3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina"

Transkript

1 3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí. Podrobný pops těchto rozdělení (jejch přehled je uveden v příloze a dalších důležtých modelů jednorozměrných vícerozměrných náhodných velčn lze nalézt v meznárodních dokumentech ISO [3], skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0,, 4]. Velčna, která př uskutečnění souboru podmínek π (vz oddíl., tj. př realzac určtého náhodného jevu nabývá právě jednu hodnotu x, se nazývá náhodná velčna (také znak náhodného jevu. Příkladem je síla př porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroj (vz příklad.. Náhodné velčny se zpravdla označují velkým písmeny, např.,, jejch konkrétní realzace malým písmeny, např. x, y (v praktckých aplkacích je však toto pravdlo obtížné dodržet. V techncké prax se používají spojté (nabývající lbovolné hodnoty určtého oboru dskrétní (nabývající pouze zolované hodnoty náhodné velčny. Další přehled základních pojmů se však zde omezuje pouze na nejdůležtější spojté velčny, které se často uplatňují v teor spolehlvost. Informace o dskrétních náhodných velčnách a jejch aplkací je možno nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [0, 3, 4]. Souhrn všech možných realzací x náhodné velčny se nazývá základní soubor. Popsuje se rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodná velčna patří do dané množny (ntervalu u spojtých náhodných velčn nebo hodnot u dskrétních náhodných velčn. Dstrbuční funkce Φ(x (někdy označená Φ (x udává pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná velčna bude menší než x Φ( x = P( < x (3. Hustota pravděpodobnost spojté náhodné velčny ϕ(x je dervace (pokud exstuje dstrbuční funkce dφ( x φ( x = (3. dx Příklad 3.. Spojtá náhodná velčna, jejíž výskyt v kterémkol bodě x oboustranně omezeného ntervalu <a, b> je stejně možný (nastane se stejnou hustotou pravděpodobnost ϕ (x se popsuje tak zvaným rovnoměrným rozdělením. Jde o základní typ rozdělení, 6

2 užtečný nejen z teoretckého hledska, ale pro pops některých zatížení. Φ(x = (x - a/(b - a x a b ϕ(x = /(b - a x a b Obrázek 3.. Rovnoměrné rozdělení. Dstrbuční funkce Φ(x a hustota pravděpodobnost ϕ(x rovnoměrného rozdělení mají jednoduchý tvar - vz obrázek 3.. Snadno nahlédneme, že pro hustotu pravděpodobnost platí obecná vlastnost, že pravděpodobnost množny všech hodnot náhodné velčny, tj. plocha vymezená vodorovnou osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost, je jednotková ϕ ( xdx = ϕ( xdx = b a Rovnoměrné rozdělení se využívá pro aproxmatvní pops některých druhů zatížení nebo geometrckých údajů. Vedle dstrbuční funkce Φ(x a hustoty pravděpodobnost ϕ(x se základní soubor popsuje různým parametry, z nchž nejdůležtější jsou tak zvané momentové parametry. Základním parametrem popsujícím polohu základního souboru je průměr µ (střední hodnota, očekávaná hodnota, matematcká naděje, v běžné techncké termnolog jednoduše průměr, který je defnován prvním obecným momentem µ = xφ( x dx (3.3 Z geometrckého hledska jde vlastně o souřadnc x těžště obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x. 7

3 Míra rozptýlení (varablty náhodné velčny vzhledem k průměru µ je dána druhým centrálním momentem (momentem setrvačnost obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x, který se nazývá rozptyl a je = ( x µ φ( x dx (3.4 Druhá odmocnna rozptylu = označuje směrodatnou odchylku (poloměr setrvačnost obrazce vymezeného osou x a křvkou hustoty pravděpodobnost ϕ(x náhodné velčny. Mírou nesymetre základního souboru je škmost defnovaná na základě třetího centrálního momentu vztahem 3 α = ( x µ φ( x dx (3.5 3 Mírou strmost (nahromadění hodnot v okolí průměru je špčatost defnovaná na základě čtvrtého centrálního momentu 4 ε = ( x µ φ( x dx 3 (3.6 4 Poznamenáme, že takto defnovaná špčatost (s odečítáním čísla 3 je nulová pro normální rozdělení podle oddílu 3.3. Škmost α a špčatost ε jsou bezrozměrné parametry. Dalším bezrozměrným parametrem základního souboru je varační koefcent defnovaný podílem směrodatné odchylky a průměru w = (3.7 µ Varační koefcent je mírou relatvního rozptylení; selhává však u těch velčn, u kterých je průměr µ blízký nule. U velčn zatížení se w pohybuje ve velm šrokém rozmezí, obvykle od 0,0 do,5, u materálových vlastností obvykle v rozmezí od 0,03 do 0,30. Kromě momentových parametrů se pro pops základního souboru používají ještě další parametry, např. mnmální a maxmální hodnota souboru x mn, x max, rozpětí souboru x max - x mn, modus x mod defnovaný jako hodnota x, v níž nabývá hustota pravděpodobnost ϕ(x lokálního maxma, a další parametry. Podrobný pops těchto parametrů lze najít ve skrptech [5] a v odborné lteratuře [8,9,0]. Příklad 3.. Pro parametry rovnoměrného rozdělení z příkladu 3. plynou z rovnc (3.3 až (3.7 následující vztahy µ = (a +b/, = (b - a/, α = 0, ε = -,, w = (b - a /((a + b 3 Škmost a špčatost rovnoměrného rozdělení jsou nezávslé na mezích a a b; škmost je 8

