Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace dat a počítačově intenzivní metody"

Transkript

1 Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta Pardubce, Pardubce Abstrakt: Cílem příspěvku je ukázat možnost aplkace transformace dat pro zlepšení jejch rozdělení s ohledem na následnou statstckou analýzu. Je podrobněj pojednáno o mocnnné transformac dat a Box Coxově transformac. Tyto transformace jsou použty pro konstrukc adaptvního postupu výběru odhadu střední hodnoty a tvorbu ntervalu spolehlvost střední hodnoty. Je ukázáno jak využít pro hlubší analýzu vlvu nedokonalost výběru na výsledky transformace dat základní neparametrcké varanty metody Bootstrap. Úvod Důležtou součástí analýzy dat jsou metody k získávání relevantních nformací z expermentů a pozorování. S nárůstem dostupnost výkonných osobních počítačů dochází k decentralzac a nteraktvnost př zpracování expermentálních dat a nterpretac výsledků. To klade větší nároky na pracovníky praxe, kteří jž těžko obhájí jednoduché postupy vyhodnocování dat, založené mnohdy na zjednodušených nebo nesprávných předpokladech. Nabídka a možnost počítačově orentovaného statstckého zpracování dat nutí expermentátora k hlubší analýze, což vede většnou k radkální změně pohledu na rutnně prováděnou výzkumnou prác. Úlohy vyhodnocení expermentálních dat v analytcké prax mají některé společné rysy: (a) rozsahy zpracovávaných dat jsou buď malé nebo extrémně velké, (b) rozdělení dat jen zřídka odpovídá normálnímu běžně předpokládanému ve standardní statstcké analýze, (c) v datech se vyskytují vybočující měření a různé heterogenty, (d) statstcké modely se často tvoří na základě předběžných nformací z dat (datově orentované přístupy), (e) exstuje jstá neurčtost př výběru modelu, popsujícího chování dat. Pokud nemá být statstcká analýza v analytcké prax pouhým numerckým počítáním bez hlubšího smyslu, je pochoptelně třeba, aby byly ověřeny všechny předpoklady, které vedly k návrhu daného postupu analýzy. Př zpracování výsledků rutnních měření se běžně předpokládá adtvní model měření. O datech (x ), =,...N se aprorně soudí, že jde o nezávslé stejně rozdělené velčny, pocházející z normálního rozdělení. Tyto předpoklady jsou základem praktcky všech klasckých metod analýzy expermentálních dat. V řadě případů, kde se opakovaně měří za stejných podmínek konstantní parametr se s tímto přístupem vystačí, pokud se zajstí dostatečný počet opakování. Pro menší výběry a nepřesná měření lze použít jednoduché robustní technky, které fungují dobře, pokud je rozdělení dat symetrcké. Je třeba mít na pamět, že malé porušení předpokladu normalty nemusí být katastrofcké s ohledem na výsledek statstcké analýzy. Na druhé straně je však špatné, když odhady testy závsejí na spíše jných faktorech než je chování většny dat (na velkost výběru, uspořádání výsledků nesledovaných proměnných atd.). Př analýze specálních typů dat, kde chyby měření jsou zanedbatelné ve srovnání s varabltou měřeného materálu resp. jednotlvé analyzované vzorky jsou slně odlšné co do koncentrace analyzované látky je rozdělení výsledků výrazně asymetrcké (zeškmené obyčejně k vyšším hodnotám). Pak vede jak standardní tak robustní analýza často k nesprávným závěrům resp. vylučování dat, která sce neodpovídají předpokladu symetre, ale

2 jsou "přjatelná". V takových případech pak bez ohledu na kvaltu analytcké metody rozhoduje o výsledku kvalta zpracování dat. Pokud data nesplňují předpoklad normalty, je v řadě případů možné zlepšt jejch rozdělení vhodnou transformací. V řadě případů se rozmezí analyzovaných látek pohybuje v několka řádech, což omezuje použtí standardních statstckých metod založených na předpokladu konstantního rozptylu resp. adtvního modelu měření. []. V prác [] bylo dskutováno o možnostech použtí transformace stablzující rozptyl nebo multplkatvního modelu měření. To vede k logartmcké transformac dat []. Nevýhodou této transformace je fakt, že př nízkých koncentracích je absolutní chyba měření velm malá (blízká 0), což odporuje realtě. Byl navržen postup kombnující oba modely měření a odstraňující jejch nevýhody []. Multplkatvní model měření sce vede k použtí asymetrckého logartmcko normálního rozdělení ale není zdaleka unversální. Jedním z obecnějších postupů elmnace asymetre je vhodná, obyčejně mocnnná, transformace dat []. I zde však vznkají problémy zejména se zpětnou transformací a použtelností jen pro některé úlohy. Lze odvodt, že pro malé rozptyly σ je odhad parametru mocnnné transformace špatně dentfkovatelný (vz [3]). V tomto příspěvku je pozornost zaměřena transformace vedoucí ke zlepšení tvaru rozdělení výběru a jejch využtí pro základní úlohy statstckého zpracování dat Jedním z problémů analýzy dat obecně je to, že se pracuje s jedním výběrem konečného rozsahu. To má za důsledek, že výsledky analýz jsou neurčté (s ohledem na opakování výběru) a výběry jsou omezeně nformatvní (s ohledem na velkost výběru). Podle přístupu k řešení tohoto problému exstují dva základní přístupy: Datově orentovaný přístup (víra v data) Modelově orentovaný přístup (víra v model) S výhodou lze pro analýzu vlvu nedokonalost výběru na výsledky zpracování dat využít prncpů metod Bootstrap. Datově orentovaný přístup vyúsťuje ke generac smulovaných výběrů na základě klasckého neparametrckého Bootstrapu. Modelově orentovaný přístup využívá parametrcký Bootstrap. Zde je ukázáno použtí neparametrckého Bootstrapu pro zlepšení nformatvnost klascké Box Coxovy transformace.. Standardní zpracování dat Omezme se na nejfrekventovanější a zdánlvě nejjednodušší úlohu stanovení koncentrace analytu z výběru (x, x,..x N ) velkost N. Jednotlvé prvky výběru přtom nejsou opakování měření ale měření na různých vzorcích. Účelem je odhad parametru polohy a stanovení jeho neurčtost (ntervalu spolehlvost střední hodnoty). Standardní model měření je adtvní, t.j. x = μ + ε () kde μ je skutečná hodnota měřené velčny (koncentrace analytu) a ε je náhodná chyba měření. Tento model celkem dobře vyhovuje pro případ opakování měření, ale pokud jde o různé vzorky často selhává. Standardní statstcká analýza vychází z těchto předpokladů: střední hodnota chyb měření je nulová, t.j. E ( ε ) = 0, rozptyl chyb měření je konstantní, t.j. D( ε ) = σ chyby jsou vzájemně nezávslé.t.j. E( ε ε ) = 0 j

