Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Transkript

1 Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu je ma fa m Klascká defnce pravděpodobnost: pro m je f A P(A) pravděpodobnost výskytu jevu A.Platí pro statstcky stablní jevy, kdy pro m konverguje f A ke konstantě P(A).

2 Základní pojmy II Dskrétní náhodná proměnná: nabývá pouze jstých hodnot 0,,,... K. Pravděpodobnostní funkce P( X ) udává pravděpodobnost s jakou X nabývá hodnoty právě. echť n je počet realzací př hodnotě " " a je celkový počet realzací. Pak n PX ( ) Platí, že ΣP(X) F() P () o () o Základní pojmy III Spojtá náhodná proměnná: nabývá lbovolné hodnoty z defnčního ntervalu. P( X + d) f() d F() f() Tedy pro spojté náhodné velčny ny P(X) 0 Hustota pravděpodobnost platí pro ní P ( X + d) f( ) d ormalzační podmínka f() d () o () o P d f() není pravděpodobnost, ale

3 Základní pojmy IV Hustota pravděpodobnost f() (probablty densty functon) Vlastnost f():. kladná f() 0. normalzovaná f() d Dstrbuční funkce F() (cumulatve densty functon). Vlastnost F():. Ohrančená zdola F(- ) 0, a shora F( ). eklesající F(+d) F() 3. P(X ) F() Platí, že P( X < ) F( ) - F( ) Základní pojmy IV Kvantlová funkce Q(u) pro 0 u<. ~ α ~ α Qu ( ) F ( ) f( d ) ~ α Q(α) označení α-kvantl. Platí, že P(X < ) α Kvantlová funkce je nverzní k dstrbuční Q(u) F - (). f() F() Q(u) ~ α α α ~ α ~ α u

4 K MK f( ) d M K Základní pojmy V Specální momenty: Střední hodnota (matematcké očekávání) M E(X) μ První centrální moment C 0 Rozptyl C D(X) σ Vlastnost střední hodnoty: E(X) M (μ) Konstanty A, B E(A X ± B) A.E(X) ± B Vlastnost rozptylu: D(X) C σ D(X) E((X - E(X)) E(X - X E(X) + E(X) ) E(X ) - E(X) Konstanty A, B K CK ( M ) f( ) d ( M C K ) D(A X ± B) A D(X) K K Autokorelace ε ρ *ε + u Modely měření I ( ) D ( ) Adtvní model μ + ε Heteroskedastcta kde μ skutečná hodnota a ε je náhodná dh( ) D( h( )) * σ chyba s rozdělením f (ε ) d Du Předpoklady o chybách: střední hodnota je nulová, E( ε ) 0 rozptyl je konstantní D( ε ) σ chyby jsou vzájemně nezávslé E( ε * ε j ) 0 chyby mají normální rozdělení ε (0, σ ) Pokud tyto předpoklady o chybách platí, že výsledky měření mají normální rozdělení. ( μ, σ ) σ σ ρ Dh ( ( )) h()ln() σ δ δ.. varační koefcent

5 Modely měření II Multplkatvní model ln() ln( μ ) + ε kde předpoklady o náhodných chybách ε jsou stejné jako pro advní model Pokud platí, že ln( ) ( ν, τ ) má výsledek měření lognormální rozdělení s parametry μ ep( ν + τ / ) σ μ (ep( τ ) ) Geometrcký průměr μ * ep( ε) μ ep( E(ln( ))) P( μ ) P( ep( ν )) P(ln( ) ν ) 0.5 G med ( ) G ep( ν ) μ G ep( ν ) Škmost 0.35 a vyšší ukazuje na nutnost použít tří parametrový model s prahovou hodnotou A Multplkatvní model -analýza Logartmcká transformace adtvních dat ln( ) ln( μ + ε ) ln μ + ln( + ε / μ) A () () + * ( n) ( n) ~ 0.5 * ~ Odhady parametrů ˆ ν ln ˆ μ ep( ˆ ν + ˆ τ / ) τˆ (ln ˆ) ν μ D( ˆ) μ Rozptyly [ep( τ ) ] D( ˆ μ ) E( ˆ μ ) [ep( τ / ) ] G G ln( ) ln( μ + ε ) ln μ + ε / μ 0.5 * ( ε / μ) E(ln ) ln μ 0.5* δ D(ln ) * δ 4 6 δ +.5 * δ * δ * δ E( ˆ μ G ) ep( ν + τ δ σ / μ + ( ε / μ) 3 / ) / 3 ( ε / μ) / 4...

