M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

Transkript

1 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete zkreslete rozložení vnitřního momentu M k, smykového npětí τ k úhlu ntočení φ, je-li dáno: = b = 0.5 m, c = 0.25 m, d = 30 mm, d b = = 20 mm, M k1 = 800 Nm, G = MP. c A B C D d d b b Řešení: Obrázek 1 M A c b x A B C D Jko první vyšetříme rekční účinek, který vzniká ve vetknutí prutu. Vzhledem k tomu, že prut je nmáhán pouze kroutícími momenty, jejichž vektory leží n ose prutu, vzniká ve vetknutí pouze rekční točivý moment M A. Jeho točivý směr volme npř. v souldu s obr. 2. Velikost vypočítáme s pomocí momentové podmínky rovnováhy k ose prutu M A M k1 M k2 = 0, (1) M k [Nm] resp. po úprvě M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) τ k [MP] ϕ [rd] Obrázek 2 V dlším kroku řešení vyšetříme rozložení vnitřních účinků vznikjících v libovolném řezu v důsledku působení vnějšího ztížení. Vzhledem k chrkteru ztížení bude v libovolném řezu kolmém n osu prutu vznikt pouze vnitřní kroutící moment M k. Jeho velikost určíme metodou řezu z podmínky rovnováhy mezi ním vnějšími účinky (momenty) po jedné strně řezu. Díky tomu, že se vnější ztížení podél prutu mění, nebude zřejmě možné hledný vnitřní moment M k popst podél osy prutu stejnou funkcí. 1

2 Z tímto účelem je vhodné rozdělit prut n příslušný počet částí tk, by v kždé části byl vnitřní moment popsán jedinou funkcí. Stejná úvh bude nutná i při vyšetřování smykového npětí τ k, kdy le smozřejmě počet částí, n kterých bude npětí popsáno jedinou funkcí, nemusí obecně souhlsit s počtem částí v přípdě kroutícího momentu M k. V tomto přípdě je při vyšetřování M k τ k vhodné díky proměnnému ztížení i průřezu prutu rozdělit prut n 3 části (část AB, BC CD, obr. 2). Nyní tedy z podmínek rovnováhy mezi vnitřním účinkem v dném řezu vnějšími účinky po jedné strně řezu stnovíme funkce M 1 ž M 3, jež popisují vnitřní moment (kroutící) v jednotlivých polích prutu. Poloh obecného řezu, v němž budeme formulovt příslušné podmínky rovnováhy, bude přitom dán souřdnicí x, kterou v kždém poli kótujme npříkld z volného konce prutu, viz obr. 2. Pole I: x 0, b. Ved me řez v obecném místě x zkresleme smysl točivého vnitřního momentu M 1 tk, by jeho vektor měl směr totožný se směrem vnější normály plochy řezu (viz obr. 3). Nyní formulujeme podmínku rovnováhy pro levou nebo prvou část prutu, přičemž z obou podmínek musíme získt stejnou funkci M 1 (x). M A x Podmínk rovnováhy n levé části prutu: M A M k2 + M 1 (x) = 0, (3) resp. po úprvě M 1(x) M 1 (x) = M k2 M A = = 800 Nm. (4) Podmínk rovnováhy n prvé části prutu: M k1 + M 1 (x) = 0 (5) po úprvě Obrázek 3 M 1 (x) = M k1 = 800 Nm. (6) Je zřejmé, že pomocí obou podmínek rovnováhy získáme shodně M 1 (x) = 800 Nm. Anlogickým způsobem vyšetříme vnitřní momenty ve zbývjících dvou částech prutu. Pole II: x b, + b c. Podmínk rovnováhy n levé části prutu: M A M k2 + M 2 (x) = 0, (7) 2