3 chyby mají normální rozdělení t.j. ε N(0, σ ) Dskuse o dentfkac a postupu př porušení prvních tří předpokladů je uvedena v prác []. Nejvíce omezující, je předpoklad, že chyby mají normální rozdělení. Tento předpoklad je potřebný pro konstrukc ntervalů spolehlvost (neurčtost výsledků) resp. testování hypotéz. Pokud je k dspozc dostatek dat, lze odhadnout rozdělení chyb ε z rozdělení měření x, protože pro model () je tvar hustoty pravděpodobnost totožný. Normální rozdělení lze chápat jako jednoho z členů třídy elptckých symetrckých rozdělení, pro které platí že se lší pouze délkou konců. V analytcké prax, kde jde běžně o měření na různých vzorcích, je častým jevem asymetrcké rozdělení dat zeškmené k vyšším hodnotám. Toto rozdělení je běžné u dat, kde se ve vzorcích vyskytují řádové rozdíly koncentrací (např. u dat z oblast žvotního prostředí). Pro odstranění asymetre rozdělení dat se často používá vhodná transformace h(x). Ta však v případě platnost modelu () vede ke vznku nekonstantního rozptylu D( h( x )) dh( x ) = * σ () dx Např. pro běžně doporučovanou logartmckou transformac h(x)=ln(x) vyjde D( h( x )) σ = = δ (3) x To znamená, že místo konstantní absolutní chyby je v této transformac konstantní relatvní chyba (varační koefcent), což odporuje přjatému modelu měření. Korektní analýza zde vyžaduje přímé použtí zeškmeného rozdělení a konstrukc nesymetrckých ntervalů spolehlvost. Multplkatvní model měření je založen na předpokladech konstantní relatvní chyby a nezápornost měření (jde o fyzkální velčny souvsející s hmotou). Výsledek měření je modelován vztahem x = μ * exp( ε ) (4) Zde ε má stejné vlastnost jako u modelu adtvního (rov.()). Po korektní logartmcké transformac přechází tento model na adtvní model v logartmech, tedy ln( x ) = ln( μ ) + ε (5) Nevýhodou multplkatvního modelu je především to, že pro velm nízké koncentrace resp.malé μ vychází absolutní chyba měření přílš nízká [4]. Pokud se použje nesprávný předpoklad o rozdělení chyb dochází ke zkreslení parametrů a následně celé statstcké analýzy. Nechť např. platí adtvní model () a na data se použje nesprávně logartmcká transformace. Pak vyjde ln( x ) = ln( μ + ε ) = ln μ + ln( + ε / μ ) (6) S využtím Taylorova rozvoje lze psát

4 3 ln( x ) ln( μ + ε ) = ln μ + ε / μ 0.5* ( ε / μ ) * ( ε / μ )...(7) Pro malé relatvní chyby měření δ = σ / μ lze pak s využtím tohoto vztahu nalézt výrazy pro střední hodnotu a rozptyl ln(x) ve tvaru E(ln x ) 4 = ln μ 0.5* δ 0.75* δ (8) a D(ln x ) 4 6 = δ +.5* δ * δ (9) Je tedy patrné, že použtí nesprávného předpokladu ovlvní jak střední hodnotu tak rozptyl. Pro μ větší než jedna vyjde střední hodnota podhodnocená a rozptyl nadhodnocený. Pro případ, že se analyzují data z různých vzorků se běžně předpokládá, že chyby měření jsou zanedbatelné vzhledem k varabltě vzorků (měřeného materálu) Jako model se pak používá se používá představa, že (x ), =..N, jsou realzace náhodné velčny s rozdělením charakterzovaným hustotou pravděpodobnost f(x) resp. dstrbuční funkcí F(x). Formálně je tedy x = F ( p ) (0) kde p je hodnota dstrbuční funkce v místě x. Pokud je f(x) hustota pravděpodobnost normálního rozdělení odpovídá tento model modelu () s tím, že μ je střední hodnota. Odhadem střední hodnoty je pak artmetcký průměr x a odhadem rozptýlení je výběrový rozptyl s. Přesnost lbovolných odhadů o se charakterzují pomocí jejch rozptylů D(o). Pro případ normálního rozdělení dat x ~ N( μ, σ ) jsou tyto rozptyly σ D( x) = a N D( s 4. ) = σ N K výraznému zkreslení rozptylu výběrového průměru může dojít v případě, že data nejsou nezávslá. To může být stuace, kdy se vzorky k analýze odebírají z různých míst, které spolu nějak souvsejí (prostorová nebo časová autokorelace). Pro případ nejjednodušší autokorelace prvního řádu vyjádřené autokorelačním koefcentem ρ dojde ke zvětšení rozptylu střední hodnoty σ D ( x) = N ( ρ ) Pro komplkovanější stuace (prostorová závslost dlouhého dosahu) může být zkreslení způsobené závslostí v polohách odběru neúměrně vysoké. Klascká statstcká analýza je založena na odhadech x, s a předpokladu normalty rozdělení chyb v modelu () resp. normalty F(x) v modelu (0). Základní rol př posuzování výsledků měření hraje 00 ( - α) % ní nterval spolehlvost střední hodnoty, pro který obecně platí, P( x D μ x ) = α H

5 kde α je hladna významnost a x D x H jsou náhodné meze určené z dat. (Standardně se konstruuje 95 % ní nterval spolehlvost). Pro případ normálního rozdělení chyb resp. měření je tento nterval ve tvaru s s x t α / ( N )* μ x + t α / ( N )* () N N kde t α / ( N ). je kvantl Studentova rozdělení s N- stupn volnost. Pro větší výběry se běžně tento kvantl nahrazuje kvantlem normovaného normálního rozdělení u α /. Pro jná než normální rozdělení jž nemají odhady x, s optmální statstcké vlastnost a nterval spolehlvost defnovaný rov. () není rozumně použtelný. Pro asymetrcká rozdělení dat je nterval () nevhodný jž proto, že je symetrcký. Navíc jž nebude platt, že je 00 ( - α) %. Př nemožnost použtí výše uvedeného standardního postupu pro reálná data exstují v zásadě tř cesty: I. Nalezení vhodného rozdělení pro původní data a konstrukce specálních ntervalů spolehlvost. II. Zlepšení rozdělení původních dat tak aby bylo možno použít pro transformovaná data standardní analýzu III. Využtí počítačově orentovaných postupů, kdy se generují umělé výběry se stejným statstckým chováním a pak se na základě centrální lmtní věty pracuje s průměrem z těchto výběrů. Jednotlvé cesty mají své výhody a nevýhody. Možné zlepšení rozdělení dat vhodnou transformací je logcké použít zejména v případech, kdy je cílem pouze stanovení ntervalu spolehlvost parametru polohy a nkolv konstrukce pravděpodobnostních modelů. Navíc se velm snadno určí, zda je toto zlepšení statstcky významné čí nkolv. Na druhé straně však jedna transformace nemusí vyhovovat pro všechna data a vznkají problémy pokud je nutno realzovat zpětnou transformac. S výhodou lze pro hlubší posouzení kvalty transformace využít generace umělých výběrů (Bootstrap). 3. Transformace zlepšující rozdělení dat S transformací dat se př zpracování expermentů setkáváme velm často. Podle příčn můžeme transformac dělt do dvou základních skupn: A. Transformace zlepšující rozdělení dat. Zde je transformace žádána a přspívá ke zlepšení rozdělení dat (zjednodušuje jejch zpracování). B. Transformace jako důsledek matematckých operací (obyčejně realzace funkcí) s měřeným velčnam. To je případ, kdy známe u komplkovaných systémů vstupní náhodné velčny a zajímá nás výstupní náhodná velčna. Patří sem tedy všechny transformace, kdy na základě expermentálních výsledků počítáme jné velčny (např. z hodnot poloměru plochu kruhových elementů). Zde je vlastně transformace nežádaná, protože deformuje původní rozdělení dat. V případě ad A) se hledá vhodná transformace. V případě ad B) se hledají vhodné postupy zpracování dat, které omezují vlv transformace. Tato dualta vede často ke stavu, kdy formálně shodné (matematcky správné) metody poskytují značně odlšné výsledky.

