ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE"

Transkript

1 ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem České repuliky Prostějov 009

2 Alger Úvod Vytvořený výukový mteriál pokrývá předmět mtemtik, která je vyučován v osnovách temtických plánech n gymnáziích nižšího vyššího stupně. Mohou ho všk využít všechny střední zákldní školy, kde je vyučován předmět mtemtik, které mjí dosttečné technické vyvení zázemí. Cílová skupin: Podle chápání schopností studentů je stnoven úroveň náročnosti vzdělávcího plánu výukových mteriálů. Zvláště výhodné jsou tyto mteriály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou prvidelně zúčstňovt výuky. Tito studenti mohou s pomocí nšich výukových mteriálů částečně kompenzovt svou neúčst ve vyučovném předmětu mtemtik, formou e-lerningového studi.

3 Alger Osh Poměr, měřítko plánů, mp Poměr... 7 Měřítko plánu, mpy... 9 Poměr, plány, mpy Vrint A Poměr, plány, mpy... 1 Vrint B... 1 Poměr, plány, mpy... 1 Vrint C... 1 Výrzy Číselné výrzy Číselné výrzy Vrint A Číselné výrzy Vrint B Číselné výrzy Vrint C Výrzy s proměnnými, mnohočleny Výrzy s proměnnými, mnohočleny... 0 Vrint A... 0 Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint B... Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint C... Mnohočleny, operce s nimi... 5 Mnohočleny, operce s nimi... 0

4 Alger Vrint A... 0 Mnohočleny, operce s nimi... Vrint B... Mnohočleny, operce s nimi... Vrint C... Lomený výrz... 6 Lomený výrz... 7 Vrint A... 7 Lomený výrz... 9 Vrint B... 9 Lomený výrz... 1 Vrint C... 1 Rovnice... Lineární rovnice... Lineární rovnice... 5 Vrint A... 5 Lineární rovnice... 6 Vrint B... 6 Lineární rovnice... 8 Vrint C... 8 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint A Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint B... 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint C... 5

5 Alger 5 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint A Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint B Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Vrint C Soustv dvou lineárních rovnic... 6 Soustv dvou lineárních rovnic Vrint A Soustv dvou lineárních rovnic Vrint B Soustv dvou lineárních rovnic Vrint C Kvdrtické rovnice, nerovnice... 7 Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint A Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint B Kvdrtické rovnice, nerovnice Vrint C Nerovnice Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 8 Vrint A... 8 Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Vrint B... 85

6 6 Alger Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic Vrint C... 87

7 Alger 7 Poměr, měřítko plánů, mp. Poměr Porovnáme-li dvě veličiny ( npříkld oshy, ovody, délky, počty lidí, peněz ) rozdílem použijeme slovní spojení o kolik (npř. Petr má 60 Kč, Miln 0 Kč, o kolik Kč má Petr víc než Miln? 60-0=0. Petr má o 0 Kč víc jk Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem použijeme slovní spojení kolikrát (Kolikrát má Petr víc než Miln?: 60 0 =. Petr má třikrát víc Kč než Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem, nzýváme potom příslušný zápis poměr (počet Kč Petr Miln jsou v poměru 60:0, čteme 60 ku 0). V pri se s poměrem čsto setkáváme, npříkld v hokeji zvítězili domácí nd hosty :1, poměr rnek dných domácími hráči rnek hostů je :1, tedy domácí dli dvkrát víc rnek než hosté, čteme dv ku jedné. Poměr : čteme ku e, kde = 1. člen poměru, =. člen poměru. Poměr k němu převrácený je :. Při stnovení poměru musíme o členy vyjádřit ve stejných jednotkách (strn 1. čtverce =1cm, strn. čtverce =dm. Poměr délek strn 1.. čtverce je 1:0). Poměr můžeme npst do tvru zlomku. A lze jej tedy krátit neo rozšiřovt podle potřey. Npř.. Krácení poměru = členy poměru vydělím stejným nenulovým číslem (npř. poměr krátíme n poměr. Rozšiřování poměru = členy poměru vynásoím stejným nenulovým číslem.