3 M A x přičemž tto podmínk byl sestven ve shodě s obr. 4. Po vyjádření vnitřního momentu dostáváme M 2 (x) = M k2 M A = = 800 Nm. (8) Podmínk rovnováhy n prvé části prutu: M (x) 2 po úprvě M k1 + M 2 (x) = 0 (9) M 2 (x) = M k1 = 800 Nm. (10) Obrázek 4 Přesto, že vnitřní moment mohl být v částech I II popsán jedinou funkcí, v přípdě npětí to již pltit nebude. Proto, čistě formálně, byl i vnitřní moment popsán v těchto částech smosttně. Pole III: x + b c, + b. M A x Podmínk rovnováhy n levé části prutu (viz obr. 5): po úprvě M A + M 3 (x) = 0 (11) M (x) 3 M 3 (x) = M A = 2400 Nm. (12) Podmínk rovnováhy n prvé části prutu: Obrázek 5 M k1 + M k2 + M 3 (x) = 0 (13) po úprvě M 3 (x) = M k1 M k2 = = = 2400 Nm. (14) Výsledné rozložení vnitřního momentu M k je zkresleno n obr Poznmenejme ještě, že zápis vnitřních momentů jko funkcí proměnné x, tj. M 1 (x) ž M 3 (x), je v tomto přípdě pouze formální, nebot, jk jsme si ověřili, vnitřní moment je vždy n dném intervlu roven příslušné konstntě, tj. M 1 (x) = M 1 = 800 Nm, M 2 (x) = M 2 = 800 Nm M 3 (x) = M 3 = 2400 Nm. 1 Upozorňujeme, že jednodušší lterntiv řešení je zvolit postup od volného konce prutu vyjít z obecné definice vnitřních silových účinků, kdy tento účinek se rovná součtu odpovídjících silových účinků po jedné strně řezu. 3

4 V následujícím kroku stnovíme velikosti smykového npětí τ k v jednotlivých částech prutu. Toto npětí je stnoveno vždy n největším poloměru prutu, kde je jeho hodnot v rámci řezu tké největší. Pole I: x 0, b Pole II: x b, + b c τ k1 (x) = M 1(x) W kb = 16M 1 πd 3 b τ k2 (x) = M 2(x) W k = 16M 2 πd 3 Pole III: x + b c, + b τ k3 (x) = M 3(x) W k = 16M 3 πd 3 = = = 16 ( 800) π = 509 MP. (15) 16 ( 800) π = 150 MP. (16) 16 ( 2400) π = 453 MP. (17) Rozložení npětí τ k je opět zkresleno do obr. 2. Poznmenejme ještě, že znménko smykového npětí pozbývá z hledisk pevnosti mteriálu smyslu, pouze nám umožňuje uvědomit si, v jkém smyslu je prut okolo své osy kroucen. Proto v přípdech, kde potřebujeme plikovt pevnostní podmínku, prcujeme pouze s velikostí tohoto npětí. V nšem příkldě bychom tedy stnovili velikost mximálního smykového npětí (npětí v krutu) jko τ kmx = mx i { τ ki } pro i = 1, 2, 3. (18) N závěr řešení vyšetříme úhel ntočení podél prutu. Chrkter úhlu ntočení podél osy prutu stnovíme pomocí určení ntočení prutu v chrkteristických řezech oznčených body A, B, C D. Vzhledem k tomu, že mezi těmito řezy je vnitřní kroutící moment konstntní (viz vyšetření momentů M 1 ž M 3 ) prut má konstntní průřez i mechnické vlstnosti, bude zkrut mezi těmito body konstntní tudíž bude zkroucení mezi těmito body rozloženo lineárně. Pro velikosti zkrutu v jednotlivých intervlech můžeme psát Pole I: x 0, b ϑ 1 = M 1(x) J pb G = 32M 1 πd 4 b G = Pole II: x b, + b c ϑ 2 = M 2(x) J p G = 32M 2 πd 4 G = Pole III: x + b c, + b ϑ 3 = M 3(x) J p G = 32M 3 πd 4 G = 32 ( 800) π = rd m 1. (19) 32 ( 800) π = rd m 1. (20) 32 ( 2400) π = rd m 1. (21) 4

