje 8 cm? ) Njděte neznámý člen v poměru

13 Alger 1 ) 18 cm n plánku předstvuje 6 m ve skutečnosti. Určete měřítku plánku. 5) Měřítko mpy je. Jk dlouhá je vzdálenost n mpě, je-li skutečná vzdálenost 1, km? 6) Měřítko technického výkresu je. Jká je skutečná délk součástky, je-li n orázku dlouhá 1 cm? 7) Měřítko mpy je. Kolik ve skutečnosti předstvuje úsečk dlouhá n mpě 8 cm?

14 1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint C Strny odélníku jsou v poměru :9, jeho ovod je 598 cm. Jký je jeho osh? Příkld: Součet délek všech strn je 598 cm, součet strny je polovin ovodu, tedy 99 cm. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Určete dvě dvojciferná čísl, y yl v poměru 7: jejich rozdíl yl 7. ) N plánku má odélníkový pozemek rozměry 18 cm 7 cm. Plánek je v poměru 1:00. Určete výměru pozemku. ) Čtverce mjí délky strn v poměru :5. V jkém poměru udou jejich ovody, oshy? ) Mp má měřítko 1: Jká je n ní vzdálenost měst A B, je-li ve skutečnosti jejich vzdálenost rovn km? 5) Měřítko plánu je :15. Jká ude ploch čtverce n plánku, jestliže jeho skutečná ploch je

15 Alger 15 Výrzy Číselné výrzy Číselný výrz = zápis, v němž se vyskytují pouze čísl početní operce jko je sčítání, odčítání, násoení, dělení, umocňování, odmocňování, závorky, pod.. Jestliže určujeme hodnotu číselného výrzu, musíme dodržovt správný postup: Nejdříve umocňujeme odmocňujeme, potom násoíme dělíme ž nkonec sčítáme odčítáme. Jsou-li ve výrzu závorky, počítáme nejprve hodnoty výrzů v závorkách, tedy odstrňujeme závorky. Pokud je ve výrzu více druhů závorek, postupujeme od závorek vnitřních kulté, potom odstrníme závorky hrnté nkonec vypočítáme hodnotu výrzu závorky vnější, tedy složené. Opčný výrz má opčná znménk u jednotlivých členů npř. opčný výrz k výrzu 5, 10 je výrz 5, 10. Převrácený výrz převrátíme jej, tedy čísl z čittele dáme do jmenovtele nopk npř. k výrzu 5, 10 je výrz převrácený 6 1,5 8. 1, k výrzu 5, ,5 je převrácený výrz

16 16 Alger Číselné výrzy Vrint A Určete hodnotu číselného výrzu 8 80 (1 15) Výsledek řešení: 8 80 (1 15) 80 ( ) Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 5-(-)+18 5 ) 5-()+(-18) 15 7 c) ( ) 1 d) ( 1) ( ) 15 e) 5 9 ) ) (10 15 ) [-97] ) (18 15) [-9] 9 ) ) Rozdíl čísel 15 7 zvětši o dvojnásoek čísl 11 [0] ) Polovinu nejmenšího dvojciferného čísl zvětši o dvojnásoek největšího jednociferného čísl. [] c) Součet čísel zmenši o jejich rozdíl. [] ) ) Rozdíl druhé mocniny čísl 8 třetí mocniny čísl ztrojnáso. [168] ) Polovinu druhé mocniny čísl 1 zvětši o součin čísel 5. [8] c) Součin součtu rozdílu čísel 8 zmenši o jejich podíl. [56]

17 Alger 17 Číselné výrzy Vrint B Určete hodnotu číselného výrzu Výsledek řešení: Operce umocňování, násoení dělení má přednost před sčítáním odčítáním. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: ) [ 16 ] 6 ) 0,1 0, 0, [80] ) )Druhou mocninu rozdílu čísel 8 6 zmenši o součet dvojnásoku čísl poloviny čísl 1. [-9] ) Druhou mocninu rozdílu čísel 5 1 zmenši o polovinu druhé mocniny čísl 8. [-16] ) ) Podíl dvojnásoku čísl 16 trojnásoku čísl 16 zvětši o polovinu druhé mocniny 1 čísl 6. [ 18 ] ) Druhou odmocninu rozdílu čísel zvětši o podíl čísel 8 1. [ ]