8 8 Alger Rozdělení celku v dném poměru: Tyč dlouhou, m rozděl v poměru Tyč, která je dlouhá, m se má rozdělit n dvě nestejně části, které jsou v poměru :5 První část tyče předstvuje nějké díly stejné velikosti, druhá část tyče předstvuje těchto stejných dílů 5, y yl dný poměr zchován. Dohromdy tedy 7 dílů tyče. to je 1 díl. část 1., část.. Tyč se rozřeže n díly dlouhé 1,m m. Kdyychom si chtěli provést kontrolu výpočtem: 1,m + m =,m celková délk tyče odpovídá součtu jejích dílů, 1, : máme jkýsi poměr, který jsme spočítli který rozšíříme 10, ychom z něj odstrnili desetinnou čárku, tedy dostáváme 1 : 0, následně tento dný poměr ještě vykrátíme 6, dostneme : 5, což je zdný poměr. (Poměr 1, : jsme mohli přímo krátit č. 0,6). Zvětšování zmenšování v dném poměru: Uprvit v dném poměru znmená tímto poměrem vynásoit Poměr lze psát zlomkem, tedy dné číslo, rozměr, počet tímto zlomkem vynásoíme. Je-li zlomek, tedy 1. člen menší jk. člen, jde o zmenšení, je-li zlomek, tedy 1. člen větší jk. člen, potom jde o zvětšení. Npř.: č. 00 uprv v dném poměru ) 1:00 ) :5 c) 11: ) ) c) Postupný poměr má víc jk dv členy. Jirk má 100 Kč, Petr 60 Kč, Mrtin 0 Kč. Jejich onosy jsou v poměru 100:60:0, po zkrácení 0 jsou v poměru 5::17. Postupný poměr krátíme (rozšiřujeme) jko poměr, tedy kždý člen poměru vydělíme (vynásoíme) stejným nenulovým číslem. Poměr v zákldním tvru je poměr, jehož členy mjí největšího společného dělitele č.1. Členy poměru jsou tedy nesoudělná přirozená čísl.

9 Alger 9 Měřítko plánu, mpy Měřítko plánu, mpy v ěžném životě je zpotřeí, y se dli příliš velké neo mlé ojekty znázornit n ppíře v přiměřené velikosti. K tomuto účelu slouží měřítko plánu, měřítko mpy. Je to zápis n plánku, mpě, který je ve tvru poměru, jehož 1.člen udává vzdálenost (rozměr) n mpě, plánku,. člen ve skutečnosti. : = rozměr n mpě (plánku) = rozměr skutečný npř. M 1:5 000 znmená, že 1cm n mpě je 5000 cm ve skutečnosti, tedy 50 metrů npř. M 1: znmená, že 1 cm n mpě je cm ve skutečnosti ( cm = 0 km), tedy 1 cm n mpě znmená 0 km ve skutečnosti (neo tké 1dm n mpě znmená dm tedy 00 km ve skutečnosti, 1mm n mpě znmená mm ve skutečnosti, tedy m, td.. Někdy mlé věci potřeujeme znázornit ve větším rozměru, potom máme tře poměr M :1 znmená to, že cm n výkresu předstvují 1 cm ve skutečnosti, tedy skutečný šrou dlouhý 1cm je n mpě cm, šrou dlouhý cm je n orázku znázorněn o délce 6 cm, šrou dlouhý 5cm je n mpě 15 cm. Chci-li zjistit, jká ude délk n mpě, je-li zdné měřítko mpy skutečná délk, (vzdálenost), tk dným měřítkem (poměrem) tuto skutečnou vzdálenost vynásoím. Npř. Máme mpu s měřítkem 1: Trs z Olomouce do Prostějov je dlouhá 15 km. Urči, kolik měří tto trs n dné mpě: 15 km = cm n mpě. Kdyychom převedli dnou skutečnou vzdálenost n dm, tk ychom ji vynásoili opět dným poměrem (měřítkem), le rozměr y vyšel v dm: 15 km = dm, tedy. Což odpovídá již dříve spočítné hodnotě cm. Vždy se jedná o poměr orázek : skutečnost Chci-li určit měřítko plánu mpy, položím stejné jednotky (!) do poměru tk, že 1. členem je plánek, mp,. členem je skutečnost krátím. Npříkld urči měřítko mpy, n níž cm předstvují skutečnou vzdálenost 60 km. Dostávám poměr : , krátím dostávám M 1 :

10 10 Alger Poměr, plány, mpy Vrint A Uprvte poměr n zákldní tvr: Příkld: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Ve škole je 0 chlpců 0 dívek. V jkém poměru jsou chlpci dívky ve škole? ) Uprvte n zákldní tvr poměr ) Číslo 0 uprvte v poměru ) Utvořte poměr v zákldním tvru převrácený k poměru 5) Tyč dlouhou m rozděl v poměru :1

11 Alger 11 6) Tyč dlouhou 18 dm rozděl v poměru 5: 7) N šňůře o délce cm udělej uzly tím šňůru rozděl n tři části v poměru 1:6:5. V jké vzdálenost ude 1. Suk od krje jk dlouhé udou jednotlivé díly šňůry? 8) Mp má měřítko 1: Jký úsek ve skutečnosti předstvuje n mpě ) 1cm )1dm c) 8cm d) 0cm 9) Jké je měřítko plánku, je-li skutečná velikost 8 mm znázorněn n plánku 1 cm?