6 Z uvedeného je zřejmé, že transformace může být buď "užtečným nástrojem", nebo "základní překážkou" př statstcké analýze dat. Jak bylo ukázáno v kap., je pro statstckou analýzu dat deální, pokud jsou prvky výběru náhodné vzájemně nezávslé velčny se stejným normálním rozdělením. Reálné výběry se od tohoto stavu více č méně odlšují. V jednodušším případě mají delší konce (vyšší špčatost), než odpovídá normálnímu rozdělení. To je často důsledek přítomnost vybočujících měření. Zde je př statstcké analýze stále střed symetre v místě módu, který je totožný s medánem a střední hodnotou. Efektvní odhad polohy je medán (průměr x má přblžně dvojnásobný rozptyl). Běžné statstcké testy jsou vůč vyšší špčatost dat poměrně robustní (to se týká zejména t-testu významnost). Také valná většna robustních metod odhadu parametrů polohy a rozptýlení vychází z představy symetrckého rozdělení dat, kontamnovaného jstým podílem symetrcky vybočujících dat. Komplkovanější je případ, kdy je rozdělení výběru zeškmené (obyčejně k vyšším hodnotám). Pak jž není módus totožný s medánem an střední hodnotou a vlastní nterpretace parametru polohy je ztížena. Efektvní odhad parametru polohy je možný jen př znalost zákona rozdělení pravděpodobnost (který však př analýze dat není aprorně znám). Běžné statstcké testy jsou vůč zeškmenému rozdělení dat obecně nerobustní. Také základní robustní metody odhadu parametrů polohy a rozptýlení zde nefungují dobře. Je tedy zřejmé, že jž symetrzační transformace bude pro analýzu dat velm užtečná. Průvodním zjevem u řady "nenormálně" rozdělených výběrů je nekonstantnost rozptylu (pouze pro normální rozdělení platí, že střední hodnota je nezávslá na rozptylu). Transformace stablzující rozptyl je tedy zároveň transformací vedoucí k normaltě. Otázky spojené s exstencí transformace vedoucí k normaltě jsou teoretcky řešeny v prác [5]. 4. Transformace stablzující rozptyl Nekonstantnost rozptylu je průvodním jevem u řady měření. Indkuje buď neplatnost adtvního modelu měření typu rov. () nebo nenormaltu rozdělení náhodné velčny, ze které byl realzován výběr. Zde se omezíme na případ, kdy je rozptyl D(x) jstou známou funkcí velkost x, což můžeme formálně vyjádřt vztahem D ( x) = g( x) () Př známém (předpokládaném) tvaru g(x) se pak hledá stablzující transformace h(x), pro kterou jž bude rozptyl konstantní. Elementární vztah pro rozptyl funkce náhodné velčny je defnován rov. (). Protože je požadavkem výběr takové funkce h(x), aby D(h(x)) = konst. a D(x) = g(x), lze z rovnce () snadno nalézt, že dx h ( x) const. (3) g} x} Řešením tohoto ntegrálu (konstanta const. není důležtá pro tvar transformace) můžeme pak snadno určt transformac stablzující rozptyl. V řadě případů je měření realzováno za podmínky konstantnost relatvní chyby, tj. konstantnost varačního koefcentu CV = [σ x /x]. 0. Rozptyl σ x v místě x je pak zřejmě σ x =[CV/0] x, funkce () je tedy g(x) = x Po dosažení do rovnce (3) a analytcké ntegrac pak dostáváme h(x) = ln(x). Použtím logartmcké transformace zde tedy elmnujeme nekonstantnost rozptylu (obecně platí, že tato transformace je vždy výhodná, pokud se jednotlvé prvky výběru mění v rozmezí několka řádů).

7 Pro slně zeškmená data (jako χ rozdělení) se doporučuje odmocnnová transformace. Pro gama rozdělení je zase stablzující transformace třetí odmocnny Z(x) = x /3 5. Mocnnná transformace Mocnnná transformace je poměrně šroce využtelná pro řešení celé řady problémů. Platí, že adtvní multplkatvní model lze vyjádřt jako specální případy mocnnné třídy modelů měření, která je charakterzována tím, že transformací obou stran pomocí funkce h(.) vyjde adtvní model h ( x ) = h( μ ) + ε (4) U pravděpodobnostního modelu (0) lze vhodnou transformací dat stablzovat rozptyl, přblížt škmost rozdělení k nule a tvar rozdělení k normálnímu rozdělení. Cílem je na základě znalostí o výběru x, =,...N nalézt vhodnou mocnnu, resp. vhodný člen (pokud se použje celá rodna transformací). Nejjednodušší je prostá mocnnná transformace hp(x) = sgn(x)*abs(x) l pro l 0 (5) hp(x) = ln (x) pro l = 0 kde abs(x) je absolutní hodnota a sgn(x) je znaménková funkce sgn(x )= pro x>0, sgn(x)=- pro x<0, sgn(x)=0 pro x=0 Tato transformace nezachovává měřítko a an není vzhledem k všude spojtá. Zachovává však pořadí dat ve výběru (jako všechny mocnnné transformace). Používá se jako jednoduchá symetrzující transformace a proto se hledá optmální mocnna l tak, aby byly mnmalzovány vhodné míry symetre výběru. Je možno použít přímo výběrovou škmost g(y), nebo její robustní verz g R (y) vz. []. Stejně jednoduché je sledovat rozdíl mez průměrem a medánem v transformac. Pro posouzení kvalty transformace, resp. nalezení optmálního l je také možno použít grafu rozptýlení s kvantly (GRK), resp. kvantlových grafů (Q -Q grafů), jejchž konstrukce je popsána v []. Nevýhody prosté mocnnné transformace (zejména nespojtost v okolí nuly a nesrovnatelnost měřítek v transformac) odstraňuje rodna Box-Coxových transformací h(x), která je lneární transformací prosté mocnnné transformace hp(x). Box Coxova třída polynomckých transformací má tvar x h( x) = 0 (6) h ( x ) = ln( x ) = 0 kde je parametr transformace. Pro = resultuje adtvní model měření a pro = 0 model multplkatvní. S využtím Taylorova rozvoje lze odvodt, že v tomto případě je x μ + ε / μ (7)

8 Pro případ, že rozptyl D( ε ) = σ je malý jde o adtvní model s nekonstantním chybam, pro ( ) / který lze použít jako odhad μ vážený artmetcký průměr s vaham úměrným μ. Lze ukázat, že vhodným odhadem parametru μ (neznámá koncentrace ) je výběrový medán, který je nvarantní vůč monotónní transformac. Pokud h(x) je lneární transformací hp(x) platí pro re-transformované střední hodnoty h [ E( h( x ))] = hp [ E( hp( x ))] (8) Pro obě transformace je pak odhadem re-transformované střední hodnoty zobecněný průměr resp. / N M = x pro 0 (9) N = / N N M = x pro = 0 (0) = Pokud se použje mocnnná transformace na adtvní model měření vyjde h( x ) = h( μ + ε ). Z Taylorova rozvoje pak resultuje odhad vychýlení vlvem této nekorektnost σ d h( x ) B = E( h( x )) h( μ ) ( x = μ ) ()! dx Tak např. pro logartmckou transformac vyjde B = -0.5 CV, kde CV je varační koefcent. To odpovídá druhému členu v rov. (8). Prostá mocnnná transformace je nvarantní vůč změně měřítka a Box Coxova transformace není nvarantní vůč změně měřítka. Detaly lze nalézt v prác [6]. Pro elmnac této nevýhody lze použít modfkované transformace x p h( x, p) = 0 h ( x, p) = ln( x / p) = 0 kde parametr p se volí jako artmetcký průměr, geometrcký průměr resp. medán původních dat. Z uvedeného také přímo plyne, že obě transformace jsou závslé na posunu. Tedy mocnnná transformace (x+a) poskytne jné výsledky než mocnnná transformace x. Lze se snadno přesvědčt, že: rodna transformací defnovaných rovncí (6) je vzhledem k mocnně spojtá. V okolí blízkého nule platí lm (x - ) / = lm x ln(x) = ln(x) všechny transformační závslost h(x) procházejí jedním bodem o souřadncích y = 0, x = a mají v tomto bodě společnou směrnc (jsou zde, co do průběhu, shodné) Mocnnné transformace s exponenty -, -3/, -, -0,5, 0, 0,5,, 3/, jsou co do křvost rovnoměrně rozmístěné. Vlvem transformace (6) se však obecně mění charakterstky polohy a rozptýlení, což komplkuje porovnání různě transformovaných výběrů (nevadí pochoptelně pro přblížení k normaltě, resp., zesymetrčtění výběru).