18 18 Alger Číselné výrzy Vrint C 5 Určete hodnotu číselného výrzu 5 0, ,1 Výsledek řešení: 5 5 0, , Dodržujeme správný sled opercí, závorky řešíme od vnitřních (kultých) po vnější (hrnté přípdně složené). Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) 5 1 ( 6) 6 [ ] 8, ) 1,96 0,6 0,06 0,8 7 5 [71,5] ) , 5 1 [ ] 5 0,0 5 ) 100, 0 0,5 10 0, 0, [-19]

19 Alger 19 Výrzy s proměnnými, mnohočleny Chceme-li vypočítt ovod odélníku, známe vzorec Písmen O., jsou proměnné. Jestliže doszujeme různé číselné hodnoty z strny, podle konkrétních odélníků, zjistíme hodnotu výrzu, tedy ovod zdných odélníků. Tento výrz yl dvojčlenem o dvou proměnných,. Čísl v jednočlenech, členech mnohočlenu se nzývjí koeficienty, je tedy koeficient jk prvního tk druhého členu v dném vzorci. Písmeno ve význmu čísl se nzývá proměnná, doszením z proměnnou vypočítáme hodnotu výrzu. Pozn.: násoení proměnné číslem (koeficientem) neo násoení více proměnných se ovykle píše ez znku násoení, tedy npř. y y, O Mnohočlen s jedním členem se nzývá jednočlen, se dvěm členy dvojčlen, se třemi členy trojčlen,. Jednotlivé členy jsou odděleny znménkem + neo -. Jednočlen neoshuje součet neo rozdíl. 5 5 Jednočlen Dvojčlen 5,, 0,, 6 y, c 6 1, 6 yz, 1 c, y 0,0 1 Trojčlen 1 y, 6, m n n Čtyřčlen 6 m m n 5mn 0, 05 z

20 0 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint A Určete hodnotu výrzu - (6 10) + 0 pro = 1; 0; (-10): Příkld: = 1 : = 0 : = (-10): Výsledek řešení: 10: 116 pro 1: 7, pro 0 : 1, pro Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Určete hodnotu výrzu 10 m + 0,1m pro m = (-1); 0; 100; 0,5 Řeš.: 10,9; (-8); (-80); 9,55 ) ) Npiš vzorec pro ovod osh odélníku o strnách s p Řeš.: o s p, S s p ps ) Npiš vzorec pro ovod odélníku, jehož jedn strn má délku stejnou jko strn čtverce o ovodu n druhá strn odélníku je třikrát delší. Řeš.: o n n

21 Alger 1 ) Zpiš jko výrz (neuprvuj): ) dvojnásoek čísl zvětši o třetinu čísl y ) polovinu trojnásoku čísl m zvětši o šestinu m. c) desetinásoek čísl vyděl trojnásokem čísl y. ) Určete počet členů mnohočlenu 5 ) 7 50 c 1 6 ) y y z 50 Řeš.: y m m Řeš.: 6 10 Řeš.: y Řeš.: ), )

22 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint B Určete hodnotu výrzu 10 y y 10 pro = ; y = (-10) y Příkld: Pozor n přednost opercí n počítání se zápornými čísly. Výsledek řešení: hodnot 60 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 6 pro ) = ; = 0 5 1) Určete hodnotu výrzu ) = 1; = 10 Řeš.: ) 0 ) výrz nemá smyl číselný výrz pod odmocninou musí ýt nezáporný ) Mrtin koupil 0,5 kg jlek po Kč, kg cukru po Kč, 5 prášků do pečiv po c Kč, 6 lízátek po d Kč. Pltil nkovkou h hodnoty. Kolik Kč jí prodvčk vrátil? Řeš.: h 0,5 5c 6 d ) Do čtverce o strně je vepsán kružnice. Spočítejte délku této kružnice. Řeš.: O ) Zpiš výrz (neuprvuj): Polovinu součtu druhé mocniny čísl třetí odmocniny čísl y zvětši o rozdíl dvojnásoku čísl y nejmenšího prvočísl. 1 Řeš.: y y