4 nulová (jde o symetrcké rozdělení, špčatost je však záporná -,, jde o výrazně "málo špčaté" rozdělení (hodnoty náhodné velčny jsou rozloženy rovnoměrně a nejsou nakupeny kolem průměru jako u normálního rozdělení - vz oddíl 3.3. Jestlže a = 0 (v prax často používaný předpoklad, pak µ = 0,5 b, = 0,89 b, α = 0, ε = -,, w = 0,577 Všmněme s, že varační koefcent w je v tomto případě (kdy a = 0 nezávslý na b a má relatvně vysokou hodnotu (w = 0, Výběrové charakterstky Opakovanou realzací podmínek π (zkoušením betonové kostky za stanovených podmínek se získá výběr (za určtých podmínek náhodný výběr {x } o určtém rozsahu n. Podle rozsahu se zpravdla rozlšují velm malé výběry (n 0, malé výběry (0 < n 30 a velké výběry (30 < n. Výběrem se rozumí soubor odebraný z určtého základního souboru (všech betonových kostek daného typu, který je určen k tomu, aby poskytl nformace o základním souboru. Jestlže se o základním souboru neuvažuje, mluví se prostě o statstckém (numerckém souboru. Prvním krokem rozboru jakéhokol výběru by mělo být jeho grafcké znázornění pomocí hstogramu, popř. jných grafů a prověření extrémních hodnot (odlehlých pozorování a opravení (vyloučení chybných hodnot. Je to velm důležtý, často náročný a pracný krok, který by měl však předcházet dalšímu numerckému zpracování výběru a uplatnění složtějších statstckých postupů pro odhad vlastností základního souboru. Upravené (opravené výběry lze použít pro stanovení charakterstk (statstk, které popsují polohu, rozptýlení, nesouměrnost, strmost, popř. další vlastnost výběru. V techncké prax jsou nejdůležtější tak zvané momentové charakterstky, které nejlépe vysthují celkové vlastnost výběru. Momentové charakterstky jsou defnovány analogcky k momentovým parametrům základního souboru. Parametry základního souboru a charakterstky (statstky, stanovené z výběru, je však třeba odlšovat. Výběrové charakterstky se používají pro odhad parametrů základního souboru. Důležtá problematka odhadu parametrů základního souboru na základě nformací získaných z výběru je velm obsáhlá oblast matematcké statstky, která je v těchto skrptech zahrnuta jen částečně. V tomto oddílu uvedeme takové charakterstky výběru, které jsou tzv. nestranným bodovým odhady ( nejlepším bodovým odhady příslušných parametrů základního souboru. Přesnější význam pojmu "nestranný odhad" a ostatní statstcké postupy (např. ntervalové odhady pro zadanou konfdenc jsou podrobně popsány ve skrptech [5], meznárodních dokumentech ISO [3] a v další odborné lteratuře [8,9,0]. 9

5 Základní charakterstkou výběru, popsující jeho polohu, je výběrový průměr (také artmetcký průměr nebo prostě průměr, který je dán obecným momentem prvního řádu m = x (3.8 n Výběrový průměr m je také nestranným bodovým odhadem průměru µ příslušného základního souboru. Základní charakterstkou popsující míru rozptýlení je výběrový rozptyl s, který je defnován na základě centrálního momentu druhého řádu s = n ( x m (3.9 Takto defnovaný výběrový rozptyl s je nestranným bodovým odhadem rozptylu základního souboru. Druhý centrální moment je dán pravou stranou rovnce (3.9, jestlže se ve jmenovatel zlomku výraz n nahradí hodnotou n (jmenovatel n vyplývá z požadavku nestrannost odhadu parametru. Druhá odmocnna rozptylu s = s označuje výběrovou směrodatnou odchylku. Poznamenáme, že výběrová směrodatná odchylka s není nestranným odhadem směrodatné odchylky základního souboru. Výběrová škmost a (též koefcent škmost je bezrozměrná velčna charakterzující nesymetr souboru. Je to nestranný bodový odhad škmost α základního souboru, který je stanoven na základě třetího centrálního momentu n 3 a = ( x m 3 (3.0 ( n ( n s Poznamenáme opět, že zlomek na pravé straně vztahu (3.0 vyplývá z požadavku nestrannost odhadu škmost α základního souboru. Škmost je ctlvá na extrémní výběrové hodnoty (na extrémní odchylky x m a může být snadno zatížena významnou (nenáhodnou chybou. K výpočtu škmost je v každém případě třeba použít pokud možno velké soubory (n > 30. Jestlže však vychází podezřelá hodnota (např. velká záporná hodnota nebo a >, je třeba ověřt odlehlá pozorování a odstrant případné chybné extrémní hodnoty. Výběrová špčatost e (též koefcent špčatost je bezrozměrná velčna charakterzující strmost výběru (nahromadění prvků výběru v okolí průměru. Je to nestranný bodový odhad špčatost ε základního souboru, který je defnován na základě centrálního momentu čtvrtého řádu n( n + 4 (n - e = ( 3 4 x m (3. ( n ( n ( n 3 s ( n ( n 3 30

6 Složté zlomky na pravé straně vztahu (3. vyplývají opět z požadavku nestrannost odhadu špčatost ε základního souboru. Výběrová špčatost, která může být rovněž významně zatížena chybným hodnotam ve výběru, se však v prax používá jen zřídka. V techncké prax, zejména ve stavebnctví, se velm často používá další bezrozměrná charakterstka souboru, která je podílem výběrové směrodatné odchylky s a výběrového průměru m a která se nazývá výběrový varační koefcent s v = (3. m Jde o charakterstku analogckou k varačnímu koefcentu základního souboru w, který je defnován vztahem ( Normální rozdělení Z praktckého teoretckého hledska nejdůležtějším typem rozdělení spojté náhodné velčny je normální (Laplace-Gausovo rozdělení. Normální rozdělení velčny je symetrcké, je defnováno na neomezeném ntervalu - < x < (což může být v některých praktckých aplkacích nežádoucí a je závslé pouze na dvou parametrech, průměru µ a směrodatné odchylce. Symbolcky se často označuje N(µ,. Používá se pro pops chování různých typů náhodných velčn charakterzujících některá zatížení (vlastní tíhu, mechancké vlastnost (pevnost geometrcké údaje (vnější rozměry. Je vhodné pro náhodné velčny s relatvně malým rozptylem (např. varačním součntelem w < 0,3. Selhává u velčn nesymetrcky rozdělených s velkým rozptylem a škmostí, např. α > 0,5. Hustota pravděpodobnost náhodné velčny, která má normální rozdělení s průměrem µ a směrodatnou odchylkou, je dána exponencálním vztahem x µ φ( x = exp (3.3 π Škmost a špčatost defnované vztahy (3.5 a (3.6 jsou pro normální rozdělení nulové. Běžně dostupné tabulky normálního rozdělení [5, 6] jsou zpracovány pro hustotu pravděpodobnost ϕ(u a dstrbuční funkc Φ(u normované náhodné velčny U, která se defnuje obecným transformačním vztahem (používaným pro jakýkol typ rozdělení µ U = (3.4 Normovaná náhodná velčna má průměr rovný nule a rozptyl rovný jedné; symbolcky se často označuje N(0,. Hustota pravděpodobnost normované náhodné velčny U je pak dána funkcí u 3

7 u φ( u = exp π (3.5 Hustota pravděpodobnost normálního a lognormálního rozdělení s koefcentem škmost α =,0 (vz následující oddíl 3.4 normované náhodné velčny u je zachycena na obrázku 3.. Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0.5 Lognormální rozdělení, α =, Normální rozdělení N(0, Normovaná náhodná velčna u Obrázek 3.. Normální a lognormální rozdělení (škmost α =,0. Všmněme s, že hustota pravděpodobnost normovaného normálního rozdělení je zakreslena pro u v ntervalu <-3,+3>, který pokrývá velčnu U s vysokou pravděpodobností 0,9973 (v techncké prax se někdy mluví o ntervalu ± Lognormální rozdělení Obecné, jednostranně omezené nesymetrcké lognormální rozdělení je defnováno na jednostranně omezeném ntervalu x 0 < x < nebo - < x < x 0 (což může být v některých praktckých aplkacích výhodné. Lognormální rozdělení je závslé na třech parametrech. Běžně se používají momentové parametry: průměr µ, směrodatná odchylka a škmost α. V případě, že škmost α není známá nebo je velm nejstá, pracuje se také s dolní č horní mezí x 0. Náhodná velčna má lognormální (obecné tříparametrcké rozdělení, jestlže transformovaná náhodná velčna 3

