Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace dat a počítačově intenzivní metody"

Transkript

1 Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce Abstrakt: Cílem příspěvku je ukázat možnost aplkace transformace dat pro zlepšení jejch rozdělení s ohledem na následnou statstckou analýzu. Je podrobněj pojednáno o mocnnné transformac dat a Box Coxově transformac. Tyto transformace jsou použty pro konstrukc adaptvního postupu výběru odhadu střední hodnoty a tvorbu ntervalu spolehlvost střední hodnoty. Je ukázáno jak využít pro hlubší analýzu vlvu nedokonalost výběru na výsledky transformace dat základní neparametrcké varanty metody Bootstrap. Úvod Důležtou součástí analýzy dat jsou metody k získávání relevantních nformací z expermentů a pozorování. S nárůstem dostupnost výkonných osobních počítačů dochází k decentralzac a nteraktvnost př zpracování expermentálních dat a nterpretac výsledků. To klade větší nároky na pracovníky praxe, kteří jž těžko obhájí jednoduché postupy vyhodnocování dat, založené mnohdy na zjednodušených nebo nesprávných předpokladech. Nabídka a možnost počítačově orentovaného statstckého zpracování dat nutí expermentátora k hlubší analýze, což vede většnou k radkální změně pohledu na rutnně prováděnou výzkumnou prác. Úlohy vyhodnocení expermentálních dat v analytcké prax mají některé společné rysy: (a) rozsahy zpracovávaných dat jsou buď malé nebo extrémně velké, (b) rozdělení dat jen zřídka odpovídá normálnímu běžně předpokládanému ve standardní statstcké analýze, (c) v datech se vyskytují vybočující měření a různé heterogenty, (d) statstcké modely se často tvoří na základě předběžných nformací z dat (datově orentované přístupy), (e) exstuje jstá neurčtost př výběru modelu, popsujícího chování dat. Pokud nemá být statstcká analýza v analytcké prax pouhým numerckým počítáním bez hlubšího smyslu, je pochoptelně třeba, aby byly ověřeny všechny předpoklady, které vedly k návrhu daného postupu analýzy. Př zpracování výsledků rutnních měření se běžně předpokládá adtvní model měření. O datech (x ), =,...N se aprorně soudí, že jde o nezávslé stejně rozdělené velčny, pocházející z normálního rozdělení. Tyto předpoklady jsou základem praktcky všech klasckých metod analýzy expermentálních dat. V řadě případů, kde se opakovaně měří za stejných podmínek konstantní parametr se s tímto přístupem vystačí, pokud se zajstí dostatečný počet opakování. Pro menší výběry a nepřesná měření lze použít jednoduché robustní technky, které fungují dobře, pokud je rozdělení dat symetrcké. Je třeba mít na pamět, že malé porušení předpokladu normalty nemusí být katastrofcké s ohledem na výsledek statstcké analýzy. Na druhé straně je však špatné, když odhady testy závsejí na spíše jných faktorech než je chování většny dat (na velkost výběru, uspořádání výsledků nesledovaných proměnných atd.). Př analýze specálních typů dat, kde chyby měření jsou zanedbatelné ve srovnání s varabltou měřeného materálu resp. jednotlvé analyzované vzorky jsou slně odlšné co do koncentrace analyzované látky je rozdělení výsledků výrazně asymetrcké (zeškmené obyčejně k vyšším hodnotám). Pak vede jak standardní tak robustní analýza často k nesprávným závěrům resp. vylučování dat, která sce neodpovídají předpokladu symetre, ale

2 jsou "přjatelná". V takových případech pak bez ohledu na kvaltu analytcké metody rozhoduje o výsledku kvalta zpracování dat. Pokud data nesplňují předpoklad normalty, je v řadě případů možné zlepšt jejch rozdělení vhodnou transformací. V řadě případů se rozmezí analyzovaných látek pohybuje v několka řádech, což omezuje použtí standardních statstckých metod založených na předpokladu konstantního rozptylu resp. adtvního modelu měření. []. V prác [] bylo dskutováno o možnostech použtí transformace stablzující rozptyl nebo multplkatvního modelu měření. To vede k logartmcké transformac dat []. Nevýhodou této transformace je fakt, že př nízkých koncentracích je absolutní chyba měření velm malá (blízká 0), což odporuje realtě. Byl navržen postup kombnující oba modely měření a odstraňující jejch nevýhody []. Multplkatvní model měření sce vede k použtí asymetrckého logartmcko normálního rozdělení ale není zdaleka unversální. Jedním z obecnějších postupů elmnace asymetre je vhodná, obyčejně mocnnná, transformace dat []. I zde však vznkají problémy zejména se zpětnou transformací a použtelností jen pro některé úlohy. Lze odvodt, že pro malé rozptyly σ je odhad parametru mocnnné transformace špatně dentfkovatelný (vz [3]). V tomto příspěvku je pozornost zaměřena transformace vedoucí ke zlepšení tvaru rozdělení výběru a jejch využtí pro základní úlohy statstckého zpracování dat Jedním z problémů analýzy dat obecně je to, že se pracuje s jedním výběrem konečného rozsahu. To má za důsledek, že výsledky analýz jsou neurčté (s ohledem na opakování výběru) a výběry jsou omezeně nformatvní (s ohledem na velkost výběru). Podle přístupu k řešení tohoto problému exstují dva základní přístupy: Datově orentovaný přístup (víra v data) Modelově orentovaný přístup (víra v model) S výhodou lze pro analýzu vlvu nedokonalost výběru na výsledky zpracování dat využít prncpů metod Bootstrap. Datově orentovaný přístup vyúsťuje ke generac smulovaných výběrů na základě klasckého neparametrckého Bootstrapu. Modelově orentovaný přístup využívá parametrcký Bootstrap. Zde je ukázáno použtí neparametrckého Bootstrapu pro zlepšení nformatvnost klascké Box Coxovy transformace.. Standardní zpracování dat Omezme se na nejfrekventovanější a zdánlvě nejjednodušší úlohu stanovení koncentrace analytu z výběru (x, x,..x N ) velkost N. Jednotlvé prvky výběru přtom nejsou opakování měření ale měření na různých vzorcích. Účelem je odhad parametru polohy a stanovení jeho neurčtost (ntervalu spolehlvost střední hodnoty). Standardní model měření je adtvní, t.j. x = μ + ε () kde μ je skutečná hodnota měřené velčny (koncentrace analytu) a ε je náhodná chyba měření. Tento model celkem dobře vyhovuje pro případ opakování měření, ale pokud jde o různé vzorky často selhává. Standardní statstcká analýza vychází z těchto předpokladů: střední hodnota chyb měření je nulová, t.j. E ( ε ) = 0, rozptyl chyb měření je konstantní, t.j. D( ε ) = σ chyby jsou vzájemně nezávslé.t.j. E( ε ε ) = 0 j

