III. Dvojný a trojný integrál
|
|
- Věra Urbanová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht množina bodů nespojitosti funkce f v má míru. Potom f je integrovatelná v, tj. integrál f,dd resp. f,,zdddz eistuje. poznámka : alší podrobnosti najdete ve skriptech J.Neustupa: Matematika II. Příklad 7. Rozhodněte, zda daný integrál dd eistuje, jestliže : + a {[, E : + }; b {[, E : + }; c {[, E : + }. Budeme vcházet z toho, že dvojný a trojný integrál vlastní je definován pouze pro funkce omezené na omezené množině a dále budeme používat větu o eistenci. a Množina je měřitelná, ted je omezená a její hranice má míru a f, je spojitá a + omezená na. Integrál eistuje. b Množina je měřitelná, ale f, není omezená v, protože [, a lim [, [, +. Integrál neeistuje. c f, opět není omezená na [,, integrál neeistuje. 5
2 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad8.Je dána množina {[, E : + }. Všetřete, zda eistují dvojné integrál : sin + dd dd a dd, b + +, c + +, d dd, e + a eistuje, lim [, [, b neeistuje, lim [, [, c eistuje, d neeistuje, protože např. lim + dd. sin + < funkce je omezená, + +, + + je spojitá v E, [, [,, + e neeistuje, protože např. lim [, [, +. / Příklad 9. Všetřete, zda eistují trojné integrál : dddz a W ++z, W {[,,z E :,, z }, b +zdddz, W {[,,z E :, z }, W c + +z 9 dddz, W {[,,z E : < + +z < }. W a neeistuje, protože funkce neníomezenánaw,{++z } W, ++z b neeistuje, protože množina W není omezená v E, c eistuje; W je měřitelná množina v E ; + +z 9 ve W, ted integrovaná funkce je spojitá na W; 8 < + +z 9 < pro každý bod [,,z W, 5 ted funkce je omezená na W. III.. Fubiniho věta pro dvojný integrál Množinu M {[, E ; a b, φ φ }, kde funkce φ, φ jsou spojité na < a,b > a φ φ, nazýváme elementárním oborem integrace vzhledem k ose. Necht M je elementární obor integrace vzhledem k ose. Necht funkce f, je spojitá v M. Pak b φ f,dd f,d d. a 6 φ
3 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 poznámka: Analogick pro elementární obor vzhledem k ose Vpočítejte dvojné integrál na daných obdélníkových množinách : Příklad. I I ln dd +, {[, E :, } d d ln. Příklad. I d [ Obdélník je ohraničen křivkami,,,. d [ ln ln + d ln ln ln+ln dd +, {[, E :, } [ I + d d d d 5 [ d ln 5 ln ln 9 5. Příklad. I sin dd, {[, E : π, } I [ sin / π/ sin d 8 / cos d π 7 7π. [ d poznámka: Je-li funkce tpu f, g h a množina je obdélník b d < a, b > < c, d >, pak f,dd gd h d. Příklad. I I [ e t e d ln ln e + dd, {[, E :, } + d t d dt a c e t dt [ ln + e ln e ln e ln. 7
4 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Množina E je omezená zadanými křivkami. Načrtněte ji a vjádřete jako elementární obor integrace. Příklad., 5,, 5 { : 5 - Šipka označuje možný směr vnitřní integrace při výpočtu dvojného integrálu na pomocí Fubiniov vět. -5 Množina je elementárním oborem integrace vzhledem k ose. Příklad 5.,, : nebo { : je elementární oblast integrace vzhledem k ose i k ose Příklad 6. 8, , ± : { 8 8
5 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 7.,,, [, [, { : : [, Zaměňte pořadí integrace : Příklad 8. I f,d d { { I f,d d. Příklad 9. I { f,d d [, { I f,d d. 9
6 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 5. I { f,d d Množina E je omezená křivkami :, což je rovnice horní polovin kružnice +,, což je rovnice horní větve parabol,,. Ve směru os rozdělíme množinu na tři části tak, ab tto části bl elementárními obor integrace. [, : : : { + I Příklad 5. I f,d d+ { : { 6 : 6 I 6 f,d d. f,d d + 6 f,d d f,d d f,d d. + Nový směr vnitřní integrace dovoluje vjádřit celou množinu bez předcházejícího dělení : { : 6 5
