Numerická integrace konstitučních vztahů

Transkript

1 Numercká ntegrace konsttučních vztahů Po výočtu neznámých deformačních uzlových arametrů v každé terac NR metody je nutné stanovt naětí a deformace na rvcích. Nař. Jednoosý tah (vz obr. vravo) Pro nterval od n do n+1 lze získat tzv. testovací naětí = n = n E. Skutečné naětí bude však nžší, tedy = n, kde 0 1. σ n E=E T n n A1 E T n 1 n+1 A3 A2 Jak určt? A1 = n E n T } A2 = n E n 1 T n 1 zrůměrováním A3 = n 1 2 [ E T n E T n 1]. ε Zmenšuje-l se krok, výsledek se zřesňuje.

2 Integrační metody užívané v elastolastctě Postu v mnulém říkladě odovídal lchoběžníkovému ntegračnímu ravdlu, které lze obecně zasat takto y y n 1 = y n [ 1 dy Secální říady: dx n dy dx n 1] x. y n+1 y n n n+1 1. =0... Eulerova doředná metoda (exlctní) 2. =1... Eulerova zětná metoda (mlctní) 3. =0,5... metody tyu Runge-Kutta (exlctní) x x Exlctní metody zaručují ouze odmíněnou stabltu (krok musí být menší než určtá hodnota). V elastolastctě se nejčastěj oužívají mlctní metody, rotože zaručují neodmíněnou stabltu.

3 etoda radálního návratu Pro svou jednoduchost je v lastctě oblíbená metoda radálního návratu (mlctní metoda). Je to klascká dvoukroká metoda navržená Wlknsem (1964) ůvodně ro deálně lastcký materál. Nař. jednoosý tah redktor korektor Násobek = n = n E. = n, kde 0 1. se určí z odmínky lastcty v n+1: f n 1 = n Y =0, ro tah σ Y = n E n+1 n Y =0 = Y n ε

4 etoda radálního návratu - obecně Pro obecný naěťový stav je zřejmé, že u deálně lastckého materálu bude směr skutečného naětí (radální návrat na lochu lastcty vz obr.). stejný jako směr testovacího naětí Alkuje se tedy stejný ostu jako ro tah Zavede se redktor = n = n C:, kde C je materálová matce tuhost. =, kde 0 1. σ 3 σ 2 n f σ 1 Násobek se určí oět z odmínky lastcty (uvaž. Von ses) v n+1: f n 1= 3 2 s n 1 : s n 1 Y =0, otom = Y 3 2 s n 1 : s n 1.

5 Příklad ntegrace konsttučních rovnc V roce 2002 ublkoval Kobayash a Ohno mlctní ntegrační schéma ro kombnovaný model zevnění s obecnou odobou knematckého ravdla. Jeho rnc lze ukázat na Chabocheově kombnovaném modelu zevnění. Nejrve je nutné dskretzovat konsttuční vztahy zětnou Eulerovou metodou. Předokládá se tedy, že známe hodnoty v čase t n a hledáme velčny v čase t n+1. e = (1) ( = e ) = n (2) =C: (3) ( =C: e ) = n 1 n n 1 (4) ( d =d f ) f n 1= 3 2 s n 1 a n 1 : s n 1 a n 1 Y n 1 (5) ( f = 3 2 s a : s a Y ) n n 1 = 3 s n 1 a n 1 (6) ( f 2 Y n 1 = 3 2 s a Y )

6 Eulerova zětná dskretzace ravdla zevnění Chabocheovo knematcké ravdlo zevnění a n 1 = a n 1 a n 1 =a n 2 3 C lze zasat také jnak a n 1 = n 2 3 C (9) 1 = 1 n 1 (10) Izotroní nelneární ravdlo nakonec (7) ( a= a ) a n 1 n 1 (8) ( d a = 2 3 C d a d ) Y n 1 = Y R 1 e b n 1 (11) ( Y = Y R ; d R=b R R d ) n 1 = n n 1 (12)