3 chyby mají normální rozdělení t.j. ε N(0, σ ) Dskuse o dentfkac a postupu př porušení prvních tří předpokladů je uvedena v prác []. Nejvíce omezující, je předpoklad, že chyby mají normální rozdělení. Tento předpoklad je potřebný pro konstrukc ntervalů spolehlvost (neurčtost výsledků) resp. testování hypotéz. Pokud je k dspozc dostatek dat, lze odhadnout rozdělení chyb ε z rozdělení měření x, protože pro model () je tvar hustoty pravděpodobnost totožný. Normální rozdělení lze chápat jako jednoho z členů třídy elptckých symetrckých rozdělení, pro které platí že se lší pouze délkou konců. V analytcké prax, kde jde běžně o měření na různých vzorcích, je častým jevem asymetrcké rozdělení dat zeškmené k vyšším hodnotám. Toto rozdělení je běžné u dat, kde se ve vzorcích vyskytují řádové rozdíly koncentrací (např. u dat z oblast žvotního prostředí). Pro odstranění asymetre rozdělení dat se často používá vhodná transformace h(x). Ta však v případě platnost modelu () vede ke vznku nekonstantního rozptylu D( h( x )) dh( x ) = * σ () dx Např. pro běžně doporučovanou logartmckou transformac h(x)=ln(x) vyjde D( h( x )) σ = = δ (3) x To znamená, že místo konstantní absolutní chyby je v této transformac konstantní relatvní chyba (varační koefcent), což odporuje přjatému modelu měření. Korektní analýza zde vyžaduje přímé použtí zeškmeného rozdělení a konstrukc nesymetrckých ntervalů spolehlvost. Multplkatvní model měření je založen na předpokladech konstantní relatvní chyby a nezápornost měření (jde o fyzkální velčny souvsející s hmotou). Výsledek měření je modelován vztahem x = μ * exp( ε ) (4) Zde ε má stejné vlastnost jako u modelu adtvního (rov.()). Po korektní logartmcké transformac přechází tento model na adtvní model v logartmech, tedy ln( x ) = ln( μ ) + ε (5) Nevýhodou multplkatvního modelu je především to, že pro velm nízké koncentrace resp.malé μ vychází absolutní chyba měření přílš nízká [4]. Pokud se použje nesprávný předpoklad o rozdělení chyb dochází ke zkreslení parametrů a následně celé statstcké analýzy. Nechť např. platí adtvní model () a na data se použje nesprávně logartmcká transformace. Pak vyjde ln( x ) = ln( μ + ε ) = ln μ + ln( + ε / μ ) (6) S využtím Taylorova rozvoje lze psát

4 3 ln( x ) ln( μ + ε ) = ln μ + ε / μ 0.5* ( ε / μ ) * ( ε / μ )...(7) Pro malé relatvní chyby měření δ = σ / μ lze pak s využtím tohoto vztahu nalézt výrazy pro střední hodnotu a rozptyl ln(x) ve tvaru E(ln x ) 4 = ln μ 0.5* δ 0.75* δ (8) a D(ln x ) 4 6 = δ +.5* δ * δ (9) Je tedy patrné, že použtí nesprávného předpokladu ovlvní jak střední hodnotu tak rozptyl. Pro μ větší než jedna vyjde střední hodnota podhodnocená a rozptyl nadhodnocený. Pro případ, že se analyzují data z různých vzorků se běžně předpokládá, že chyby měření jsou zanedbatelné vzhledem k varabltě vzorků (měřeného materálu) Jako model se pak používá se používá představa, že (x ), =..N, jsou realzace náhodné velčny s rozdělením charakterzovaným hustotou pravděpodobnost f(x) resp. dstrbuční funkcí F(x). Formálně je tedy x = F ( p ) (0) kde p je hodnota dstrbuční funkce v místě x. Pokud je f(x) hustota pravděpodobnost normálního rozdělení odpovídá tento model modelu () s tím, že μ je střední hodnota. Odhadem střední hodnoty je pak artmetcký průměr x a odhadem rozptýlení je výběrový rozptyl s. Přesnost lbovolných odhadů o se charakterzují pomocí jejch rozptylů D(o). Pro případ normálního rozdělení dat x ~ N( μ, σ ) jsou tyto rozptyly σ D( x) = a N D( s 4. ) = σ N K výraznému zkreslení rozptylu výběrového průměru může dojít v případě, že data nejsou nezávslá. To může být stuace, kdy se vzorky k analýze odebírají z různých míst, které spolu nějak souvsejí (prostorová nebo časová autokorelace). Pro případ nejjednodušší autokorelace prvního řádu vyjádřené autokorelačním koefcentem ρ dojde ke zvětšení rozptylu střední hodnoty σ D ( x) = N ( ρ ) Pro komplkovanější stuace (prostorová závslost dlouhého dosahu) může být zkreslení způsobené závslostí v polohách odběru neúměrně vysoké. Klascká statstcká analýza je založena na odhadech x, s a předpokladu normalty rozdělení chyb v modelu () resp. normalty F(x) v modelu (0). Základní rol př posuzování výsledků měření hraje 00 ( - α) % ní nterval spolehlvost střední hodnoty, pro který obecně platí, P( x D μ x ) = α H

5 kde α je hladna významnost a x D x H jsou náhodné meze určené z dat. (Standardně se konstruuje 95 % ní nterval spolehlvost). Pro případ normálního rozdělení chyb resp. měření je tento nterval ve tvaru s s x t α / ( N )* μ x + t α / ( N )* () N N kde t α / ( N ). je kvantl Studentova rozdělení s N- stupn volnost. Pro větší výběry se běžně tento kvantl nahrazuje kvantlem normovaného normálního rozdělení u α /. Pro jná než normální rozdělení jž nemají odhady x, s optmální statstcké vlastnost a nterval spolehlvost defnovaný rov. () není rozumně použtelný. Pro asymetrcká rozdělení dat je nterval () nevhodný jž proto, že je symetrcký. Navíc jž nebude platt, že je 00 ( - α) %. Př nemožnost použtí výše uvedeného standardního postupu pro reálná data exstují v zásadě tř cesty: I. Nalezení vhodného rozdělení pro původní data a konstrukce specálních ntervalů spolehlvost. II. Zlepšení rozdělení původních dat tak aby bylo možno použít pro transformovaná data standardní analýzu III. Využtí počítačově orentovaných postupů, kdy se generují umělé výběry se stejným statstckým chováním a pak se na základě centrální lmtní věty pracuje s průměrem z těchto výběrů. Jednotlvé cesty mají své výhody a nevýhody. Možné zlepšení rozdělení dat vhodnou transformací je logcké použít zejména v případech, kdy je cílem pouze stanovení ntervalu spolehlvost parametru polohy a nkolv konstrukce pravděpodobnostních modelů. Navíc se velm snadno určí, zda je toto zlepšení statstcky významné čí nkolv. Na druhé straně však jedna transformace nemusí vyhovovat pro všechna data a vznkají problémy pokud je nutno realzovat zpětnou transformac. S výhodou lze pro hlubší posouzení kvalty transformace využít generace umělých výběrů (Bootstrap). 3. Transformace zlepšující rozdělení dat S transformací dat se př zpracování expermentů setkáváme velm často. Podle příčn můžeme transformac dělt do dvou základních skupn: A. Transformace zlepšující rozdělení dat. Zde je transformace žádána a přspívá ke zlepšení rozdělení dat (zjednodušuje jejch zpracování). B. Transformace jako důsledek matematckých operací (obyčejně realzace funkcí) s měřeným velčnam. To je případ, kdy známe u komplkovaných systémů vstupní náhodné velčny a zajímá nás výstupní náhodná velčna. Patří sem tedy všechny transformace, kdy na základě expermentálních výsledků počítáme jné velčny (např. z hodnot poloměru plochu kruhových elementů). Zde je vlastně transformace nežádaná, protože deformuje původní rozdělení dat. V případě ad A) se hledá vhodná transformace. V případě ad B) se hledají vhodné postupy zpracování dat, které omezují vlv transformace. Tato dualta vede často ke stavu, kdy formálně shodné (matematcky správné) metody poskytují značně odlšné výsledky.