12 1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint B Výdělek z rigády si Jn, Hn Jirk rozdělili v poměru 5::9. Dohromdy si vydělli 00 Kč. Kolik Kč dostl kždý z nich? Příkld: Jn Hn Jirk Provedení zkoušky: Výsledek řešení: Jn si vyděll 600 Kč, Hn 60 Kč, Jirk 1080 Kč. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Tyč dlouhá 5, m se má rozřezt n díly v poměru 1:::7. Kolik udou měřit díly? ) Měřítko mpy je 1: Kolik km předstvuje 8 cm? ) Njděte neznámý člen v poměru

13 Alger 1 ) 18 cm n plánku předstvuje 6 m ve skutečnosti. Určete měřítku plánku. 5) Měřítko mpy je. Jk dlouhá je vzdálenost n mpě, je-li skutečná vzdálenost 1, km? 6) Měřítko technického výkresu je. Jká je skutečná délk součástky, je-li n orázku dlouhá 1 cm? 7) Měřítko mpy je. Kolik ve skutečnosti předstvuje úsečk dlouhá n mpě 8 cm?

14 1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint C Strny odélníku jsou v poměru :9, jeho ovod je 598 cm. Jký je jeho osh? Příkld: Součet délek všech strn je 598 cm, součet strny je polovin ovodu, tedy 99 cm. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Určete dvě dvojciferná čísl, y yl v poměru 7: jejich rozdíl yl 7. ) N plánku má odélníkový pozemek rozměry 18 cm 7 cm. Plánek je v poměru 1:00. Určete výměru pozemku. ) Čtverce mjí délky strn v poměru :5. V jkém poměru udou jejich ovody, oshy? ) Mp má měřítko 1: Jká je n ní vzdálenost měst A B, je-li ve skutečnosti jejich vzdálenost rovn km? 5) Měřítko plánu je :15. Jká ude ploch čtverce n plánku, jestliže jeho skutečná ploch je

15 Alger 15 Výrzy Číselné výrzy Číselný výrz = zápis, v němž se vyskytují pouze čísl početní operce jko je sčítání, odčítání, násoení, dělení, umocňování, odmocňování, závorky, pod.. Jestliže určujeme hodnotu číselného výrzu, musíme dodržovt správný postup: Nejdříve umocňujeme odmocňujeme, potom násoíme dělíme ž nkonec sčítáme odčítáme. Jsou-li ve výrzu závorky, počítáme nejprve hodnoty výrzů v závorkách, tedy odstrňujeme závorky. Pokud je ve výrzu více druhů závorek, postupujeme od závorek vnitřních kulté, potom odstrníme závorky hrnté nkonec vypočítáme hodnotu výrzu závorky vnější, tedy složené. Opčný výrz má opčná znménk u jednotlivých členů npř. opčný výrz k výrzu 5, 10 je výrz 5, 10. Převrácený výrz převrátíme jej, tedy čísl z čittele dáme do jmenovtele nopk npř. k výrzu 5, 10 je výrz převrácený 6 1,5 8. 1, k výrzu 5, ,5 je převrácený výrz

16 16 Alger Číselné výrzy Vrint A Určete hodnotu číselného výrzu 8 80 (1 15) Výsledek řešení: 8 80 (1 15) 80 ( ) Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 5-(-)+18 5 ) 5-()+(-18) 15 7 c) ( ) 1 d) ( 1) ( ) 15 e) 5 9 ) ) (10 15 ) [-97] ) (18 15) [-9] 9 ) ) Rozdíl čísel 15 7 zvětši o dvojnásoek čísl 11 [0] ) Polovinu nejmenšího dvojciferného čísl zvětši o dvojnásoek největšího jednociferného čísl. [] c) Součet čísel zmenši o jejich rozdíl. [] ) ) Rozdíl druhé mocniny čísl 8 třetí mocniny čísl ztrojnáso. [168] ) Polovinu druhé mocniny čísl 1 zvětši o součin čísel 5. [8] c) Součin součtu rozdílu čísel 8 zmenši o jejich podíl. [56]

17 Alger 17 Číselné výrzy Vrint B Určete hodnotu číselného výrzu Výsledek řešení: Operce umocňování, násoení dělení má přednost před sčítáním odčítáním. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: ) [ 16 ] 6 ) 0,1 0, 0, [80] ) )Druhou mocninu rozdílu čísel 8 6 zmenši o součet dvojnásoku čísl poloviny čísl 1. [-9] ) Druhou mocninu rozdílu čísel 5 1 zmenši o polovinu druhé mocniny čísl 8. [-16] ) ) Podíl dvojnásoku čísl 16 trojnásoku čísl 16 zvětši o polovinu druhé mocniny 1 čísl 6. [ 18 ] ) Druhou odmocninu rozdílu čísel zvětši o podíl čísel 8 1. [ ]

