2. Definice pravděpodobnosti
|
|
- Vratislav Hruška
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se řídí zákony dovolujícím určt s okamžtého stavu jejch budoucí č mnulý stav. Mez takové patří elektrcké obvody popsované Ohmovým zákonem, nebo fyzkální procesy v mechance, které se řídí Newtonovým zákony. Dokonce dynamcké procesy takového charakteru mají pops pomocí dferencálních rovnc a jejch budoucnost č mnulost je popsána hodnotam jejch řešení. Druhou skupnu tvoří náhodné procesy do jejchž výsledků se promítají náhodné vlvy, které způsobují, že proces realzovaný za týchž podmínek dává různé výsledky. Studem zákontostí výskytu výsledků se zabývá matematcká statstka. Algortmy, kterým jsou velčny tohoto druhu popsovány jsou tématem teore pravděpodobnost Defnce: Náhodný pokus, náhodný jev. Proces, který př opakování dává za stejných podmínek rozdílné výsledky nazýváme náhodným pokusem. Různé výsledky náhodného pokusu nazýváme náhodným jevy. Množnu všech možných výsledků náhodného pokusu nazýváme jevovým polem. Značení: V dalším textu budeme označovat symbolem S jevové pole a jeho prvky, náhodné jevy, budeme označovat velkým písmeny, např. A, B, C k, U, V, a pod. Poznámka: Jednotlvé pojmy, které budeme postupně zavádět budeme lustrovat na příkladech. Několk jch uvedeme a budeme na nch smysl a význam základních pojmů vysvětlovat. Podobně jako v část o kombnatorce budeme uvádět příklad, který odpovídá reálnému procesu a zároveň s uvedeme formulac ( ) jeho matematckého modelu Příklad: 1. Házíme mncí a sledujeme kdy padne rub a kdy líc. Jevové pole S má dva prvky {r, l}. Příklad můžeme formulovat abstraktně takto: provádíme pokus, který má dva možné výsledky. První s označíme jako 0 a druhý jako 1. Jevové pole S = {0, 1}. Je vdět, že tento model je unverzální, ztrácí se z něj fyzkální realta pokusu. Pokus je nahrazem matematckým modelem. Čísla 0 a 1 mohou reprezentovat zcela odlšné reálné stuace. Např. rub a líc mnce, zařízení pracuje, nepracuje apod. 2. Házíme hrací kostkou a sledujeme počet ok na horní stěně kostky. Jevové pole má 6 prvků, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Shodnou strukturu má úloha: náhodně vybereme z množny n prvků, např. čísel {1, 2,..., n} jeden prvek, číslo. 3. Házíme mncí, resp. hrací kostkou, dokud nepadne rub, resp. nepadne předepsaný počet ok (šestka). Výsledkem pokusu je počet hodů. Jevové pole má nekonečně mnoho prvků, S = {1, 2,...}. Obecně lze stuac popsat takto: konáme náhodný pokus, dokud se jako jeho výsledek neobjeví daný náhodný jev. 4. Házíme n krát mncí, resp. hrací kostkou a počítáme, kolkrát se v ser hodů objeví rub, resp. padne šestka. Jevové pole obsahuje prvky {0, 1, 2, 3,..., n}. Obecný pops stuace: Konáme ser n nezávslých náhodných pokusů a sledujeme kolkrát nastal jako výsledek daný náhodný jev. 13
2 5. Lotere obsahuje N losů a z nch M vyhrává. Zakoupíme n losů a sledujeme na kolk ze zakoupených losů vyhrajeme. Jevové pole S obsahuje prvky {0, 1, 2,..., mn{n, M}}. Musí platt 0 n N, 0 M N. Obecný pops modelované stuace: Máme množnu N prvků a znch má M sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme skupnu n prvků. Ptáme se kolk prvků z vybrané skupny má sledovanou vlastnost. 6. Jdeme náhodně na tramvaj a sledujeme dobu čekání. V některých případech není výsledkem náhodného pokusu jev, který lze popsat jednou velčnou, číslem, ale máme stuace je taková, že výsledek má vektorový charakter. Uvedeme příklady. 