7 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Pomocí Fubiniho vět převed te dvojný integrál f,dd na dvojnásobné integrál pro oba směr integrace, jestliže množina E je omezená křivkami : Příklad 5.,, + f,dd f,d d [, + f,d d + f,d d. Příklad 5., { Vřešením soustav dostaneme průsečík parabol s přímkou o rovnici. f,dd f,d d [, + f,d d+ + + f,d d. [, + Načrtněte množinu E omezenou zadanými křivkami a vpočítejte dané integrál : Příklad 5. I dd, :,, I / / / [ 8 d d + d / 5 6 / [ d / / d 5
8 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 55. I a a a Příklad 56. I dd, : + a, I a a a d d a d a [ a d a a + d [a a a 7 a a7 dd +, :, neboli je rovnice parabol s vrcholem [,. Průsečík parabol s přímkou najdeme tak, že zjistíme jejich -ové souřadnice: { po dosazení, Příklad 57. I I d d + + +d + + d + d + + [ d + ln + arctg je rovnice hperbol. ln+arctg +dd, :,,, I + +d d d [ d+ }{{} lichá funkce d }{{} sudá funkce d [+ 5
9 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 58. I +dd, :,, Stanovíme -ové souřadnice průsečíků parabol s přímkou : {. Po dosazení +, I +d d + [ d d - [ Příklad 59. +dd, :,, [, Příklad [, +9 d +dd [ + d [ dd, :,,, dd ln ln u ln, v u, v [ d 8 / +d d + 8 d [ / d d ln d / d lnd per partes [ ln 8ln 6 dd +, :,,, [ ln 5 cos+dd, :, π, [- + dd, :,, + +dd, :, 5 [5, 5 [
10 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 dd, :, [9 + dd, :,,, dd, :,, +dd, :,,, [ +ln 5 [ 5 [ +8ln 69. Převed te dvojný integrál oběma způsob na dvojnásobný tj. obě pořadí integrace a integrál vpočítejte. {[, E ; ln,, },f, / [ Omezená množina E je zadána nerovnicemi nebo hraničními křivkami a je dána funkce f, a Načrtněte množinu s popisem os, měřítkem, popisem křivek a vznačením bodů, které jsou pro řešení úloh důležité. b Ověřte splnění předpokladů pro použití Fubiniho vět. c Množinu vjádřete ve tvaru elementárního oboru integrace vzhledem ke vhodně zvolené ose. d Vpočítejte f, dd. 7. {[, E ;, +}, f, c,,+ d {[, E ; + π, π, } f, sin+ [π c, π, +π dπ 7. E je ohraničena křivkami: /,, f, c, /, d 9 7. {[, E ;, +, } f, c,, d 7 5
11 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 7. {[, E ;, } f, c 6 6 d6 75. E je ohraničena křivkami:,, f, c d 76. E je ohraničena křivkami:, /, f, c / d 5 III.. Substituční metoda pro dvojný integrál Necht eistuje vzájemně jednoznačné regulární zobrazení oblasti Bu,v E na oblast E definované rovnicemi φ u,v, φ u,v. Pak f,dd Bu,v f φ u,v, φ u,v J dudv, kde J φ u φ u φ v φ v Příklad 77. Rozhodněte, zda eistuje integrál +,, }. Pokud ano, spočítejte jej. Zde použijeme transformaci do polárních souřadnic. arctg dd rcosϕ r rsinϕ ϕ π J r arctg dd, kde {[, E : Množina je měřitelná v E. Funkce f, arctg není definována na množině {[, E : }. Množina bodů nespojitosti funkce f v, tj. {[, :, <, >} je množina mír nula v E. ále platí, že funkce f je omezená na množině \, proto daný integrál eistuje. ϕ rdr dϕ 55
12 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 ϕdϕ [ ϕ rdr π [ r π 6. Vpočítejte integrál : Příklad 78. : + dd, {[, E : + b }, b > b + b b + dd / π/ bcosϕ rcosϕ rsinϕ J r r rdr dϕ / π/ [ r + b r brcosϕ r bcosϕ cosϕ π ϕ π bcosϕ dϕ / π/ b cos ϕdϕ / b cos ϕdϕ b 9 b. Příklad 79. ln+ + dd, {[, E : + a, } ln+ + dd / π/ π +a Příklad 8.* ln+r rdrdϕ lntdt π rcosϕ rsinϕ J r / [ tlnt t π/ +a dϕ π r a π ϕ π ln+r rdr [ +r t rdr dt +a ln+a a. dd, kde E je množina ohraničená křivkami,,,. 56 Použijeme transformaci, kde { u v {[u,v E : u, v }.