6 Přesnost a správnost měření přesná a nesprávná nepřesná a správná nepřesná a nesprávná přesná a správná Vybočující hodnoty Momentová metoda: pro vybočující hodnoty j platí * K. s* j c [ ] K c g *.log( / 0) *, s*.. odhady vypočtené z čstých dat. g *... odhad škmost z čstých dat ormalní rozdělení g 3 K c.89 Rovnoměrné rozdělení g.8 Kc.77 Laplaceovo rozdělení g 6 K c.09 g *. ( ) [ ( ) ] 4

7 Bnomcké rozdělení Bnomcké rozdělení B(,p)) Bnomcké rozdělení má náhodná velčna X vyjadřující počet výskytu jevu A (příznvý výsledek) v nezávslých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu A (příznvý výsledek) v jednom pokusu je p a jevu A (nepříznvý výsledek) je q - p. Pravděpodobnostní funkce P Dstrbuční funkce ( ) * p *( p) F ( ) * p *( p) 0 Střední hodnota: E(X) p Rozptyl: D(X) p ( - p) X p je počet příznvých jevů v nezávslých pokusech p p Possonovo rozdělení Possonovo rozdělení Po(λ) má náhodná velčna X, která je rovna počtu jevů vdaném časovém nebo prostorovém ntervalu Pravděpodobnostní funkce P ( ) λ * e λ Dstrbuční funkce F( ) λ * e 0 Střední hodnota E(X) λ Rozptyl D(X) λ λ kde je artmetcký průměr počtu jevů v daném časovém nebo prostorovém ntervalu λ /! /!

8 ormované normální rozdělení U (0,) P( -.65 U.65 ) 0.90 f() 0.05 P( -.98 U.98 ) 0.95 f(3) 0.04 P( -3 U 3 ) f(4) ormální rozdělení ormální rozdělení ((μ, σ ): Hustota pravděpodobnost f( ) e * π Dstrbuční funkce μ F ( ) Φ( ) Φ( ) Střední hodnota: E(X) μ Rozptyl: D(X) σ Škmost: Špčatost: g 0 g 3 μ Σ / ( ) σ σ * π ( μ) / σ y ep( ) dy 0, , Matematcká statstka Populace X vzorkování Výběr { },... f(, μ, σ, g, g ) f ( ), μ, σ, g, g Symbol " " označuje odhady parametrů nebo hustoty pravděpodobnost zdat. a Bodové odhady Parametr a, odhad je náhodná proměnná. Vychýlení odhadu b a E( ) a Pokud je b 0 jde o nevychýlený odhad. Rozptyl odhadu D( ) a je charakterzací "přesnost odhadu"

9 ormální rozdělení μ Parametr odhad rozptyl Parametr σ odhad rozptyl s D ( ) σ Ds ( ) * σ 4 Intervalové odhady X d PL ( a L) α "IS": nterval obsahující se zadanou pravděpodobností (-α) parametr a. ( - α) koefcent konfdence, statstcká jstota (0.99, 0.95) α hladna významnost (α 0.0, 0.05) X μ X + d f( ) a Jednostr. f( ) a Oboustr. α α / α / větší užší IS větší σ šrší IS větší α užší IS L - a L L al

10 Platí pouze pro normální rozdělení! Konstrukce IS data... (μ, σ ) t ( μ)/ s. Studentovo rozdělení, d.f. - χ ( ). s / σ Chí-kvadrát rozdělení, d.f. - P( t ( μ)/ s. t ) α α/ α/ t./ s μ + t./ s α/ α/ f(t) v00 v5 v t f (a) α/ α/ -t -α/ 0 t -α/ Interpretace IS 95% nterval spolehlvost. správná nterpretace 95% confdence se týká četnost jevu A Jev A: X.96 σ / n < μ < X +.96 σ / P(A) % všech ntervalů spolehlvost obsahuje µ. n

11 Testování hypotéz I Hypotéza: předpoklad o rozdělení a jeho parametrech (H) Testování: rozhodnutí o H na základě nformací z výběru H 0 : základní (bázová) hypotéza H A : alternatvní (přjatá, když nelze přjmout H 0 ) Testovací statstka: T(,... n ) f(t) H a : μ > μ 0 A H 0 : μ μ 0 H a : μ μ 0 A H 0 (α 0.05) H A H A α 0.05 C C C Testování hypotéz II Chyba prvního druhu [α]: H 0 platí, ale nebyla testem přjata Chyba druhého druhu [β]: H 0 neplatí, ale byla testem přjata f(t) H 0 H A A R T -α α β α F β -β

