Cvičení 1 (Opakování základních znalostí z pružnosti a pevnosti)

Transkript

1 VŠ Techncká unverzta Ostrava akulta strojní Katedra ružnost a evnost (9 Pružnost a evnost v energetce (Návod do cvčení Cvčení (Oakování základních znalostí z ružnost a evnost utor: aroslav ojíček Verze: Ostrava 009

2 PPE Cvčení Oakování základní ružnost: V ředmětu Pružnost a evnost bl robrán základní ojm (naětí, deformace, zůsob řešení úloh (metoda řezu, zatěžování atd Základní rovnce ro výočet najatost a změn tvaru ro tah-tlak, ohb, krut jsou zoakován v Tab Tab Tah tlak Ohb Kroucení (volné =ab Δ P φ Vntřní účnk (síl N( M( ( N(= = M(= M = - (= =- Naětí Charakterstk růřezu Deformace N ( M ( ( r d E d M ( E P r d G P K výočtu statck neurčtých úloh můžeme oužívat nař Castglanov vět (ro tenké rut, o úravě: N( l N d E ( (Tah-tlak, E ( l ( l M ( M ( d ( d (Kroucení G P ( l ( M ( M ( d (Ohb,, E M ( l /4

3 PPE Cvčení Řešené říklad na rocvčení Cv Př_ Dáno: =0 mm, =0 mm, =00 mm, = 000 N, E=00000MPa Urč: (oak statk a ružnost ostu řešení růhb, natočení, rozložení naětí v nosníku, reakce Obr Př řešení říkladů v ružnost a evnost bl u statck určtých úloh oužíván jednoduchý ostu: Uvolnění tělesa (těles, základní os úloh, sestavení statckých rovnc rovnováh (výočet reakcí, určení řezů a rovnc osujících hodnot vntřních sl a momentů (dle tu úloh, určení růběhů vntřních sl a momentů (grafck a jejch analýza (etrém, určení charakterstk růřezů (,, P, výočet naětí (růběh, hodnot a oloh etrémů, výočet růhbové čár, osunutí nebo natočení (dle tu úloh Tento ostu oužjeme u našeho říkladu Podrobnější os jednotlvých kroků, vsvětlení a odvození rovnc lze nalézt v řednáškách ze tatk a Pružnost a evnost, říadně v teratuře [] [9] a/ Uvolnění tělesa: Z úloh vjmeme jedno vbrané těleso s veškerým zatížením, které na vbrané těleso ůsobí Veškeré vazb vbraného tělesa s ostatním těles, rámem aod nahradíme reakcem (vše řekreslíme do nového obrázku U soustav těles tento ostu alkujeme na všechna tělesa kromě rámu V našem říadě takto získáme Obr (směr reakcí volíme X M Y Obr b/ tatcké rovnce rovnováh: Vjadřují, že očítané (uvolněné těleso se neohbuje v žádném z možných směrů ohbu stuňů volnost (u ohbujícího se tělesa sestavujeme ohbové rovnce, vz [0], [] V rovně má jedno těleso tř stuně volnost U tahu často uvažujeme ouze jeden stueň volnost ohb ve směru os rutu z toho ak vlývá rodloužení nebo zkrácení (odobně u kroucení X 0 X 0 X 0 N, Y 0 Y 0 Y 000 N, M 0 M 0 M 00 N m /4

4 PPE Cvčení c/ Určení řezů a rovnc osujících hodnot vntřních sl a momentů: Každý řez je samostatný a dělí celé těleso na dvě olovn U řezů zavádíme také znaménkovou konvenc Postu je naznačen v Tab Tab Příklad ohb Těleso rozdělíme mšleným řezem Celé těleso X evá část tělesa Znaménková konvence X Y Y M M( N( T( M Řez tělesem T( N( Pravá část tělesa M( Zeleně jsou vntřní účnk Modře jsou reakce Červeně jsou zatížení Znaménková konvence ovnce rovnováh latí ro Celé těleso, evou část tělesa, Pravou část tělesa ro bod kde se obě část rozdělené mšleným řezem stýkají Pro osu Celé těleso X 0 X 0 evá část tělesa N ( 0 Pravá část tělesa N ( X 0 N( X 0 Místo řezu N( N( 0 N( N( Pro osu Celé těleso Y 0 Y 0 evá část tělesa T( 0 T( Pravá část tělesa T( Y 0 T( Y Místo řezu T( T( 0 T( T( Pro moment Celé těleso M 0 M 0 evá část tělesa M( 0 M( M( M 0 M( Mez a latí vztah Pravá část tělesa M( M( 0 M( M( Místo řezu ohbovat v oblast: 0;, 0; Proměnné osující olohu řezu v tělese se mohou 4/4