6 Z uvedeného je zřejmé, že transformace může být buď "užtečným nástrojem", nebo "základní překážkou" př statstcké analýze dat. Jak bylo ukázáno v kap., je pro statstckou analýzu dat deální, pokud jsou prvky výběru náhodné vzájemně nezávslé velčny se stejným normálním rozdělením. Reálné výběry se od tohoto stavu více č méně odlšují. V jednodušším případě mají delší konce (vyšší špčatost), než odpovídá normálnímu rozdělení. To je často důsledek přítomnost vybočujících měření. Zde je př statstcké analýze stále střed symetre v místě módu, který je totožný s medánem a střední hodnotou. Efektvní odhad polohy je medán (průměr x má přblžně dvojnásobný rozptyl). Běžné statstcké testy jsou vůč vyšší špčatost dat poměrně robustní (to se týká zejména t-testu významnost). Také valná většna robustních metod odhadu parametrů polohy a rozptýlení vychází z představy symetrckého rozdělení dat, kontamnovaného jstým podílem symetrcky vybočujících dat. Komplkovanější je případ, kdy je rozdělení výběru zeškmené (obyčejně k vyšším hodnotám). Pak jž není módus totožný s medánem an střední hodnotou a vlastní nterpretace parametru polohy je ztížena. Efektvní odhad parametru polohy je možný jen př znalost zákona rozdělení pravděpodobnost (který však př analýze dat není aprorně znám). Běžné statstcké testy jsou vůč zeškmenému rozdělení dat obecně nerobustní. Také základní robustní metody odhadu parametrů polohy a rozptýlení zde nefungují dobře. Je tedy zřejmé, že jž symetrzační transformace bude pro analýzu dat velm užtečná. Průvodním zjevem u řady "nenormálně" rozdělených výběrů je nekonstantnost rozptylu (pouze pro normální rozdělení platí, že střední hodnota je nezávslá na rozptylu). Transformace stablzující rozptyl je tedy zároveň transformací vedoucí k normaltě. Otázky spojené s exstencí transformace vedoucí k normaltě jsou teoretcky řešeny v prác [5]. 4. Transformace stablzující rozptyl Nekonstantnost rozptylu je průvodním jevem u řady měření. Indkuje buď neplatnost adtvního modelu měření typu rov. () nebo nenormaltu rozdělení náhodné velčny, ze které byl realzován výběr. Zde se omezíme na případ, kdy je rozptyl D(x) jstou známou funkcí velkost x, což můžeme formálně vyjádřt vztahem D ( x) = g( x) () Př známém (předpokládaném) tvaru g(x) se pak hledá stablzující transformace h(x), pro kterou jž bude rozptyl konstantní. Elementární vztah pro rozptyl funkce náhodné velčny je defnován rov. (). Protože je požadavkem výběr takové funkce h(x), aby D(h(x)) = konst. a D(x) = g(x), lze z rovnce () snadno nalézt, že dx h ( x) const. (3) g} x} Řešením tohoto ntegrálu (konstanta const. není důležtá pro tvar transformace) můžeme pak snadno určt transformac stablzující rozptyl. V řadě případů je měření realzováno za podmínky konstantnost relatvní chyby, tj. konstantnost varačního koefcentu CV = [σ x /x]. 0. Rozptyl σ x v místě x je pak zřejmě σ x =[CV/0] x, funkce () je tedy g(x) = x Po dosažení do rovnce (3) a analytcké ntegrac pak dostáváme h(x) = ln(x). Použtím logartmcké transformace zde tedy elmnujeme nekonstantnost rozptylu (obecně platí, že tato transformace je vždy výhodná, pokud se jednotlvé prvky výběru mění v rozmezí několka řádů).

7 Pro slně zeškmená data (jako χ rozdělení) se doporučuje odmocnnová transformace. Pro gama rozdělení je zase stablzující transformace třetí odmocnny Z(x) = x /3 5. Mocnnná transformace Mocnnná transformace je poměrně šroce využtelná pro řešení celé řady problémů. Platí, že adtvní multplkatvní model lze vyjádřt jako specální případy mocnnné třídy modelů měření, která je charakterzována tím, že transformací obou stran pomocí funkce h(.) vyjde adtvní model h ( x ) = h( μ ) + ε (4) U pravděpodobnostního modelu (0) lze vhodnou transformací dat stablzovat rozptyl, přblížt škmost rozdělení k nule a tvar rozdělení k normálnímu rozdělení. Cílem je na základě znalostí o výběru x, =,...N nalézt vhodnou mocnnu, resp. vhodný člen (pokud se použje celá rodna transformací). Nejjednodušší je prostá mocnnná transformace hp(x) = sgn(x)*abs(x) l pro l 0 (5) hp(x) = ln (x) pro l = 0 kde abs(x) je absolutní hodnota a sgn(x) je znaménková funkce sgn(x )= pro x>0, sgn(x)=- pro x<0, sgn(x)=0 pro x=0 Tato transformace nezachovává měřítko a an není vzhledem k všude spojtá. Zachovává však pořadí dat ve výběru (jako všechny mocnnné transformace). Používá se jako jednoduchá symetrzující transformace a proto se hledá optmální mocnna l tak, aby byly mnmalzovány vhodné míry symetre výběru. Je možno použít přímo výběrovou škmost g(y), nebo její robustní verz g R (y) vz. []. Stejně jednoduché je sledovat rozdíl mez průměrem a medánem v transformac. Pro posouzení kvalty transformace, resp. nalezení optmálního l je také možno použít grafu rozptýlení s kvantly (GRK), resp. kvantlových grafů (Q -Q grafů), jejchž konstrukce je popsána v []. Nevýhody prosté mocnnné transformace (zejména nespojtost v okolí nuly a nesrovnatelnost měřítek v transformac) odstraňuje rodna Box-Coxových transformací h(x), která je lneární transformací prosté mocnnné transformace hp(x). Box Coxova třída polynomckých transformací má tvar x h( x) = 0 (6) h ( x ) = ln( x ) = 0 kde je parametr transformace. Pro = resultuje adtvní model měření a pro = 0 model multplkatvní. S využtím Taylorova rozvoje lze odvodt, že v tomto případě je x μ + ε / μ (7)