9 Pro zajštění toho, aby měla transformovaná data přblžně stejnou polohu a rozptýlení jako data netransformovaná, je možné použít dostatečné lneární transformace (vz []). Z hledska analýzy dat je transformace vždy žádoucí, pokud x(n) / x() > 0 (předpokládají se kladná data). Rov. (6) je použtelná pouze pro kladná data. Pokud je znám jný počátek x 0, pod kterým se data nemohou vyskytovat, volí se zobecněná mocnnná transformace ( x + c) h( x) = 0 () h ( x) = ln( x + c) = 0 Zde c>= x 0. Obecně se hledají u této transformace dva parametry. S ohledem na to, že dosavadní transformace platí pro zdola omezené rozdělení dat, není zřejmě možné, aby jejch rozdělení bylo strktně normální. Pro odstranění této (praktcky nepřílš důležté) nevýhody doporučují Bckel a Doksum rozšířenou Box-Coxovu transformac (pro parametr > 0), která pokrývá celou reálnou osu sgn( x) * abs( x) h( x) = 0 (3) Nevýhodou je, že tato transformace neobsahuje logartmckou transformac. Tato transformace je jž nezávslá na měřítku. Pro odhady parametrů v těchto rodnách transformací lze opět použít různých charakterstk škmost a špčatost. V případě jednoparametrckých rodn transformací se lze zaměřt pouze na jednu charakterstku tvaru (obyčejně škmost). Výhodnější je použtí testů normalty dat po mocnnné transformac. Známý Shapro-Wlkův test je úměrný testu významnost směrnce v Q-Q grafu, takže lze také posuzovat lneartu v Q-Q grafech. S ohledem na požadavek, aby se rozdělení výběru v transformac co nejvíce blížlo normálnímu rozdělení, lze pro odhad optmálního použít metodu maxmální věrohodnost. Pokud platí předpoklady adtvního modelu měření (normalta a nezávslost) má logartmus věrohodnostní funkce tvar ln L( ) = ( )* ln( x ) [ h( x ) h( μ )] (4) σ Pro pevné lze určt maxmálně věrohodný odhad rozptylu ve tvaru σ [ ] c = h( x ) h( ) N μ (5) kde se za h( μ ) dosazuje artmetcký průměr transformovaných dat h( μ ) h( x ) (6) N Po dosazení do věrohodnostní funkce resultuje vztah

10 * N * lnσ c ln L ( ) = ( )* ln( x ) (7) Maxmalzací ln L * ( ) podle (vz.[]) lze pak snadno určt maxmálně věrohodný odhad ˆ parametru transformace. Je patrné, že je tato úloha ekvvalentní mnmalzac rozptylu v transformovaných proměnných σ c. Na základě Taylorova rozvoje funkce h(x) pro pevné l vyjde přblžný výraz D( x ) = D( x ) E( x ) D( x ) = E( x ) kde δ je varační koefcent. Je zřejmé, že pro pevné bude rozptyl v transformac tím vyšší, čím bude větší rozptýlení dat. To umožní dentfkac extrému (mnma). Pro málo rozptýlená data bude rozptyl v transformac malý a dentfkace extrému bude obtížnější. V prác [3] bylo ukázáno, že pro D(x) 0 je rozptyl D( ˆ ) a podobně rozptyl zobecněného průměru roste nade všechny meze.pro snadnou dentfkovatelnost transformace je tedy výhodné mít větší rozptýlení dat jak je např. běžné u výběrů s asymetrckých rozdělení. Formálně lze úlohu maxmalzace rov (7) vyjádřt ve tvaru δ d ln( L ) d ln( x ) σ h( x ) N = dh( x ) h( x ) * d = 0 (8) dh( x ) ( + * x )ln( + * x kde = d ) * x Z druhé dervace věrohodnostní funkce lze určt rozptyl maxmálně věrohodného odhadu mocnnné transformace[7]. Po úpravách vyjde : D( ˆ ) = (-0.333*g g )/(3Nw), kde w = σ (+ ). Zde σ, g a g jsou rozptyl, škmost a špčatost původních dat. Je patrné, že pro σ 0 roste rozptyl odhadu mocnnné transformace nade všechny meze. Na základě asymptotckého ( α ) % ního ntervalu spolehlvost parametru mocnnné transformace lze sestavt nerovnost ˆ ln L( ) ln L( ) 0.5* () (9) χ α Všechna splňující tuto nerovnost leží v ntervalu spolehlvost a jsou tedy přjatelná. Toho lze snadno využít pro rozlšení mez adtvním a multplkatvním modelem měření. V rovnc (9) označuje χ α () kvantl χ rozdělení s stupněm volnost. Platí, že: pokud obsahuje 95% ní nterval spolehlvost také jednčku, volí se adtvní model. pokud obsahuje 95% ní nterval spolehlvost nulu a nkolv jednčku, volí se multplkatvní model. v ostatních případech je možné zvolt pravděpodobnostní model (0) a použít pro další analýzu postup navržený v [].

11 S výhodou lze využít grafckého záznamu ln L( ) na se zakresleným (obyčejně 95 %ním) ntervalem spolehlvost. Z tohoto grafu lze jž snadno odhadnout jak kvaltu transformace, tak posoudt, v jakých mezích se může hodnota pohybovat. (Platí, že čím jsou tyto meze užší, je kvalta transformace vyšší, pokud v nch neleží = ). Parametr mocnnné transformace zřejmě souvsí s škmostí rozdělení dat. Pro kvantfkac tohoto vztahu lze dosadt do podmínky (8) místo h(x) jeho rozvoj do Taylorovy řady a určt maxmálně věrohodný odhad analytcky. V prác [8] je toto odvození provedeno. Výsledek lze zapsat ve tvaru E( x )* σ * β (30) 6 kde β je škmost původních dat. Je patrné, že pro data zeškmená k vyšším hodnotám vyjde parametr transformace podstatně menší než jedna. Pomocí vztahu (30) můžeme např. snadno posoudt vlv posunu dat na parametr mocnnné transformace. Např. pro případ, že data posuneme o konstantu a tj. y = a*x vyjde, že y = x a* σ * β ) / 6 ( Jak je patrné, je třeba př použtí postupu mocnnné transformace brát v úvahu také případné lneární transformace dat a jejch rozmezí. Specálně pro účely průzkumové analýzy dat (vz. []) byl navržen postup, který umožňuje grafcké posouzení vhodnost mocnnné transformace. Je použto jednoduché třídy transformací typu h( x) = a * x + b 0 (3) h ( x) = c *ln( x) + d = 0 Parametry a, b, c, d volí Emerson a Stotto [9] tak, aby byla zachována přblžná lnearta transformace v okolí medánu, tj. med( x ) med( x) d dx ( med( x ) Pro určení vhodné transformace se vychází z výběrových kvantlů xp a medánu x 0,5. Vynesením y* = (xp + x -p)/ na x* = [(x -p - x 0,5 ) + (x 0,5 - xp)]/ (4 x 0,5 ) rezultuje v případě možnost symetrzační transformace lneární závslost, procházející počátkem typu y* = (- ) x*. Ze směrnce této závslost tedy můžeme přímo nalézt odhad parametru transformace. Př praktcké aplkac tohoto postupu se volí jednotlvé písmenové hodnoty (vz []), pro které je P = -(+), =,... Pro robustní odhad směrnce (- ) se doporučuje počítat pro všechny body směrnce k = y * /x * a jako optmální vzít pak medán ze všech k. Uvedený postup je vhodný pro málo a středně zeškmená rozdělení. Cameron [0] ukázal, že pro slně zeškmená rozdělení a kvantly xp vzdálené od medánu vznká na grafu y* vs, x* systematcká křvost. Pak je vhodné provádět teratvní hledání optmálního, kdy se výsledek z prvého určení směrnce (y* vs. x*) dosadí do transformace (3) a v dalších vyneseních se místo kvantlů proměnné x používají transformované kvantly h(x) (určené z předchozího