8 = ln - x 0 (3.6 má normální rozdělení. V tomto vztahu x 0 označuje dolní nebo horní mez rozdělení velčny, která závsí na škmost α. Jestlže velčna má průměr µ a směrodatnou odchylku, pak dolní nebo horní mez x 0 je možno vyjádřt vztahem x 0 = µ /c (3.7 ve kterém součntel c je dán hodnotou škmost α podle vztahu α = 3c + c 3 (3.8 ze kterého plyne explctní vztah pro c c = / 3 α 4 4 α α α / 3 (3.9 Závslost mez x 0 a škmostí α je patrná z tabulky 3., která uvádí mez u 0 = /c normované náhodné velčny U = ( - µ / pro vybrané hodnoty koefcentu škmost α 0. Pro α 0 platí hodnoty u 0 s opačným znaménkem (tedy kladné. Lognormální rozdělení s nulovou škmostí α = 0 (u 0 = /c ± přechází na normální rozdělení. Tabulka 3.. Součntele c pro vybrané hodnoty koefcentu škmost α 0. α 0 0,5,0,5,0 u 0 = /c - -6,05-3,0 -,4 -,68 Př stanovení teoretckého modelu je tedy možno postupovat tak, že se kromě průměru µ a směrodatné odchylky uvažuje škmost α, popř. alternatvně mez rozdělení x 0. Obecně se však dává přednost první možnost, neboť o koefcentu škmost jsou zpravdla k dspozc věrohodnější nformace a lépe vyjadřuje celkové rozdělení statstckého souboru (zejména velkých souborů než dolní č horní mez. Zvláštní případ je oblíbené lognormální rozdělení s dolním mezí v nule (x 0 = 0, které stejně jako normální rozdělení závsí pouze na dvou parametrech, střední hodnotě směrodatné odchylce (symbolcky se označuje LN(µ,. V tomto případě z rovnc (3.7 a (3.8 plyne, že součntel c je roven varačnímu koefcentu w. Z rovnce (3.8 dále plyne, že škmost α lognormálního rozdělení s dolní mezí v nule je dána hodnotou varačního koefcentu w podle vztahu µ a 3 α = 3 w + w (3.0 33

9 Lognormální rozdělení s počátkem v nule (x 0 = 0 má tedy vždy kladnou škmost, jejíž hodnota může být poměrně vysoká (větší než 0,5; např. pro varační koefcent 0,30 plyne ze vztahu (3.0 koefcent škmost α =0,97. Neuvážené aplkace lognormálního rozdělení s dolním mezí v nule (x 0 = 0 mohou tak vést k nereálným teoretckým modelům (zpravdla podceňujícím výskyt záporných a zvelčujícím výskyt kladných odchylek od průměru, zejména př vyšších hodnotách varačního koefcentu w. I když výskyt záporných hodnot může být rovněž nežádoucí (u většny mechanckých velčn nereálný, je z praktckého hledska zpravdla zanedbatelný. Hustota pravděpodobnost ϕ(x Lognormální rozdělení LN(5, Normální rozdělení N(5, Krycí vrstva [mm] Obrázek 3.3. Hustota pravděpodobnost pro krycí vrstvu výztuže. Příklad 3.3. Krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu má průměr µ = 5 mm a směrodatnou odchylku = 0 mm. Obrázek 3.3 ukazuje hustotu pravděpodobnost ϕ(x pro normální rozdělení a lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Z obrázku 3.3 lze usoudt, že normální rozdělení vede k výskytu záporných hodnot krycí vrstvy výztuže. Tato okolnost zřejmě neodpovídá skutečnost. Na druhé straně lognormální rozdělení s dolní mezí v nule zvelčuje výskyt kladných odchylek krycí vrstvy, což nemusí být rovněž reálné a může dále vést k nepříznvým vlvům na únosnost průřezu. Zvelčení výskytu extrémních kladných odchylek odpovídá vysoká škmost lognormálního rozdělení α =,36, která plyne z rovnce (3.0. Poznamenává se, že dostupné expermentální údaje o krycí vrstvě naznačují, že škmost rozdělení krycí vrstvy se pohybuje v okolí hodnoty α 0,5, ve většně případů α <,0. 34

10 Lognormální rozdělení nalézá v teor spolehlvost šroké uplatnění. Používá se pro pops různých typů náhodných velčn charakterzujících některá zatížení (vlastní tíhu, mechancké vlastnost (pevnost geometrcké údaje (vnější vntřní rozměry průřezů. Lze jej použít pro obecně nesymetrcké rozdělení náhodné velčny s kladnou zápornou škmostí. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule (x 0 = 0 je velm oblíbené pro pops mechanckých vlastností (pevností různých materálů (beton, ocel, zdvo. 3.5 Gama rozdělení Dalším oblíbeným typem jednostranně omezeného rozdělení je Pearsonovo rozdělení typu III. Jeho podrobný pops je ve např. skrptech [5], tabulky také ve skrptech [6]. Zvláštním typem Pearsonova rozdělení typu III s dolní mezí v nule je gama rozdělení. Toto důležté rozdělení je závslé pouze na dvou parametrech: průměru µ a směrodatné odchylce. Pro jednoduchost zápsu se však často používají dva pomocné parametry λ a k ϕ(x = λ k x k- exp(-λx / Γ(k, λ = µ /, k = (µ / (3. Γ(k je gama funkce parametru k. Pro momentové parametry gama rozdělení platí µ = k/λ, = k/λ, α = / k = /µ = w, ε = 3 α / (3. Křvka má zvonovtý tvar pro k >, tj. pro škmost α < (př α je klesající funkcí x. Pro k se gama rozdělení blíží k normálnímu rozdělení s parametry µ a. Gama rozdělení má podobné uplatnění jako lognormální rozdělení s dolní mezí v nule. Odlšuje se něho však tím, že jeho škmost je rovna pouze dvojnásobku varačního koefcentu (α = w, a je tedy nžší než škmost lognormálního rozdělení, která je o více než 50 % vyšší (podle rovnce (3.0 je α = 3w +w 3. Z toho důvodu je gama rozdělení vhodné pro pops některých geometrckých velčn a užtného zatížení, které nemají velkou škmost. Příklad 3.4. Výběr o rozsahu n = 57 expermentálních výsledků měření krycí vrstvy výztuže má tyto charakterstky: m = 6,8 mm, s =, mm a a =0,40. Jde o poměrně velký soubor, u kterého lze zjštěnou škmost považovat věrohodnou charakterstku (navíc odpovídá dlouhodobé zkušenost. Hstogram měřených hodnot a teoretcké modely normálního rozdělení, lognormálního rozdělení s počátkem v nule, gama rozdělení a beta rozdělení jsou zachyceny na obrázku 3.4, který umožňuje posouzení vhodnost teoretckého modelu. Z obrázku 3.4 se zdá, že gama rozdělení lépe vysthuje hstogram naměřených výsledků, než normální a lognormální rozdělení. Vhodným modelem se však rovněž zdá oboustranně omezené beta rozdělení (popsané v následujícím oddílu (3.6. Důležtá otázka vhodnost teoretckých modelů pro pops sledovaných měření je však 35