23 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint C První okldč oloží z 1 hodinu k metrů stěny, druhý okldč oloží z tutéž dou o 1, m méně. Druhý okldč prcovl h hodin, první o 1 půl hodiny méně než druhý. Kolik metrů oložili o dohromdy? Příkld: 1. Okldč..k metrů z hodinu..prcovl h 1,5 hodin oložil tedy h 1, 5 k. okldč.. k 1, metrů z hodinu.prcovl h hodin oložil tedy h k 1, Dohromdy tedy h 1,5 k hk 1, Výsledek řešení: Okldči dohromdy oložili 1,5 k hk 1, h metrů stěny. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Ve třídě je n žáků. Zvázli se, že odevzdjí ve sěrně m kg ppíru. Do třídy nstoupili noví žáci. )kolik kg ppíru měl donést kždý žák původně? ) kolik kg ppíru má donést kždý žák nyní, jestliže zůstl zchován původní plán závzku sěrně sěr donesou i dv noví žáci? c) kolik odevzdjí ve sěrně ppíru, jestliže zůstne zchován závzek kg n žák donesou i dv noví žáci? m Řeš.: ) kilogrmů ) n n m m kilogrmů c) n n kilogrmů

24 Alger ) Zpiš výrz : Dvojnásoek třetí mocniny čísl zmenši o součet druhé mocniny rozdílu čísel m n pětinásoku druhé mocniny nejmenšího dvojciferného složeného čísl. Určí hodnotu dného výrzu pro = 5; m = (-11); n = (-1). Řeš.: m n ) Do kvádru o podstvných hrnách výšce v yl vyřezán čtvercový otvor do středu horní podstvy o strně do hlouky h. Všechny rozměry jsou v cm. Npiš vzorec pro ojem povrch tkto vzniklého těles toto vypočítej pro = 0; = 1; v = 5; = 6; h = 0. Řeš.: V v h V 1100cm v v h S S 58cm ) Zpiš výrz: Podíl třetí mocniny rozdílu čísel m n druhé mocniny trojnásoku čísl zvětši o součin druhé mocniny součtu čísel m n třetí odmocniny rozdílu dvojnásoku čísl poloviny čísl n. Urči hodnotu dného výrzu pro m = 1; n = (-); =. Řeš.: m n m n n ; hodnot: 19 81

25 Alger 5 Mnohočleny, operce s nimi Mějme mnohočlen A: 8 B: C: D: Sčítání mnohočlenů Sčítt můžeme pouze ty členy mnohočlenů, které mjí stejný zákld i eponent (tedy tkové členy, které se liší nnejvýš v koeficientech). Zákld s eponentem opíšeme sčítáme koeficienty podle prvidel pro sčítání reálných čísel. Npř. A+B: Opčný mnohočlen má znménk jednotlivých členů opčná Npř. A = 8 Odčítání mnohočlenů Mnohočlen odčítáme tk, že přičítáme mnohočlen opčný Npř. D A = D+ (-A) A D Násoení mnohočlenů Násoíme-li mezi seou jednočleny s různými proměnnými, jednočleny pouze opíšeme s tím, že vynecháme znménko krát. Npř.:, o m n o n m. Koeficienty jednotlivých členů se násoí podle prvidel pltných pro násoení reálných čísel. Násoíme-li různé mocniny stejné proměnné, proměnnou opíšeme umocníme ji součtem eponentů. Koeficienty vynásoíme. Npř.: ,.

26 6 Alger Mnohočleny násoíme tk, že kždý člen jednoho mnohočlenu násoíme kždým členem druhého mnohočlenu (násoíme-li mnohočlen jednočlenem, kždý člen mnohočlenu tímto jednočlenem vynásoíme). Získné jednočleny sečteme. Npř. B C D A Dělení mnohočlenů (podíl můžeme vždy npst jko zlomek) ) Jednočlen jednočlenem: koeficienty jednočlenů vydělíme podle prvidel pro dělení reálných čísel, mocniny o stejném zákldu dělíme tk, že zákld umocníme rozdílem eponentů. Pokud má dělenec vyšší eponent než dělitel, mocnin zůstává v čitteli npř.: neoli Pokud jsou si eponenty mocniny rovny, eponent mocniny je 0, npř.: pozn.: 1 0 cokoliv. Pokud má dělitel eponent větší než dělenec, mocnin zůstne ve jmenovteli (neo v čitteli, le se záporným eponentem), npř.: neoli. Pokud jsou mocniny o různém zákldu, necháme je ve tvru zlomku, npř.: y neoli y y