8 Pro případ, že rozptyl D( ε ) = σ je malý jde o adtvní model s nekonstantním chybam, pro ( ) / který lze použít jako odhad μ vážený artmetcký průměr s vaham úměrným μ. Lze ukázat, že vhodným odhadem parametru μ (neznámá koncentrace ) je výběrový medán, který je nvarantní vůč monotónní transformac. Pokud h(x) je lneární transformací hp(x) platí pro re-transformované střední hodnoty h [ E( h( x ))] = hp [ E( hp( x ))] (8) Pro obě transformace je pak odhadem re-transformované střední hodnoty zobecněný průměr resp. / N M = x pro 0 (9) N = / N N M = x pro = 0 (0) = Pokud se použje mocnnná transformace na adtvní model měření vyjde h( x ) = h( μ + ε ). Z Taylorova rozvoje pak resultuje odhad vychýlení vlvem této nekorektnost σ d h( x ) B = E( h( x )) h( μ ) ( x = μ ) ()! dx Tak např. pro logartmckou transformac vyjde B = -0.5 CV, kde CV je varační koefcent. To odpovídá druhému členu v rov. (8). Prostá mocnnná transformace je nvarantní vůč změně měřítka a Box Coxova transformace není nvarantní vůč změně měřítka. Detaly lze nalézt v prác [6]. Pro elmnac této nevýhody lze použít modfkované transformace x p h( x, p) = 0 h ( x, p) = ln( x / p) = 0 kde parametr p se volí jako artmetcký průměr, geometrcký průměr resp. medán původních dat. Z uvedeného také přímo plyne, že obě transformace jsou závslé na posunu. Tedy mocnnná transformace (x+a) poskytne jné výsledky než mocnnná transformace x. Lze se snadno přesvědčt, že: rodna transformací defnovaných rovncí (6) je vzhledem k mocnně spojtá. V okolí blízkého nule platí lm (x - ) / = lm x ln(x) = ln(x) všechny transformační závslost h(x) procházejí jedním bodem o souřadncích y = 0, x = a mají v tomto bodě společnou směrnc (jsou zde, co do průběhu, shodné) Mocnnné transformace s exponenty -, -3/, -, -0,5, 0, 0,5,, 3/, jsou co do křvost rovnoměrně rozmístěné. Vlvem transformace (6) se však obecně mění charakterstky polohy a rozptýlení, což komplkuje porovnání různě transformovaných výběrů (nevadí pochoptelně pro přblížení k normaltě, resp., zesymetrčtění výběru).

9 Pro zajštění toho, aby měla transformovaná data přblžně stejnou polohu a rozptýlení jako data netransformovaná, je možné použít dostatečné lneární transformace (vz []). Z hledska analýzy dat je transformace vždy žádoucí, pokud x(n) / x() > 0 (předpokládají se kladná data). Rov. (6) je použtelná pouze pro kladná data. Pokud je znám jný počátek x 0, pod kterým se data nemohou vyskytovat, volí se zobecněná mocnnná transformace ( x + c) h( x) = 0 () h ( x) = ln( x + c) = 0 Zde c>= x 0. Obecně se hledají u této transformace dva parametry. S ohledem na to, že dosavadní transformace platí pro zdola omezené rozdělení dat, není zřejmě možné, aby jejch rozdělení bylo strktně normální. Pro odstranění této (praktcky nepřílš důležté) nevýhody doporučují Bckel a Doksum rozšířenou Box-Coxovu transformac (pro parametr > 0), která pokrývá celou reálnou osu sgn( x) * abs( x) h( x) = 0 (3) Nevýhodou je, že tato transformace neobsahuje logartmckou transformac. Tato transformace je jž nezávslá na měřítku. Pro odhady parametrů v těchto rodnách transformací lze opět použít různých charakterstk škmost a špčatost. V případě jednoparametrckých rodn transformací se lze zaměřt pouze na jednu charakterstku tvaru (obyčejně škmost). Výhodnější je použtí testů normalty dat po mocnnné transformac. Známý Shapro-Wlkův test je úměrný testu významnost směrnce v Q-Q grafu, takže lze také posuzovat lneartu v Q-Q grafech. S ohledem na požadavek, aby se rozdělení výběru v transformac co nejvíce blížlo normálnímu rozdělení, lze pro odhad optmálního použít metodu maxmální věrohodnost. Pokud platí předpoklady adtvního modelu měření (normalta a nezávslost) má logartmus věrohodnostní funkce tvar ln L( ) = ( )* ln( x ) [ h( x ) h( μ )] (4) σ Pro pevné lze určt maxmálně věrohodný odhad rozptylu ve tvaru σ [ ] c = h( x ) h( ) N μ (5) kde se za h( μ ) dosazuje artmetcký průměr transformovaných dat h( μ ) h( x ) (6) N Po dosazení do věrohodnostní funkce resultuje vztah

10 * N * lnσ c ln L ( ) = ( )* ln( x ) (7) Maxmalzací ln L * ( ) podle (vz.[]) lze pak snadno určt maxmálně věrohodný odhad ˆ parametru transformace. Je patrné, že je tato úloha ekvvalentní mnmalzac rozptylu v transformovaných proměnných σ c. Na základě Taylorova rozvoje funkce h(x) pro pevné l vyjde přblžný výraz D( x ) = D( x ) E( x ) D( x ) = E( x ) kde δ je varační koefcent. Je zřejmé, že pro pevné bude rozptyl v transformac tím vyšší, čím bude větší rozptýlení dat. To umožní dentfkac extrému (mnma). Pro málo rozptýlená data bude rozptyl v transformac malý a dentfkace extrému bude obtížnější. V prác [3] bylo ukázáno, že pro D(x) 0 je rozptyl D( ˆ ) a podobně rozptyl zobecněného průměru roste nade všechny meze.pro snadnou dentfkovatelnost transformace je tedy výhodné mít větší rozptýlení dat jak je např. běžné u výběrů s asymetrckých rozdělení. Formálně lze úlohu maxmalzace rov (7) vyjádřt ve tvaru δ d ln( L ) d ln( x ) σ h( x ) N = dh( x ) h( x ) * d = 0 (8) dh( x ) ( + * x )ln( + * x kde = d ) * x Z druhé dervace věrohodnostní funkce lze určt rozptyl maxmálně věrohodného odhadu mocnnné transformace[7]. Po úpravách vyjde : D( ˆ ) = (-0.333*g g )/(3Nw), kde w = σ (+ ). Zde σ, g a g jsou rozptyl, škmost a špčatost původních dat. Je patrné, že pro σ 0 roste rozptyl odhadu mocnnné transformace nade všechny meze. Na základě asymptotckého ( α ) % ního ntervalu spolehlvost parametru mocnnné transformace lze sestavt nerovnost ˆ ln L( ) ln L( ) 0.5* () (9) χ α Všechna splňující tuto nerovnost leží v ntervalu spolehlvost a jsou tedy přjatelná. Toho lze snadno využít pro rozlšení mez adtvním a multplkatvním modelem měření. V rovnc (9) označuje χ α () kvantl χ rozdělení s stupněm volnost. Platí, že: pokud obsahuje 95% ní nterval spolehlvost také jednčku, volí se adtvní model. pokud obsahuje 95% ní nterval spolehlvost nulu a nkolv jednčku, volí se multplkatvní model. v ostatních případech je možné zvolt pravděpodobnostní model (0) a použít pro další analýzu postup navržený v [].