11 složtá a v tomto textu upozorníme pouze na některé praktcké aspekty a ustálené zvyklost. Pojednání o některých postupech matematcké statstky (o tak zvaných testech dobré shody lze nalézt ve skrptu [5] a odborné lteratuře [8,9,0]. Hustota pravděpodobnost ϕ(x n = 57 m = 6,8 s =, v = 0,4 a = 0,40 Lognormální rozdělení Gama rozdělení Normální rozdělení Beta rozdělení Tloušťka krycí vrstvy [mm] Obrázek 3.4. Hstogram a teoretcké modely pro krycí vrstvu výztuže. 3.6 Beta rozdělení Zajímavým typem rozdělení je tak zvané beta rozdělení (nazývané také Pearsonova křvka typu I, které je defnováno na oboustranně omezeném ntervalu <a, b> (tento nterval se však může lbovolně rozšřovat a rozdělení se pak přblžuje k jným rozdělením. Je obecně závslé na čtyřech parametrech a používá se především v těch případech, ve kterých je zřejmé, že obor náhodné velčny je oboustranně omezený (některá zatížení a geometrcké údaje, např. tíha vagónu metra, ntenzta požárního zatížení, krycí vrstva výztuže železobetonového průřezu. Základní nesnází př praktcké aplkac je nutnost odhadnout čtyř parametry, pro které nemusí být dostupné věrohodné údaje. Beta rozdělení se zpravdla zapsuje ve tvaru (vz příloha c d ( x a ( b x ϕ( x = (3.3 c+ d B( c, d( b a 36

12 Pro dolní a horní mez rozdělení platí a = µ - c g, b = µ + d g, c + d + g = (3.4 cd kde g je pomocný parametr. Z rovnc (3.4 lze odvodt vztahy pro parametry c a d µ a ( µ a( b µ c = (3.5 b a b µ ( µ a( b µ d = (3.6 b a Pro momentové parametry beta rozdělení platí vztahy µ = a + (b - a c / (c + d (3.7 = (b - a/(cg + dg (3.8 α = g (d - c/(c + d + (3.9 ε = 3g ((c + d + cd (c + d - 6/((c+ d + ( c + d (3.30 Všmněme s, že škmost α a špčatost ε jsou závslé pouze na parametrech c a d (jsou nezávslé na mezích a a b. Parametrům c a d se proto někdy říká parametry tvaru. V praktckých aplkacích se rozdělení používá pro c > a d > (jnak má křvka J nebo U tvar, pro c = d = jde o rovnoměrné rozdělení, pro c = d = jde o tak zvané parabolcké rozdělení na ntervalu <a, b.>. Př c = d jde o symetrckou křvku vzhledem k průměru. Jestlže d, přechází křvka na Pearsonovo rozdělení typu III (vz oddíl 3.5, pokud c = d, blíží se normálnímu rozdělení. Beta rozdělení pokrývá tedy v závslost na parametrech tvaru c a d různé specální typy rozdělení. Poloha rozdělení je dána parametry a a b. Beta rozdělení může být defnováno na základě různých kombnací vstupních parametrů. Jestlže jsou dány všechny čtyř parametry rozdělení a, b, c a d, je možno momentové parametry µ,, α a ε stanovt z rovnc (3.7 až (3.30. V praktckých aplkacích však zřejmě mohou nastanou dvě jné důležté kombnace:. Vstupní parametry jsou µ,, a a b. Zbývající parametry c a d se stanoví z rovnc (3.5 a (3.6, momentové parametry α a ε z rovnc (3.9 a ( Vstupní parametry jsou µ,, α a jedna z mezí a (pro α > 0 nebo b (pro α < 0; zbývající parametry rozdělení b (nebo a, c a d se stanoví na základě rovnc (3.7 až (3.9. V praktckých aplkacích se zejména uplatní rozdělení s dolní mezí a = 0. Lze ukázat, že v tomto případě je beta rozdělení defnováno, pokud 37

13 α w (3.3 kde varační součntel w = /µ. Pro α = w přechází křvka na Pearsonovo rozdělení typu III (vz oddíl 3.5. Jestlže tedy vstupním parametry jsou průměr µ, směrodatná odchylka a škmost α w, je beta rozdělení s dolní mezí v nule (a = 0 plně určeno. Horní mez beta rozdělení s dolní mezí v nule plyne ze vztahu (3.4 b = µ (c + d/c = µ (+ w(+αw/(w - α (3.3 V rovnc (3.3 jsou za parametry tvaru c a d jsou dosazeny vztahy α (w α (4 + α c = (3.33 w ( wα + (4 + α d α = (w α ( wα + (4 + α (4 + α + αw α w (3.34 které pro a = 0 plynou z obecných rovnc (3.5 až (3.9. Příklad 3.5. Mají se stanovt parametry beta rozdělení s počátkem v nule (a = 0 pro krycí vrstvu výztuže, jestlže je dán průměr µ = 5 mm, směrodatná odchylka 0 mm (w =0,40 a škmost α = 0,5. Rovnce 3.3 je splněna (0,5 < 0,4. Z rovnc (3.33 a (3.34 plyne 0,5 c = 0,4 ( 0,4 0,5 (0,4 0,5 + (4 + 0,5 (4 + 0,5 = 4,406 d = 0,5 ( 0,4 0,5 (0,4 0,5 + (4 + 0,5 (4 + 0,5 + 0,5 0,4 0,5 0,4 =,96 Z rovnce (3.3 plyne pro horní mez rozdělení b = 5 (4,407 +,96/4,407=98,36 Beta rozdělení s odvozeným parametry je zachyceno na obrázku 3.5 společně s odpovídajícím normálním, lognormálním a beta rozdělením s počátkem v nule, které mají stejný průměr µ a směrodatnou odchylku. Vraťme se krátce k dskus o vhodnost jednotlvých rozdělení. Obrázek 3.5 dále ukazuje, že normální rozdělení (škmost α = 0 vede k výskytu záporných hodnot, což nemusí odpovídat skutečným podmínkám pro krycí vrstvu výztuže. Lognormální rozdělení s dolní mezí v nule má podle rovnce (3.0 škmost α =,64, což neodpovídá expermentálním výsledkům a vede ke zvelčení výskytu kladných odchylek (což může dále vést k nepříznvým důsledkům př rozboru spolehlvost železobetonového prvku. Gama 38