5 Dále je zřejmé, že ntočení v řezu s bodem A, tj. ve vetknutí, je φ A = 0. Úhel ntočení (zkroucení) φ B v řezu s bodem B určíme jko úhel ntočení části AB (úhel zkroucení intervlu III), tj. φ B = ϑ 3 c = = rd. = (22) Úhel ntočení v řezu s bodem C určíme jko součet úhlu ntočení φ B úhel ntočení části BC (úhel zkroucení intervlu II). Velikost úhlu je φ C = φ B + ϑ 2 ( c) = = rd. = (23) Nkonec vypočteme úhel ntočení v řezu s bodem D (celkové zkroucení prutu) jko součet úhlu ntočení φ C úhel ntočení části CD (úhel zkroucení intervlu I) φ D = φ C + ϑ 1 b = = rd. = (24) Výsledné rozložení úhlu ntočení φ je znázorněno n obr. 2. Ještě podotkněme, že n znménko úhlu ntočení pohlížíme obdobně, jko v přípdě smykového npětí. Znménko nám v tomto přípdě npovídá, že celý prut je zkrucován levotočivě. V přípdě tuhostní podmínky bychom pk hledli mximální zkrut nlogicky jko mximální npětí v (18) Příkld 2: ϑ mx = mx i { ϑ i } pro i = 1, 2, 3. (25) Ocelový hřídel přenáší výkon P = 59 kw při otáčkách 250 min 1. Vypočtěte průměr hřídele d, nemá-li být překročen hodnot dovoleného npětí τ D = 40 MP mximálního zkrutu ϑ D = 0.5 /m. Modul pružnosti ocele ve smyku uvžujte G = MP. Řešení: V prvním kroku výpočtu stnovme velikost kroutícího momentu, který ocelový hřídel přenáší. Jeho velikost určíme z výkonu P úhlové rychlosti ω jko M k = P ω = P 2πn = π 250. = 2254 Nm. (1) Kroutící moment, který přenáší hřídel, musí být v rovnováze s vnitřními momenty působícími v jednotlivých řezech kolmých n osu hřídele. Metodou řezu sndno zjistíme, že tyto vnitřní momenty jsou rovny kroutícímu momentu M k. Hledný průměr hřídele d musí, v souldu se zdáním, vyhovovt součsně dvěm podmínkám, tj. podmínce pevnosti τ D M k W k, (2) 5

6 tuhosti ϑ D M k GJ p, (3) přičemž poměry M k W k jsou podém celé délky osy hřídele neměnné. Ze vzthů (2) (3) nyní vyjádřeme dopočtěme velikost průměru hřídele. Po úprvě dostáváme dle podmínky pevnosti tuhosti M k GJ p 16Mk d 3 = 3 πτ D π = m =. 66 mm, (4) 6 32Mk d 4 πϑ D G = 4 π = m =. 76 mm. (5) 11 Průměr ocelového hřídele musí tedy být větší nebo roven 76 mm. Příkld 3: Nvrhněte průměry dutého hřídele D d (d/d = 0.8), má-li při otáčkách n = 100 min 1 přenášet výkon P = kw. Dovolené npětí v krutu uvžujte τ D = 21 MP. Řešení: Ztěžující kroutící moment vypočteme jko M k = P 2πn. = 9550 P [kw] n [ min 1] = = Nm. (1) Přenášený kroutící moment M k musí být v rovnováze s vnitřním kroutícím momentem. Z této úvhy le vyplývá, že jejich velikost je stejná. N vnějším poloměru hřídele pk vzniká mxinální smykové npětí, jehož velikost má být mximálně rovn npětí τ D. Před upltněním této pevnostní podmínky uprvme ještě průřezový modul v krutu [ W k = 2 [ π ( D 4 d 4)] = π ( ) ] 4 d D D3 1 = π ( D 16 D ) = πD 3. (2) Vyjádříme-li nyní z pevnostní podmínky průměr hřídele D, dostáváme Mk D = 3 = 3 = m. (3) πτ D π S ohledem n provedený výpočet byl nvržen vnější průměr hřídele D = 195 mm následně dopočten vnitřní průměr d = 156 mm. 6