18 18 Alger Číselné výrzy Vrint C 5 Určete hodnotu číselného výrzu 5 0, ,1 Výsledek řešení: 5 5 0, , Dodržujeme správný sled opercí, závorky řešíme od vnitřních (kultých) po vnější (hrnté přípdně složené). Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) 5 1 ( 6) 6 [ ] 8, ) 1,96 0,6 0,06 0,8 7 5 [71,5] ) , 5 1 [ ] 5 0,0 5 ) 100, 0 0,5 10 0, 0, [-19]

19 Alger 19 Výrzy s proměnnými, mnohočleny Chceme-li vypočítt ovod odélníku, známe vzorec Písmen O., jsou proměnné. Jestliže doszujeme různé číselné hodnoty z strny, podle konkrétních odélníků, zjistíme hodnotu výrzu, tedy ovod zdných odélníků. Tento výrz yl dvojčlenem o dvou proměnných,. Čísl v jednočlenech, členech mnohočlenu se nzývjí koeficienty, je tedy koeficient jk prvního tk druhého členu v dném vzorci. Písmeno ve význmu čísl se nzývá proměnná, doszením z proměnnou vypočítáme hodnotu výrzu. Pozn.: násoení proměnné číslem (koeficientem) neo násoení více proměnných se ovykle píše ez znku násoení, tedy npř. y y, O Mnohočlen s jedním členem se nzývá jednočlen, se dvěm členy dvojčlen, se třemi členy trojčlen,. Jednotlivé členy jsou odděleny znménkem + neo -. Jednočlen neoshuje součet neo rozdíl. 5 5 Jednočlen Dvojčlen 5,, 0,, 6 y, c 6 1, 6 yz, 1 c, y 0,0 1 Trojčlen 1 y, 6, m n n Čtyřčlen 6 m m n 5mn 0, 05 z

20 0 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint A Určete hodnotu výrzu - (6 10) + 0 pro = 1; 0; (-10): Příkld: = 1 : = 0 : = (-10): Výsledek řešení: 10: 116 pro 1: 7, pro 0 : 1, pro Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Určete hodnotu výrzu 10 m + 0,1m pro m = (-1); 0; 100; 0,5 Řeš.: 10,9; (-8); (-80); 9,55 ) ) Npiš vzorec pro ovod osh odélníku o strnách s p Řeš.: o s p, S s p ps ) Npiš vzorec pro ovod odélníku, jehož jedn strn má délku stejnou jko strn čtverce o ovodu n druhá strn odélníku je třikrát delší. Řeš.: o n n

21 Alger 1 ) Zpiš jko výrz (neuprvuj): ) dvojnásoek čísl zvětši o třetinu čísl y ) polovinu trojnásoku čísl m zvětši o šestinu m. c) desetinásoek čísl vyděl trojnásokem čísl y. ) Určete počet členů mnohočlenu 5 ) 7 50 c 1 6 ) y y z 50 Řeš.: y m m Řeš.: 6 10 Řeš.: y Řeš.: ), )

22 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint B Určete hodnotu výrzu 10 y y 10 pro = ; y = (-10) y Příkld: Pozor n přednost opercí n počítání se zápornými čísly. Výsledek řešení: hodnot 60 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 6 pro ) = ; = 0 5 1) Určete hodnotu výrzu ) = 1; = 10 Řeš.: ) 0 ) výrz nemá smyl číselný výrz pod odmocninou musí ýt nezáporný ) Mrtin koupil 0,5 kg jlek po Kč, kg cukru po Kč, 5 prášků do pečiv po c Kč, 6 lízátek po d Kč. Pltil nkovkou h hodnoty. Kolik Kč jí prodvčk vrátil? Řeš.: h 0,5 5c 6 d ) Do čtverce o strně je vepsán kružnice. Spočítejte délku této kružnice. Řeš.: O ) Zpiš výrz (neuprvuj): Polovinu součtu druhé mocniny čísl třetí odmocniny čísl y zvětši o rozdíl dvojnásoku čísl y nejmenšího prvočísl. 1 Řeš.: y y

23 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint C První okldč oloží z 1 hodinu k metrů stěny, druhý okldč oloží z tutéž dou o 1, m méně. Druhý okldč prcovl h hodin, první o 1 půl hodiny méně než druhý. Kolik metrů oložili o dohromdy? Příkld: 1. Okldč..k metrů z hodinu..prcovl h 1,5 hodin oložil tedy h 1, 5 k. okldč.. k 1, metrů z hodinu.prcovl h hodin oložil tedy h k 1, Dohromdy tedy h 1,5 k hk 1, Výsledek řešení: Okldči dohromdy oložili 1,5 k hk 1, h metrů stěny. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Ve třídě je n žáků. Zvázli se, že odevzdjí ve sěrně m kg ppíru. Do třídy nstoupili noví žáci. )kolik kg ppíru měl donést kždý žák původně? ) kolik kg ppíru má donést kždý žák nyní, jestliže zůstl zchován původní plán závzku sěrně sěr donesou i dv noví žáci? c) kolik odevzdjí ve sěrně ppíru, jestliže zůstne zchován závzek kg n žák donesou i dv noví žáci? m Řeš.: ) kilogrmů ) n n m m kilogrmů c) n n kilogrmů