14 rozdělení má podle rovnce (3. škmost α = w = 0,8 a je tedy blíže expermentální hodnotě 0,5. Beta rozdělení, u kterého je škmost α = 0,5 zcela podřízena výsledkům měření, se zdá vhodnějším modelem než předchozí typy rozdělení. Jak jsme jž uvedl v předchozím oddílu 3.5, další podklady pro hodnocení výstžnost jednotlvých typů rozdělení poskytují různé statstcké testy dobré shody [5,8,9,0]. Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0,05 0,04 0,03 0,0 Lognormální rozdělení LN(5;0 a = 0, α =,64; Normální rozdělení N(5;0, α = 0 Gama rozdělení Gama(5;0 a = 0, α = 0,8; Beta rozdělení Beta(5;0 a = 0, b = 98,3, α = 0,5; 0,0 0, Krycí vrstva x [mm] Obrázek 3.5. Normální, lognormální, gama a beta rozdělení pro krycí vrstvu výztuže železobetonového průřezu. Matematcká statstka poskytuje celou řadu různých "testů dobré shody" pro hodnocení vhodnost rozdělení jako teoretckého modelu pro získané expermentální výsledky [5, 8, 9, 0]. Shora uvedenou dskus je tedy možno doplnt o výsledky testů. Na druhé straně je však nutno poznamenat, že zmíněné testy dobré shody někdy nevedou k jednoznačnému závěru. Volba vhodného modelu je pak závslá na charakteru základní velčny, dostupných zkušenostech a ustálených zvyklostech. 3.7 Gumbelovo a ostatní rozdělení extrémních hodnot Maxmální nebo mnmální hodnota souboru o určtém rozsahu je náhodná velčna, jejíž rozdělení je z hledska teore spolehlvost velm důležté. V odborné lteratuře se zpravdla uvádějí tř typy rozdělení extrémních hodnot, které se označují jako typy I, II a III. Každý typ má dvě verze, jednu pro rozdělení mnmálních hodnot, druhou pro rozdělení maxmálních hodnot. Všechny typy rozdělení mají jednoduchý exponencální tvar a dobře se 39

15 s nm pracuje. Podrobně popíšeme rozdělení typu I (rozdělení maxmálních hodnot, které se běžně označuje jako Gumbelovo rozdělení. Pops ostatních typů rozdělení lze nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0,3,4]. Dstrbuční funkce rozdělení maxmálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro maxmální hodnoty má tvar Φ(x = exp(-exp(-c(x-x mod (3.35 Jde o rozdělení defnované na neomezeném ntervalu, které závsí na dvou parametrech: na modu x mod a parametru c > 0. Dervací dstrbuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnost ve tvaru ϕ(x = c exp(-c(x-x mod -exp(-c(x-x mod (3.36 Oba parametry lze stanovt z průměru µ a směrodatné odchylky x mod =µ - 0,577 6 /π (3.37 c = π /( 6 (3.38 Škmost špčatost rozdělení jsou konstantní: α =,4, ε =,4. Důležtou vlastností Gumbelova rozdělení je jednoduchá úprava dstrbuční funkce původního rozdělení Φ(x na dstrbuční funkc Φ N (x pro pops maxma souborů o N násobném rozsahu než je rozsah původního souboru s průměrem µ a směrodatnou odchylkou. Jestlže jsou jednotlvé násobky původního souboru navzájem nezávslé, pak pro dstrbuční funkc Φ N (x platí Φ N (x = (Φ(x N (3.39 Dosazením rovnce (3.35 do (3.39 získáme Φ N (x = exp(-exp(-c(x-x mod - ln N/c (3.40 takže pro průměr µ N a směrodatnou odchylku maxm souborů o N násobném rozsahu plat µ N = µ + ln N /c = µ +0,78 ln N, N = (3.4 Směrodatná odchylka původního souboru se tedy nemění N =, pro průměr µ N se však zvětšuje prot původní hodnotě µ o ln N/c. Příklad 3.5. Jednoroční maxma tlaku větru jsou popsány Gumbelovým rozdělením o průměru µ = 0,35 kn/m, = 0,06 kn/m. Odpovídající parametry rozdělení maxm za dobu 50 let, tj. parametry µ 50 a 50, plynou z rovnce (3.4 40

16 µ 50 = 0,35 + 0,78 ln 50 0,06 = 0,53 kn/m, 50 = 0,06 kn/m Obrázek 3.5 ukazuje obě rozdělení jednoročních padesátletých maxm tlaku větru popsaných Gumbelovým rozdělením. Hustota pravděpodobnost ϕ N (x 8 7 ϕ (x ϕ 50 (x Tlak větru x Obrázek 3.5. Rozdělení maxm tlaku větru za rok a 50 let. Dstrbuční funkce rozdělení mnmálních hodnot typu I (Gumbelova rozdělení pro mnmální hodnoty má tvar Φ(x = - exp(-exp(-c(x mod - x (3.4 Jde o rozdělení symetrcké k rozdělení maxmálních hodnot popsané funkcí (3.35. Je tedy opět defnované na neomezeném ntervalu, které závsí na dvou parametrech: na modu x mod a parametru c > 0. Dervací dstrbuční funkce obdržíme hustotu pravděpodobnost ve tvaru ϕ(x = c exp(-c(x mod - x-exp(-c(x mod - x (3.43 Oba parametry lze stanovt z průměru µ a směrodatné odchylky x mod =µ + 0,577 6 /π (3.44 c = π /( 6 (3.45 Obraz hustoty pravděpodobnost mnmálních hodnot je symetrcký s tvarem hustoty pravděpodobnost maxmálních hodnot vzhledem k modu x mod, jak je patrné z obrázku

17 Hustota pravděpodobnost ϕ(x 0,4 0,3 0, Rozdělení mnmálních hodnot Rozdělení maxmálních hodnot 0, 0, Velčna Obrázek 3.6. Hustota pravděpodobnost Gumbelova rozdělení pro mnmální a maxmální hodnoty. Podobně jsou defnovány rozdělení typu II, tak zvané Fréchétovo rozdělení, a rozdělení typu III, tak zvané Webullovo rozdělení. Všechny tř typy rozdělení se vzájemně doplňují vzhledem k možným hodnotám škmost α. Každý typ pokrývá určtou oblast škmostí, jak znázorňuje obrázek 3.7. Rozdělení maxmálních hodnot typ III typ I typ II Rozdělení mnmálních hodnot typ II typ I 0,4 typ III α -,4 0 α Obrázek 3.7 Členění typů rozdělení extrémních hodnot podle škmost α. 4