11 S výhodou lze využít grafckého záznamu ln L( ) na se zakresleným (obyčejně 95 %ním) ntervalem spolehlvost. Z tohoto grafu lze jž snadno odhadnout jak kvaltu transformace, tak posoudt, v jakých mezích se může hodnota pohybovat. (Platí, že čím jsou tyto meze užší, je kvalta transformace vyšší, pokud v nch neleží = ). Parametr mocnnné transformace zřejmě souvsí s škmostí rozdělení dat. Pro kvantfkac tohoto vztahu lze dosadt do podmínky (8) místo h(x) jeho rozvoj do Taylorovy řady a určt maxmálně věrohodný odhad analytcky. V prác [8] je toto odvození provedeno. Výsledek lze zapsat ve tvaru E( x )* σ * β (30) 6 kde β je škmost původních dat. Je patrné, že pro data zeškmená k vyšším hodnotám vyjde parametr transformace podstatně menší než jedna. Pomocí vztahu (30) můžeme např. snadno posoudt vlv posunu dat na parametr mocnnné transformace. Např. pro případ, že data posuneme o konstantu a tj. y = a*x vyjde, že y = x a* σ * β ) / 6 ( Jak je patrné, je třeba př použtí postupu mocnnné transformace brát v úvahu také případné lneární transformace dat a jejch rozmezí. Specálně pro účely průzkumové analýzy dat (vz. []) byl navržen postup, který umožňuje grafcké posouzení vhodnost mocnnné transformace. Je použto jednoduché třídy transformací typu h( x) = a * x + b 0 (3) h ( x) = c *ln( x) + d = 0 Parametry a, b, c, d volí Emerson a Stotto [9] tak, aby byla zachována přblžná lnearta transformace v okolí medánu, tj. med( x ) med( x) d dx ( med( x ) Pro určení vhodné transformace se vychází z výběrových kvantlů xp a medánu x 0,5. Vynesením y* = (xp + x -p)/ na x* = [(x -p - x 0,5 ) + (x 0,5 - xp)]/ (4 x 0,5 ) rezultuje v případě možnost symetrzační transformace lneární závslost, procházející počátkem typu y* = (- ) x*. Ze směrnce této závslost tedy můžeme přímo nalézt odhad parametru transformace. Př praktcké aplkac tohoto postupu se volí jednotlvé písmenové hodnoty (vz []), pro které je P = -(+), =,... Pro robustní odhad směrnce (- ) se doporučuje počítat pro všechny body směrnce k = y * /x * a jako optmální vzít pak medán ze všech k. Uvedený postup je vhodný pro málo a středně zeškmená rozdělení. Cameron [0] ukázal, že pro slně zeškmená rozdělení a kvantly xp vzdálené od medánu vznká na grafu y* vs, x* systematcká křvost. Pak je vhodné provádět teratvní hledání optmálního, kdy se výsledek z prvého určení směrnce (y* vs. x*) dosadí do transformace (3) a v dalších vyneseních se místo kvantlů proměnné x používají transformované kvantly h(x) (určené z předchozího

12 grafu). Také je výhodné v prvních fázích brát spíše směrnce určené z kvantlů (P = 0,5). Z toho plyne, že Emerson-Stottův postup není zcela automatcký a vyžaduje často teratvní hledání vhodného, kde v každé terac se konstruuje graf typu y* na x*. Na druhé straně je tento postup velm jednoduchý a umožňuje posouzení vlvu případných vlvných bodů na výsledek transformace. Lze se snadno přesvědčt, že všechny uváděné typy transformace jsou členy obecné Johnsonovy rodny transformací J(x). Lze ukázat, že pouze pro tř funkce h(.) pokrývá transformace J(x) celé rozmezí škmost a špčatost. 6. Metody BOOTSTRAP Je známo, že pro konstrukc ntervalu spolehlvost populačního parametru p s je třeba znát rozdělení g(p) jeho odhadu p. Pro některá rozdělení (např. normální) a parametry (střední hodnota, rozptyl) jsou rozdělení odhadů nebo jejch funkcí známy a ntervaly spolehlvost je možné konstruovat relatvně snadno. Pro neznámé rozdělení výběru x = (x..x N ) a lbovolný parametr ps lze s výhodou použít technku Bootstrap, která umožňuje jak nalezení rozdělení výběrové statstky p, tak konstrukc ntervalu spolehlvost. Základní myšlenka metody Bootstrap je jednoduchá[6, 7]. Spočívá v generac M-tce smulovaných výběrů v..v M označovaných jako Bootstrap výběry. Jejch rozdělení odpovídá rozdělení původního výběru x, charakterzovaného hustotou pravděpodobnost g(x). Z těchto výběrů se určí M-tce odhadů p = p(x) hledaného parametru ps. Z této M-tce hodnot lze počítat ntervaly spolehlvost pomocí celé řady metod. A. Odhad z asymptotcké normalty Jde o nejjednodušší postup založený na představě, že M je dostatečně velké a p =..N lze zpracovat jako výběr z normálního rozdělení. Pro tzv. Bootstrap odhad střední hodnoty parametru ps platí M p B = p (3) M = a odpovídající rozptyl má tvar M sb = ( p pb ) (33) M = Pro 00(-α) %ní nterval spolehlvost parametru ps se pak použje známý vztah p u s ps p + u s (34) B α/ B B α/ B kde / je kvantl normovaného normálního rozdělení. u α B. Percentlový odhad Tento postup je založen na neparametrckém odhadu mezí ntervalu spolehlvost vycházejícím z pořádkových statstk p (),kde p () <= p (+) jsou pořádkové statstky, pro které platí, že jsou d %ním kvantlem rozdělení odhadu p pro d = M + Dolní mez 00(-α) %ní ntervalu spolehlvost je pak LC = kde k = nt[ α * ( M + ) / ] (35) p ( k ) a pro horní mez platí