5 PPE Cvčení d/ Určení růběhů vntřních sl a momentů: ovnce uvedené v Tab řevedeme do grafcké odob V jednodušších říadech lze z růběhu určt olohu a hodnot etrému Obecně se etrém hledají omocí dervace funkce Průběh vntřních sl a momentů ro očítaný říklad jsou uveden v Tab Hodnot vntřních účnků jsou shodné, ať jdeme z kterékolv stran Tab Příklad ohb Celé těleso M Mez a latí vztah Proměnné osující olohu řezu v tělese se mohou ohbovat v oblast: 0;, ( 0; X Y Pro osu růběh Normálových sl 0 Ma evá část tělesa N ( 0 Pravá část tělesa N ( 0 N N Pro osu růběh Posouvajících sl (Tečných T Ma evá část tělesa T ( Pravá část tělesa T ( T T Průběh ohbového momentu M Ma (, 0, kde, evá část tělesa M ( Pravá část tělesa M ( Pomocí substtuce získáme: M ( e/ Určení charakterstk růřezů: Charakterstk růřezu rerezentují tvar loch růřezu Pro ohb jsou tř základní charakterstk růřezu dva osové moment setrvačnost loch z,, (kvadratcké a devační moment setrvačnost loch z Osové moment setrvačnost loch vjadřují odolnost vbraného růřezu ř ohbu okolo dané os Devační moment setrvačnost loch vjadřuje smetr rozložení loch vbraného růřezu okolo os z a Devační moment ř výočtu ohbu musí být nulový z =0 Postu ř výočtu momentů setrvačnost složených loch je uveden v říkladu Cv Př_4 Moment setrvačnost loch obdélníka k osám rocházejícím těžštěm jsou uveden v Tab 4 Tab 4 Osový moment setrvačnost 4 =0 mm loch k ose z z 6667 mm =0 mm Osový moment setrvačnost mm z M loch k ose Devační moment setrvačnost loch z 0 mm 4 M 5/4

6 PPE Cvčení V říadě ohbu, od je rerezentován krchlčkou, jejíž rozměr se lmtně blíží nule (v rostoru d, d, dz, v rovně d, d Hodnot ohbového momentu v obecném místě nosníku jsou uveden v Tab a hodnot osových momentů setrvačnost loch jsou uveden v Tab 4 Dosazením získáme obecný vzorec ro hodnotu naětí v obecném místě nosníku: f/ Výočet naětí: Obecně je hodnota naětí funkcí oloh,, z je možné oužít vzorec uvedený v Tab Naětí je ke každému bodu dáno funkcí, z M (,, z z z V našem říadě je najatost nezávslá na ose z Dosazením hodnot mamálního ohbového momentu a mamální hodnot (vlývá z rozměrů růřezu získáme hodnotu mamálního naětí Poloha mama vlývá z oloh mamálního momentu Kladná hodnota naětí rerezentuje tahovou najatost σ H, záorná hodnota naětí tlakovou najatost σ D Výsledek s jednoduchým osem najatost je uveden v Tab 5 Tab 5 M Mamální moment je v místě = a má hodnotu M Ma =- M Ma =- Tah 00 MPa σ H = 00 =-/ - = =/ σ D =-00 Tlak 00 MPa Nejvzdálenější bod loch růřezu od těžště (os z mají hodnot =-/ a =/ Nosník má ouze jeden růřez, kterému odovídá moment setrvačnost Z Mamální naětí v horní část nosníku H :, 00 MPa z Mamální naětí v dolní část nosníku D :, 00 MPa z g/ Výočet růhbové čár, osunutí a natočení: Posledním krokem je výočet změn tvaru tělesa Průhbovou čáru vočteme omocí naltcké metod, osunutí a natočení určíme ve vbraném místě (bodu omocí Castglanových vět U analtcké metod musíme oužívat znaménkovou konvenc Znaménka můžete odvodt na základě jednoduchého říkladu lkace analtcké metod na nosník je ukázána v Tab 6 Tab 6 M ( M naltcká metoda: ( E X ( C, ( C C E 6 E Y ( Pomocí okrajových odmínek vřešíme konstant C, C ( 0, ( 0 (vetknutí Po dosazení a úravě získáme konstant C, C : C, C E E Řešení je ted: (, ( E E 6 E E E 6/4

