URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

Transkript

1 URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I() (viz obrázek) je obsh ploch mezi grem unkce osou n intervlu, b. = () b Numerické metod výpočtu integrálu užíváme zejmén tehd, kdž I() není možno spočítt nltick (velmi čstý přípd) nebo je sice nltické řešení možné, le je velmi prcné. V přípdě že máme zdánu unkci tbulkou, není ni jiný přístup možný. Příkld: Chceme-li určit obsh ploh mezi gr unkcí g, užijeme určitý integrál. () S g() Pro obsh potom pltí S = () g() d b

2 Přirozený princip numerických metod pro výpočet integrálu vchází z proimce unkce. Dnou unkci nhrdíme její vhodnou proimcí ϕ jko proimci integrálu I() prohlásíme hodnotu integrálu I(ϕ), tj. I() I(ϕ) = ϕ() d. Poznámk: Nrozdíl od výpočtu derivce je výpočet integrálu stbilní, protože je-li ϕ dobrou proimcí unkce n intervlu, b, je integrál I(ϕ) dobrou proimcí I(). () d ϕ() d () ϕ() d (b ) sup () ϕ().,b ε Princip většin metod n výpočet určitého integrálu intervl, b rozdělíme n N podintervlů k, k+ tk, že = < < < < N < N = b. () d je zložen n tom, že N těchto podintervlech nhrdíme unkci polnomem integrujeme tento polnom. Vzorce pro výpočet integrálu (tzv. kvdrturní vzorce) n intervlech k, k+ budeme nzývt zákldní vzorec pro výpočet hodnot integrálu přes celý intervl, b budeme nzývt složený (složený kvdrturní vzorec je dán součtem zákldních kvdrturních vzorců). Pro jednoduchost budeme předpokládt, že jsou všechn podintervl k, k+ stejně velké, tj. máme tzv. ekvidistntní uzl, které můžeme vjádřit jko k = + kh, kde k =,,..., N h = b N. Uveďme si nní tři nejjednodušší zákldní kvdrturní vzorce, které ptří mezi tzv. Newtonov-Cotesov kvdrturní vzorce. ) Obdélníkové prvidlo (unkci nhrzujeme konstntní unkcí ϕ) 5 k+ k () d h ( k + h ) R Z(, h) ϕ k k+ k + h 5 6 7

3 ) Lichoběžníkové prvidlo (unkci nhrzujeme lineární unkcí ϕ) 5 k+ k () d h [( k) + ( k+ )] T Z (, h) ϕ k k ) Simpsonovo prvidlo (unkci nhrzujeme kvdrtickou unkcí ϕ) 5 k+ k () d h [( k) + ( k+ ) + ( k+ )] S Z (, h) ϕ k k+ k+ Příkld k procvičení: Odvoďte zákldní vzorec pro Simpsonovo prvidlo. Poznámk: Zákldní vzorce v předchozím tetu jsme odvodili n zákldě geometrické interpretce. V přípdě, že bchom chtěli vjádřit součsně i vzth pro chb těchto vzorců, museli bchom použít k odvození Tlorův rozvoj. Získli bchom tto vzth: k+ k () d = R Z (, h) + h (ξ) k+ k k+ k () d = T Z (, h) h (ξ) () d = S Z (, h) h5 9 (IV ) (ξ)

4 Příkld: Pomocí výše uvedených Newtonových-Cotesových vzorců vpočtěte integrál, e d. Řešení: (Přesné řešení je [e ], = e, e. =,685.) R Z (e ;, ) =, e,. =,68 chb:, T Z (e ;, ) =, (e, + e, ) =.,689 chb:, S Z (e ;, ) =, (e + e, + e, ) =.,685 chb:, Poznámk: Všimněme si chb. U obdélníkového prvidl všl chb menší než u lichoběžníkového, přestože u lichoběžníkového prvidl jsme unkci proimovli lepší unkcí ϕ (lineární). Chb u Simpsonov prvidl všl menší než u osttních. Tto výsledk potvrzují vzth pro chb jednotlivých vzorců n minulé strně. Fkt, že obdélníkové prvidlo je přesnější než lichoběžníkové můžeme demonstrovt n obrázku: k k + h k+ Chceme-li získt složené kvdrturní vzorce, je třeb sečíst zákldní kvdrturní vzorce. Pro uvedené zákldní Newtonov-Cotesov dostneme tto složené kvdrturní vzorce: N R(, h) h ( k + h ) k= T (, h) h [( ) + ( ) + ( ) ( N ) + ( N )] = [ N = h ( ) + ( k ) + ] ( N) k= S(, h) h [( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( N ) + ( N ) + ( N )]