18 Rozdělení maxmálních hodnot typu I a II se často aplkuje př popsu velčn, u nchž se sledují maxmální hodnoty (zatížení, rozdělení typu III pro velčny, u nchž se sledují mnmální hodnoty (např. pevnost a další materálové vlastnost. 3.8 Vícerozměrné náhodné velčny Tento oddíl uvádí některé základní poznatky o vícerozměrných, zejména o dvourozměrných náhodných velčnách. Podrobné pojednání o vícerozměrných náhodných velčnách, pravděpodobnostních modelech, parametrech základního souboru a výběrových charakterstkách lze nalézt ve skrptech [5] a odborné lteratuře [8,9,0]. Jestlže se př uskutečnění souboru podmínek π (vz oddíl., tj. př realzac určtého náhodného jevu, sledují u každé jednotky (prvku dvě velčny (dva znaky a, přčemž velčna nabývá právě jednu hodnotu x a velčna nabývá právě jednu hodnotu y, tvoří velčny a dvojc sdružených náhodných velčn. Příkladem je síla a hmotnost, které se sledují př porušení betonové kostky zatěžované za stanovených podmínek ve zkušebním stroj (vz příklad.. Jstě je možno sledovat více než dva znaky, např. sílu, hmotnost a vlhkost. V obecném případě se sledují velčny,, n, které pro jednoduchost zápsu označíme jako vektor [,, n ], jeho realzace x, x,, x n jako vektor x [x, x,, x n ]. Následující souhrn se zabývá zejména dvourozměrným náhodným velčnam, které mají dvě složky (dvě sdružené náhodné velčny a. Souhrn všech možných realzací x a y dvojce sdružených náhodných velčny a se nazývá dvourozměrný základní soubor. Dvojce sdružených náhodných velčn a se také nazývá dvourozměrná náhodná velčna, obecně náhodný vektor. Podobně jako jedna náhodná velčna popsuje se dvourozměrná náhodná velčna rozdělením pravděpodobností, tj. funkcí udávající pravděpodobnost, že náhodné velčny a patří do dané množny (u spojtých náhodných velčn nebo nabývá dané hodnoty (u dskrétních náhodných velčn. Dvourozměrná dstrbuční funkce Φ(x,y (někdy označená Φ (x,y udává pro každou dvojc x, y pravděpodobnost, že náhodná velčna bude menší nebo rovna x a náhodná velčna bude menší nebo rovna y Φ( x, y = P( x; y (3.46 Hustota pravděpodobnost spojté náhodné velčny ϕ(x je dervace (pokud exstuje dstrbuční funkce φ( x, y = Φ( x, y x y (3.47 Margnální (okrajová dstrbuční funkce Φ (x velčny je zvláštní případ dstrbuční funkce 43

19 Φ(x,y bez jakékol podmínky pro velčnu, tj. pro souhrn všech realzací < Φ(x, = P( x, = Φ (x (3.48 Obdobně se defnuje margnální (okrajová dstrbuční funkce Φ (y velčny, která je zvláštním případem dstrbuční funkce Φ(x,y bez jakékol podmínky pro velčnu, tj. pro souhrn všech možných realzací velčny < Φ(, y = P(, y = Φ (y (3.49 Říkáme, že náhodné velčny a jsou nezávslé právě tehdy, platí-l Φ(x,y = Φ(x, Φ(, y = Φ (x Φ (y (3.50 pak pro hustotu pravděpodobnost platí ϕ(x,y = ϕ (x ϕ (y (3.5 kde ϕ (x a ϕ (y jsou margnální hustoty pravděpodobnost velčn a. Dvourozměrná náhodná velčna se popsuje momentovým parametry a různým typy rozdělení (zpravdla pouze normálním obdobně jako jednorozměrná velčna. Kromě jednorozměrných momentů, které vedou k defnc průměrů µ, µ a směrodatných odchylek,, se však uplatňují rovněž sdružené momenty obou velčn a. Nejdůležtější je sdružený centrální moment prvního řadu, který se nazývá kovarance = ϕ( x, y ( x µ ( y µ dxdy (3.5 Na základě kovarance se defnuje korelační koefcent ρ ρ = (3.53 Pro hodnotu korelačního koefcentu vždy platí - ρ +. Jsou-l velčny a nezávslé, pak ρ = 0. Opačné tvrzení platí pouze v případě dvourozměrného normálního rozdělení (které je popsáno níže. U vícerozměrných náhodných velčn [,, n ], kovarance j a korelační koefcenty ρ j mez jednotlvým složkam,, n tvoří matce. Matce kovarancí se uplatňuje př transformac vektoru závslých velčn na vektor nezávslých náhodných velčn, která se využívá př analýze spolehlvost složtějších případů (vz software STRUREL [3]. Na základě výběru párových pozorování x,y ; x,y ;...; x n y n se stanoví že výběrová kovarance s = ( x m ( y m n (

20 která je jž nestranným odhadem kovarance základního souboru (jmenovatel n - vyplývá z požadavku nestrannost podobně jako u výběrového rozptylu (3.9. Pro výběrový korelační koefcent analogcky k (3.53 tedy platí = = m y m x m y m x s s s r ( ( ( ( (3.55 V tomto vzorc se po dosazení vztahů (3.54 a (3.9 jejch jmenovatele n - jž neuplatní. Výběrový korelační koefcent r se často používá k numerckému vyjádření vzájemné lneární závslost mez a v řadě párových pozorování. Hodnota r leží mez - a +. Rovná-l se některé z těchto mezí, znamená to, že mez a v řadě párových pozorování je přesná lneární závslost. Je-l to možné, měl by se k ověření lnearty také použít bodový dagram znázorňující soubor pozorování, popř. na základě dagramu omezt sledovaný obor tak, aby předpoklad lnearty byl oprávněný. Dvourozměrné normální rozdělení dvou spojtých náhodných velčn a s parametry µ, µ,, a ρ = ρ je dáno následující rovncí + = ϕ ( exp π, ( µ y µ y µ x ρ µ x ρ ρ y x (3.56 Margnální rozdělení ϕ (x a ϕ (y jsou rovněž normální s parametry µ, a µ, stejně jako podmíněná rozdělení, která popsují rozdělení pro dané y = y 0 a x = x 0 a pro jejchž parametry platí µ +ρ (y 0 - µ /, (-ρ / a µ +ρ (x 0 - µ x /, (-ρ / [8,9]. Podmíněná rozdělení mohou být užtečná př (velm častém nepřímém expermentálním ověřování vlastností jedné se sdružených náhodných velčn a pomocí druhé. Stejně jako u jednorozměrné náhodné velčny se přechází transformacem µ V µ U = =, (3.57 na normované náhodné velčny U a V, pro které normované dvourozměrné normální rozdělení lze zapsat ve tvaru ( + = ϕ ( exp π, ( v ρuv u ρ ρ v u (3.58 Dvourozměrné normální rozdělení lze zobecnt [8,9,0] na rozdělení vícerozměrných náhodných velčn popsaných vektorem [,, n ], kdy kovarance a korelační koefcenty mez jednotlvým složkam,, n tvoří matce. 45