13 UC = kde k = nt[( α / )* ( M + )] (36) p ( k ) Zde nt (x) je celá část čísla x. C. Studentzovaný odhad Tento odhad vychází z jednoduché transformace vedoucí na Studentzovanou náhodnou velčnu t p pb t = sb kde s B je výběrová směrodatná odchylka počítaná pro - tý Bootstrap výběr v. Pro 00(-α) %ní nterval spolehlvost pak platí p t * s ps p + t * s (37) B D B B D B kde pořádková statstka D = t (nt[ α *( M ) / ]) a pořádková statstka H t (nt[( / )*( M )]) t + t = α + D. Vyhlazený odhad Obecně lze na základě hodnot p sestavt odhad hustoty pravděpodobnost jejch rozdělení fe(p) např. s využtím hstogramu nebo jádrového odhadu. Př znalost funkce fe(p) se snadno konstruuje nterval spolehlvost přímo z defnce. Pro meze tohoto ntervalu pak platí, že a α / = α / LC = fe( p )dp UC fe( p )dp Podle typu odhadu fe může jít o úlohu numercké nebo analytcké ntegrace. Základním předpokladem úspěšnost celého postupu je generace Bootstrap výběrů. Pro tento účel je třeba buď znát nebo volt rozdělení g(x). Standardní technka neparametrckého Bootstrap vychází z neparametrckého odhadu g(x) ve tvaru g( x ) = δ ( x x ) (38) N kde Dracova funkce δ ( x x ) = pro ( x = x ) a všude jnde je. δ ( x x ) = 0. Toto rozdělení pokládá pravděpodobnost /N v každém bodě. Smulované výběry se pak realzují jako náhodné výběry složené z prvků původního výběru x s vracením (tj. jeden prvek původního výběru se může v smulovaném výběru vyskytovat opakovaně). Další možností je konstruovat vhodný parametrcký model g(x), odhadnout jeho parametry a generovat smulované výběry standardním postupy. Tento přístup naráží na celou řadu problémů souvsejících s možnou nehomogentou, vybočujícím body, heteroskedastctou a autokorelací. Bootstrap metody obecně poskytují nformace jak o bodových odhadech, tak ntervalech spolehlvost.

14 Uvažujme standardní neparametrcký Bootstrap (v jsou výběry s vracením ) pro ps = µ, tj. jde o střední hodnotu a její nterval spolehlvost střední hodnoty. Lze snadno určt, že v tomto případě je Bootstrap průměr totožný s artmetckým průměrem původních dat a Bootstrap rozptyl je M-krát menší než rozptyl původních dat. Lší se však ntervaly spolehlvost zejména tam, kde se rozdělení dat výrazně odchyluje od normálního rozdělení. Kromě standardního Bootstrap lze použít také dvojtý Bootstrap (Bootstrap aplkovaný na výběry v ), blokový Bootstrap (realzace výběru s vracením na bloky homogenních dat a sestavení celkového Bootstrap výběru spojením výsledků) [7]. Pro účely detalnějšího posouzení kvalty Box Coxovy transformace je možné určt výše uvedeným postupem (kap.5) pro všechny Bootstrap výběry parametr a posoudt jejch rozdělení. Jako vhodný odhad lze pak určt průměr z rov. (3) a meze ntervalu spolehlvost pro z percentlových odhadů defnovaných rov. (35) a (36). Tento postup je využt v programu bootcox v jazyce MATLAB: 7. Příklad Jednou možností programu bootcox je možnost generace náhodných výběrů z normálního rozdělení. Tento příklad je zvolen s cílem ukázat, že pro slně zeškmená data lze jen obtížně dentfkovat vlv vybočujícího měření na výsledek Box Coxovy transformace. Bylo generováno 50 dat z normálního rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 3.5. Data byla převedena na zeškmené rozdělení exponencální transformací exp(x). K těmto upraveným datům bylo přdáno vybočující měření s hodnotou 4x vyšší než maxmální prvek transformovaného výběru. Je zřejmé, že k normaltě zde vede logartmcká transformace ln(x). Pro tato data je znázorněn ranktový graf pro původní data na obr..5 ranktový graf puvodn.5 kvantl normalnho rozd poradkova statstka x 0 8 Obr. Ranktový graf pro původní data.

15 Je patné výrazné zeškmení a jeden slně vybočující bod. Průběh věrohodnostní funkce je na obr.. Optmální vyšlo 0.00 a meze 95 % ního ntervalu spolehlvost jsou a graf MLE MLE lambda Obr. Graf věrohodnostní funkce. Ranktový graf pro transformovaná data je na obr Ranktový graf Box Cox trans. kvantl normalnho rozd poradkova statstka Obr 3. Ranktový graf pro transforovaná data (Box Cox)

16 Př použtí neparametrcké Bootstrap metody vyšlo jako průměr z 000 Bootstrap výběrů rovno a meze 95 % ního ntervalu spolehlvost (percentlové odhady) jsou a Je patrné, že rozdíly jsou praktcky zanedbatelné. Hstogram a neparametrcký odhad hustoty pro počítané ze všech 000 Bootstrap výběrů jsou na obr lambda hstogram h = Rel. Freq Obr 4. Hstogram a neparametrcký odhad hustoty parametrů z Bootstrap výběrů Je patrné, že rozdělení parametru je zeškmené k vyšším hodnotám (škmost = 0.70) a poměrné ploché, což ndkuje výrazné odchylky od normalty a svědčí o heterogentě dat. Je také zřejmé, že extrémně vysoké hodnoty v datech (vz. obr. ) se logartmckou transformací stanou praktcky nerozeznatelným od ostatních (vz. obr. ). Mocnnná transformace zde tedy obecně potlačuje vybočující měření..protože nterval spolehlvost parametru obsahuje nulu lze provádět další analýzu v logartmcké transformac resp. volt multplkatvní model měření. 8. Závěr Je patrné, že statstcké zpracování dat v analytcké prax má celou řadu specfckých zvláštností, které je třeba brát v úvahu. Je vždy výhodné začít průzkumovou analýzou a porovnáním resp. selekcí modelů měření a až poté zvolt další cestu. Ve shodě s koncepcí satstcal methods mnng [] je často nezbytné kombnovat různé přístupy jako je transformace, robustní metody a počítačově ntenzvní metody k dosažení rozumných výsledků. Specálně př transformac dat je třeba mít na pamět, že jde o datově orentovaný přístup a pro dva různé výběry z téhož rozdělení lze získat různé odhady parametru transformace. Vodítkem může být kvalta transformace vyjádřená ntervalem spolehlvost parametru resp. rozdělení tohoto parametru z Bootstrap výběrů. Také vztah k škmost dat vyjádřený rov.

17 (30) ndkuje často vhodnost transformace s ohledem na možné vybočující hodnoty (lze počítat škmost ze všech dat a bez vybočujících bodů a porovnat odhady ). Běžně využívaná mocnnná transformace potlačuje výrazně vybočující hodnoty. Je zřejmé, že přzpůsobení dat potřebám statstcké analýzy (symetrzace) bez hlubšího rozboru příčn potřeby transformace může vést ke zkresleným závěrům. Poděkování: Tato práce vznkla s podporou výzkumného centra Textl, projekt č. M Lteratura [] Meloun M., Mltký J.: Zpracování expermentálních dat, East Publshng Praha 998 [] Mltký J., Meloun M.: Konference Mkroelementy "99,Řež u Prahy, lstopad 999 [3] Bckel P.J., Doksum K.A.: J. Amer. Stat Assoc. 76, 96 (98) [4] Massart D.L. a kol. : Chemometrcs a textbook, Elsever Amsterdam 988 [5] Efron B.: Annals of Statst. 0, 33 (98) [6] Schlesselman J.: J. Roy Stat. Soc. B33, 307 (97) [7] Draper N.R., Cox D. R.: J. Roy Stat. Soc. B3, 47 (969) [8] Box G. E. P., Cox D. R.: J. Roy Stat. Soc. B6, (964) [9] Emerson J.D., Stotto M.A: J.Amer.Stat.Assoc. 77, 03 (98) [0] Cameron M.: J.Amer. Statst. Assoc. 79, 07 (984) [] Parzen E.: Proc Nnth Int. conf. on quanttatve methods for envronmental scence, July 988, Melbourne [] Doksum K., Wong Ch.W.: J.Amer.Statst. Assoc. 78, 4 (983) [3] Hnkley D.V., Runger G.: J.Amer.Statst.Assoc. 79, 30 (984) [4] Berger G., Cassela. R.: Amer. Statst 46, 79 (99) [5] Gaudard M., Karson M.: Commun. Statst. Smula. 9, 559 (000) [6] Wekrens, R. a kol.: Chem.Int. Lab. Systems 54, 35-5 (000) [7] Davdson, A., Hnkley, D.V.,: Bootstrap Methods and Ther Applcatons, Cambrdge Unv. Press, Cambrdge, 997