24 Alger ) Zpiš výrz : Dvojnásoek třetí mocniny čísl zmenši o součet druhé mocniny rozdílu čísel m n pětinásoku druhé mocniny nejmenšího dvojciferného složeného čísl. Určí hodnotu dného výrzu pro = 5; m = (-11); n = (-1). Řeš.: m n ) Do kvádru o podstvných hrnách výšce v yl vyřezán čtvercový otvor do středu horní podstvy o strně do hlouky h. Všechny rozměry jsou v cm. Npiš vzorec pro ojem povrch tkto vzniklého těles toto vypočítej pro = 0; = 1; v = 5; = 6; h = 0. Řeš.: V v h V 1100cm v v h S S 58cm ) Zpiš výrz: Podíl třetí mocniny rozdílu čísel m n druhé mocniny trojnásoku čísl zvětši o součin druhé mocniny součtu čísel m n třetí odmocniny rozdílu dvojnásoku čísl poloviny čísl n. Urči hodnotu dného výrzu pro m = 1; n = (-); =. Řeš.: m n m n n ; hodnot: 19 81

25 Alger 5 Mnohočleny, operce s nimi Mějme mnohočlen A: 8 B: C: D: Sčítání mnohočlenů Sčítt můžeme pouze ty členy mnohočlenů, které mjí stejný zákld i eponent (tedy tkové členy, které se liší nnejvýš v koeficientech). Zákld s eponentem opíšeme sčítáme koeficienty podle prvidel pro sčítání reálných čísel. Npř. A+B: Opčný mnohočlen má znménk jednotlivých členů opčná Npř. A = 8 Odčítání mnohočlenů Mnohočlen odčítáme tk, že přičítáme mnohočlen opčný Npř. D A = D+ (-A) A D Násoení mnohočlenů Násoíme-li mezi seou jednočleny s různými proměnnými, jednočleny pouze opíšeme s tím, že vynecháme znménko krát. Npř.:, o m n o n m. Koeficienty jednotlivých členů se násoí podle prvidel pltných pro násoení reálných čísel. Násoíme-li různé mocniny stejné proměnné, proměnnou opíšeme umocníme ji součtem eponentů. Koeficienty vynásoíme. Npř.: ,.

26 6 Alger Mnohočleny násoíme tk, že kždý člen jednoho mnohočlenu násoíme kždým členem druhého mnohočlenu (násoíme-li mnohočlen jednočlenem, kždý člen mnohočlenu tímto jednočlenem vynásoíme). Získné jednočleny sečteme. Npř. B C D A Dělení mnohočlenů (podíl můžeme vždy npst jko zlomek) ) Jednočlen jednočlenem: koeficienty jednočlenů vydělíme podle prvidel pro dělení reálných čísel, mocniny o stejném zákldu dělíme tk, že zákld umocníme rozdílem eponentů. Pokud má dělenec vyšší eponent než dělitel, mocnin zůstává v čitteli npř.: neoli Pokud jsou si eponenty mocniny rovny, eponent mocniny je 0, npř.: pozn.: 1 0 cokoliv. Pokud má dělitel eponent větší než dělenec, mocnin zůstne ve jmenovteli (neo v čitteli, le se záporným eponentem), npř.: neoli. Pokud jsou mocniny o různém zákldu, necháme je ve tvru zlomku, npř.: y neoli y y

27 Alger 7 Několik řešených jednoduchých příkldů: , 15 0, 15, ,, 0,5 1 6, neoli y neoli y y y neoli m neoli m m m m m ) Mnohočlen jednočlenem: Dělence (mnohočlen) uspořádáme sestupně (od nejvyššího řádu eponentu - po nejnižší). Kždý člen dělence vydělíme dělitelem, jednočlenem. Tedy dostáváme dělení jednočlene jednočlenem. Npř.: c) Mnohočlen mnohočlenem: Dělence i dělitele uspořádáme sestupně. Dělíme první člen dělence prvním členem dělitele, výsledkem dělení je první člen podílu. Vynásoíme tímto výsledkem dělitele výsledný mnohočlen odečteme od dělence. Tím získáme nového dělence pro dlší dělení stejným postupem. Tento postup opkujeme s nově získným dělencem tk dlouho, dokud není zylý mnohočlen nižšího stupně než dělitel. Npř.: 8 Dělence i dělitele uspořádáme sestupně potom dělíme první člen dělence prvním členem dělitele 6 8 výsledek násoíme dělitelem zpíšeme pod dělence, odečteme, výsledkem je nový dělenec dělení opkujeme s novým dělencem