12 Test o střední hodnotě σ : neznámé ulová hypotéza: H 0 : μ μ 0 μ Testová statstka: t 0 s / n Alternatvní Hypotéza H H H a a a : μ > μ : μ < μ : μ μ ether Oblast zamítnutí t t t t t t α, n α, n α /, n or t t α /, n Testy ormální data

13 6% 4% % Škály měření: 6% 6% 9% A. omnální ( jmenná) B. Ordnální ( pořadová) C. Kardnální ( číselná) 7% 6% 7% 0% % 8% 9% Uspořádání dle množství nformací o měřených znacích. Škála vyššího typu zahrnuje škály předcházející omnální škála ejslabší typ a... a... a k počty prvků K kategore n n n k absolutní četnost n Operace: určení různost resp. rovnost ( ) a a a a Relatvní četnost n n n f f k f k Rozložení souboru na dsjunktní část, mez kterým nejsou žádné relace. Třídy (část) mohou být lbovolně pojmenovány. (Čísla jména). Vhodné pouze pro klasfkac objektů. Požadavky: jednoznačnost zařazení, estence, rozlštelnost Relatvní četnost f - odhad pravděpodobnost p Interval spolehlvost f ± u * f ( f )/ α /

14 66 výrobků: pravděpodobnost nevyhovujícího 0.5 Zpracování dat Testy pravděpodobnost (podílů) ulová 60 hypotéza: H 0 : p p 0 40 pˆ p Testová 0 0 statstka : z 00 leží pv 0( tomto p0) / nntervalu. p Alternatvní Hypotézy Oblast nepřjetí n H a : p > p0 z zα 05. ( 05. ) H : p < p z z H a a : p 0. p Smulated Data: p ether 0.44 z Jde o bnomcké rozdělení a musí platt 95% of výběrových podílů z α or z z α / α / Proporton of Successes p ± u /* p ( p )/ α u -α/,98~ np0 0 and n( p0) Relatvní četnost f - odhad pravděpodobnost p Zpracování dat Testy pravděpodobnost (podílů) ulová hypotéza: H 0 : p p 0 Testová statstka : z Alternatvní Hypotézy H H H a a a : : : p > p < p p p p ( p Jde o bnomcké rozdělení a musí platt p 0 pˆ p ether 0 0 ) / n Oblast nepřjetí z z z z α z z α or z z α / α / np0 0 and n( p0) 0.

15 Ordnální škála a... a... a k počty prvků k kategore n n n k absolutní četnost a) Určení různost a nerovnost n b) Určení vztahu větší/menší > < kumulatvní četnost F F f F f + f j F k Dohoda: od nejslabšího Příklad: stupnce jakost k nejlepšímu. Obecně bodování nebo známkování Stálost ( - 5 ) Světlo ( - 8 ) Vzhled ( - 5 ) j evyhovující 0 A Podprůměrná B Průměrná C Dobrá 3 D Vynkající 4 E f j Charakterzace rozdělení Poloha:. Medánová kategore ( kategore, kde je 50 % dat) ME... [F ME - < 0.5 ; F ME 0.5]. Medán ordnálního znaku ~ FMe Me+ 05. f Me c Kde c je část dat medánové kategore zařazených k horní polovně

16 Vlastnost ordnálního medánu ~ 05. K ~ 05. f ~. K f k 05 ~ Me f f 05. ~ 05 Me K Me+ Hodnota. ukazuje posun 50 %-ního dělícího bodu, čím je vyšší, tím se data koncentrují ve vyšších kategorích. Charakterzace rozdělení Varablta: Dskrétní ordnální varace dorvar K K K dor var. F. ( F). F F Vlastnost 0 dor var ( K ) / dor var 0 pro případ, že f dor var ( K ) / pro případ, že f f K 05. Čím více jsou rozptýlená data, tím je dorvar větší

17 Interval spolehlvost pro populační medán Med Kumulatvní četnost α005. Pro Z α Určení kategore D, kde leží Výpočet korekcí * FD FD d f D Interval spolehlvost * * ( FD FH) F D * h * *, ( FD FH), 05. ± α.. Z n Určení kategore H, kde leží F * H f F DH H SM D d HM H h S Med H M M F H * F D * 05.. * H Příklad F D H d 07. h Subjektvní hodnocení omaku tetle (00 dívek) S M H M třída n f F evyhovující Podprůměrný Průměrný Dobrý Vynkající Medán: Me 4 ~ Med 4083.