7 PPE Cvčení lkace Castglanových vět je naznačena v Tab 7 Tab 7 M Castglanova metoda: X M ( M ( d E X Y Y Výočet natočení : d E ( ( E 0 M φ M =0 E M ( M ( d M Výočet osunutí : M (, M (, 0;, d E ( ( E M ( M, M ( 0 M, 0;, Porovnáme-l výsledk řešení u Castglanov metod (natočení a osunutí v bodě Tab 7 s výsledk řešení naltckou metodou (do rovnc dosadíme natočení ( 0 a osunutí ( 0 dostaneme shodné výsledk ovnce se lší ouze znaménkem, neboť u naltcké metod se znaménka řídí znaménkovou konvencí a u Castglanov metod směrem síl (momentu odle kterého dervujeme Řešené říklad na rocvčení Cv Př_ Dáno: =80 mm, =50 mm, =00 mm, =400 mm, = 000 N, = 00 N E=00000MPa, Urč: (Oak rnc suerozce eakce, růběh vntřních sl, naětí, osunutí bodu Obr Př řešení říkladů z ružnost a evnost můžeme často vužít rncu suerozce Estuje řada (relatvně složtých úloh, které můžeme rozložt na několk částí (úloh jednoduchých, t samostatně vřešt a výsledk dílčích řešení znovu sečíst Výsledkem ostuu je stejná hodnota (rovnce jako v říadě římého řešení složté úloh Prnc suerozce obvkle nelatí u velkých deformací, lastckých deformací (zatížení nad mezí kluzu, creeu (tečení, v únavě aod (složté, často nelneární rovnce Prnc suerozce latí (jednoduché, často lneární rovnce v oblast latnost Hookova zákona: ro reakce, zatížení, vntřní účnk, naětí, 7/4

8 PPE Cvčení deformace a osunutí, telotní zatížení aod V tomto říkladu s řomeneme výše uvedené, vbrané říad alkace suerozce (telota bude robrána ozděj v 7 cvčení Tto ostu budou vužt ř řešení rostorových, tvarově složtých č statck neurčtých úloh (otrubní sítě, u složených namáhání a telotních úloh a/ eakce a zatížení: Celou úlohu rozdělíme na dvě, z nchž každá bude obsahovat ouze jedno zatížení (sílu Výsledná reakce je dána součtem dílčích výsledků měr reakcí je vhodné volt stejně Postu je naznačen v Tab 8 Tab 8 Celá úloha = Část Část chéma: uvolnění, rozdělení eakce 0 uerozce Kontrola 0 0 b/ Vntřní účnk: tejně jako v ředchozím bodu můžeme určt také vntřní síl Postu je ukázán v Tab 9 Tab 9 Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení ovnce N( N( N ( N ( 0 ( ( N ( N ( uerozce N N ( N ( N ( N ( N c/ Naětí: uerozce je vužívána zejména ř řešení složených namáhání, kd známe řešení jednotlvých částí rozložené úloh Najatost řešíme vžd v bodu, ro zobrazení najatost 8/4

9 PPE Cvčení oužíváme elementární krchl (v rovně obdélník Kladné znaménko řřadíme tahovému zatížení Postu je ukázán v Tab 0 Tab 0 Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení σ( σ ( σ ( σ( σ ( σ ( ovnce N( ( ( N( ( ( N ( N ( 0 N ( ( ( N ( uerozce ( N ( N ( ( ( N ( N ( ( ( ( d/ Deformace a osunutí: uerozce lze s úsěchem oužít u statck určtých statck neurčtých úloh (římých, lomených č křvých rutů, kde je větší množství zatížení č vazeb Postu je demonstrován v Tab (šrafovaná část není řešena Tab Celá úloha = Část Část chéma: rozdělení Δ Δ Δ Δ ovnce uerozce d, d E ( E E ( E N( E E N( Z těchto ukázek je zřejmá šroká oužtelnost rncu suerozce v ružnost a evnost 9/4