12 grafu). Také je výhodné v prvních fázích brát spíše směrnce určené z kvantlů (P = 0,5). Z toho plyne, že Emerson-Stottův postup není zcela automatcký a vyžaduje často teratvní hledání vhodného, kde v každé terac se konstruuje graf typu y* na x*. Na druhé straně je tento postup velm jednoduchý a umožňuje posouzení vlvu případných vlvných bodů na výsledek transformace. Lze se snadno přesvědčt, že všechny uváděné typy transformace jsou členy obecné Johnsonovy rodny transformací J(x). Lze ukázat, že pouze pro tř funkce h(.) pokrývá transformace J(x) celé rozmezí škmost a špčatost. 6. Metody BOOTSTRAP Je známo, že pro konstrukc ntervalu spolehlvost populačního parametru p s je třeba znát rozdělení g(p) jeho odhadu p. Pro některá rozdělení (např. normální) a parametry (střední hodnota, rozptyl) jsou rozdělení odhadů nebo jejch funkcí známy a ntervaly spolehlvost je možné konstruovat relatvně snadno. Pro neznámé rozdělení výběru x = (x..x N ) a lbovolný parametr ps lze s výhodou použít technku Bootstrap, která umožňuje jak nalezení rozdělení výběrové statstky p, tak konstrukc ntervalu spolehlvost. Základní myšlenka metody Bootstrap je jednoduchá[6, 7]. Spočívá v generac M-tce smulovaných výběrů v..v M označovaných jako Bootstrap výběry. Jejch rozdělení odpovídá rozdělení původního výběru x, charakterzovaného hustotou pravděpodobnost g(x). Z těchto výběrů se určí M-tce odhadů p = p(x) hledaného parametru ps. Z této M-tce hodnot lze počítat ntervaly spolehlvost pomocí celé řady metod. A. Odhad z asymptotcké normalty Jde o nejjednodušší postup založený na představě, že M je dostatečně velké a p =..N lze zpracovat jako výběr z normálního rozdělení. Pro tzv. Bootstrap odhad střední hodnoty parametru ps platí M p B = p (3) M = a odpovídající rozptyl má tvar M sb = ( p pb ) (33) M = Pro 00(-α) %ní nterval spolehlvost parametru ps se pak použje známý vztah p u s ps p + u s (34) B α/ B B α/ B kde / je kvantl normovaného normálního rozdělení. u α B. Percentlový odhad Tento postup je založen na neparametrckém odhadu mezí ntervalu spolehlvost vycházejícím z pořádkových statstk p (),kde p () <= p (+) jsou pořádkové statstky, pro které platí, že jsou d %ním kvantlem rozdělení odhadu p pro d = M + Dolní mez 00(-α) %ní ntervalu spolehlvost je pak LC = kde k = nt[ α * ( M + ) / ] (35) p ( k ) a pro horní mez platí

13 UC = kde k = nt[( α / )* ( M + )] (36) p ( k ) Zde nt (x) je celá část čísla x. C. Studentzovaný odhad Tento odhad vychází z jednoduché transformace vedoucí na Studentzovanou náhodnou velčnu t p pb t = sb kde s B je výběrová směrodatná odchylka počítaná pro - tý Bootstrap výběr v. Pro 00(-α) %ní nterval spolehlvost pak platí p t * s ps p + t * s (37) B D B B D B kde pořádková statstka D = t (nt[ α *( M ) / ]) a pořádková statstka H t (nt[( / )*( M )]) t + t = α + D. Vyhlazený odhad Obecně lze na základě hodnot p sestavt odhad hustoty pravděpodobnost jejch rozdělení fe(p) např. s využtím hstogramu nebo jádrového odhadu. Př znalost funkce fe(p) se snadno konstruuje nterval spolehlvost přímo z defnce. Pro meze tohoto ntervalu pak platí, že a α / = α / LC = fe( p )dp UC fe( p )dp Podle typu odhadu fe může jít o úlohu numercké nebo analytcké ntegrace. Základním předpokladem úspěšnost celého postupu je generace Bootstrap výběrů. Pro tento účel je třeba buď znát nebo volt rozdělení g(x). Standardní technka neparametrckého Bootstrap vychází z neparametrckého odhadu g(x) ve tvaru g( x ) = δ ( x x ) (38) N kde Dracova funkce δ ( x x ) = pro ( x = x ) a všude jnde je. δ ( x x ) = 0. Toto rozdělení pokládá pravděpodobnost /N v každém bodě. Smulované výběry se pak realzují jako náhodné výběry složené z prvků původního výběru x s vracením (tj. jeden prvek původního výběru se může v smulovaném výběru vyskytovat opakovaně). Další možností je konstruovat vhodný parametrcký model g(x), odhadnout jeho parametry a generovat smulované výběry standardním postupy. Tento přístup naráží na celou řadu problémů souvsejících s možnou nehomogentou, vybočujícím body, heteroskedastctou a autokorelací. Bootstrap metody obecně poskytují nformace jak o bodových odhadech, tak ntervalech spolehlvost.

14 Uvažujme standardní neparametrcký Bootstrap (v jsou výběry s vracením ) pro ps = µ, tj. jde o střední hodnotu a její nterval spolehlvost střední hodnoty. Lze snadno určt, že v tomto případě je Bootstrap průměr totožný s artmetckým průměrem původních dat a Bootstrap rozptyl je M-krát menší než rozptyl původních dat. Lší se však ntervaly spolehlvost zejména tam, kde se rozdělení dat výrazně odchyluje od normálního rozdělení. Kromě standardního Bootstrap lze použít také dvojtý Bootstrap (Bootstrap aplkovaný na výběry v ), blokový Bootstrap (realzace výběru s vracením na bloky homogenních dat a sestavení celkového Bootstrap výběru spojením výsledků) [7]. Pro účely detalnějšího posouzení kvalty Box Coxovy transformace je možné určt výše uvedeným postupem (kap.5) pro všechny Bootstrap výběry parametr a posoudt jejch rozdělení. Jako vhodný odhad lze pak určt průměr z rov. (3) a meze ntervalu spolehlvost pro z percentlových odhadů defnovaných rov. (35) a (36). Tento postup je využt v programu bootcox v jazyce MATLAB: 7. Příklad Jednou možností programu bootcox je možnost generace náhodných výběrů z normálního rozdělení. Tento příklad je zvolen s cílem ukázat, že pro slně zeškmená data lze jen obtížně dentfkovat vlv vybočujícího měření na výsledek Box Coxovy transformace. Bylo generováno 50 dat z normálního rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 3.5. Data byla převedena na zeškmené rozdělení exponencální transformací exp(x). K těmto upraveným datům bylo přdáno vybočující měření s hodnotou 4x vyšší než maxmální prvek transformovaného výběru. Je zřejmé, že k normaltě zde vede logartmcká transformace ln(x). Pro tato data je znázorněn ranktový graf pro původní data na obr..5 ranktový graf puvodn.5 kvantl normalnho rozd poradkova statstka x 0 8 Obr. Ranktový graf pro původní data.