18 Tř stavy Znaménková a preferenční data Asymetre přrozená A* případ f + A* - případ f - A* 0 případ f + f - A* > 0 převaha + A* < 0 převaha - A* f+ f Zhoršení eutrální Zlepšení n -, f - n 0, f 0 n +, f + Asymetre vzhledem ke krajům A případ f - 0 A - případ f + 0 A 0 případ f - f + A > 0 převaha + A < 0 převaha - f + f A f + f + ( > 30; n -, n + > 5) Interval spolehlvost pro A eparametrcký postup A D tgh( a ) A tgh( a ) D H P( A < A < A ) α ad a Z α/. sa ah a + Z α /. s a f + ln f s + A n+ n A < A < D A H D H a H

19 Příklad Vlv změny střhu na pocty př nošení u 48 respondentů n 7 0 f 0,354 0,438 0,08 A a s A ln a D a H AD tgh( 033. ) 03. A H tgh ( ) < A < 058. edošlo k výraznému zlepšení! Kardnální škála ejslnější typ (číselná proměnná) - metrka. Jsou přípustné artmetrcké operace. Intervalová škála Určená s přesností do lneární transformace Yc.+b. Příklad: měření teploty. Poměrová škála má přrozený pořádek (b 0) a je určena s přesností do proporconální transformace Y a. Příklad: fyzkální měření (délka, hmotnost, pevnost,...) Většna užtných vlastností je v kardnálních škálách.

20 Zpracování dat ekategorzovaná data { },... je náhodný výběr složený z nezávslých prvků homogenní normálně rozdělený Ověření těchto předpokladů (vz ZED) ormalta: Q - Q grafy, vynáší se () prot u P, P /(+) Vybočující hodnoty: metoda barer (vz ZED) Ranktové grafy normální zeškmení vlevo 3 zeškmení vpravo 4dlouhékonce 5 krátké konce () < () <... < () P + Ranktové grafy Q TS (P ) u P kvantly normovaného normálního rozdělení. Apromace () T + u P S Q TS ( P ) ( ) 9,4 * ln(/ P ) P ep( ln(/ P ) 4 + π 3 () u P 5 / ) d 4 u P u P

21 Odhady parametrů Poloha: Rozptýlení: průměr medán ~ rozptyl s 05. směrodatná odchylka s Varační koefcent v s /.00 Pro případ normálního rozdělení dat ~ ( μσ, ) D( ) σ D( ~. 05. ) πσ. 4. σ σ Ds ( ) Ds ( ).( ) + δ.(. + ) Dv ( ) δ. δ..( + ) populační medán μ σ Klascká analýza s a 00. ( - α) % má nterval spolehlvost střední hodnoty s t α/ ( ). μ + t α/ ( ). Varační koefcent v [%] a nterval spolehlvost pro δ asymptotcky v v Z α/. D( v) δ + Z α/. D( v) Účelem je odhad střední hodnoty měřeného parametru a jeho nepřesnost s

22 Robustní analýza Medán ~ 05., robustní odhad rozptylu s R a nterval spolehlvost pro populační medán Med ( k+ ) ( k ) + sr k Z α/. / 4. Z α / Obyčejně se volí α 0.05 ( u - α/..96). Pro nterval spolehlvost je ~ t ( ). s Med ~ + t ( ). s 0. 5 α/ R 0. 5 α/ R Etrémně malé výběry ( 0) Vždy vysoká nejstota velký vlv vybočujících měření.. Určí se z {, } %-ní IS. 7 μ +. 7 Obecně se místo koefcentu.7 dává koefcent závslý na typu rozdělení 3. Určí se odhad *. 95 %-ní IS pro μ je (průměr ze dvou nejblžších hodnot) s s * 43. μ *