5 Pro chb složených vzorců potom pltí: I = R(, h) + (b ) h (ξ) I = T (, h) (b ) h (ξ) I = S(, h) (b ) h 8 (IV ) (ξ) Pro zpřesňování výsledků nám, stejně jko u numerického výpočtu derivce, poslouží Richrdsonov etrpolce. Někd se tto metod tké nzývá Rungeov metod nebo metod polovičního kroku. Ukžme si nní ještě jednou, jk se vzth pro zpřesnění odvodí: Předpokládejme, že výrz pro chbu má tvr e() = h k M, h = b N. Přesná hodnot integrálu je potom I = K(h) + h k M (5) Integrál vpočteme stejným vzorcem, le s krokem h. Dostneme I = K Dosdíme-li h k do (5), získáme ( ) ( ) k h h + M ozn. ε h k = ε k M (6) I = K(h) + ε k M M (5 ) Předpokládáme-li, že se hodnot derivce ve výrzu e() pro chbu příliš nemění (tj. M M ), potom M M pro (5 ) (6) musí pltit Odtud plne odhd chb ε K ( ) h + ε K(h) + k ε ε [ K k přesnější hodnot integrálu je potom ( ) h I = K + [ K k ( ) ] h K(h) ( ) ] h K(h). 5

6 5 Příkld: Pomocí lichoběžníkového prvidl vpočtěte Richrdsonovu etrpolci. Řešení: Pro rozvoj chb lichoběžníkového prvidl pltí Výsledk opět zpíšeme do tbulk I = T (, h) + h + h + h tb. k= tb. k= ln d. Ke zpřesnění použijte h T (, h). zpřesnění (k = ). zpřesnění (k = ) (ln + ln 5) =, 88 (ln + ln + ln 5 = =, 866, 866, , 866 =, 5 (ln + ln + ln + + ln + ln 5) =, 987, 987, , 987 =,,, , =, 99 Pro kontrolu uveďme přesnou hodnotu integrálu: 5 u = ln v = ln d = u = 5 v = = [ ln ]5 d = 5 ln 5 =., 79 Poznámk: Newtonov-Cotesov vzorce používjí (m + ) ekvidistntních uzlů integrují přesně polnom ž do m-tého stupně (máme n msli zákldní vzorce n intervlu ( k, k+m )). Pro zvýšení přesnosti b se mohlo zdát výhodné použít více uzlů unkci proimovt polnomem vššího řádu. Ze zkušeností z proimce unkce polnomem ovšem víme, že limitní přípd polnomu stupně m nemusí odpovídt původní unkci (říkáme, že Newton-Cotesov vzorce nejsou konvergentní). 6

7 Dlší skupinou metod pro výpočet hodnot určitého integrálu jsou tzv. Gussov kvdrturní vzorce. Jejich princip spočívá v tom, že se snžíme, b kvdrturní vzorec integrovl přesně polnom co možná nejvššího řádu. Obecně kvdrturní vzorec budeme uvžovt ve tvru m K() = w i ( i ), i= kde w i jsou tzv.váh i jsou uzl. Uvžujeme-li, že n zákldním intervlu máme m + bodů, dá se ukázt, že nejvšší možný stupeň polnomu, který se pomocí kvdrturního vzorce integruje přesně, je m + (tomuto číslu říkáme lgebrický řád přesnosti). U Newtonových-Cotesových vzorců bl stupeň m. Cenou z všší přesnost budou ovšem neekvidistntní uzl. V následujícím příkldě je ukázán postup pro nlezení nejjednoduššího Gussov kvdrturního vzorce. Příkld: Určete Gussův kvdrturní vzorec pro m = (tj. v intervlu uvžujeme pouze jeden uzel) pro intervl,. Řešení: Pro m = má hledný kvtrturní vzorec tvr K() = w ( ), kde vstupují neznámé w. Víme, že vzorec musí přesně integrovt: ) konstntu ) lineární unkci (+b) d = [ + b b b d = b pož. {}}{ = w ( ) w =. ] = = +b pož. +b {}}{ = w ( ) b = ( +b) =. Nejjednodušší Gussův kvdrturní vzorec je:.5.5 K() = () d = () + (ξ) chb

8 Poznámk: Dlší Gussův kvdrturní vzorec (pro m = ) vpdá tkto: ( ) ( ) K() = () d = (IV ) (ξ). chb Geometrick si jej lze předstvit tkto: Poznámk: Koeicient uzl vzorců všších řádů jsou uveden v tbulkách. Opět lze používt složené vzorce. Poznámk: To, že jsme vjádřili () d neubírá nic n obecnosti, můžeme totiž libovolný intervl, b trnsormovt n, použít odvozené vzth. 8