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens Analýza chování servopohonů u systému CNC frmy Semens Analyss and behavour of servo-drve system n CNC Semens Bc. Tomáš áčalík Dplomová práce 00 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, 00 4 ABSTRAKT

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2010 Mchal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví Katedra veřejných fnancí Studjní obor: Fnance Analýza

Více

Bezporuchovost a pohotovost

Bezporuchovost a pohotovost Bezporuchovost a pohotovost Materály z 59. semnáře odborné skupny pro spolehlvost Konaného dne 24. 2. 205 Česká společnost pro jakost, ovotného lávka 5, 6 68 raha, www.csq.cz ČJ 205 Obsah: Ing. Jan Kamencký,

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s

Více

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku

Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku M. Dvořák: Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry Užtí swapových sazeb pro stanovení dskontní míry se zřetelem na Českou republku Mchal Dvořák * 1 Úvod Korektní určení bezrzkových výnosových

Více

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6)

1.2. Postup výpočtu. , [kwh/(m 3.a)] (6) 1. Stavebn energetcké vlastnost budov Energetcké chování budov v zním období se v současné době hodnotí buď s pomocí průměrného součntele prostupu tepla nebo s pomocí měrné potřeby tepla na vytápění. 1.1.

Více

VYUŽÍVANÍ GEOINFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ V OBDOBÍ REORGANIZACE ÚŘADŮ V RESORTU MPSV

VYUŽÍVANÍ GEOINFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ V OBDOBÍ REORGANIZACE ÚŘADŮ V RESORTU MPSV VYUŽÍVANÍ GEOINFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ V OBDOBÍ REORGANIZACE ÚŘADŮ V RESORTU MPSV Tomáš INSPEKTOR 1, Jří HORÁK 1, Igor IVAN 1, Davd VOJTEK 1, Davd FOJTÍK 2, Pavel ŠVEC 1, Luce ORLÍKOVÁ 1,Pavel BELAJ 1 1

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ KATEDRA APLIKOVANÉ GEOINFORMATIKY A ÚZEMNÍHO PLÁNOVÁNÍ PROSTOROVÁ NEURČITOST GEODAT V ANALÝZÁCH DISTRIBUCE VYBRANÝCH DRUHŮ PTÁKŮ DIPLOMOVÁ

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU

ŘÍZENÍ OTÁČEK ASYNCHRONNÍHO MOTORU ŘÍZENÍ OTÁČEK AYNCHONNÍHO MOTOU BEZ POUŽITÍ MECHANICKÉHO ČIDLA YCHLOTI Petr Kadaník ČVUT FEL Praha, Techncká 2, Praha 6 Katedra elektrckých pohonů a trakce e-mal: kadank@feld.cvut.cz ANOTACE V tomto příspěvku

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84)

Numerické výpočty ve světovém geodetickém referenčním systému 1984 (WGS84) Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor,

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

ZNALECKÝ POSUDEK. č. 101-31/99. na dendrochronologický rozbor dřevěných stavebních konstrukcí domu Vračovice č.p.2, okr.

ZNALECKÝ POSUDEK. č. 101-31/99. na dendrochronologický rozbor dřevěných stavebních konstrukcí domu Vračovice č.p.2, okr. ZNALECKÝ POSUDEK č. 101-31/99 na dendrochronologcký rozbor dřevěných stavebních konstrukcí domu Vračovce č.p.2, okr. Ústí nad Orlcí Posudek s vyžádal: SOVAMM, společnost pro obnovu vesnce a malého města

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu

Měření solventnosti pojistitelů neživotního pojištění metodou míry solventnosti a metodou rizikově váženého kapitálu Měření solventnost pojsttelů nežvotního pojštění metodou míry solventnost a metodou rzkově váženého kaptálu Martna Borovcová 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na metodku vykazování solventnost. Solventnost

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x). 3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA P ř írodově decká fakulta. Biostatistika I. Pavel Drozd

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA P ř írodově decká fakulta. Biostatistika I. Pavel Drozd OSTRAVSKÁ UIVERZITA P ř írodově decká fakulta Bostatstka I. Pavel Drozd OSTRAVA 003 OBSAH Úvod...5 Orentace v tetu...6 Bostatstka a její význam...7 Co to je bostatstka?...7 Stručná hstore statstky...9

Více

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty

Pracovní list č. 3: Pracujeme s kategorizovanými daty Pracovní lt č. 3: Pracujeme kategorzovaným daty Cíl cvčení: Tento pracovní lt je určen pro cvčení ke 3. a. přednášce předmětu Kvanttatvní metody B (.1 Třídění tattckých dat a. Číelné charaktertky tattckých

Více

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku. 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu

Více

SORPCE NASYCENÝCH PAR PERCHLORETHYLENU NA ZEMINY A POROVNÁNÍ VÝTĚŽKŮ EXTRAKČNÍCH TECHNIK. BORISLAV ZDRAVKOV, JIŘÍ JORDAN ČERMÁK a JOSEF JANKŮ.

SORPCE NASYCENÝCH PAR PERCHLORETHYLENU NA ZEMINY A POROVNÁNÍ VÝTĚŽKŮ EXTRAKČNÍCH TECHNIK. BORISLAV ZDRAVKOV, JIŘÍ JORDAN ČERMÁK a JOSEF JANKŮ. Chem. Lsty 103, 10471053 (2009) SORPCE NASYCENÝCH PAR PERCHLORETHYLENU NA ZEMINY A POROVNÁNÍ VÝTĚŽKŮ EXTRAKČNÍCH TECHNIK BORISLAV ZDRAVKOV, JIŘÍ JORDAN ČERMÁK a JOSEF JANKŮ Ústav cheme ochrany prostředí,

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

IES, Charles University Prague

IES, Charles University Prague Insttute of Economc Studes, aculty of Socal Scences Charles Unversty n Prague Trh práce žen: Gender pay gap a jeho determnanty artna ysíková IES Workng Paper: 13/2007 Insttute of Economc Studes, aculty

Více

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY MODELOVÁÍ POPTÁVKY, ABÍDKY A TRŽÍ ROVOVÁHY Schéma tržní rovnováhy Modely otávky na trhu výrobků a služeb Formulace otávkové funkce Komlexní model Konstrukce modelu otávky Tržní otávka Dynamcké modely otávky