23 Etrémně malé výběry ( >4) Hornův postup: (pro malé výběry ) { } -,,... Pořádkové statstky { () } {,3,,6,.5} {,.5,,3,6} Hloubka pvotů: nt [( + ) / nt ] [(( + ) / ) + ] H H Kvantly K Dolní pvot: D () pro různá (H) K () Horní pvot: U ( + -H ) Poloha D + U PL Rozptýlení RL U D %-ní IS střední hodnoty P R. K ( ) μ P + R. K ( ) L L L L Příklad Měření pevnost ba vláken. { },... 5 {0.53, 0.677, 0.7, 0.065, 0.848} { () } {0.065, 0.7, 0.53, 0.677, 0.848} H D ( ) 07. U ( 6 ) P L 044. R L L K ( 5) 094. U.33 μ. 8

24 Kategorzovaná data Vznkají tříděním číselných údajů do ntervalů, které jsou třídam nového znaku. Jednotlvým třídám přřazujeme číselné hodnoty j (střed ntervalu,...). Dskrétní, kardnální, četností kategorzace, pseudo kategorzace. Třída j n j f j F j Délka vláken Třídy přrozené číselné vyjádření (počet vad) sloučení údajů {,,... K } {,,... K} A a a a K < K Sloučení údajů: n n n 3 * průměr D, H D * třídní nterval H H D * D 3 3 * D 3 * D + ( H D )/ ( D + H )/ délka třídy Δ H D

25 Volba kategorzace Parametry: D, K,Δ D + K Δ >. ( ) [ ] 0. Δ ( ) 0 < ( ) Δ k Δ D > 00 K nt [ 0.log( ) ] f() K nt [. ] < 00 K nt [ ln( ) ] Unversálně K nt [ 64..( ) 04. ] stejné plochy delší kratší kratší delší ekonstatní délka tříd Ekv pravděpodobnostní prncp. Charakterstky polohy Me... medánová kategore a) Konstantní Δ Medán ~.. /. F Me Me + Δ Δ b) obecně: l ~ FMe Me ΔMe. Medán f 05. K K Artmetcký průměr: f. * n. * * f * f ( A) mn pro A K Geometrcký průměr: (kladná data velký rozsah) K K C f j G ( j*) ep f.ln( *) j

26 Směrodatná odchylka s s ( f. * ) Dorvar Rozptyl Vlastnost: Charakterstky rozptýlení Dor var. Δ. F.( F ) K K. s 0...všechna data v jedné třídě f. Mamálně s ma ( K* - * ) / 4 f f K Čím větší s tím více se data vzdalují od. K s f.( * ) ( f. * ) K Špčatost Charakterstky asymetre A s f.( * ) s. s 3 f() A s > 0 A s 0 symetre A s > 0 zeškmené vpravo A s < 0 zeškmené vlevo f() A s < 0

27 n df d f d f f( ) f( ) n!. ( ) ( ) d!. ( ) ( ).. d n!. ( ) ( ) d epřímá měření Měření{ },..., s Výsledek y f () f (. ) ne-lneární známá funkce průměr-plocha Odhad y, s y Taylorův rozvoj : v okolí df() Ef ( ) y f d E d f() () () + ( ) +. E ( ) d 0 s d f() y f() +.. df( ) s Df ( ( ) f( ) ) s D y. ( ) d d df( ). s d s y df( ) d. s n Příklad Měříme poloměr r (,..., ) a máme určt plochu příčného řezu ze znalost, r A π.r A p π. r + π. sr π.( r + s s 4. π. r. s y varační koefcent v s Ap π. r.( + v ) r ) s r Obecně D ( ) E ( ) E ( ) E( ) D( ) + E( ) přesné měření v 0. S 0.. π. r nepřesné měření v 05. S 5.. π. r

28 Měření Případ více proměnných, s,..., m s m známe f (,..., ) m Vektor průměrů (,,..., m ) s m m f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + ( ) + ( ) + m m f ( ) + ( )( j j ) +... j> m m m f( ) f y f( ) +. ( ) s + cov(, j ) y j> j m f( ) m m f f m m ( ) ( ) f( ) s j s s +...cov(, ) +.. j j> j j> j běžně se zanedbává j Příklad Měření hmotností g a délek L vláken. Účelem je výpočet jemnost př znalost: T g, s, L, s g L Měření jsou nekorelovaná cov (g,l) 0 g g T L L s g +. L.( + v 3 L) L Střední hodnota jemnost souvsí pouze s přesností měření délky

