Repetitorium z matematiky

Transkript

1 Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová

2 A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu: Jsou dány výrzy L() P() s roměnnou. Určete hodnoty této roměnné z dného číselného ooru M, ro něž jsou si rovny hodnoty oou výrzů. Zisujeme ROVNICÍ: levá strn rovnie ( ) P ( ) L rvá strn rovnie neznámá Kořeny rovnie( k ) hodnoty neznámé, ro něž je rovnie slněn Oor řešení rovnie (M) číselný oor, ve kterém hledáme kořeny rovnie Definiční oor rovnie (D) odmnožin množiny M, v níž jsou definovány výrzy L() P(). Oor rvdivosti rovnie (K): Množin všeh kořenů rovnie, K D M

3 Postu řešení rovni. ROZBOR rovnii ostuně urvujeme n rovnii, jejíž kořeny známe, neo je sndno dokážeme určit. Důsledkové (imlikční) úrvy kždý kořen dné rovnie je tké kořenem rovnie získné její úrvou. Ekvivlentní úrvy množin všeh kořenů nové rovnie množině všeh kořenů zdné rovnie. 3

4 Postu řešení rovni Ekvivlentníúrvy: - Vzájemná výměn strn rovnie - Přičtení téhož čísl neo výrzu s neznámou k oěm strnám rovnie. - Vynásoeníoou strn rovnie týmž číslem neo výrzem s neznámou, který je definován různý od nuly v elém ooru řešení. - Umonění oou strn rovnie řirozeným monitelem (jsou-li oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení rovnie). - Odmonění oou strn rovnie řirozeným odmonitelem (jestliže jsou oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení). - Zlogritmování oou strn rovnie ři témž zákldu, jsou-li oě strny rovnie kldné.

5 Postu řešení rovni. ZÁVĚR ROZBORU určíme množinu M všeh kořenů/řešení rovnie získné důsledkovými úrvmi. Množin M M ředstvuje všehn možná řešení dné rovnie..3 ZKOUŠKA -zjistíme, které z rvků k množiny M jsou kořeny dné rovnie: Postuně dosdíme kždé z čísel k do levé i rvé strny rovnie. Pltí-li L( k ) P( k ), je k kořenem dné rovnie. Výsledkem zkoušky je získání množiny K všeh kořenů rovnie. Přitom ltí: K M ` M 5

6 LINEÁRNÍ ROVNICE kždá rovnie, kterou lze urvit n tvr :, ro, R Při řešení mohou nstt tři řídy. 6

7 R K! : A) y K B) K R : y R t t ; K R R t t ; t C) y { } řešení nemá K { } { } 7 { }

8 . Řešení rovni v dném ooru Př.: Zjistěte, zd má rovnie řešení v ooru ) řirozenýh čísel (N) ) elýh čísel (Z) ) kldnýh čísel (R) Řešení: ) K { } ) K { } ( 3 3 5) ) K ( ) 8

9 . Lineární rovnie s neznámou ve jmenovteli Rovnie tyu: d Řešení: Stnovíme definiční oor (D) o vyřešení rovnie zkontrolujeme, zd získné řešení vyhovují tomuto definičnímu ooru. d, Úlohy: 3 ) ) ) 5 9

10 .3 Lineární rovnie s solutní hodnotou Při řešení vyházíme z definie solutní hodnoty výrzu M() oshujíího roměnnou, ro kterou ltí: M M M ( ) M ( ), je - li M ( ) > ( ), je - li M ( ) ( ) M ( ), je - li M ( ) < Řešení metodou intervlů: ) Výrzy v solutníh hodnotáh okládáme rovny nule ->dostáváme tzv. nulové ody. ) Provedeme dílčí řešení ro kždý intervl, v němž nhrzujeme solutní hodnoty výrzy ez solutníh hodnot, to s ohledem n definii solutní hodnoty. 3) Dostneme tolik dílčíh oorů rvdivosti K i, kolik je intervlů. ) Konečný oor rvdivosti Kzískáme sjednoením dílčíh oorů rvdivosti.

11 KVADRATICKÉ ROVNICE kždá rovnie, kterou lze vyjádřit ve tvru :, ro,, R kvdrtiký člen solutní člen lineární člen Při řešení mohou nstt tři řídy.