28 8 Alger opět dostáváme nový dělenec, dělení se opkuje 0 1 Algoritmus dělení je stejný jko dělení víceciferných čísel zpisujeme tkto: Kontrol správnosti dělení : podíl vynásoím dělitelem dostneme dělenec (jko u reálných čísel). Dělení mnohočlenu mnohočlenem se zytkem: konečný mnohočlen je nižšího řádu než dělitel, tedy jej npíšeme jko zytek ve tvru zlomku, kdy do jmenovtele dáváme dělitele do čittele onen zylý mnohočlen (v nšem přípdě č.).

29 Alger 9 Umocňování jednočlenů, mnohočlenů y y y y c c c c Pro některé mocniny dvojčlenů používáme vzorce viz. Rozkld mnohočlenů n součin. N mocniny lgerických výrzů s přirozeným mocnitelem (eponentem) pohlížíme stejně jko n mocniny reálných čísel s využitím znlostí o násoení jednočlenů, mnohočlenů. Rozkld mnohočlenů n součin ) Vytýkáním společné činitele jednotlivých členů mnohočlenu mohu vytknout, tedy je to opk násoení mnohočlenu jednočlenem, přípdně mnohočlenem. Npř.: 1 6 v zdném dvojčlenu yl největším společným dělitelem oou členů, tedy po vytknutí zůstává z prvního člene z druhého člene 1. Kontrolu správnosti vytýkání lze provést opětovným roznásoením. ) Užitím vzorců

30 0 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint A Uprvte: Příkld: = roznásoíme závorku jednočlenem dvojčlen - odečtu tk, že přičtu mnohočlen opčný 6 neo odečteme členy, které mjí stejný zákld i eponent 8. Výsledek řešení: 8 teď už jen sečteme Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Zpiš stručně jednočlen: ) 5 ) 0,m m m 0 n c) k l k d) cc e) y f) p q r p p p q q 0,1 p q q Řeš.: ) 15 ) m n c) 6 k l d) 6 6 c e) y f) p qr p q 0,1 p q

31 Alger 1 ) Vypočítej: ) 1 ) c) 0, 5 6 h 5h 5m h m h h m m d) 0. e) 6, , 7 f) g) ( y) ( 5y) (7 y) h) ( ) i) y y z 5 y z 1 y y 6y j) k) 6 Řeš.:) 1 ) 16,6 5 c) h 6m m d), e) 6,5 11 9, 7 f) 1 g) 11 y h) 7 i) 9y z 1 j) y 6y k) ) ) 5 ) 5 c) 1 d) m m n 8 e) p q 1 p f) 6 1 g) y y 6y h) Řeš.: ) ) 6 10 c) 1 d) m 6mn m e) p p 6pq q f) g) h) 8 y ) Vypočítej: ) 18 6 ) 6 7 m c) 10 y 5y m d) 5 e) f) 1 5 g) 1 1 Řeš.: ) ) 5 h) 16 c c m c) 6 y i) d) e) f) g) 1 h) 8 c i) 9 1

32 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint B )Uprvte 1 5 )Rozložte n součin: Příkld: ) 1 5 Operce umocňování má přednost před násoením dělením to před sčítáním odčítáním ) Rozlož n součin: nejdříve se vytkl největší spol. dělitel, potom se závork rozložil pomocí vzorce. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 1 ) Řeš.: ) 1 ) ) ) 1 1 c c c ) c c c Řeš.: ) 0 ) 5-+9c Výsledek řešení:) 15 7 )

33 Alger ) ) 15 9m 5m m 5 m ) y y y y Řeš.: ) m ) y ) Rozlož n součin ) 8 18y ) c) p q d) Řeš.: ) y y ) 5 d) c c c) p q p q 6 9 c

34 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint C Rozlož n součin p q 1 p q 1 p q 1 Příkld:... p q 1 p q 1 p q 1 trojčlenu p q 1 p q 1 vytkneme... p q 1... poslední závorkje vzorec... p q 1 závorky roznásoíme... p q 1... vytkneme z dného Výsledek řešení: p q 1 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Rozlož n součin ) c ) 6 1y 6y y Řeš.: ) c c c ) y6 6y ) Určete nejmenší společný násoek výrzů:, 8 Řeš.:

35 Alger 5 ) ) ) m 0 m 10m m 1 Řeš.: ) 5 ) 1 10 m m 10 m ) Vypočítej: ) ,1 ) 0,,1 50,5 0,,1 0, 1 Řeš.: ) 5 0,6 0,1 ) 5 5 0,