29 Transformace dg( σ y) dat d Potřeba: Stablzace rozptylu Symetre rozdělení Přblížení k normaltě Předpoklad: ne-konstantní rozptyl, zeškmené rozdělení a ne normalta jsou důsledkem nelneární transformace F(y) původně normálních dat ) ( mean(') Rozptyl měření Transformace y g() f ( ) UCL' konst. F[mean(')] mean() g( ) c * σ ( ) f( ) F - () d f ( ) F(UCL') Konstantní relatvní chyba měřění δ σ / σ δ f() d g( ) c * ln( ) Optmální je log transformace Mocnnná transformace Pokud mělo symetrcké rozdělení s konstantním rozptylem σ,je rozdělení y f( ) P nesymetrcké s nekonstantním rozptylem. P P σ y σ P σ.( )... P P P P P P P y +.( ) s +.( )... v. Použtí symetrzační transformace: Z f( ) / P y / Z. Z y P y /. P P P...artmetcký průměr P -...harmoncký průměr P...kvadratcký průměr

30 Výpočty souvsející s jemností I -tce úseků příze délky L o hmotnostech g. Úsek.L má hmotnost g g v Cm. L g Běžný (nesprávný postup) Cm L CmA g v v v Cm [ v ] v v L L C ma.. C m + g. g + ( g g) / g g Výpočty souvsející s jemností II v Symetrzační transformace Cm ~ g P Cm v Cm v H Cm H v Cm. / v L. Cm g g. L v L g g v C m v L Cm. L g

31 Výpočty souvsející s jemností III Přepočet jemností: v Cm 000 g T ~ g L T OpětjeP - g T. L v Cm H T 000. T 000 T ení vhodný artmetcký průměr v 000 CmA T A g. L T T artmetcký průměr P Příklad Tkalcovská příručka Příze úkolem je odhadnout Čm T 5 te, v Cm A v Cm H Taylor T [ vt ] v Cm T A nesprávně vysoké rozdíl

32 Teore měření Relace vstup výstup y μ + ε { } známe y P y f() y,,... y, s s měřítko přesnost měření P y μ měřítko správnost S y y y y μ μ μ μ S 0 S 0 P-S P-S P-S P-S Typy odchylek Absolutní odchylka Relatvní odchylka Δ y μ Δ / y ( 00) δ Δ ΔS + Δ y μ + y y Obecně: Δ, Δy, ρ... korelační koefcent δ ( ρ / 3 Δ 0 Δ S Δ.. systematcká odchylka.. náhodná odchylka.. přesnost přístroje, lmtní

33 P Vyjadřuje třídu přesnost přístroje Adtvní chyby I Chyby nulové hodnoty y nterval neurčtost Δ δ δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 L... dolní lmta pracovního ntervalu U... horní lmta pracovního ntervalu R... pracovní rozmezí u - L Redukovaná relatvní odchylka δ R Δ 0 / R Adtvní chyby II P Práh ctlvost: vstupní hodnota c, pro kterou je δ (00%) δr R Δ0 Δ0( Rδ0) c, δ c Rδ0 00 δ p c s c Chceme malé hodnoty δ pro malé (p 0. (0.05)). Spodní mez pracovního ntervalu Δ 0 / p / p S Omezené použtí přístrojů ( jen pro velká )! c

34 Multplkatvní chyby P (nekonstatní přesnost) Chyby ctlvost: y nterval neurčtost Δ δ δ s. δ s Třída přesnost Mezní přesnost Absolutní odchylka δ S konst. P Δ 0 δ S. U Δ P. Kombnované chyby y nterval neurčtost Δ δ P Δ δ Δ 0 + δ S δ Δ 0 /+ δ δ + R δ R 0 S / S δ0 Δ 0 /R Třída přesnost P /P : δ, P δ 0 δ p + p ( / ), Δ p + p ( ) U δ s S U

35 Odhady chyb měření I Momentové Δ,,... σ Δ Pro Δ0 (střední hodnota chyb E( Δ ) 0 ) je σδ σ, σ ( ) Pravděpodobnostní nterval Chyby mají symetrckou hustotu pravděpodobnost s E( Δ ) 0 Hustota pravděpodobnost f ( Δ) a dstrbuční funkce F( Δ). P f() -k.σ 0 k.σ μ+ Δ, f( ) f( Δ+ μ) P ( kσ Δ kσ) Fk ( σ) F( kσ) F( kσ) Pro řadu rozdělení platí, že pro P 0.9 je k.64!!! Odhady chyb měření II Kvantlové: Interkvantlová odchylka V tomto ntervalu leží P (-q). 00% chyb. f() q/ -q q/ ~ / q ~ q/ K ( ~ ~ )/ q q/ q/ P... statstcká jstota Mezní chyba měření Střední chyba Pro normální rozdělení (vhodné pro přesná měření). Pravděpodobná chyba: Pro normální rozdělení σ Δ Chyba pro neznámé rozdělení: P 0.9 Pro řadu rozdělení σ σ σ ΔP K q σ Δ05 ( ~ ~ )/... σδ σ σ Δ0 683 ( ~ ~ )/... σ Δ 09 ( ~ ~ )/ Δ σ