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN

ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší

Více

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení

REGRESNÍ ANALÝZA. 13. cvičení REGRESNÍ ANALÝZA 13. cvčení Závslost náhodných velčn Závslost mez kvanttatvním proměnným X a Y: Funkční závslost hodnotam nezávsle proměnných je jednoznačně dána hodnota závslé proměnné. Y=f(X) Stochastcká

Více

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)

Čísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...) . NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou

Více

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Téma 5: Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nomnální napětí v pásnc Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma 5: Parametrcká rozdělení pravděpodobnost spojté náhodné velčn Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin

Teoretické modely diskrétních náhodných veličin Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM

7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studem Předchozí kaptoly byly věnovány pravděpodobnost a tomu, co s tímto pojmem souvsí. Nyní znalost z počtu pravděpodobnost aplkujeme ve statstce. Předpokládané

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

MODELOVÁNÍ A SIMULACE MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký

Více

ALGORITMUS SILOVÉ METODY

ALGORITMUS SILOVÉ METODY ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých

Více

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ

VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y

podle typu regresní funkce na lineární nebo nelineární model Jednoduchá lineární regrese se dá vyjádřit vztahem y 4 Lneární regrese 4 LINEÁRNÍ REGRESE RYCHLÝ NÁHLED DO KAPITOLY Častokrát potřebujete zjstt nejen, jestl jsou dvě nebo více proměnných na sobě závslé, ale také jakým vztahem se tato závslost dá popsat.

Více

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním

Více

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI

í I - 13 - Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materiálu Prof. Ing. J. Šeda, DrSc. KDAIZ - PJPI - 13 - í Průchod a rozptyl záření gama ve vrstvách materálu Prof. ng. J. Šeda, DrSc. KDAZ - PJP Na našem pracovšt byl vypracován program umožňující modelovat průchod záření gama metodou Monte Carlo, homogenním

Více

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE

Více

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD

MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD XV. konference absolventů studa technckého znalectví s meznárodní účastí MOŽNOSTI MODELOVÁNÍ A ŘEŠENÍ STŘETU PŘI OBJASŇOVÁNÍ FINGOVANÝCH DOPRAVNÍCH NEHOD Zdeněk Mrázek 1 1. Ř ešení stř etu u fngovaných

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se

Více

Transformace dat a počítačově intenzivní metody

Transformace dat a počítačově intenzivní metody Transformace dat a počítačově ntenzvní metody Jří Mltký Katedra textlních materálů, Textlní fakulta, Techncká unversta v Lberc, Lberec, e- mal jr.mltky@vslb.cz Mlan Meloun, Katedra analytcké cheme, Unversta

Více

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese

9. cvičení 4ST201. Obsah: Jednoduchá lineární regrese Vícenásobná lineární regrese Korelační analýza. Jednoduchá lineární regrese cvčící 9. cvčení 4ST01 Obsah: Jednoduchá lneární regrese Vícenásobná lneární regrese Korelační analýza Vysoká škola ekonomcká 1 Jednoduchá lneární regrese Regresní analýza je statstcká metoda pro modelování

Více

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku

Využití logistické regrese pro hodnocení omaku Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost

Více

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN.

MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. MOŽNOSTI PREDIKCE DYNAMICKÉHO CHOVÁNÍ LOPAT OBĚŽNÝCH KOL KAPLANOVÝCH A DÉRIAZOVÝCH TURBÍN. Mroslav VARNER, Vktor KANICKÝ, Vlastslav SALAJKA ČKD Blansko Strojírny, a. s. Anotace Uvádí se výsledky teoretckých

Více

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2

Iterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2 Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...

Více

Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2,

Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných veličin X = (X 1, X 2, Statstka I cvčení - 54-5 NÁHODNÝ VEKTOR Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor složený z náhodných velčn = n který je charakterzován sdruženou smultánní dstrbuční unkcí ; F náhodný vektor s dskrétním

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA STROJNÍ Semestrální práce z předmětu MM Stanovení deformace soustav ocelových prutů Václav Plánčka 6..006 OBSAH ZADÁNÍ... 3 TEORETICKÁ ČÁST... 4 PRAKTICKÁ ČÁST...

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Aplikace simulačních metod ve spolehlivosti

Aplikace simulačních metod ve spolehlivosti XXVI. ASR '2001 Semnar, Instruments and Control, Ostrava, Aprl 26-27, 2001 Paper 40 Aplkace smulačních metod ve spolehlvost MARTINEK, Vlastml Ing., Ústav automatzace a nformatky, FSI VUT v Brně, Techncká

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Vρ < πd 2 f y /4. π d 2 f y /4 - Vρ = 0

Vρ < πd 2 f y /4. π d 2 f y /4 - Vρ = 0 5 ZÁKLADY TOI SPOLHLIVOSTI 5.1 Základní úvahy Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě jednoduché podmínky mezi účinkem zatížení a odolností konstrukce ve tvaru nerovnosti

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Zpracování výsledků vstupních testů z matematiky Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Bakalářská práce Zpracování výsledků vstupních testů z matematky Plzeň, 13 Tereza Pazderníková Prohlášení Prohlašuj, že jsem bakalářskou

Více

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU

ANALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V INVESTIČNÍM PROCESU AALÝZA RIZIKA A JEHO CITLIVOSTI V IVESTIČÍM PROCESU Jří Marek ) ABSTRAKT Príspevek nformuje o uplatnene manažmentu rzka v nvestčnom procese. Uvádza príklad kalkulace rzka a analýzu jeho ctlvost. Kľúčové

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Spojité regulátory - 1 -

Spojité regulátory - 1 - Spojté regulátory - 1 - SPOJIÉ EGULÁOY Nespojté regulátory mají většnou jednoduchou konstrukc a jsou levné, ale jsou nevhodné tím, že neudržují regulovanou velčnu přesně na žádané hodnotě, neboť regulovaná

Více

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace

Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace Tetlní zkušebnctv ebnctví II Jří Mltky Škály měření epřímá měření Teore měření Kalbrace Základní pojmy I PRAVDĚPODOBOST Jev A, byl sledován v m pokusech. astal celkem m a krát. Relatvní četnost výskytu

Více

Rizikového inženýrství stavebních systémů

Rizikového inženýrství stavebních systémů Rzkového nženýrství stavebních systémů Mlan Holcký, Kloknerův ústav ČVUT Šolínova 7, 166 08 Praha 6 Tel.: 24353842, Fax: 24355232 E-mal: Holcky@vc.cvut.cz Základní pojmy Management rzk Metody analýzy rzk

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965))

Teorie efektivních trhů (E.Fama (1965)) Teore efektvních trhů (E.Fama (965)) Efektvní efektvní zpracování nových nformací Efektvní trh trh, který rychle a přesně absorbuje nové nf. Ceny II (akcí) náhodná procházka Předpoklady: na trhu partcpuje

Více

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium)