27 Alger 7 Několik řešených jednoduchých příkldů: , 15 0, 15, ,, 0,5 1 6, neoli y neoli y y y neoli m neoli m m m m m ) Mnohočlen jednočlenem: Dělence (mnohočlen) uspořádáme sestupně (od nejvyššího řádu eponentu - po nejnižší). Kždý člen dělence vydělíme dělitelem, jednočlenem. Tedy dostáváme dělení jednočlene jednočlenem. Npř.: c) Mnohočlen mnohočlenem: Dělence i dělitele uspořádáme sestupně. Dělíme první člen dělence prvním členem dělitele, výsledkem dělení je první člen podílu. Vynásoíme tímto výsledkem dělitele výsledný mnohočlen odečteme od dělence. Tím získáme nového dělence pro dlší dělení stejným postupem. Tento postup opkujeme s nově získným dělencem tk dlouho, dokud není zylý mnohočlen nižšího stupně než dělitel. Npř.: 8 Dělence i dělitele uspořádáme sestupně potom dělíme první člen dělence prvním členem dělitele 6 8 výsledek násoíme dělitelem zpíšeme pod dělence, odečteme, výsledkem je nový dělenec dělení opkujeme s novým dělencem

28 8 Alger opět dostáváme nový dělenec, dělení se opkuje 0 1 Algoritmus dělení je stejný jko dělení víceciferných čísel zpisujeme tkto: Kontrol správnosti dělení : podíl vynásoím dělitelem dostneme dělenec (jko u reálných čísel). Dělení mnohočlenu mnohočlenem se zytkem: konečný mnohočlen je nižšího řádu než dělitel, tedy jej npíšeme jko zytek ve tvru zlomku, kdy do jmenovtele dáváme dělitele do čittele onen zylý mnohočlen (v nšem přípdě č.).

29 Alger 9 Umocňování jednočlenů, mnohočlenů y y y y c c c c Pro některé mocniny dvojčlenů používáme vzorce viz. Rozkld mnohočlenů n součin. N mocniny lgerických výrzů s přirozeným mocnitelem (eponentem) pohlížíme stejně jko n mocniny reálných čísel s využitím znlostí o násoení jednočlenů, mnohočlenů. Rozkld mnohočlenů n součin ) Vytýkáním společné činitele jednotlivých členů mnohočlenu mohu vytknout, tedy je to opk násoení mnohočlenu jednočlenem, přípdně mnohočlenem. Npř.: 1 6 v zdném dvojčlenu yl největším společným dělitelem oou členů, tedy po vytknutí zůstává z prvního člene z druhého člene 1. Kontrolu správnosti vytýkání lze provést opětovným roznásoením. ) Užitím vzorců

30 0 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint A Uprvte: Příkld: = roznásoíme závorku jednočlenem dvojčlen - odečtu tk, že přičtu mnohočlen opčný 6 neo odečteme členy, které mjí stejný zákld i eponent 8. Výsledek řešení: 8 teď už jen sečteme Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Zpiš stručně jednočlen: ) 5 ) 0,m m m 0 n c) k l k d) cc e) y f) p q r p p p q q 0,1 p q q Řeš.: ) 15 ) m n c) 6 k l d) 6 6 c e) y f) p qr p q 0,1 p q

31 Alger 1 ) Vypočítej: ) 1 ) c) 0, 5 6 h 5h 5m h m h h m m d) 0. e) 6, , 7 f) g) ( y) ( 5y) (7 y) h) ( ) i) y y z 5 y z 1 y y 6y j) k) 6 Řeš.:) 1 ) 16,6 5 c) h 6m m d), e) 6,5 11 9, 7 f) 1 g) 11 y h) 7 i) 9y z 1 j) y 6y k) ) ) 5 ) 5 c) 1 d) m m n 8 e) p q 1 p f) 6 1 g) y y 6y h) Řeš.: ) ) 6 10 c) 1 d) m 6mn m e) p p 6pq q f) g) h) 8 y ) Vypočítej: ) 18 6 ) 6 7 m c) 10 y 5y m d) 5 e) f) 1 5 g) 1 1 Řeš.: ) ) 5 h) 16 c c m c) 6 y i) d) e) f) g) 1 h) 8 c i) 9 1