36 Odhady chyb měření III Sčítání dílčích chyb σδ 09. σδ09. () Obecně platí σδ P H σ H fce( P, g ) Šíření chyb měření σ V () σ + cov(, j) m j> H Z 3 [ g ] ( 6. ) / log log P σ... chyba způsobená -tým zdrojem a) nezávslé chyby σv σ geometrcký průměr () b) lneárně závslé (cov σ σ j) σv σ artmetcký průměr () Z Měřcí přístroje τ... rozptyl měřcího přístroje σ... rozptyl měřeného materálu * f ( y) f (, y) f ( ) d f( y) ( μσ, + τ ) Ctlvost měřcích přístrojů y Δy α y S b f( ) ( μ, σ ) f * (, y) (, τ ) f() f*(,y) f(y) M y Δ y dy lm Δ 0 Δ d m m y tg α Δ [jednotky] * [délka]

37 Sérová Paralelní Kompenzační vazba Kombnace prvků f f [ n,... [ ( )]] y f f f f S n... dy dy dy dyn,... d d dy dy f y n f y Σ y... f n y n y Σ f f f n () S y S [ ] n y n y f f ( y), y S d dy S S. S [ S S ] dy d / Kompenzační vazba je případ vážení! Moduly Přepočet délkových jednotek na fyzkální ma m * ma ma ( m ) + m mn mn * mn * * mn [J] Obyčejně * * ma mn * ma 0 m, m mn mn * mn * ma [d] Modul m [J / d]... násobení

38 Porovnání dvou měřcích přístrojů Mějme dva měřcí přístroje a a b pro měření téže velčny. O měřené velčně předpokládáme, že má normální rozdělení (μ, σ ) Přístroj a měří se systematckou chybou (vychýlením ) B a a chyby měření ε a mají normální rozdělení (μ, σ a ) Přístroj b měří se systematckou chybou (vychýlením ) B b a chyby měření ε b mají normální rozdělení (μ, σ b ) a b Modely měření: Přístroj a y Ba + + εa Přístroj b y z z Bb + +ε b Pak platí ekorelované chyby měření cov( ε, ε ) cov( ε, ) cov( ε, ) 0 a b a b Ey ( ) B a +μ D(y) σ + σ a Ez ( ) B b +μ D(z) σ + σ b cov( z, y) E( z* y) E( z) * E( y) B * B + μ * ( B + B ) + E( ) ( B μ)*( B μ) E( ) E ( ) σ a b a b a b Kovarance mez výsledky dvou přístrojů je tedy rovna rozptylu měřené velčny

39 Zpracování dat Měření na stejných vzorcích (y,z )... Standardním způsobem lze určt yzs,, z, sy a kovaranc czy (, ) ( y y)*( z z) Odhad varablty měřeného materálu σ je σ czy (, ) Rozdíl systematckých odchylek Odhad chyby měření pro přístroj a Odhad chyby měření pro přístroj b B B y z a b s y c ( z, y) s c ( z, y) Pro odhad střední hodnoty musíme znát alespoň jedno vychýlení nebo předpokládat, že jedno vychýlení je zanedbatelné. apř. B a 0. μ y B z y σ a σ b z b Testy I Porovnání přesnost přístrojů: H0:σa σb tj. oba přístroje jsou stejně přesné Pomocné velčny u y + z Ba + Bb + * + εa + ε b u y z B B + ε ε a b a b Snadno se určí, že D u) 4 * σ + σ + σ D(v) σ + σ cov(, ) σ σ ( a b a b Pro korelační koefcent platí, že ρ(, ) uv a b σa σb uv a b a b 4 *( σ + σ + σ )*( σ + σ )