15 Je patné výrazné zeškmení a jeden slně vybočující bod. Průběh věrohodnostní funkce je na obr.. Optmální vyšlo 0.00 a meze 95 % ního ntervalu spolehlvost jsou a graf MLE MLE lambda Obr. Graf věrohodnostní funkce. Ranktový graf pro transformovaná data je na obr Ranktový graf Box Cox trans. kvantl normalnho rozd poradkova statstka Obr 3. Ranktový graf pro transforovaná data (Box Cox)

16 Př použtí neparametrcké Bootstrap metody vyšlo jako průměr z 000 Bootstrap výběrů rovno a meze 95 % ního ntervalu spolehlvost (percentlové odhady) jsou a Je patrné, že rozdíly jsou praktcky zanedbatelné. Hstogram a neparametrcký odhad hustoty pro počítané ze všech 000 Bootstrap výběrů jsou na obr lambda hstogram h = Rel. Freq Obr 4. Hstogram a neparametrcký odhad hustoty parametrů z Bootstrap výběrů Je patrné, že rozdělení parametru je zeškmené k vyšším hodnotám (škmost = 0.70) a poměrné ploché, což ndkuje výrazné odchylky od normalty a svědčí o heterogentě dat. Je také zřejmé, že extrémně vysoké hodnoty v datech (vz. obr. ) se logartmckou transformací stanou praktcky nerozeznatelným od ostatních (vz. obr. ). Mocnnná transformace zde tedy obecně potlačuje vybočující měření..protože nterval spolehlvost parametru obsahuje nulu lze provádět další analýzu v logartmcké transformac resp. volt multplkatvní model měření. 8. Závěr Je patrné, že statstcké zpracování dat v analytcké prax má celou řadu specfckých zvláštností, které je třeba brát v úvahu. Je vždy výhodné začít průzkumovou analýzou a porovnáním resp. selekcí modelů měření a až poté zvolt další cestu. Ve shodě s koncepcí satstcal methods mnng [] je často nezbytné kombnovat různé přístupy jako je transformace, robustní metody a počítačově ntenzvní metody k dosažení rozumných výsledků. Specálně př transformac dat je třeba mít na pamět, že jde o datově orentovaný přístup a pro dva různé výběry z téhož rozdělení lze získat různé odhady parametru transformace. Vodítkem může být kvalta transformace vyjádřená ntervalem spolehlvost parametru resp. rozdělení tohoto parametru z Bootstrap výběrů. Také vztah k škmost dat vyjádřený rov.

17 (30) ndkuje často vhodnost transformace s ohledem na možné vybočující hodnoty (lze počítat škmost ze všech dat a bez vybočujících bodů a porovnat odhady ). Běžně využívaná mocnnná transformace potlačuje výrazně vybočující hodnoty. Je zřejmé, že přzpůsobení dat potřebám statstcké analýzy (symetrzace) bez hlubšího rozboru příčn potřeby transformace může vést ke zkresleným závěrům. Poděkování: Tato práce vznkla s podporou výzkumného centra Textl, projekt č. M Lteratura [] Meloun M., Mltký J.: Zpracování expermentálních dat, East Publshng Praha 998 [] Mltký J., Meloun M.: Konference Mkroelementy "99,Řež u Prahy, lstopad 999 [3] Bckel P.J., Doksum K.A.: J. Amer. Stat Assoc. 76, 96 (98) [4] Massart D.L. a kol. : Chemometrcs a textbook, Elsever Amsterdam 988 [5] Efron B.: Annals of Statst. 0, 33 (98) [6] Schlesselman J.: J. Roy Stat. Soc. B33, 307 (97) [7] Draper N.R., Cox D. R.: J. Roy Stat. Soc. B3, 47 (969) [8] Box G. E. P., Cox D. R.: J. Roy Stat. Soc. B6, (964) [9] Emerson J.D., Stotto M.A: J.Amer.Stat.Assoc. 77, 03 (98) [0] Cameron M.: J.Amer. Statst. Assoc. 79, 07 (984) [] Parzen E.: Proc Nnth Int. conf. on quanttatve methods for envronmental scence, July 988, Melbourne [] Doksum K., Wong Ch.W.: J.Amer.Statst. Assoc. 78, 4 (983) [3] Hnkley D.V., Runger G.: J.Amer.Statst.Assoc. 79, 30 (984) [4] Berger G., Cassela. R.: Amer. Statst 46, 79 (99) [5] Gaudard M., Karson M.: Commun. Statst. Smula. 9, 559 (000) [6] Wekrens, R. a kol.: Chem.Int. Lab. Systems 54, 35-5 (000) [7] Davdson, A., Hnkley, D.V.,: Bootstrap Methods and Ther Applcatons, Cambrdge Unv. Press, Cambrdge, 997

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE

ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE ANALÝZA VLIVU DEMOGRAFICKÝCH FAKTORŮ NA SPOKOJENOST ZÁKAZNÍKŮ VE VYBRANÉ LÉKÁRNĚ S VYUŽITÍM LOGISTICKÉ REGRESE Jana Valečková 1 1 Vysoká škola báňská-techncká unverzta Ostrava, Ekonomcká fakulta, Sokolská

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT

NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT NUMERICAL INTEGRATION AND DIFFERENTIATION OF SAMPLED TIME SIGNALS BY USING FFT J. Tuma Summary: The paper deals wth dfferentaton and ntegraton of sampled tme sgnals n the frequency doman usng the FFT and

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů

Optimalizační přístup při plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Optmalzační přístup př plánování rekonstrukcí vodovodních řadů Ladslav Tuhovčák*, Pavel Dvořák**, Jaroslav Raclavský*, Pavel Vščor*, Pavel Valkovč* * Ústav vodního hospodářství obcí, Fakulta stavební VUT

Více

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460

Více

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka

Konverze kmitočtu Štěpán Matějka 1.Úvod teoretcký pops Konverze kmtočtu Štěpán Matějka Směšovač měnč kmtočtu je obvod, který přeměňuje vstupní sgnál s kmtočtem na výstupní sgnál o kmtočtu IF. Někdy bývá tento proces označován také jako

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM

Bořka Leitla Bolometrie na tokamaku GOLEM Posudek vedoucího bakalářské práce Bořka Letla Bolometre na tokamaku GOLEM Vedoucí práce: Ing. Vojtěch Svoboda, CSc Bořek Letl vpracoval svoj bakalářskou prác na tokamaku GOLEM, jehož rozvoj je závslý

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ

SIMULACE A ŘÍZENÍ PNEUMATICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB SIMULINK. Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ bstrakt SIMULCE ŘÍZENÍ PNEUMTICKÉHO SERVOPOHONU POMOCÍ PROGRMU MTL SIMULINK Petr NOSKIEVIČ Petr JÁNIŠ Katedra automatzační technky a řízení Fakulta stroní VŠ-TU Ostrava Příspěvek popsue sestavení matematckého

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2

ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2 ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek

9.12.2009. Metody analýzy rizika. Předběžné hodnocení rizika. Kontrolní seznam procesních rizik. Bezpečnostní posudek 9.2.29 Bezpečnost chemckých výrob N Petr Zámostný místnost: A-72a tel.: 4222 e-mal: petr.zamostny@vscht.cz Analýza rzka Vymezení pojmu rzko Metody analýzy rzka Prncp analýzy rzka Struktura rzka spojeného

Více

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová 2. část Solventnost II Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kaptálového požadavku Iva Justová Osnova Úvod Standardní vzorec Rzko selhání protstrany Závěr Vstupní údaje Vašíčkovo portfolo Alternatvní

Více

DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI

DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI DOBA DOZVUKU V MÍSTNOSTI 1. Úvod Po zapnutí zdroje zvuku v místnost trvá jstou krátkou dobu (řádově vteřny až zlomky vteřn), než dojde k ustálení zvukového pole. Často je v takových případech možné skutečné

Více

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení

Posuzování výkonnosti projektů a projektového řízení Posuzování výkonnost projektů a projektového řízení Ing. Jarmla Ircngová Západočeská unverzta v Plzn, Fakulta ekonomcká, Katedra managementu, novací a projektů jrcngo@kp.zcu.cz Abstrakt V současnost je

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ ELEKTRICKÝ POTENCIÁL Elektrcká potencální energe Newtonův zákon pro gravtační sílu mm F = G r 1 2 2 Coulombův zákon pro elektrostatckou sílu QQ F = k r 1 2

Více

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model

MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN. The End Stage Renal Disease Treatment Model ROČNÍK LXXII, 2003, č. 1 VOJENSKÉ ZDRAVOTNICKÉ LISTY 5 MODEL LÉČBY CHRONICKÉHO SELHÁNÍ LEDVIN 1 Karel ANTOŠ, 2 Hana SKALSKÁ, 1 Bruno JEŽEK, 1 Mroslav PROCHÁZKA, 1 Roman PRYMULA 1 Vojenská lékařská akademe