10 PPE Cvčení 4 Řešené říklad na rocvčení Cv Př_ / Obr 4 / Př řešení říkladů z ružnost a evnost se často setkáváme s úloham statck neurčtým Řešení tohoto tu úloh má jasný ostu: Uvolnění, sestavení rovnc rovnováh, určení stuně statcké neurčtost, nalezení odovídajícího očtu deformačních odmínek, vřešení osunů č natočení, řešení soustav rovnc stanovení reakcí Hlavní a často nejsložtější částí řešení je nalezení deformačních odmínek Často lze vužít rovnce defnující chování vazb, odobnost trojúhelníků, nebo rozdělení tělesa a/ Uvolnění, sestavení rovnc rovnováh, stueň statcké neurčtost: Postu je naznačen v následující Tab Tab Uvolnění / ovnce rovnováh 0 0 Dáno: =80 mm, =00 mm, = 000 Nmm, E=00000MPa, Urč: (Oak tatck neurčté úloh eakce Získal jsme jednu rovnc rovnováh a dvě neznámé - reakce, K řešení otřebujeme ještě jednu rovnc (deformační odmínku úloha je jednou statck neurčtá Hledáme jednu deformační odmínku b/ Deformační odmínk: K vtvoření deformační odmínk můžeme často vužít vazeb mez těles, říadně těleso rozdělt na několk částí vz Tab Tab Varanta : V místě, je vetknutí, které v tomto říadě zachcuje úhel zkroucení ovnce těchto vazeb můžeme oužít římo jako deformační odmínk / / / Varanta : ozdělíme-l tč mšleným řezem v místě momentu, ak úhel zkroucení musí být v obou částech stejný (znaménko se řídí dle znaménkové dohod ab ř oětovném sloučení nedošlo k nesojtost Deformační odmínk: 0, 0 / / Deformační odmínka: 0/4

11 PPE Cvčení c/ Vřešení osunů č natočení: V tomto kroku lze s výhodou oužít Castglánových vět Postu u vbraných deformačních odmínek je naznačen v Tab 4 Tab 4 Varanta: chéma: Varanta :, G G / / G G Hledáme natočení:? Varanta :, G G Hledáme natočení:?,? d/ Řešení soustav rovnc, stanovení reakcí: Nalezené funkce dosadíme zět do deformačních odmínek a úravou (řešením soustav rovnc získáme hodnot reakcí Postu je naznačen v Tab 5 Tab 5 Varanta: eakce: Varanta : 0 0 G G, 0 / / Varanta :, G G 0 5 Řešené říklad na rocvčení Cv Př_4 d Dáno: a=5 mm, b=0 mm, c=5 mm, d=5 mm, b a Obr 5 c Urč: (Oak Moment setrvačnost loch Polohu a hodnotu hlavních centrálních momentů setrvačnost loch /4

12 PPE Cvčení Celý ostu určení hlavních centrálních os a momentů setrvačnost složené loch lze rozdělt do několka bodů (elementární loch jsme schon sočíst analtck: ozdělení na elementární loch, určení jejch těžště a celkového těžště, určení momentů setrvačnost a devačních momentů elementárních loch k jejch těžšt, určení momentů setrvačnost složené loch k osám rocházejícím těžštěm (tenerova věta, určení hlavních centrálních momentů setrvačnost a určení hlavních centrálních os setrvačnost složené loch ložené loch rozdělujeme tak, ab rozdělené část bl smetrcké odle stejných os Pokud to nelze (jako v našem říadě je ostu delší a/ ozdělení na elementární loch, určení jejch těžště a celkového těžště určení momentů setrvačnost a devačních momentů elementárních loch k jejch těžšt: loženou lochu se snažíme rozdělt na mnmální očet elementárních loch loženou lochu lze rozdělt na elementární loch mnoha zůsob, ale všechn zůsob řešení (rozdělení dávají jeden, ve všech říadech stejný, výsledek Moment setrvačnost obdélníka jsou v Tab 4 Postu je naznačen v Tab 6 Tab 6 ložená locha Varanta : vbereme Varanta : Varanta : T T - Těleso d b Poloha těžště tělesa v souřadném sstému -: d b T T ; T ; Moment setrvačnost loch tělesa k osám rocházejícím těžštěm T a rovnoběžným s osam, : d b d b, Těleso Poloha těžště tělesa v souřadném sstému -: d a-d a d c T T ; T d; c Moment setrvačnost loch tělesa k osám rocházejícím těžštěm T a d c a d c a rovnoběžným s osam, :, Poloha těžště složeného tělesa v souřadném sstému, : T T T T T ; T T ;, kde a jsou obsah těles a b/ Určení momentů setrvačnost složené loch k osám rocházejícím těžštěm (tenerova věta: tenerova věta slouží k výočtu hodnot momentů setrvačnost loch u osunutých os Postu je naznačen v Tab 7 /4