7 Příkld 4: Prut o průměru d = 10 mm délce l = 1.5 m přenáší kroutící moment M k = 10 Nm. Jké je mximální smykové npětí úhel ntočení? Jké je npětí ve vzdálenosti ρ = 4 mm od osy prutu? Při řešení uvžujte, že modul pružnosti v thu E je roven MP že Poissonov konstnt µ = 0.3. Řešení: Ze zdání vyplývá, že vnější účinky působí n prut n jeho koncích. Provedeme-li pk metodu řezu, sndno zjistíme, že vnitřní kroutící moment je velikostí roven ztěžujícímu momentu M k. Největší npětí při tomto způsobu nmáhání vzniká n vnějším poloměru kruhového prutu jeho velikost vypočteme pomocí vnitřního kroutící momentu působícího v dném řezu tzv. modulu průřezu v krutu, tj. τ k = M k W k = 16M k πd 3 = π 10 3 = Nmm 2. = 51 MP. (1) Npětí n obecném poloměru lze pk vypočítt bud pomocí jednoduché úvhy vycházející z toho, že npětí se mění lineárně z nulové hodnoty n ose prutu ž do hodnoty τ k n vnějším poloměru, τ (ρ) = τ k 2ρ d = = 40.8 MP. = 41 MP, (2) nebo pomocí vzthu popisujícího rozložení npětí po průřezu prutu, viz níže. Vzhledem k tomu, že je dále počítán i úhel ntočení, je výhodné předně vyčíslit polární moment setrvčnosti J p = πd4 32 = π 104 = mm 4. (3) 32 Npětí n obecném poloměru je tedy τ (ρ) = M k J p ρ = = 41 MP. (4) Z (2) (4) vidíme shodu mezi výsledky obou postupů. S ohledem n konstntní vnitřní kroutící moment konstntní průřez prutu s ohledem n jeho homogenní mechnické vlstnosti je velikost zkrutu ϑ podél celého prutu stejná. Uvědomíme-li si, že pro modul pružnosti ve smyku pltí G = E 2 (1 + µ) = ( ) = MP, (5) můžeme pk vzhledem ke konstntnímu ϑ psát pro vzájemný úhel ntočení obou čel prutu φ = ϑl = M kl GJ p = = 0.19 rd. = (6) 7

8 Příkld 5: Určete potřebnou délku koutových svrů pro přípd n obrázku, je-li dáno: F = N, = 15 mm, τ Ds = 30 MP. l F F 1 Obrázek 1 Řešení: Z obrázku vyplývá, že svrový spoj je nmáhán silou, která působí rovnoběžně (tečně) s nosnou plochou svrů. Budeme-li předpokládt, že ob koutové svry přenesou stejné ztížení, je tečná síl působící n jeden z nich T = 0.5F. (1) Hodnotu npětí, kterou vypočteme, stnovme jko intenzitu npětí, tj. jko hodnotu středního npětí. Idelizujeme-li tvr koutového svru podle obr. 1, lze nejmenší nosný průřez jednoho ze svrů stnovit podle vzthu následně tké velikost smykového npětí Doszením do pevnostní podmínky z (2) (3) její úprvou dostáváme l A = 1 l = l 2. = 0.71l (2) τ = T A = 2F 2l. (3) τ Ds τ (4) 2F 2τ Ds = = 79 mm. (5) Pro splnění pevnostní podmínky doporučujeme, by délk svru byl volen 80 mm. 8