7 Alkace metody radálního návratu redktor / korektor Zavádí se redktor = n C:,=C: n n C: =C: n (13) a testovací funkce lastcty f n 1 = 3 2 s n 1 a n : s n 1 a n Y n (14) Nyní lze zjstt, jestl je zatěžování asvní (elastcké chování materálu) f n =, nebo aktvní (lastcké chování materálu) f n musí se zajstt f n 1 =0. U aktvního zatížení je ak úkolem určt lastcký korektor C: ve vztahu = C:, (15) který se získá ostuným oužtím rovnc (2), (3) a (13).

8 Alkace metody radálního návratu aktvní zatížení Pro oužtí klasckého ostuu metody radálního návratu (dosazení do odmínky lastcty f n 1 =0 ) je otřeba odvodt výraz s n 1 a n 1. Vezme-l se jen devátorová část rovnce (15), tzn. s n 1 =s n 1 2G (16) a oužje se vztah (7), lze sát s n 1 a n 1 =s n 1 Hledaný výraz se získá dosazením z (9) do (17) s využtím (4), (6) a následnou úravou s n 1 a n 1 = 2G Y n 1 s n 1 Y n 1 3G a n 1. (17) a n (18) C n 1

9 Nelneární skalární rovnce Nakonec dosazením do odmínky lastcty f n 1 =0 lze získat hledaný vzorec ro určení řírůstku akumulované lastcké deformace 3 2 s n 1 n 1 = Protože latí vztahy (10), (11) a (12), tedy lze učnt závěr, že rovnce (19) je nelneární algebrackou rovncí. Pro její řešení je oět možné oužít terační řístu. Secální říad nastane ro blneární knematcký model (bez zotroního zevnění). Potom totž =1 a latí a n : s n 1 3G a n Y n 1 (19) C 1 =, Y 1 n 1 = Y R 1 e b n 1, n 1 = n n 1, n 1 =1,Y n 1 =Y n.

10 Algortmus řešení START n, a n, ε n, ε n, n,y n (13) εn 1 f n 1 0 (14) + (lastcký stav) =1,Y n 1 =Y n _ (elastcký stav) n 1 =0, = KONEC ε n 1 n 1 (19) s n 1 a n 1 (18) ε n 1 konvergence + (4) (2), (15), a n 1 KONEC _ (9) ostuné dosazování (10), Y n 1 n 1 = n 1 (11) n 1 = n n 1 (12)

11 Stanovení elastolastcké matce Je nutné řomenout, že ř řešení elastolastckých úloh se v základní N-R metodě sestavuje tečná matce tuhost z matc tuhost jednotlvých rvků, tj. [ K e T ]= e [G] T [C e ][G ]d, kde elastolastcká matce [C e ]=. Př oužtí tenzorové notace se obvykle mluví o elastolastckém tečném modulu. Jestlže je stanoven z nedskretzovaných vztahů, ak se hovoří o nekonzstentním tečném modulu tečném modulu e., v oačném říadě o konzstentním Pozn. Pro narogramování ntegrace konsttučních rovnc se obvykle oužívá vektorový zás. Všechny rovnce se otom musí řevést do matcového formátu. C = d d {d } {d } C e = d d

12 Vlv tečného modulu na konvergenc N-R metody Konzstentní tečný modul zaručuje kvadratckou konvergenc N-R metody, kdežto nekonzstentní tečný modul ouze lneární konvergenc. Nekonzstentní tečný modul lze odvodt z odmínky konzstence. Pak C e =C 6G 2 n n 3G h, kde h je lastcký modul. Nař. ro řešený Chabocheův model h= Konzstentní tečný modul je někdy možno odvodt také v uzavřeném tvaru nebo jej lze stanovt teračně. Pozn. Kvadratcká konvergence znamená, že relatvní chyba v dané terac bude řblžně odovídat druhé mocnně relatvní chyby v ředcházející terac. C n: a b R R