STATISTIKA (pro navazující magisterské studium) Slezská unverzta v Opavě Obchodně podnkatelská fakulta v Karvné STATISTIKA (pro navazující magsterské studum) Jaroslav Ramík Karvná 007 Jaroslav Ramík, Statstka Jaroslav Ramík, Statstka 3 OBSAH MODULU

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1

VÝVOJ SOFTWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSTI PROSTOROVÝCH SÍTÍ PRECISPLANNER 3D. Martin Štroner 1 VÝVOJ SOFWARU NA PLÁNOVÁNÍ PŘESNOSI PROSOROVÝCH SÍÍ PRECISPLANNER 3D DEVELOPMEN OF HE MEASUREMEN ACCURACY PLANNING OF HE 3D GEODEIC NES PRECISPLANNER 3D Martn Štroner 1 Abstract A software for modellng

Více

Navrhování betonových železničních mostů podle evropských norem

Navrhování betonových železničních mostů podle evropských norem Navrhování betonových železnčních mostů podle evropských norem Doc. Ing. Vladslav Hrdoušek, CSc., Stavební fakulta ČVUT v Praze Ing. Roman Šafář, Stavební fakulta ČVUT v Praze Do soustavy ČSN se postupně

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Neřešené příklady k procvičení

Neřešené příklady k procvičení Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Neřešené příklady k procvčení Lenka Šmonová Ostrava, 2006 Následující sbírka neřešených příkladů

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Úvod do teorie pořádkových statistik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Úvod do teorie pořádkových statistik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Unverzta Karlova v Praze Matematcko-fyzkální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Antonín Hanuš Úvod do teore pořádkových statstk Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Studjní program:

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory

Mechatronické systémy s elektronicky komutovanými motory Mechatroncké systémy s elektroncky komutovaným motory 1. EC motor Uvedený motor je zvláštním typem synchronního motoru nazývaný též bezkartáčovým stejnosměrným motorem (anglcky Brushless Drect Current

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometre Specální případy použtí MNČ Cvčení 8 Zuzana Dlouhá Specální případy použtí MNČ cvčení 1 7 = ekonometrcký model, který byl lneární v proměnných v parametrech MNČ můžeme použít,

Více

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 1 6 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY Př budování regresních modelů se běžně užívá metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců poskytuje postačující odhady parametrů jenom př současném splnění všech předpokladů

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

L8 Asimilace dat II. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007

L8 Asimilace dat II. Oddělení numerické předpovědi počasí ČHMÚ 2007 L8 Asmlace dat II Oddělení numercké předpověd počasí ČHMÚ 007 Plán přednášky Úvod do analýzy Optmální odhad v meteorolog D případ: demonstrace metod; mult-dmensonální případ; Zavedení předběžného pole;

Více

1.3. Transport iontů v elektrickém poli

1.3. Transport iontů v elektrickém poli .3. Transport ontů v elektrckém pol Ionty se v roztoku vystaveném působení elektrckého pole pohybují katonty směrem ke katodě, anonty k anodě. Tento pohyb ontů se označuje jako mgrace. VODIVOST Vodvost

Více

Modelování rizikových stavů v rodinných domech

Modelování rizikových stavů v rodinných domech 26. 28. června 2012, Mkulov Modelování rzkových stavů v rodnných domech Mlada Kozubková 1, Marán Bojko 2, Jaroslav Krutl 3 1 2 3 Vysoká škola báňská techncká unverzta Ostrava, Fakulta strojní, Katedra

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometre Specální případy použtí MNČ Cvčení 9 Zuzana Dlouhá Specální případy použtí MNČ cvčení 1 8 = ekonometrcký model, který byl lneární v proměnných v parametrech MNČ můžeme použít,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST

ANALÝZA RIZIKA A CITLIVOSTI JAKO SOUČÁST STUDIE PROVEDITELNOSTI 1. ČÁST Abstrakt ANALÝZA ZKA A CTLOST JAKO SOUČÁST STUDE POVEDTELNOST 1. ČÁST Jří Marek Úspěšnost nvestce závsí na tom, jaké nejstoty ovlvní její předpokládaný žvotní cyklus. Pomocí managementu rzka a analýzy

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Simulační metody hromadné obsluhy

Simulační metody hromadné obsluhy Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

4. Třídění statistických dat pořádek v datech

4. Třídění statistických dat pořádek v datech 4. Třídění statstcých dat pořáde v datech Záladní členění statstcých řad: řada časová, řada prostorová, řada věcná věcná slovní řada, věcná číselná řada. Záladem statstcého třídění je uspořádání hodnot

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Milan Holický Kloknerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady -

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně

9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně 9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky

Více

Příloha D Navrhování pomocí zkoušek

Příloha D Navrhování pomocí zkoušek D.1 Rozsah platnosti a použití Příloha D Navrhování pomocí zkoušek Příloha D uvádí pokyny pro navrhování na základě zkoušek a pro určení charakteristické nebo návrhové hodnoty jedné materiálové vlastnosti

Více

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum

Zpracování fyzikálních měření. Studijní text pro fyzikální praktikum Zpracování fyzkálních měření Studjní text pro fyzkální praktkum Mlan Červenka, katedra fyzky FEL-ČVUT mlan.cervenka@fel.cvut.cz 3. ledna 03 ObrázeknattulnístraněpocházízknhyogeometraměřeníodJacobaKöbela(460

Více

Staré mapy TEMAP - elearning

Staré mapy TEMAP - elearning Staré mapy TEMAP - elearnng Modul 4 Kartometrcké analýzy Ing. Markéta Potůčková, Ph.D., 2013 Přírodovědecká fakulta UK v Praze Katedra aplkované geonformatky a kartografe Kartometre a kartometrcké vlastnost

Více

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová

Solventnost II. Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kapitálového požadavku. Iva Justová 2. část Solventnost II Standardní vzorec pro výpočet solventnostního kaptálového požadavku Iva Justová Osnova Úvod Standardní vzorec Rzko selhání protstrany Závěr Vstupní údaje Vašíčkovo portfolo Alternatvní

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

URČOVÁNÍ TRENDŮ A JEJICH VÝZNAM PRO EKONOMIKU

URČOVÁNÍ TRENDŮ A JEJICH VÝZNAM PRO EKONOMIKU URČOVÁNÍ TRENDŮ A JEJICH VÝZNAM PRO EKONOMIKU Rudolf Kampf ÚVOD Pro marketng, management a vůbec pro člověka je jstě důležté vědět, jak se bude vyvíjet stuace v ekonomce, stuace v určtém státě z hledska

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Sylabus 18. Stabilita svahu

Sylabus 18. Stabilita svahu Sylabus 18 Stablta svahu Stablta svahu Smykové plochy rovnná v hrubozrnných zemnách ev. u vrstevnatého ukloněného podloží válcová v jemnozrnných homogenních zemnách obecná nehomogenní podloží vč. stavebních

Více

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x). 3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD

Více