12 A) Ryze kvdrtiká rovnie B) Rovnie ez solutního členu ( ) < K { } ± K ( ) > ±, K, { } K C) Oená kvdrtiká rovnie D D ± ± D K, ± Je-li D > > rovniemá rávě různé kořeny. Je-li D > > rovniemá rávě různé kořeny. Je-li D >rovnie má dvojnásoný kořen. K Je-li D < >rovnie nemá v R řešení. K { }

13 Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie,, ro, R Má-li rovnie kořeny, ltí:, Důkz: ( ) 3

14 . Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie. Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie, q Pro rovnii ( normovná rovnie, kde /, q /) q ltí: Vietovy vzore Důkzy: q q Důkzy: ( ) q q q q q ( ) ( ) ( ) q >, jsou kořeny dné rovnie

15 . Vlstnosti kořenů kvdrtiké rovnie Má-li re kořeny,, ltí: ( ) ( ) kořenoví činitelé Má-li re dvojnásoný kořen, ltí: ( ) Př.: N zákldě Vietovýh vzorů určete kořeny rovnie 7. Př.: Njděte kvdrtikou rovnii, jejímiž kořeny jsou čísl

16 3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE rovnie s neznámou v odmoněni. Oshují odmoniny z výrzů s neznámou. Urvujeme neekvivlentními úrvmi, roto je zkoušk nezytnou součástí řešení těhto rovni. 3. Rovnie oshujíí jednu odmoninu Př.: Řešení: ( ) 3 P( 5) ( 5) ( ) Zkoušk: 5,, Závěr: K { 5 } L L Postu řešení:. Osmosttníme odmoninu. Umoníme oě strny rovnie (neekvivlentní úrv) 3. Dořešíme rovnie. Provedeme zkoušku ( 5) ( ) L( ) P ( ) ( 5) P( 5) L( ) P( ) 6

17 3 IRACIONÁLNÍ ROVNICE 3. Rovnie oshujíí dvě odmoniny Rovnie oshujíí víe odmonin 3. Řešení rovni omoí sustitue ( )

18 B) Nerovnie jejih řešení Jsou dány výrzy L() P() s roměnnou. Určete hodnoty této roměnné z dného číselného ooru M, ro něž ltí: ( ) < P ( ), res. L ( ) > P ( ) ( ) P ( ), res. L ( ) P ( ) L > L Tento záis se nzývá NEROVNICE. 8

19 Ekvivlentní úrvy: Vzájemná výměn strn nerovnie se součsnou změnou znménk. Přičtení téhož čísl neo výrzu s neznámou k oěm strnám rovnie. Vynásoeníoou strn rovnie kldnýmčíslem neo výrzem s neznámou, který je definován kldný v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se nemění. Vynásoeníoou strn rovnie záornýmčíslem neo výrzem s neznámou, který je definován záorný v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se změní v oráený. Umonění oou strn rovnie řirozeným monitelem (jsou-li oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení rovnie). Znk nerovnosti se nemění. Odmonění oou strn rovnie řirozeným odmonitelem (jestliže jsou oě strny rovnie nezáorné v elém ooru řešení). Znk nerovnosti se nemění. Zlogritmování oou strn rovnie ři témž zákldu větším než, jsou-li oě strny rovnie kldné v elém ooru řešení. Znk nerovnosti se nemění. 9

20 B) Nerovnie jejih řešení Lineární nerovnie <, res. > Př.: , res., R Lineární nerovnie v odílovém tvru Př.: 3 Kvdrtiké nerovnie,, R <, res. >, res. Řešení:omoí rozkldu kvdrtikého trojčlenu Př.: řevedeme nerovnii n součinový tvr řešíme nlogiky jko nerovnii v odílovém tvru. Nerovnie s solutní hodnotou Př.: Řešení: metodou intervlů > 5 Irionální nerovnie Řešení: umoněním, řídně sustituí. Př.: 6 < 3

21 C) Soustvy rovni Soustvy lineárníh rovni řešení metodou doszoví neo sčítí Soustvy s kvdrtikými rovniemi řešení metodou doszoví

22 Litertur Delventhl, K., M., Kissner, A., Kulik, M. Komendium mtemtiky. Prh: Euromedi Grou k. s., 3. Bušek, I. kol. Zákldní ozntky z mtemtiky. Mtemtik ro gymnázi, Prh: Prometheus, 99. Odvárko, O. kol. Funke. Mtemtik ro gymnázi, Prh: Prometheus, 996. Polák, J. Přehled středoškolské mtemtiky. Prh: Prometheus, 998.