a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11"

Transkript

1 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru n n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n znčíme A(m/n) jeli ij = 0 pro i = m, j = n nzýváme mtici nulovou jeli počet řádků roven počtu sloupců (tj. m=n) nzýváme příslušnou mtici A(n/n) čtvercovou mticí řádu n. prvky mtice ij, pro které pltí i=j, tvoří hlvní digonálu mtice (pltí pro čtvercovou mtici) prvky mtice ij, pro které pltí j=ni, tvoří vedlejší digonálu mtice (pltí pro čtvercovou mtici řádu n) čtvercová mtice řádu n, která má n hlvní digonále smé osttní prvky jsou nulové se nzývá jednotková mtice čtvercová mtice řádu n, která má mimo hlvní digonálu všechny prvky nulové se nzývá digonální mtice mtice A (n / m), která vznikne z mtice A (m / n) záměnou řádků z sloupce se nzývá trnsponovná mtice Numerické řešení soustvy lineárních rovnic Řešení soustv lineárních rovnic ptří mezi nejdůležitější části numerické mtemtiky. Mnoho prktických úloh nkonec vede k řešení tkovýchto soustv, čsto velmi rozsáhlých. Budeme se zbývt řešením soustvy n lineárních rovnic 2 2 n n =,n n n = 2,n () n n2 2 nn n = n,n s n neznámými, 2,..., n. Soustvu můžeme psát ve tvru i,n nebo v mticovém tvru A. = b (2) kde,n 2,n : n,n Mtice A=( ij ), i,j=,..., n, se nzývá mtice soustvy sloupcový vektor b=(,n,..., n,n ) vektor prvých strn =(,..., n ) je vektor neznámých. 2 n 2 n,n n n 2,n.... n n2 nn n n2 nn n,n mtice soustvy rozšířená mtice soustvy

2 Řešením soustvy rozumíme uspořádnou ntici (r, r 2,, r n ), kde po doszení r j z j do všech rovnic přejdou tyto rovnice v identitu. Soustv lineárních rovnic se nzývá řešitelná (resp. neřešitelná), jestliže eistuje (neeistuje) lespoň jedno její řešení. Dvě soustvy nzýváme ekvivlentní, jestliže množiny jejich řešení jsou si rovny. Jkoukoliv úprvu soustvy lineárních rovnic, po níž vznikne soustv ekvivlentní, nzýváme ekvivlentní úprvou. Ekvivlentní úprvy: libovolná záměn pořdí rovnic vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem ze stejné množiny jko jsou koeficienty přičtení libovolné lineární kombince osttních rovnic k rovnici přidání rovnice, která je lineární kombincí rovnic soustvy vypuštění rovnice, která je lineární kombincí zbývjících rovnic Jeli mtice soustvy regulární má soustv právě jedno řešení v R, jeli mtice soustvy singulární, má soustv v R nekonečně mnoho řešení nebo nemá žádné. Všude v dlším tetu budeme předpokládt, že mtice soustvy je regulární, tj. že řešená soustv má právě jedno řešení. Metody pro řešení soustv lineárních rovnic dělíme n přímé iterční. Přímé metody Přímé metody vedou k řešení soustvy po konečném počtu kroků. Tkto nlezené řešení by bylo přesné, kdybychom se v průběhu výpočtu nedopouštěli zokrouhlovcích chyb.. Gussov eliminční metod (GEM) Zákldem této metody je úprv soustvy n trojúhelníkový tvr pomocí ekvivletních úprv. Tuto část GEM nzýváme přímý chod GEM. Přidámeli v soustvě (2) vektor prvých strn b jko (n)ní sloupec k mtici A, můžeme soustvu přepst ve tvru n n =,n n n = 2,n n n nn n = n,n Nyní se pomocí přičítání vhodných násobků první rovnice budeme snžit z osttních rovnic eliminovt. Jeli =0, vyměníme první rovnici s první tkovou rovnicí, která n prvním místě nulu nemá. Odečtemeli postupně první rovnici, vynásobenou číslem [( i )/( )], od ité rovnice, pro i=2,3,..., n, dostneme n n =,n n n = 2,n n nn n = n,n Nové koeficienty jsou vypočteny jko ij = ij [( i )/( )]. j, i = 2,3,..., n, j=2,3,..., n. Nyní budeme pomocí vhodných násobků druhé rovnice eliminovt 2 v třetí, čtvrté,... nté rovnici. Opět, jeli 22 =0, vyměníme druhou rovnici s první z dlších rovnic, ve které u 2 nul není. Tím dostneme n n =,n n n = 2,n n n = 3,n n nn n = n,n