36 6 Alger Lomený výrz Lomený výrz je výrz tvru, kde jsou mnohočleny,. Rozšiřování lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu násoíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz rozšířen výrzem 5y. Krácení lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu dělíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz krácen č. 8. Sčítání odčítání lomených výrzů jko u zlomků. Tedy výrzy převedeme n nejmenšího společného jmenovtele (rozšiřováním) potom sečteme (odečteme) čittele podle prvidel pro sčítání (odčítání) mnohočlenů. Npř. Násoení dělení lomených výrzů Lomené výrzy násoíme tk, že čittele násoíme čittelem, jmenovtele jmenovtelem. Před vynásoením krátíme. Dělíme tk, že násoíme výrzem převráceným. Postup při násoení: 1. Čittele i jmenovtele rozložíme n součin ( vytýkáním neo pomocí vzorců ). Krátíme. Součin čittelů lomíme součinem jmenovtelů. Uvedeme podmínky Npř. před vynásoením rozložíme čittele i jmenovtele n součin krátíme Npř. Umocnění lomeného výrzu umocníme čittele i jmenovtele Npř. Složené lomené výrzy uprvujeme odoně jko složené zlomky s dodržováním prvidel pro operce s mnohočleny stnovením podmínek, z kterých má výrz smysl.

37 Alger 7 Lomený výrz Vrint A Stnovte, kdy mjí dné výrzy smysl uprvte je. ) ) c) d) e) Příkld: ) čittel jsme vytknutím rozložili n součin výrzem se potom celý výrz vykrátil. Podmínky jmenovtel nesmí ýt nulový, protože nulou dělit nelze. ) nejmenší společný jmenovtel dvou lomených výrzů, které máme sečíst, je, tedy první zlomek se rozšířil výrzem, druhý zlomek výrzem Potom již čittele i jmenovtele jen uprvíme. Podmínky: jmenovtel lomených výrzů musí ýt nenulový, tedy c) nejprve jsme první lomený výrz uprvili v čitteli n součin vykrátili výrzem, následně nejmenším společným jmenovtelem oou lomených výrzů yl výrz, tk jsme o lomené výrzy n něj rozšířili následně uprvili čittel. Podmínky pro první výrz nutnost jeho nenulového jmenovtele d). vytknutím druhého čittele jsme výrzy rozložili n součin poté krátili výrzem, podmínky: opět pro nenulovost jmenovtelů dných lomených výrzů, tedy.

38 8 Alger e) dělili jsme výrzem tk, že jsme násoili převrácenou hodnoutou poté již násoili podle prvidel násoení lomených výrzů. Před vynásoením se krátilo výrzem. U podmínek musíme dát n nenulovost dělitele, tedy celého druhého výrzu, protože nulou dělit nelze. Tedy i jeho čittel musí ýt nenulový. Výsledek řešení:) ) c) e) d) Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Pomocí rozšiřování neo krácení doplňte tk, y pltil rovnost ) ) c) d) ) Krťte ) ) c) d) e) f) g) ) Stnovte, kdy má dný výrz smysl: ) ) Stnovte podmínky uprvte ) ) c) d)

39 Alger 9 Lomený výrz Vrint B Zjednodušte Příkld: V prvním kroku jsme o lomené výrzy rozložili n součin pomocí vytýkání, potom jsme v prvním lomeném výrzu krátili výrzem v druhém lomeném výrzu jsme jmenovtele ještě rozložili no součin pomocí vzorce následně krátili výrzem. Násoit lomený výrz celistvým výrzem znmená násoit tímto výrzem čittele (lze si celistvý výrz předstvit jko lomený výrz se jmenovtelem 1, tedy v nšem přípdě ). Nkonec se k lomenému výrzu přičetl 1, tedy výrz. Podmínky: tedy z druhého lomeného výrzu určujeme podmínky ž po rozložení jmenovtele n součin, kdy ni jeden z činitelů nesmí ýt nulový, tedy z toho podmínky. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

40 0 Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) c) d) e) f) g) h) i) 0 ) + 1 ; ) + ) ;, ; ) ; ) ) ) c) d) e) f) g) 0 ),, )8 ;,, )1; 1; ) )

41 Alger 1 Lomený výrz Vrint C Uprvte rozhodněte, kdy má výrz smysl: Příkld: Tento složený lomený výrz uprvíme tk, že nejdříve čittele i jmenovtele převedeme n společný jmenovtel potom vše uprvíme n součin. Následně krátíme výrzem, tím dostáváme jednoduchý lomený výrz, kde uprvíme čittel i jmenovtel po rozložení n součin opět krátíme, to výrzem. Podmínky: Jednk jednotlivé zlomky v lomeném výrzu musejí mít smysl, tedy jejich nenulové jmenovtele, i celý jmenovtel složeného lomeného výrzu musí ýt nenulový, tedy ještě Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