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ

1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ 1 CHYBY, VARIABILITA A NEJISTOTY INSTRUMENTÁLNÍCH MĚŘENÍ Účele ěření je stanovení velkost ěřené velčny, charakterzující určtou specfckou vlastnost. Specfkace ěřené velčny ůže vyžadovat údaje o dalších

Více

Nejlepší odhady polohy a rozptýlení chemických dat

Nejlepší odhady polohy a rozptýlení chemických dat Nejlepší odhady polohy a rozptýlení chemických dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc., Katedra analytické chemie, Univerzita Pardubice, 532 10 Pardubice email: milan.meloun@upce.cz, http://meloun.upce.cz

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní. Modelování predikce časových řad návštěvnosti web domény pomocí SVM Bc. Unverzta Pardubce Fakulta ekonomcko-správní Modelování predkce časových řad návštěvnost web domény pomocí SVM Bc. Vlastml Flegl Dplomová práce 2011 Prohlašuj: Tuto prác jsem vypracoval samostatně. Veškeré

Více

Neřešené příklady k procvičení

Neřešené příklady k procvičení Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Neřešené příklady k procvčení Lenka Šmonová Ostrava, 2006 Následující sbírka neřešených příkladů

Více

Specifikace, alokace a optimalizace požadavků na spolehlivost

Specifikace, alokace a optimalizace požadavků na spolehlivost ČESKÁ SPOLEČNOST PRO JAKOST Novotného lávka 5, 116 68 Praha 1 47. SEMINÁŘ ODBORNÉ SKUPINY PRO SPOLEHLIVOST pořádané výborem Odborné skupny pro spolehlvost k problematce Specfkace, alokace a optmalzace

Více

Využití nástrojů GIS při analýze vztahů socio-ekonomických faktorů a úrovně sociální péče

Využití nástrojů GIS při analýze vztahů socio-ekonomických faktorů a úrovně sociální péče Využtí nástrojů GIS př analýze vztahů soco-ekonomckých faktorů a úrovně socální péče Renata Klufová Katedra aplkované matematky a nformatky, Ekonomcká fakulta JU, Studentská 13 370 05 České Budějovce,

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz

Příprava ke státním maturitám 2011, vyšší úroveň obtížnosti materiál stažen z www.e-matematika.cz Příprava ke státním maturtám 0, všší úroveň obtížnost materál stažen z wwwe-matematkacz 80 60 Jsou dána čísla s 90, t 5 0 Ve stejném tvaru (součn co nejmenšího přrozeného čísla a mocnn deset) uveďte čísla

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy

Posuzování dynamiky pohybu drážních vozidel ze záznamu jejich jízdy Posuzování dynamky pohybu drážních vozdel ze záznamu jejch jízdy Ing. Jaromír Šroký, Ph.D. ŠB-Techncká unverzta Ostrava, Fakulta strojní, Insttut dopravy, tel: +40 597 34 375, jaromr.sroky@vsb.cz Úvod

Více

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl

ČVUT FEL. X16FIM Finanční Management. Semestrální projekt. Téma: Optimalizace zásobování teplem. Vypracoval: Marek Handl ČVUT FEL X16FIM Fnanční Management Semestrální projekt Téma: Optmalzace zásobování teplem Vypracoval: Marek Handl Datum: květen 2008 Formulace úlohy Pro novou výstavbu 100 bytových jednotek je třeba zvolt

Více

Spolehlivost letadlové techniky

Spolehlivost letadlové techniky VYSOKÉ UČ ENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního nženýrství Prof Ing Rudolf Holub, CSc Doc Ing Zdeněk Vntr, CSc Spolehlvost letadlové technky (elektroncká učebnce) Brno 00 OBSAH PŘEDMLUVA 4 ÚVOD5 STANDARDIZACE

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN

BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu

Více

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA

ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechncká Božetěchova 3, Olomouc Třída : M4 Školní rok : 2000 / 2001 ARITMETICKOLOGICKÁ JEDNOTKA III. Praktcká úloha z předmětu elektroncké počítače

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Měření příkonu míchadla při míchání suspenzí

Měření příkonu míchadla při míchání suspenzí U8 Ústav procesní a zpracovatelské technky FS ČVUT v Praze Měření příkonu rotačních íchadel př íchání suspenzí I. Úkol ěření V průyslu téěř 60% všech operacích, kdy je íchání používáno, představuje íchání

Více

REAKCE POPTÁVKY DOMÁCNOSTÍ PO ENERGII NA ZVYŠOVÁNÍ ENERGETICKÉ ÚČINNOSTI: TEORIE A JEJÍ DŮSLEDKY PRO KONSTRUKCI EMPIRICKY OVĚŘITELNÝCH MODELŮ

REAKCE POPTÁVKY DOMÁCNOSTÍ PO ENERGII NA ZVYŠOVÁNÍ ENERGETICKÉ ÚČINNOSTI: TEORIE A JEJÍ DŮSLEDKY PRO KONSTRUKCI EMPIRICKY OVĚŘITELNÝCH MODELŮ RAKC POPTÁVKY DOMÁCNOTÍ PO NRGII NA ZVYŠOVÁNÍ NRGTICKÉ ÚČINNOTI: TORI A JJÍ DŮLDKY PRO KONTRUKCI MPIRICKY OVĚŘITLNÝCH MODLŮ tela Rubínová, Unverzta Karlova v Praze, Centrum pro otázky žvotního prostředí,

Více

MĚŘENÍ ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ V OBVODECH S PWM ŘÍZENÝMI ZDROJI NAPĚTÍ Electric Parameter Measurement in PWM Powered Circuits

MĚŘENÍ ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ V OBVODECH S PWM ŘÍZENÝMI ZDROJI NAPĚTÍ Electric Parameter Measurement in PWM Powered Circuits Techncká 4, 66 07 Praha 6 MĚŘENÍ ELEKTRICKÝCH PARAMETRŮ V OBVODECH S PWM ŘÍZENÝMI ZDROJI NAPĚTÍ Electrc Parameter Measurement n PWM Powered Crcuts Martn Novák, Marek Čambál, Jaroslav Novák Abstrakt: V

Více

Hodnocení účinnosti údržby

Hodnocení účinnosti údržby Hodnocení účnnost ekonomka, pojmy, základní nástroje a hodnocení Náklady na údržbu jsou nutné k obnovení funkce výrobního zařízení Je potřeba se zabývat ekonomckou efektvností a hodnocením Je třeba řešt

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA DALIBOR DVOŘÁK

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA DALIBOR DVOŘÁK OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TERMODYNAMIKA A STATISTICKÁ FYZIKA DALIBOR DVOŘÁK OSTRAVA 004 - Recenzent: Doc RNDr Ladslav Sklenák, CSc Prof RNDr Vlém Mádr, CSc Název: Termodynamka a statstcká fyzka Autor:

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

5. MĚŘENÍ STEJNOSMĚRNÝCH MOTORŮ. 5.1 Stejnosměrný motor s cizím buzením 5.1.1 Štítkové údaje

5. MĚŘENÍ STEJNOSMĚRNÝCH MOTORŮ. 5.1 Stejnosměrný motor s cizím buzením 5.1.1 Štítkové údaje nastavíme synchronzac se sítí (označení LINE), což značí, že př kmtočtu 50 Hz bude počet záblesků, kterým osvětlíme hřídel, 3000 mn -1. Řízením dynamometru docílíme stav, kdy se na hřídel objeví tř nepohyblvé

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE VĚTRACÍ SYSTÉMY OBYTNÝCH DOMŮ VENTILATION

Více

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b.

NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY. PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b. Chem. Lsty 101, 668 67 (007) Laboratorní přístroe a postupy NÁVRH MATEMATICKÉHO MODELU PRO OPTIMALIZACI VYTVÁŘENÍ SMĚSÍ SPALITELNÝCH ODPADŮ PRO SPALOVNY PETR BYCZANSKI a a KAREL OBROUČKA b a Ústav geonky

Více

Vykazování solventnosti pojišťoven

Vykazování solventnosti pojišťoven Vykazování solventnost pojšťoven Ing. Markéta Paulasová, Techncká unverzta v Lberc, Hospodářská fakulta marketa.paulasova@centrum.cz Abstrakt Pojšťovnctví je fnanční službou zabývající se přenosem rzk

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem

1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text

Více

MOŽNOSTI STUDIA POVRCHOVÉHO NAPĚTÍ OXIDICKÝCH TAVENIN. Rostislav Dudek Ľudovít Dobrovský Jana Dobrovská

MOŽNOSTI STUDIA POVRCHOVÉHO NAPĚTÍ OXIDICKÝCH TAVENIN. Rostislav Dudek Ľudovít Dobrovský Jana Dobrovská MOŽNOSTI STUDIA POVRCHOVÉHO NAPĚTÍ OXIDICKÝCH TAVENIN Rostslav Dudek Ľudovít Dobrovský Jana Dobrovská VŠB TU, FMMI, Katedra fyzkální cheme a teore technologckých pochodů, 17.lstopadu 15, 708 33 Ostrava

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Directional Vehicle Stability Prototyping Using HIL Simulation Ověření systému řízením jízdy automobilu metodou HIL simulací

Directional Vehicle Stability Prototyping Using HIL Simulation Ověření systému řízením jízdy automobilu metodou HIL simulací XXXII. Semnar AS '2007 Instruments and ontrol, arana, Smutný, Kočí & Babuch (eds) 2007, VŠB-TUO, Ostrava, ISBN 978-80-248-1272-4 Drectonal Vehcle Stablty rototypng Usng HIL Smulaton Ověření systému řízením

Více

Optimalizace metod pro multimediální aplikace v geodézii v prostředí IP sítí

Optimalizace metod pro multimediální aplikace v geodézii v prostředí IP sítí Acta Montanstca Slovaca Ročník 12 (2007), mmoradne číslo 3, 311-317 Optmalzace metod pro multmedální aplkace v geodéz v prostředí IP sítí Mlan Berka 1 Optmzaton of Methods for Geodetc Data for Multcast

Více

4. Třídění statistických dat pořádek v datech

4. Třídění statistických dat pořádek v datech 4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot

Více

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny

2. Posouzení efektivnosti investice do malé vtrné elektrárny 2. Posouzení efektvnost nvestce do malé vtrné elektrárny Cíle úlohy: Posoudt ekonomckou výhodnost proektu malé vtrné elektrárny pomocí základních metod hodnocení efektvnost nvestních proekt ako sou metoda

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Masarykova unverzta Ekonomcko správní fakulta Fnanční matematka dstanční studjní opora Frantšek Čámský Brno 2005 Tento projekt byl realzován za fnanční podpory Evropské une v rámc programu SOCRATES Grundtvg.

Více

NRSC, ESC A EHK 49 TEST U ZETORU FORTERRA 8641, CASE IH JX 90 A FENDT FARMER 412 VARIO

NRSC, ESC A EHK 49 TEST U ZETORU FORTERRA 8641, CASE IH JX 90 A FENDT FARMER 412 VARIO NRSC, ESC A EHK 49 TEST U ZETORU FORTERRA 64, CASE IH JX 90 A FENDT FARMER 42 VARIO NRSC, ESC AND EHK 49 TESTS FOR ZETOR FORTERRA 64, CASE IH JX 90 AND FENDT FARMER 42 VARIO Abstract Keywords: emsson engne

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava

Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C v areálu VŠB-TU Ostrava Acta Montanstca lovaca Ročník 0 (005), číslo, 3-7 Určení tvaru vnějšího podhledu objektu C" v areálu VŠB-TU Ostrava J. chenk, V. Mkulenka, J. Mučková 3, D. Böhmová 4 a R. Vala 5 The determnaton of the

Více

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens

Analýza chování servopohonů u systému CNC firmy Siemens Analýza chování servopohonů u systému CNC frmy Semens Analyss and behavour of servo-drve system n CNC Semens Bc. Tomáš áčalík Dplomová práce 00 UTB ve Zlíně, Fakulta aplkované nformatky, 00 4 ABSTRAKT

Více

Návody na cvičení. Prof. Ing. Jiří Militký CSc. EUR ING Ing. Miroslava Maršálková

Návody na cvičení. Prof. Ing. Jiří Militký CSc. EUR ING Ing. Miroslava Maršálková VLASTNOSTI VLÁKEN Návody na cvčení Pro. Ing. Jří Mltký CSc. EUR ING Ing. Mroslava Maršálková TU Lberec 3 Náplň cvčení z předětu VLASTNOSTI VLÁKEN NÁPLŇ CVIČENÍ:. týden Úvod, bezpečnostní předpsy, poůcky.

Více

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah:

- 1 - Zdeněk Havel, Jan Hnízdil. Cvičení z Antropomotoriky. Obsah: - - Zdeněk Havel, Jan Hnízdl Cvčení z Antropomotorky Obsah: Úvod... S Základní charakterstky statstckých souborů...3 S Charakterstka základních výběrových technk a teoretcká rozložení četností...9 S 3

Více

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i.

POLYMERNÍ BETONY Jiří Minster Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, v. v. i. Odborná skupna Mechanka kompoztních materálů a konstrukcí České společnost pro mechanku s podporou frmy Letov letecká výroba, s. r. o. a Ústavu teoretcké a aplkované mechanky AV ČR v. v.. Semnář KOMPOZITY

Více

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie

Zkouškový test z fyzikální a koloidní chemie Zkouškový test z fyzkální a kolodní cheme VZOR/1 jméno test zápočet průměr známka Čas 9 mnut. Povoleny jsou kalkulačky. Nejsou povoleny žádné písemné pomůcky. Uotázeksvýběrema,b,c...odpověd b kroužkujte.platí:

Více

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ

BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OTEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ Prof. Ing. Mloš Mařík, CSc. BEZRIZIKOVÁ VÝNOSOVÁ MÍRA OEVŘENÝ PROBLÉM VÝNOSOVÉHO OCEŇOVÁNÍ RESUMÉ: Jedním z důležtých a přtom nepřílš uspokojvě řešených problémů výnosového oceňování podnku je kalkulace

Více

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák *

Znamená vyšší korupce dražší dálnice? Evidence z dat Eurostatu. Michal Dvořák * Znamená vyšší korupce dražší dálnce? Evdence z dat Eurostatu Mchal Dvořák * Článek je pozměněnou verzí práce Analýza vztahu mez mírou korupce a cenovou úrovní nfrastrukturních staveb, kterou autor zakončl

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002

INŽ ENÝ RSKÁ MECHANIKA 2002 Ná dní konference s mezná dní účastí INŽ ENÝ RSÁ MECHANIA 00 1. 16. 5. 00, Svratka, Č eská republka PODRITICÝ RŮ ST TRHLINY VE SVAROVÉ M SPOJI OMORY PŘ EHŘÍVÁ U Jan ouš, Ondřej Belak 1 Abstrakt: V důsledku

Více

ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES S.R.O. POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD

ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES S.R.O. POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV INFORMATIKY FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF INFORMATICS ANALÝZA VYBRANÝCH UKAZATELŮ SPOLEČNOSTI DOPES

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2010 Michal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2010 Mchal Dvořák Vysoká škola ekonomcká v Praze Fakulta fnancí a účetnctví Katedra veřejných fnancí Studjní obor: Fnance Analýza

Více

Matematika IV, Numerické metody

Matematika IV, Numerické metody Interaktvní sbírka příkladů pro předmět Matematka IV, Numercké metody Josef Dalík, Veronka Chrastnová, Oto Přbyl, Hana Šafářová, Pavel Špaček Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební Ústav matematky

Více