3 kde ij = ij [( i2 )/( 22 )]. 2j, i = 3,4,..., n, j=3,4,..., n. Pokrčujemeli dále stejným způsobem, dostneme po n krocích soustvu v trojúhelníkovém tvru n n =,n n n = 2,n (3) n n = 3,n nn n = n,n Z této soustvy sndno určíme hledné řešení: n = n, n n, n ( ). n n, n n, n n, n = (4) ( )... =., n n n n Postup vedoucí k soustvě (3) se nzývá přímý chod GEM, výpočet neznámých dle (4) zpětná substituce nebo též zpětný chod GEM. Číslo kk nzýváme hlvní prvek. Příkld: Pomocí Gussovy elimince vyřešte soustvu rovnic,67 0,5 2 2,5 3 = 0,84 2,5 3,02 2 0,7 3 = 2,32,7 2,83 2,45 3 =,26 Řešení: Koeficienty soustvy opíšeme do mtice:,6 7 0, 5 2,5 0, 84 2, 5 3,0 2 0, 7 2,3 2,7 2, 83,4 5,2 6 Od druhého řádku odečteme první řádek vynásobený [2,5/,67] od třetího vynásobený [,7/,67] (všechny mezivýsledky jsou zokrouhlovány n pět desetinných míst):,67 0,5 2,5 0, ,23 3, , ,6764,2 02 2,2 02 Nyní od třetího řádku odečteme druhý vynásobený [2,6764)/3,23]. Tím dostneme,6 7 0, 5 2,5 0, ,2 3 3, , , , což už odpovídá soustvě v trojúhelníkovém tvru,67 0, 5 2 2,5 3 = 0,84 3,23 2 3, = 3,4044 3, = 4,95339 Řešení této soustvy je 4,95339 =, ,95339 = 3,4044 3,4044., ,23 3 ( ( )) 0,

4 ,67 ( 0,84 0,5. ( 0,26777) 2,5. (,25295) ), 3563 = Řešení získné Gussovou eliminční metodou by bylo přesné, kdybychom se v průběhu výpočtu nedopouštěli zokrouhlovcích chyb. U některých soustv může být bohužel vliv zokrouhlování n výsledek znčný. Algoritmus Gussovy elimince se proto někdy modifikuje způsobem popsným v následující kpitole.. Elimince s výběrem hlvního prvku Elimince s výběrem hlvního prvku je modifikce Gussovy eliminční metody, která slouží ke zmenšení zokrouhlovcích chyb. Abychom se vyhnuli dělení čísly, která jsou mlá vzhledem k osttním veličinám, použijeme postup zvný výběr hlvního prvku: V prvním kroku elimince njdeme rovnici, která má u v bsolutní hodnotě největší koeficient. Vyměníme ji s první rovnicí pk pomocí jejích násobků eliminujeme z osttních rovnic. Ve druhém kroku njdeme mezi všemi rovnicemi kromě první tu rovnici, která má v bsolutní hodnotě největší koeficient u 2. Vyměníme ji s druhou rovnicí pomocí jejích násobků eliminujeme 2 z dlších rovnic. Obecně v ktém kroku elimince njdeme mezi posledními nk rovnicemi tu, která má největší koeficient u k, vyměníme ji s ktou rovnicí pk pomocí ní eliminujeme. Právě popsnou metodu bychom mohli nzvt výstižněji eliminční metodou s částečným výběrem hlvního prvku. Úplný výběr hlvního prvku spočívá v tom, že v ktém kroku volíme z hlvní prvek ten, který je největší v bsolutní hodnotě v submtici vytvořené vynecháním prvních k řádků sloupců v uprvovné mtici. Nutnost hledt největší prvek v celé submtici vyměňovt řádky i sloupce způsobuje větší čsovou ( progrmátorskou) náročnost této metody. Gussov eliminční metod s částečným výběrem je proto obvykle efektivnější než metod s úplným výběrem hlvního prvku.