32 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint B )Uprvte 1 5 )Rozložte n součin: Příkld: ) 1 5 Operce umocňování má přednost před násoením dělením to před sčítáním odčítáním ) Rozlož n součin: nejdříve se vytkl největší spol. dělitel, potom se závork rozložil pomocí vzorce. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 1 ) Řeš.: ) 1 ) ) ) 1 1 c c c ) c c c Řeš.: ) 0 ) 5-+9c Výsledek řešení:) 15 7 )

33 Alger ) ) 15 9m 5m m 5 m ) y y y y Řeš.: ) m ) y ) Rozlož n součin ) 8 18y ) c) p q d) Řeš.: ) y y ) 5 d) c c c) p q p q 6 9 c

34 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint C Rozlož n součin p q 1 p q 1 p q 1 Příkld:... p q 1 p q 1 p q 1 trojčlenu p q 1 p q 1 vytkneme... p q 1... poslední závorkje vzorec... p q 1 závorky roznásoíme... p q 1... vytkneme z dného Výsledek řešení: p q 1 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Rozlož n součin ) c ) 6 1y 6y y Řeš.: ) c c c ) y6 6y ) Určete nejmenší společný násoek výrzů:, 8 Řeš.:

35 Alger 5 ) ) ) m 0 m 10m m 1 Řeš.: ) 5 ) 1 10 m m 10 m ) Vypočítej: ) ,1 ) 0,,1 50,5 0,,1 0, 1 Řeš.: ) 5 0,6 0,1 ) 5 5 0,

36 6 Alger Lomený výrz Lomený výrz je výrz tvru, kde jsou mnohočleny,. Rozšiřování lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu násoíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz rozšířen výrzem 5y. Krácení lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu dělíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz krácen č. 8. Sčítání odčítání lomených výrzů jko u zlomků. Tedy výrzy převedeme n nejmenšího společného jmenovtele (rozšiřováním) potom sečteme (odečteme) čittele podle prvidel pro sčítání (odčítání) mnohočlenů. Npř. Násoení dělení lomených výrzů Lomené výrzy násoíme tk, že čittele násoíme čittelem, jmenovtele jmenovtelem. Před vynásoením krátíme. Dělíme tk, že násoíme výrzem převráceným. Postup při násoení: 1. Čittele i jmenovtele rozložíme n součin ( vytýkáním neo pomocí vzorců ). Krátíme. Součin čittelů lomíme součinem jmenovtelů. Uvedeme podmínky Npř. před vynásoením rozložíme čittele i jmenovtele n součin krátíme Npř. Umocnění lomeného výrzu umocníme čittele i jmenovtele Npř. Složené lomené výrzy uprvujeme odoně jko složené zlomky s dodržováním prvidel pro operce s mnohočleny stnovením podmínek, z kterých má výrz smysl.

37 Alger 7 Lomený výrz Vrint A Stnovte, kdy mjí dné výrzy smysl uprvte je. ) ) c) d) e) Příkld: ) čittel jsme vytknutím rozložili n součin výrzem se potom celý výrz vykrátil. Podmínky jmenovtel nesmí ýt nulový, protože nulou dělit nelze. ) nejmenší společný jmenovtel dvou lomených výrzů, které máme sečíst, je, tedy první zlomek se rozšířil výrzem, druhý zlomek výrzem Potom již čittele i jmenovtele jen uprvíme. Podmínky: jmenovtel lomených výrzů musí ýt nenulový, tedy c) nejprve jsme první lomený výrz uprvili v čitteli n součin vykrátili výrzem, následně nejmenším společným jmenovtelem oou lomených výrzů yl výrz, tk jsme o lomené výrzy n něj rozšířili následně uprvili čittel. Podmínky pro první výrz nutnost jeho nenulového jmenovtele d). vytknutím druhého čittele jsme výrzy rozložili n součin poté krátili výrzem, podmínky: opět pro nenulovost jmenovtelů dných lomených výrzů, tedy.