Více

Úvod do magnetizmu pevných látek

Úvod do magnetizmu pevných látek Úvod do magnetzmu pevných látek. Úvod. Izolované magnetcké momenty 3. Prostředí 4. Interakce 5. agnetcké struktury 6. Doménová struktura a magnetzace .agnetzmus pevných látek -úvod. Zdroje magnetsmu -

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

NOVÝ POSTUP GEOREFERENCOVÁNÍ MAP III. VOJENSKÉHO MAPOVÁNÍ

NOVÝ POSTUP GEOREFERENCOVÁNÍ MAP III. VOJENSKÉHO MAPOVÁNÍ Kartografcké lsty / Cartographc Letters, 2013, 21 (2), 35-49 NOVÝ POSTUP GEOREFERENCOVÁNÍ MAP III. VOJENSKÉHO MAPOVÁNÍ Mlan TALICH, Lubomír SOUKUP, Jan HAVRLANT, Klára AMBROŽOVÁ, Ondřej BÖHM, Flp ANTOŠ

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

České vysoké učení technické v Praze

České vysoké učení technické v Praze České vysoké učení techncké v Praze Fakulta stavební Katedra vyšší geodéze Magsterská práce 211 Mloš Tchý Prohlašuj, že jsem tuto magsterskou prác vypracoval samostatně, pouze za odborného vedení vedoucího

Více

Vždy na Vaší straně. Uživatelská příručka. Thermolink P Thermolink RC

Vždy na Vaší straně. Uživatelská příručka. Thermolink P Thermolink RC Vždy na Vaší straně Užvatelská příručka Thermolnk P Thermolnk RC OBSAH ÚVOD 1 Základní dokumentace... 3 2 Označení CE... 3 INSTALACE 3 Instalace zařízení... 3 3.1 Seznam balení... 3 3.2 Uchycení... 3 4

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO

PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA PŘÍRODOVĚDECKÁ LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKÁLNÍ CHEMIE ÚLOHY ZÁKLADNÍHO PRAKTIKA PRO POSLUCHAČE VYSOKOŠKOLSKÉHO STUDIA ODBORNÉ A UČITELSKÉ CHEMIE KOLEKTIV: PAVEL BROŽ MIROSLAV

Více

Měrná vnitřní práce tepelné turbíny při adiabatické expanzi v T-s diagramu

Měrná vnitřní práce tepelné turbíny při adiabatické expanzi v T-s diagramu - 1 - Tato Příloha 307 j součástí článku: ŠKORPÍK, Jří. Enrgtcké blanc lopatkových strojů, Transformační tchnolog, 2009-10. Brno: Jří Škorpík, [onln] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293. Dostupné z http://www.transformacn-tchnolog.cz/nrgtckblanc-lopatkovych-stroju.html.

Více

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů M ě ř n í o d p o r u r z s t o r ů Ú k o l : Proměřt sadu rzstorů s nznámým odporm různým mtodam a porovnat přsnost jdnotlvých měřní P o t ř b y : Vz sznam v dskách u úlohy na pracovním stol Obcná část:

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

22. 2. 24. 2. zaostřeno na optiku JEMNÁ MECHANIKA A OPTIKA. www.opta.cz FINE MECHANICS AND OPTICS. registrace návštěvníků na www.opta.

22. 2. 24. 2. zaostřeno na optiku JEMNÁ MECHANIKA A OPTIKA. www.opta.cz FINE MECHANICS AND OPTICS. registrace návštěvníků na www.opta. 008 JEMNÁ MECHANIA A OPTIA FINE MECHANICS AND OPTICS zaostřeno na optku 4. meznárodní veletrh oční optky, optometre a oftalmologe ISSN 0447-644 Index 46 73 Brno, Výstavště.. 4.. 008 www.opta.cz regstrace

Více

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method

Evaluation of Interferograms Using a Fourier-Transform Method ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Katedra fzk Vhodnocování nterferogramů metodou Fourerov transformace Evaluaton of Interferograms Usng a Fourer-Transform Method dplomová práce Studní

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

MAKROEKONOMIE přednášky, zeleně menším písmem postupně doplňované z učebnice Ing. Macháček

MAKROEKONOMIE přednášky, zeleně menším písmem postupně doplňované z učebnice Ing. Macháček MAKROEKONOMIE přednášky, zeleně menším písmem postupně doplňované z učebnce Ing. Macháček MODEL - - stěžejní makroekonomcký model - popsuje mechansmus, kterým se ekonomka dostává do stavu všeobecné makroekonomcké

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Vojtěch Janoušek: III. Statistické zpracování a interpretace analytických dat

Vojtěch Janoušek: III. Statistické zpracování a interpretace analytických dat Vojěch Janoušek: III. Sascké zpracování a nerpreace analyckých da Úvod III. Zpracování a nerpreace analyckých da Sascké vyhodnocení analyckých da Zdroje chyb, přesnos a správnos analýzy Sysemacké chyby,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Využití Fuzzy Match algoritmu pro čištění dat

Využití Fuzzy Match algoritmu pro čištění dat Využtí Fuzzy Match algortmu pro čštění dat Ing. Davd Pejčoch, DS. Úsek pojštění motorových vozdel, Kooperatva, pojšťovna, a.s., Venna Insurance Group, dpejcoch@koop.cz, Templová 747, 110 01 Praha 1, Czech

Více

SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU

SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU Roč. 70 (2014) Číslo 4 Z. Bolek: Společné prncpy memrstor, memkapactor a memndktor P1 SPOLEČNÉ PRINCIPY MEMRISTORU, MEMKAPACITORU A MEMINDUKTORU Ing. Zdeněk Bolek, Ph.D. Ústav mkroelektronky; Faklta elektrotechnky

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Pomocník na cesty. www.dtest.cz. Export z www.dtest.cz pro obecbezdekov@seznam.cz. Výběr cestovní kanceláře nebo agentury.

Pomocník na cesty. www.dtest.cz. Export z www.dtest.cz pro obecbezdekov@seznam.cz. Výběr cestovní kanceláře nebo agentury. www.dtest.cz Výběr cestovní kanceláře nebo agentury Storno zájezdu Cestovní pojštění Reklamace zájezdu Práva v letecké dopravě Roamng Pomocník na cesty Haló, to je časops dtest? Právě řeším složtý problém

Více

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011 Úvod náhodné procesy

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO

PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO 112 PRACOVIŠTĚ PRO PŘÍJEM TÍSŇOVÉHO VOLÁNÍ NA JEDNOTNÉ EVROPSKÉ ČÍSLO Systém tísňových volání je v České republce propracovaný. Máme čtyř národní telefonní čísla tísňového volání na: 150 - Hasčský záchranný

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

4.2 Chronické plicní nemoci v těhotenství (s možností akutního průběhu)

4.2 Chronické plicní nemoci v těhotenství (s možností akutního průběhu) Plcní nemoc v těhotenství, dagnostka a léčba 4.2 Chroncké plcní nemoc v těhotenství (s možností akutního průběhu) 4.2.1 Chroncké nenfekční nemoc 4.2.1.1 Asthma bronchale Astma je nejčastější chroncké onemocnění

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více