5 Algoritmus pro přímý chod GEM (pouze část, která nuluje prvky pod hlvní digonálou v itém sloupci z předpokldu, že prvek n hlvní digonále v dném sloupci je nenulový) j := i nulování prvků v itém sloupci probíhá od (i). rovnice p := ji / ii k := jk := jk p * ik k := k k > n j := j j > n

6 Algoritmus pro zpětný chod GEM (z předpokldu, že mtice soustvy je regulární) n := n,n / n,n i := n s := 0 j := i s := s j * ij j := j j > n i := i,n s / i,i i := i i <

7 2. Jordnov metod Jordnov metod je modifikcí GEM. Přímý chod zůstává stejný, tj. ekvivlentními úprvmi převedeme mtici soustvy n trojúhelníkový tvr. Dlšími ekvivlentními úprvmi převedeme mtici soustvy n mtici digonální, tj. prvky pod i nd hlvní digonálou jsou nulové =,n = 2,n = 3,n nn n = n,n Nejprve eliminujeme 2 u. rovnice ij = ij [( i2 )/( 22 )]. 2j, i =, j=2,3,..., n. získáme soustvu ve tvru n n =,n n n = 2,n n n = 3,n nn n = n,n Dále pk eliminujeme 3 u. 2. rovnice ij = ij [( i3 )/( 33 )]. 3j, i =,2 j=3,..., n. získáme soustvu ve tvru n n =,n... 2n n = 2,n n n = 3,n nn n = n,n Soustv je nkonec ve tvru: =,n = 2,n = 3,n nn n = n,n Řešení soustvy pk dostneme: =,n / 2 = 2,n / 22 : n = n,n / nn Tedy i = i,n / ii, pro i =, 2,, n Shrnutí GEM Jordnov metod vedou přímo k řešení soustvy. Kdybychom se nedopouštěli zokrouhlovcích chyb, nšli bychom pomocí těchto metod přesné řešení. Zákldem Gussovy eliminční metody je úprv mtice soustvy n trojúhelníkový tvr. Ten dostneme pomocí ekvivlentních úprv (přičítání vhodných násobků vybrných řádků mtice k osttním řádkům) Vliv zokrouhlovcích chyb u přímých metod může být znčný, zvlášť u některých typů mtic. Proto se používá tzv. elimince s výběrem hlvního prvku. Eliminční metod je velmi náročná z čsového i pměťového hledisk. Nejlépe se hodí pro nepříliš rozsáhlé soustvy s plnou mticí.

8 Iterční metody Mnoho prktických problémů vyžduje řešení rozsáhlých soustv lineárních rovnic A=b, v nichž mtice A je řídká, tj. má reltivně málo nenulových prvků. Stndrdní eliminční metody nejsou pro řešení tkových soustv vhodné, neboť v průběhu elimince dochází postupně k zplňování původně nenulových pozic v mtici soustvy, což vede k velkým nárokům n počet ritmetických opercí klde tké vysoké nároky n pměť počítče. To je důvod, proč se pro řešení tkových soustv používjí iterční metody. Zvolí se počáteční vektor 0 generuje se posloupnost vektorů 0 > > 2 >, která konverguje k hlednému řešení. Iterční metody, n rozdíl od přímých metod, nevedou k přesnému řešení po konečném, předem dném počtu kroků. U iterčních metod zvolíme počáteční proimci řešení určitým postupem ji v kždém kroku metody zlepšíme. K řešení se přibližujeme postupně obecně ho dosáhneme ž v limitě. Protože výpočet nelze provádět do nekonečn, po jisté době jej ukončíme. Výsledkem bude přibližné řešení soustvy.. Jcobiho metod Popíšeme, jk se Jcobiho metodou soustvy rovnic řeší kdy se touto metodou řešit mohou. Budeme opět prcovt se soustvou lineárních rovnic n n =,n n n = 2,n n n nn n = n,n Z první rovnice vyjádříme, ze druhé rovnice 2 td. Dostneme = / (,n n n ) 2 = / 22 ( 2,n n n ) (6) n = / nn ( n,n n n n,n n ) Řešení soustvy budeme hledt následujícím způsobem: Libovolně zvolíme počáteční proimci řešení (0) =( (0), 2 (0),..., n (0) ). Tto čísl dosdíme do prvé strny (6). Tím dostneme novou proimci řešení () =( (), 2 (),..., n () ). Tu opět dosdíme do prvé strny (6) td. Obecně kždou dlší proimci řešení získáme podle předpisu (r) = / (,n 2 2 (r) 3 3 (r)... n n (r) ) 2 (r) = / 22 ( 2,n 2 (r) 23 3 (r)... 2n n (r) ) (6) n (r) = / nn ( n,n n (r) n2 2 (r)... n,n n (r) ) Mticově můžeme tento výpočet zpst tkto: r 0 2 / 3 / n / r,n / 2 2 / / 22 2n / ,n / 22 : =. : * : : n n / nn n2 / nn n3 / nn 0 n n,n / nn iterční mtice nebo tké i ( r ) = n j= ij ii * ( r ) j i, n ii