38 8 Alger e) dělili jsme výrzem tk, že jsme násoili převrácenou hodnoutou poté již násoili podle prvidel násoení lomených výrzů. Před vynásoením se krátilo výrzem. U podmínek musíme dát n nenulovost dělitele, tedy celého druhého výrzu, protože nulou dělit nelze. Tedy i jeho čittel musí ýt nenulový. Výsledek řešení:) ) c) e) d) Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Pomocí rozšiřování neo krácení doplňte tk, y pltil rovnost ) ) c) d) ) Krťte ) ) c) d) e) f) g) ) Stnovte, kdy má dný výrz smysl: ) ) Stnovte podmínky uprvte ) ) c) d)

39 Alger 9 Lomený výrz Vrint B Zjednodušte Příkld: V prvním kroku jsme o lomené výrzy rozložili n součin pomocí vytýkání, potom jsme v prvním lomeném výrzu krátili výrzem v druhém lomeném výrzu jsme jmenovtele ještě rozložili no součin pomocí vzorce následně krátili výrzem. Násoit lomený výrz celistvým výrzem znmená násoit tímto výrzem čittele (lze si celistvý výrz předstvit jko lomený výrz se jmenovtelem 1, tedy v nšem přípdě ). Nkonec se k lomenému výrzu přičetl 1, tedy výrz. Podmínky: tedy z druhého lomeného výrzu určujeme podmínky ž po rozložení jmenovtele n součin, kdy ni jeden z činitelů nesmí ýt nulový, tedy z toho podmínky. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

40 0 Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) c) d) e) f) g) h) i) 0 ) + 1 ; ) + ) ;, ; ) ; ) ) ) c) d) e) f) g) 0 ),, )8 ;,, )1; 1; ) )

41 Alger 1 Lomený výrz Vrint C Uprvte rozhodněte, kdy má výrz smysl: Příkld: Tento složený lomený výrz uprvíme tk, že nejdříve čittele i jmenovtele převedeme n společný jmenovtel potom vše uprvíme n součin. Následně krátíme výrzem, tím dostáváme jednoduchý lomený výrz, kde uprvíme čittel i jmenovtel po rozložení n součin opět krátíme, to výrzem. Podmínky: Jednk jednotlivé zlomky v lomeném výrzu musejí mít smysl, tedy jejich nenulové jmenovtele, i celý jmenovtel složeného lomeného výrzu musí ýt nenulový, tedy ještě Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

42 Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

43 Alger Rovnice Lineární rovnice rovnost rovnice s neznámou rovnice s neznámou Řešit rovnici znmená njít tková čísl, která když do rovnice z neznámou dosdím, djí rovnost. Kždé tkové číslo se nzývá řešení rovnice neoli kořen rovnice. Správnost řešení rovnice prověříme zkouškou. Tj. řešení rovnice dosdíme do levé strny rovnice i do prvé strny rovnice pokud máme správný kořen, dostneme rovnost. Ekvivlentní úprvy rovnic jsou tkové úprvy rovnic, při nichž se řešení rovnice nezmění. Kořen rovnice se nezmění ) přičteme-li k oěm strnám rovnice totéž číslo, týž výrz, neo změníme-li levou prvou strnu rovnice ) násoíme-li oě strny rovnice týmž nenulovým číslem, výrzem. Npř.: k oěm strnám rovnice přičtu 5 oě strny rovnice vydělím Zkoušk: = tedy dostli jsme rovnost, č. je kořenem nší rovnice.

44 Alger Pokud při řešení rovnice dojdeme k neprvdě, npř. 0=8, rovnice nemá řešení, říkáme, že řešením je prázdná množin, neoli. Pokud při řešení rovnice dojdeme k prvdě, npř. 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, řešením jsou všechn čísl z ooru rovnic, v němž řešíme.