13 PPE Cvčení Těleso T T T Tab7 Moment setrvačnost loch tělesa k osám rocházejícím těžštěm celkovým T a rovnoběžným s osam, :, T T T T T T T T T T T, T T T T Těleso T T T T T Moment setrvačnost loch tělesa k osám rocházejícím těžštěm celkovým T a rovnoběžným s osam, :, T T T T T T T T T T, T Moment setrvačnost loch složeného tělesa: T T, T T, T T c/ určení hlavních centrálních momentů setrvačnost a určení hlavních centrálních os setrvačnost složené loch: V říadě, že celkový devační moment setrvačnost loch je nulový, ak osové moment setrvačnost loch vočtené v ředchozím bodu jsou hlavní centrální moment setrvačnost a os rocházející celkovým těžštěm jsou hlavní centrální os setrvačnost V našem říkladu devační moment loch nevjde nulový V rvním kroku určíme hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnost loch, ve druhém kroku olohu os Př řešení vužjeme Mohrov kružnce Osové moment setrvačnost loch jsou vžd větší než 0 Postu je naznačen v Tab 8 Tab 8 Z ředchozích kroků výočtu jsme získal hodnot Mohrova kružnce: centrálních momentů setrvačnost loch:,, Určíme vzdálenost středu kružnce od očátku a velkost oloměru kružnce: O, Hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnost loch ( =0 odovídají růsečíku kružnce a os osových momentů setrvačnost loch: O, O, hodnotu úhlu určíme z ravoúhlého trojúhelníka: tg 0 - φ, /4

14 PPE Cvčení Polohu os určíme na základě jednoduché úvah Moment setrvačnost loch jsou charakterstk růřezu ro ohb Mají l dvě různé loch růřezu stejné hodnot hlavních centrálních momentů setrvačnost, budou se, z hledska ohbu, chovat stejně Mamální a mnmální moment setrvačnost můžeme určt z Mohrov kružnce, úhel φ je mez a ( MIN nebo mez a ( MX Následující Tab 9 ukazuje určení oloh hlavních centrálních os setrvačnost Místo skutečného tvaru růřezu zvolíme náhradní loch vhodného tvaru, které mají stejné charakterstk růřezu U této náhradní loch známe olohu těžště t, t velkost loch a můžeme vužít vzorce t t a snadno sočíst znaménko říslušné tvaru loch U vhodně zvolené náhradní loch snadno určíme také olohu mnmálního a mamálního momentu setrvačnost loch Tab 9 kutečná locha Náhradní locha Náhradní locha Platí: d, locha je vžd kladná 0 chematck: t t - Devační moment je dán součnem dvou kladných nebo dvou záorných hodnot (souřadnce těžště bude vžd kladný Devační moment je dán součnem kladné a záorné hodnot (souřadnce těžště bude vžd záorný Vočteno: Platí, je-l 0 Platí, je-l 0 - φ MX 6 teratura Odvození a říklad na rocvčení lze nalézt ve většně skrt č učebnc ružnost a evnost, statk atd Naříklad: [] enert,, Pružnost a evnost,, VŠ-TU Ostrava [] Krčál, O, bírka říkladů z ružnost a evnost, VŠ-TU Ostrava [] Krčál, O, dámková, bírka říkladů z ružnost a evnost, VŠ-TU Ostrava [4] Trebuňa, urca, Šmčák, Pružnosť a evnosť I, II, [5] Šmřák, Pružnost a lastcta I, [6] Mroljubov, I N a kol, Řešení úloh z ružnost a evnost, NT, 976 [7] Pěšna, E, ef, P, Valenta,, bírka říkladů z ružnost a evnost, NT, 964 [8] ulš, Teřík, lavík, tatka, NT, 987 [9] Ondrouch, Šnuárková, Příručka statk s říklad, 986 [0] Horl, tatka a dnamka, 988 [] Medvec,, tradot,, Záhorec, O, Caban,, Mechanka III - Dnamka, TU v ratslave, 996 MIN φ MX - φ - φ MIN 4/4