13 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Nní spočítáme a pomocí u a v a dále Jakobián u, u v, v u u u v, v v v u v ; J u u u v u v v v u v u v 9 v + 9 v v. Užitím vět o substituci dostaneme u dd J dudv v / u v dv v du / v dv udu [ [ u v. Příklad 8.* dd, E je omezená přímkami +, +, + +, 5 5 Nejvhodnější substituce bude následující } + u v,, kde {[u,v E : u, v 5}. Potom u +v uv +v ; J +v v +v u +v u +v u +v + uv +v u +v ; u dd +v uv 5 u J dudv +v +v uv u +v +v du 5 u v [ u 5 du +v dv v + 5 dv +v +v + +v [ +v 5 +v Příklad dd, {[, E : +9 6, } Použijeme transformaci do zobecněných polárních souřadnic eliptických : rcosϕ rsinϕ }, J r, r, ϕ π. dv dv 57
14 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II dd dϕ +6r 6rdr π + 9r cos ϕ+9 r sin ϕ 6rdr dϕ [ +6r / π dd, {[, E : + a } [πa dd, {[, E : + } Použijte souřadnice +rcosϕ, +rsinϕ. + dd, {[, E : + } [π [ 9 +dd, {[, E :,,, 9} Použijte souřadnice u, [ v. J v, 9 Vpočtěte integrál 87. {[, E ; f,dd, je-li dána množina a funkce f, 9 +, } f, 88. {[, E ; +9 9, }, f, [ π {[, E ; +, }, f, + [ 9. {[, E ; 6 + 9,, }, f, 9. {[, E ; +, }, f, 9. {[, E ; +, }, f, e [π e [ 8 5 [ 9 [ 58
15 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III.6. Aplikace dvojných integrálů Určete plošný obsah rovinného obrazce E ohraničeného danými křivkami : Příklad 9., +, + P dd d d d [ [ d. Příklad 9.,,, 8 8 P dd 8 d d+ 8 d d d+ [ d ln + [ 8 + ln ln +ln8 ln +ln. +ln 8 Příklad 95. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného osou a jedním obloukem ckloid o parametrických rovnicích at sint, a cost. P ϕ aπ dd πa ϕ Jeden oblouk ckloid opíše bod kružnice, která se kotálí po přímce, tj. t,π. a substituce : t at sint d a costdt t a cost <,πa > t <,π > a cost dt a +a +cost dt a π + a a ϕ d d ϕd a cost a costdt cost+cos t [ t+ sint π [ dt a t sint πa +a π πa. π + 59
16 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 96. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného asteroidou / + / a /. a P dd rcos Použijeme transformace do souřadnic : ϕ rsin ϕ / / rcos ϕ + rsin ϕ a / r / a / r a ϕ π P, J cos ϕ rcos ϕsinϕ sin ϕ rsin ϕcosϕ rsin ϕcos ϕ. rsin ϕcos ϕdr dϕ sin ϕ [ r dϕ a a π 8 πa. rsin ϕcos ϕ+rsin ϕcos ϕ cosϕ sin ϕcos ϕdϕ dϕ a a [ rdr ϕ sinϕ π Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného uzavřenou křivkou : Příklad a Bernoulliova lemniskáta a P dd rcosϕ rsinϕ J r. Podosazenídozadánídostávámepostupně:r a r cos ϕ sin ϕ,r a cosϕ, r a cosϕ cosϕ, ϕ π, π π, 5π. P cosϕ a [ sinϕ Příklad 98.* P π rdr dϕ a. +9 dd rcosϕ r sinϕ J r [ r a cosϕ dϕ a cosϕdϕ r r cos ϕ r sinϕ r cos ϕsinϕ cos ϕsinϕ ϕ π 6
17 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 P 6 7 cos ϕsinϕ dϕ rdr 9 cos ϕsin ϕdϕ 5 [ r cos ϕsinϕ dϕ cos ϕ cos ϕdϕ cos ϕ cos 6 ϕdϕ Wallisova formule 7 π 5 6 π π 86. Příklad 99.* + a escartesův list a a P dd J r ϕ rϕ rdr dϕ ϕ rcosϕ rsinϕ ϕ r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r ϕdϕ. Nní určíme rϕ a dosadíme do posledního integrálu. + a r cos ϕ+r sin ϕ ar cosϕsinϕ, takže rϕ acosϕsinϕ cos ϕ+sin ϕ, ϕ π, r rπ. dϕ 9a P acosϕsinϕ cos ϕ+sin ϕ čitatel a jmenovatel vdělíme cos 6 ϕ 9a C a lim C + a. tg ϕ tg ϕ+ dϕ cos ϕ u a du u + tgϕ u dϕ du cos ϕ cos ϕsin ϕ dϕ cos ϕ+sin ϕ 9a [ C lim a C + u + Příklad. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného křivkami + +, + +,, u u + du lim C + C + + P dd rcosϕ rsinϕ J r + + r cosϕ + + r cosϕ cosϕ r cosϕ π ϕ 5 π 6