42 Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

43 Alger Rovnice Lineární rovnice rovnost rovnice s neznámou rovnice s neznámou Řešit rovnici znmená njít tková čísl, která když do rovnice z neznámou dosdím, djí rovnost. Kždé tkové číslo se nzývá řešení rovnice neoli kořen rovnice. Správnost řešení rovnice prověříme zkouškou. Tj. řešení rovnice dosdíme do levé strny rovnice i do prvé strny rovnice pokud máme správný kořen, dostneme rovnost. Ekvivlentní úprvy rovnic jsou tkové úprvy rovnic, při nichž se řešení rovnice nezmění. Kořen rovnice se nezmění ) přičteme-li k oěm strnám rovnice totéž číslo, týž výrz, neo změníme-li levou prvou strnu rovnice ) násoíme-li oě strny rovnice týmž nenulovým číslem, výrzem. Npř.: k oěm strnám rovnice přičtu 5 oě strny rovnice vydělím Zkoušk: = tedy dostli jsme rovnost, č. je kořenem nší rovnice.

44 Alger Pokud při řešení rovnice dojdeme k neprvdě, npř. 0=8, rovnice nemá řešení, říkáme, že řešením je prázdná množin, neoli. Pokud při řešení rovnice dojdeme k prvdě, npř. 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, řešením jsou všechn čísl z ooru rovnic, v němž řešíme.

45 Alger 5 Lineární rovnice Vrint A Dnou rovnici vyřešte proveďte zkoušku Příkld: /-- / Zk.: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: Dné rovnice řešte proveďte zkoušky 1) ) ) )

46 6 Alger Lineární rovnice Vrint B Řešte dnou rovnici proveďte zkoušku Příkld: sčítáním výrzů odstrníme závorky správným roznásoením chceme neznámou n levé strně, čísl n strně prvé, tedy k oěm strnám rovnice přičteme posčítáme tedy dostli jsme prvdu, 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, tedy řešením je kždé reálné číslo. Zkoušku nelze provést, pouze ověření pro náhodně zvolené číslo: npř.: m=10 Výsledek řešení: rovnice má nekonečně mnoho řešení Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

47 Alger 7 Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

48 8 Alger Lineární rovnice Vrint C Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: roznásoíme závorky mohli ychom násoit celou rovnici nejmenším společným jmenovtelem, tedy č. 6, le když se podíváme, je lépe nejdříve sečíst některé zlomky, tedy k oěm strnám rovnice přičíst ž poté vynásoit společným jmenovtelem zlomků, ychom zlomky odstrnili. nyní celou rovnici vynásoíme č. 9 k oěm strnám přičteme (-1) oě strny rovnice vydělíme č. (-1). Zk.: Výsledek řešení: ;

49 Alger 9 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

50 50 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Při řešení rovnic, v nichž se vyskytuje neznámá ve jmenovteli, musíme vyloučit ty hodnoty neznámé, pro něž dná rovnice nemá smysl, tedy zjistíme nenulovost jmenovtelů v rovnici. Po stnovení podmínek můžeme oě strny rovnice vynásoit nejmenším společným jmenovtelem lomených výrzů v dné rovnici tím odstrnit z rovnice zlomky.

51 Alger 51 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint A Řešte dnou rovnici Příkld: / vyloučíme nulovost jmenovtelů oě strny rovnice vynásoíme nejmenším společným jmenovtelem dných lomených výrzů, tedy. / / Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

52 5 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint B Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: / / / rovnice nemá řešení, tedy z podmínek pro rovnici le plyne, že, tedy Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ;5 ) 6; 0 ) 5 ;, 5 7 ) 7, 5

53 Alger 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint C Řešte dnou rovnici: Příkld: Rovnice má smysl, pokud má nenulové jmenovtele, tedy / / / Zk.: Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3 Cvičení.ročník rovnice, nerovnice, výrzy, funkce ) Vypočítejte: ) [0 (8. 0 7. 0 )] b) [ ( ). ( ) ( 7)]: ( ) c) (9 ): ( ) + [ 8 (0 )] d)[. ( 9 + 7) ( ). ( )]. e). 9. 9 f). 7 + 9 ) Vyjádřete jko jedinou

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)

Lomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.) Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvlity výuky technických oorů Klíčová ktivit IV. Inovce zkvlitnění výuky směřující k rozvoji mtemtické grmotnosti žáků středních škol Tém IV.. Algerické výrzy, výrzy s mocninmi odmocninmi Kpitol

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1:

Kvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1: Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy 4. Lineární rovnice 8. ročník 4. Lineární rovnice 4.. Rovnost. Vlstnosti rovnosti. Rovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př. 4 + 8 = 0 + Skládá se z : levé strny rovnosti prvé strny rovnosti

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více