40 Testy II Test hypotézy H0: ρ ( u, v) 0 je shodný s testem hypotézy H0:σa σb Za předpokladu normalty lze pak použít testovací statstku ρ ( uv, )* T ρ ( uv, ) Velčna T má za předpokladu platnost hypotézy H o Studentovo rozdělení s - stupn volnost. Pomocí proměnné v lze testovat hypotézu H0: v 0, což odpovídá hypotéze o stejném vychýlení obou přístrojů H0 : Ba Bb S využtím standardního t testu lze dospět ke statstce v * ( Ba Bb Tv )* σ v σ + σ * σ a b Velčna T v má za předpokladu platnost hypotézy H 0 Studentovo rozdělení s - stupn volnost. Testy III Test hypotézy, že je jeden z přístrojů přesný. Pro případ hypotézy a b (σ resp. σ 0) Pro případ hypotézy tvar H 0 a :σ 0 σσ a b ( σ ) C0 *ln[ σ *( σ + σ * σ a a b má testovací statstka Velčna C 0 má za předpokladu platnost hypotézy H 0 rozdělení χ s jedním stupněm volnost (platí, že 384 ) χ ]

41 KALIBRACE Typcký problém př nemožnost přímého měření y... nesnadno měřtelná (hledaná) velčna (T - target) Koncentrace, teplota, omak, vlhkost.... snadno měřtelný sgnál (M - measurement ) Elektrcké napětí, proud, vzdálenost,.... Postup př kalbrac a) Sestavení kalbračního modelu Kalbrační vzorky... esnadná měření y y... y n f(y) Snadná měření... n b) Použtí kalbračního modelu (výpočet predkce ) neznámý vzorek y známé měření y f - ()

42 Typy kalbrace C - kalbrace ( y... determnstcké ) f ( y, a) +... (nutná nverze př predkc ) ε σ y ce I- kalbrace (... determnstcké) y f (, b) + ε... σ y y y n (přímá predkce ) 0 - kalbrace ( obě proměnné jsou náhodné) y y y f ( + ε, b) + ε... P σ / σ P... mnmalzace kolmých vzdáleností (je třeba znát poměr rozptylů P) Modely působení poruch y G( f (, b), ε ) y adtvní.... y f (, b) + ε multplkatvní.... ln y ln f (, b) +ε λ ( ) ( λ obecné (mocnnné).... y f ) (, b) +ε

43 Kalbrační přímka I Výchozí data ( y, ),..., n Standardní výpočty parametrů n, y, sy, s, C(, y) ( y y)( ) n C - kalbrace a + a y+ ε, ε ( 0, σ ) 0 C(, y) MČ odhad + ( y y ) s y a y C(,)/ y sy, a 0 a y Predkce y /, a a a y y sy 0 ce + C(, y) ( ) Kalbrační přímka II I - kalbrace ε ε 0 σ y y y y b + b +, (, ) 0 MČ odhad (přímo predkce ) y n Cy (, ) Cy (, ) y y ( ), n + b s s Pro známé P C y /σ O - kalbrace σ c RSC n [ ( (, )) ] sy Ps y0 y Θ+ sy C y Θ + P ( ), Θ Cy (, )

44 Porovnání C a I kalbrace Platí, že ( y y) abs( y y) < abs( y y) n n ce σ e b sy n ( ) + b n sy ( y y) K < a) y n je blíže k centru než y ce, b) pro σ c 0 je K a, y n y ce c) I - kalbrace lépe vysthuje chování dat v oblast centra (, y) a C - kalbrace na krajích, d) pro je I - kalbrace lepší v oblast MSE E ( y y ) y e y e ( y s + σ / b ; y+ s + σ / b ) ce y Příklad C - kalbrace y, ce I - kalbrace y n číslo měření výsledek y měření 5 4 6,5 3 4,5 6, , ,5 7 6, , ,75 0, ,5 9,5 0,5 3 0,5

45 Kalbrační přímky Ym Xm S y S 6.07 C(,y) dm.377 dh I kalbrace C kalbrace Výběr typu kalbrace Proměnná (M) : obyčejně dost přesně stanovená (elektrcká velčna), ε zahrnuje především neuvažované proměnné (teplota,...) σ... může být nekonstantní Proměnná y (T): určená z eterních nformací (jné přístroje, etalony,... ), ε y zahrnuje chyby měření, σ y.... je obyčejně rostoucí funkcí y. Poměr rozptylů P σ y / σ se může měnt v mezích (0, ). I- nebo C- na základě rozptylů nebo použtí kalbrace.