18 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 5 π π 5 cosϕ 5 π π 5 cosϕ rdr dϕ 5 cos ϕdϕ 5 5 π + sin 5π 5 π π π π π sinπ cosϕ [r dϕ cosϕ 5 π +cosϕ dϕ 5 [ ϕ+ sinϕ 5 π + π 6cos ϕ cos ϕ dϕ 5 π π 5π +. 6 Příklad.Je dána parabolická úseč s tětivou kolmou k ose. élka tětiv je a, výška úseče h, a plošná hustota. Určete : a moment setrvačnosti úseče vzhledem k tětivě, b těžiště úseče. h a Analtické vjádření této parabol bude h p. [ a Použijeme-li bod,, pak h p a h p a h h. a a Moment setrvačnosti k tětivě je nní momentem setrvačnosti vzhledem k ose. J : h h dd a h h a d d h h a [ h h a d a a a a h h d h a h d a a a6 a a + a a h a 5 7 b T [, T, T M m h h a m dd a M a a d h dd T a d d a a d [ a a 67 6h a 5. h h a d [ a a h a a 6 ha, h h a 5 h a ha 5 h, T d d 5 h a, [, 5 h. a 7a 6 6
19 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad.Určete těžiště rovinné desk omezené křivkami +, +, je-li T [ T,, T M m, m P π π π, kde P je plocha dané desk M π 56 dd cosϕ cosϕ rcosϕ rsinϕ J r r cosϕdr dϕ cos ϕdϕ + r cosϕ + r cosϕ cosϕ r cosϕ π ϕ π [ r cosϕ π cosϕ π 7π, T 7π π, T [ 7,. cosϕ dϕ π 56cos ϕdϕ Příklad. Určete souřadnice těžiště kruhové výseče viz obrázek, je-li konst. α α a T [ T,, m πa π α a α, M dd rcosϕ rsinϕ J r r a α ϕ α α α a sinα, T asinα α. [ r r cosϕdr dϕ a [ α sinϕ α Příklad. Určete moment setrvačnosti vzhledem k počátku soustav souřadnic homogenní rovinné desk s plošnou hustotou k omezené křivkami +, +. J k k + dd [polární souřadnice r drdϕ 5 kπ. 6
20 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 5. Určete polohu těžiště obrazce omezeného kardioidou r a + cos ϕ, ϕ,π, a >,. a r a+cosϕ T [ T,, T M m ϕ rϕ m dd ϕ +cosϕ rdr dϕ rdr dϕ r dϕ a +cosϕ dϕ a +cosϕ+cos ϕdϕ π [ϕ+sinϕ a + +cosϕ a dϕ a π +a π a π, [ +cosϕ M dd polární souř. r cosϕdr dϕ cosϕ a +cosϕ dϕ a 5 a π; T 5a 6. cosϕ+cos ϕ+cos ϕ+cos ϕ dϕ Je dána omezená množina E a funkce f, a Načrtněte množinu. b Ověřte splnění předpokladů pro použití Fubiniov vět c Uved te alespoň dva příklad možného fzikálního významu daného integrálu. Uved te, zda se jedná o hmotnost při jaké hustotě, statický moment nebo moment setrvačnosti při jaké hustotě a vzhledem k jakému bodu nebo přímce. d Vpočítejte f, dd. 6. je ohraničena křivkami:, +,,, f, / cm pro / m pro / d 6 7. je ohraničena křivkami:,, f,, cm pro m pro d 6
21 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 8. je ohraničena křivkami:,, f, cm pro m pro J pro d {[, E ;, +, }, f, + cm pro + m pro + d 5. je ohraničena křivkami:, /,, f, cm pro m pro m pro J pro d 6 5. je ohraničena křivkami:, /,, f, cm pro d {[, E ; +,, }, f, cm pro m pro m pro d Určete plošný obsah P rovinného obrazce E ohraničeného danými křivkami :., 8, 5., +,, 5.,,, ln,, 8., 8 + [ 875 [ 6 [ ln [ 9 8 [ e [ π 65
22 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Určete hmotnost m rovinné desk omezené křivkami : 9., +, je-li hustota,. + a, je-li, +, a >.,,, je-li,. +, +, je-li, [ 5 8 [ 9 a [ 9 5 [ 6. +, +,,, je-li hustota, v libovolném bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku soustav souřadnic. Určete hmotnost m rovinné desk při dané plošné hustotě,. [ 7 9. {[, E ; +,, },, [6 5. {[, E ;,, /},, 6. {[, E ; +, + },, [ 9 5 [ 6 Určete těžiště T rovinné desk omezené křivkami : 7.,, je-li, 8. sin,,,π, je-li, 9. +, +, je-li, [ [ T 5, [ [ π T, π 8 [ [ T 5,. + a,,, je-li, jde o čtvrtinu asteroid ležící v I. kvadrantu, použijte souřadnice rcos ϕ, rsin ϕ Určete moment setrvačnosti :. kruhu o poloměru a vzhledem k jeho tečně,,,. elips + vzhledem k ose,,,. čtvrtin kruhu o poloměru a vzhledem k jeho ose souměrnosti,,, Zvolte polohu tak, ab osa bla osou souměrnosti.. čtverce o straně a vzhledem k jeho vrcholu,,, [ T T 56a 5π 5. části mezikruží +, +, omezeného přímkami, v I. kvadrantu s hustotou, k, k > vzhledem ke středu mezikruží. Je dána omezená množina E a funkce f, a Načrtněte těleso, jehož objem bude roven hodnotě spočítaného integrálu. b Načrtněte průmět tělesa do rovin z. c Napište název ploch z f,. d Vpočítejte f, dd. [ 5 πa [ [ a π 6 [ a [ 5kπ 6 66