9 Z jistých (dále popsných podmínek) se tímto postupem budeme přibližovt k přesnému řešení soustvy. Ve výpočtu pokrčujeme, dokud se nedosáhne určité předem dné přesnosti (ε), npř. dokud se proimce řešení neustálí n poždovném počtu desetinných míst i (r) i (r) < ε, pro kždé i=..n nebo dokud není překročen předem dný mimální počet kroků. Jcobiho metodou nemusíme řešení soustvy njít vždy. V některých přípdech posloupnost postupných proimcí k řešení soustvy nekonverguje. Uvedeme nyní podmínky, které zručí, že metod konverguje (tj. njdeme pomocí ní přibližné řešení). Definice: Mtice A se nzývá řádkově ostře digonálně dominntní právě tehdy, když (neboli když je v kždém řádku mtice bsolutní hodnot prvku n digonále větší než součet bsolutních hodnot všech osttních prvků v onom řádku) sloupcově ostře digonálně dominntní právě tehdy, když (neboli když je v kždém sloupci mtice bsolutní hodnot prvku n digonále větší než součet bsolutních hodnot všech osttních prvků v onom sloupci). Jeli mtice soustvy (2) ostře řádkově nebo sloupcově digonálně dominntní, Jcobiho metod konverguje. Jestliže mtice soustvy (2) není digonálně dominntní, Jcobiho metod konvergovt může nemusí. Eistuje podmínk pro konvergenci Jcobiho metody nutná dosttečná (tj. pokud je splněn, metod konverguje pokud není splněn, metod diverguje), jenže je pro velké mtice prkticky neověřitelná. Proto, nejsmeli si jisti konvergencí metody, je vhodné stnovit mimální počet kroků jeli překročen, výpočet ukončit s tím, že metod diverguje. Pk je potřeb zvolit jinou metodu nebo soustvu nějk uprvit. Příkld: Jcobiho metodou řešte soustvu Řešení: Mtice soustvy je digonálně dominntní, protože pltí Proto je konvergence metody zručen. Vypíšeme iterční vzthy: Jko počáteční proimci zvolíme =(0,0,0) Postupně získávné proimce řešení budeme zpisovt do tbulky:

10 Je vidět, že posloupnost postupných proimcí konverguje k řešení soustvy (2,2,). Kdybychom chtěli získt řešení s přesností ε = 0,0, mohli bychom nyní výpočet zstvit, protože ztímco kdybychom poždovli přesnost ε = 0,00, museli bychom ve výpočtu pokrčovt, protože npř. 2. GussSeidelov metod GussSeidelov metod je velmi podobná metodě Jcobiho. Liší se od ní pouze v tom, že při výpočtu dlší proimce řešení použijeme vždy nejnovější přibližné hodnoty, 2,..., n, které máme k dispozici. Podrobněji: (r) vypočteme stejně jko u Jcobiho metody při výpočtu 2 (r) je ihned použijeme (ztímco u Jcobiho metody jsme použili stré (r) ). Při výpočtu 3 (r) použijeme nové (r) 2 (r) td. Obecně iterční vzthy vypdjí tkto: nebo tké i ( r ) = i j= (r) = / (,n 2 2 (r) 3 3 (r)... n n (r) ) 2 (r) = / 22 ( 2,n 2 (r) 23 3 (r)... 2n n (r) ) n (r) = / nn ( n,n n (r) n2 2 (r)... n,n n (r) ) ij ii * ( r ) j n j= i ij ii * ( r ) j i, n ii Dá se dokázt, že jeli mtice soustvy (3) ostře řádkově digonálně dominntní, GussSeidelov metod konverguje. Příkld: GussSeidelovou metodou řešte tutéž soustvu, t.j. Řešení: Již jsme ověřili, že podmínk konvergence je splněn. Vypíšeme iterční vzthy:

11 Jko počáteční proimci zvolíme opět =(0,0,0). Vidíme, že se k řešení soustvy přibližujeme rychleji než pomocí Jcobiho metody. I obecně se dá říci, že Guss Seidelov metod obvykle konverguje rychleji než metod Jcobiho. Proto se používá čstěji. Dlší její výhodou oproti Jcobiho metodě je, že pro uložení přibližného řešení v pměti počítče nám stčí jediné pole, jehož složky postupně přepisujeme, ztímco u Jcobiho metody si musíme pmtovt pole dvě: strou novou proimci řešení. Shrnutí Pomocí iterčních metod obvykle njdeme pouze přibližné řešení soustvy (pokud nenstne dosti neprvděpodobný přípd, kdy se v některém kroku trefíme přímo do řešení). N zčátku zvolíme počáteční proimci řešení tu pk opkovným doszováním do iterčních vzthů zpřesňujeme. S výpočtem skončíme obvykle tehdy, jeli norm rozdílu po sobě jdoucích proimcí dosttečně mlá. Iterční metody mohou divergovt (řešení pomocí nich nemusíme njít). Zd bude metod konvergovt, či nikoli, závisí n vlstnostech mtice soustvy. Iterční metody jsou vhodné pro řešení velkých soustv s řídkou mticí koeficientů. Pro řešení mlého počtu rovnic vhodné nejsou, tm lépe poslouží elimince. Řídká mtice soustvy Řekneme, že mtice je řídká, když počet jejích nenulových prvků je výrzně menší než počet jejích prvků. Řídké mtice jsou v pměti počítče účelně reprezentovány jen pomocí svých nenulových koeficientů. Jedním z hlvních cílů efektivních lgoritmů pro řešení soustv s řídkými mticemi je provádět tkové kroky, by vzniklo co nejméně nových nenulových koeficientů.

12 Algoritmus vyjádření iterční mtice i := j := ij := ij / ii j := j j > n i,n := i,n / ii ii := 0 i := i i > n

13 Algoritmus výpočtu itého přiblížení u Jcobiho metody (XP předchozí přiblížení, XN nově vypočítávné přiblížení) nstvení počátečního přiblížení > p i = 0 (pro i=..n) i := n i := i,n j := n i := n i p j * ij j := j j > n i := i i > n

14 Algoritmus výpočtu itého přiblížení u GussSeidelovy metody (X přiblížení) nstvení počátečního přiblížení > i = 0 (pro i=..n) i := i := i,n j := i := i j * ij j := j j > n i := i i > n

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtiky MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolín Z jzykovou věcnou správnost obshu díl odpovídá utor et neprošel jzykovou ni redkční úprvou Rdek Stolín ISBN 98-8-8-- Obsh

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie Kliment Šoler Progrmovná učebnice mtemtiky pro vysoké školy technické Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, Vol. 14 (1969), No. 4, 182--193 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139283

Více

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Vícebytová celočíselná aritmetika

Vícebytová celočíselná aritmetika IMTEE 7 / 8 Přednášk č. 7 Vícebytová celočíselná ritmetik = bitová šířk zprcovávných dt > než šířk slov PU npř.: 8 b PU zprcovává b dt dále teoretické příkldy: b PU zprcovává 6 b slov Uložení dt v pměti

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel

Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel Lineání lge ) Vekto, lineání záislost nezáislost Def: Číselným ektoem n-ozměného postou nzýáme uspořádnou množinu n čísel,, ) ( n Čísl,, n nzýáme souřdnice ektou, číslo n dimenzí neo ozměem ektou Opece

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M. BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty

Více