45 Alger 5 Lineární rovnice Vrint A Dnou rovnici vyřešte proveďte zkoušku Příkld: /-- / Zk.: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: Dné rovnice řešte proveďte zkoušky 1) ) ) )

46 6 Alger Lineární rovnice Vrint B Řešte dnou rovnici proveďte zkoušku Příkld: sčítáním výrzů odstrníme závorky správným roznásoením chceme neznámou n levé strně, čísl n strně prvé, tedy k oěm strnám rovnice přičteme posčítáme tedy dostli jsme prvdu, 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, tedy řešením je kždé reálné číslo. Zkoušku nelze provést, pouze ověření pro náhodně zvolené číslo: npř.: m=10 Výsledek řešení: rovnice má nekonečně mnoho řešení Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

47 Alger 7 Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

48 8 Alger Lineární rovnice Vrint C Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: roznásoíme závorky mohli ychom násoit celou rovnici nejmenším společným jmenovtelem, tedy č. 6, le když se podíváme, je lépe nejdříve sečíst některé zlomky, tedy k oěm strnám rovnice přičíst ž poté vynásoit společným jmenovtelem zlomků, ychom zlomky odstrnili. nyní celou rovnici vynásoíme č. 9 k oěm strnám přičteme (-1) oě strny rovnice vydělíme č. (-1). Zk.: Výsledek řešení: ;

49 Alger 9 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

50 50 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Při řešení rovnic, v nichž se vyskytuje neznámá ve jmenovteli, musíme vyloučit ty hodnoty neznámé, pro něž dná rovnice nemá smysl, tedy zjistíme nenulovost jmenovtelů v rovnici. Po stnovení podmínek můžeme oě strny rovnice vynásoit nejmenším společným jmenovtelem lomených výrzů v dné rovnici tím odstrnit z rovnice zlomky.

51 Alger 51 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint A Řešte dnou rovnici Příkld: / vyloučíme nulovost jmenovtelů oě strny rovnice vynásoíme nejmenším společným jmenovtelem dných lomených výrzů, tedy. / / Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

52 5 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint B Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: / / / rovnice nemá řešení, tedy z podmínek pro rovnici le plyne, že, tedy Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ;5 ) 6; 0 ) 5 ;, 5 7 ) 7, 5

53 Alger 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint C Řešte dnou rovnici: Příkld: Rovnice má smysl, pokud má nenulové jmenovtele, tedy / / / Zk.: Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 URČI HODNOTU VÝRAZU Kolik to je? A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1 určit (vy)počítat dosadit hodnota výrazu (urči) (vypočítej) (dosaď) B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 DOSAĎ

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Procenta, poměr, trojčlenka Klíčová slova: Procenta, poměr, zvětšení, zmenšení, trojčlenka, měřítko Autor: Mlynářová 1 Trojčlenka označuje postup při řešení úloh přímé

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel . Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zopakujte si co to je násobek a dělitel čísla co je to prvočíslo jak se hledá rozklad složeného čísla na prvočinitele největší společný dělitel, nejmenší společný

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL VY_32_INOVACE_M_186 OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL Autor: Mgr. Irena Štěpánová Použití: 3. třída Datum vypracování: 29. 9. 2012 Datum

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 009/010 MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI Zpracoval: Schválil: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Ministerstvo

Více

Maturitní příklady 2011/2012

Maturitní příklady 2011/2012 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

R e á l n á č í s l a - R

R e á l n á č í s l a - R Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork

Více

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení Předmět: MATEMATIKA Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Charakteristika předmětu Předmět je vyučován na 1. a 2. stupni. Vzdělávací oblast matematika a její aplikace je v základním vzdělávání

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Variace. Poměr, trojčlenka

Variace. Poměr, trojčlenka Variace 1 Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Poměr Poměr je matematický zápis

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

Učební osnovy oblasti

Učební osnovy oblasti školní vzdělávací program Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání - pie Sluníčko oblasti 1 a její aplikace Charakteristika oblasti Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast je založena

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR

Zhoubný novotvar ledviny mimo pánvičku v ČR Aktuální informce Ústvu zdrvotnických informcí sttistiky České repuliky Prh 8.1.2004 1 Zhouný novotvr ledviny mimo pánvičku v ČR Počet hlášených onemocnění zhouným novotvrem ledviny mimo pánvičku (dg.

Více

Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky

Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky Září Obor přirozených čísel Počítá předměty v daném souboru do 5 Vytváří soubory s daným počtem

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více