23 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 6. je ohraničena křivkami:,,, f, + z [ crovina d 7. {[, E ; +, + }, f, + z [ crotační paraboloid d 8. {[, E ;,, }, f, z [ crovina d 7 9. {[, E ;,, }, f, z [ cválcová plocha d 6. {[, E ;, +, }, f, z [ chperbolický paraboloid d 7. {[, E ; + 9, }, f, 9 z [ ckulová plocha d9π 67
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
VíceMATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceTakže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceU dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme
Vícex 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
VíceR β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceU V W xy 2 x 2 +2z 3yz
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární
Více6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68
Sbírka úloh z matematik 6. URČITÝ INTEGRÁL... 68 6.. Výpočet určitého integrálu... 68 Úloh k samostatnému řešení... 68 6.. Geometrické aplikace... 69 6... Obsah rovinného obrazce... 69 Úloh k samostatnému
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Víceˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceVeronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceTransformace integrálů
9 Kapitola 3 Transformace integrálů V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných integrálů převodem na násobné integrál. Z teorie jednorozměrného Riemannova integrálu
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
Více) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 V.4. Plošný integrál vektorové funkce Necht je jednoduchá hladká plocha orientovaná v bodech X jednotkovým vektorem normál n o X. Necht
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VícePosloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
Vícef ( x) = ψϕ ( ( x )). Podle vět o derivaci složené funkce
Funkce daná paramerick polárně a implicině 4 Funkce daná paramerick polárně a implicině Výklad Definice 4 Nechť jsou dán funkce ϕ() ψ () definované na M R a nechť ϕ () je prosá na M Složená funkce ψϕ definovaná
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VícePedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení
Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova
VíceMATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál
Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Více= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceAnalytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
Více1 Úvod. 2 Teorie. verze 1.0
Vícenásobný integrál verze. Úvod Následující tet se zabývá dvojným a trojným integrálem. ěl b sloužit především studentům předmětu ATEAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. ohou se v něm
VíceZákladní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Více5. Statika poloha střediska sil
5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceDiferenciáln. lní geometrie ploch
Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VícePlošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Více13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceKřivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016
Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
Více