7. Házíme dvěma hracím kostkam a sledujeme počet ok. Jevové pole má charakter uspořádaných dvojc, S = {(, j); 1, j 6}. Struktura jevového pole. Operace s jevy. Množna všech náhodných jevů, výsledků náhodného pokusu má strukturu podobnou struktuře všech podmnožn neprázdné množny. Rovněž s náhodným jevy zacházíme jako s podmnožnam množny a zavádíme operace, které známe z operací s množnam. Často s je také budeme tak znázorňovat. Struktura jevového pole je tzv. Booleova algebra, obecněj σ algebra Defnce: Jev jstý a jev nemožný. Je-l S jevové pole, pak zavádíme jev jstý jako náhodný jev U S, který vždy nastane. Obdobně je jev nemožný náhodný jev V S, který nkdy nenastane Defnce: Jevy opačné. Je-l náhodný jev A S, pak opačným jevem k jevu A nazýváme náhodný jev A = A, který nastane vždy, kdy nenastane jev A Věta: Je U = V, V = U a (A) = A Defnce: Implkace. Říkáme, že náhodný jev A S má za následek náhodný jev B S, jestlže jev B nastane, kdykolv nastane jev A. Tuto skutečnost zapsujeme jako A B Věta: Pro každý náhodný jev A S platí V A U Defnce: Rovnost náhodných jevů. Říkáme, že náhodné jevy A, B S se rovnají, jestlže je A B a B A. Píšeme pak A = B Defnce: Sjednocení náhodných jevů. Jsou-l A, B, C S náhodné jevy, pak jejch sjednocením nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A nebo jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = A; A U = U; A A = U; asocatvní zákon (A B) C = A (B C) Poznámka: Asocatvní zákon platí pro lbovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápsu. Jsou-l A S, α, pak pro jejch sjednocení používáme symbolu A. α 14
3 2.13. Defnce: Průnk náhodných jevů. Jsou-l A, B S náhodné jevy, pak jejch průnkem nazýváme jev, který nastane právě když nastanou oba jevy A a B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = V ; A U = A; A A = V ; asocatvní zákon (A B) C = A (B C) Poznámka: Asocatvní zákon platí pro lbovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápsu. Jsou-l A S, α, pak pro jejch průnk používáme symbolu A Defnce: Rozdíl jevů. Jsou-l A, B S náhodné jevy, pak jejch rozdílem nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A a nenastane jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B Věta: Pro náhodné jevy platí: A B B A; A V = A; U A = A; A A = A; A A = V ; de Morganovy zákony A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) Defnce: Dsjunktní jevy. Náhodné jevy A, B S, které se navzájem vylučují, tj. A B = V, nazýváme dsjunktní. Poznámka: Nesmíme zaměňovat jevy dsjuktní a jevy nezávslé. V odstavc o nezávslých jevech se k tomuto problému vrátíme. Poznámka: Elementární jevy. U některých jevových polí umíme utvořt rozklad jevového pole na elementární jevy, tedy jevy, které se nedají dále rozložt. Nedají se vyjádřt jako sjednocení jevů. Je to zejména v případech, kdy je těchto jevů konečně nebo nejvýše spočetně mnoho Defnce: Elementární jev. Náhodný jev E S nazýváme elementárním jevem, jestlže pro každý náhodný je A S je buď A E = E, nebo A E = V Příklad: Uvedené pojmy budeme lustrovat na příkladech některých jevových polí, které jsou uvedeny v příkladu Pro náhodný proces z příkladu 1 vypšte: a) elementární jevy; b) jevy k nm opačné. Řešení: a) Jevové pole S má dva elementární jevy: {r} - padne rub, {l} - padne líc. b) Je {r} = {l} a {l} = {r}. 2. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 2. a) Vypšme elementární jevy. b) Popšme náhodný jev A padne lché číslo. c) Popšme náhodný jev A. d) Je-l náhodný jev B padne číslo menší než 3, určeme náhodné jevy: B, A B, A B, A B, A B, A B. Řešení: a) Př hodu hrací kostkou padne některé číslo mez 1 a 6. Jevové pole je generováno šest elementárnímí jevy: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. α 15
4 b) Mez možným čísly jsou lchá tř, tedy náhodný jev A je tvořen 3 elementárním jevy. Tudíž můžeme např. napsat A = {1, 3, 5}, když bychom měl správně zapsovat A = {{1}, {3}, {5}}. c) Náhodný jev opačný k jevu A lze vyjádřt jako padne sudé číslo. V používané symbolce je pak A = {2, 4, 6}, nebo přesněj A = {{2}, {4}, {6}}. d) Budeme používat zkrácené symbolky. V ní je B = {1, 2} a tedy: B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1, 2, 3, 5}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1}, A B = {1, 3, 5} {3, 4, 5, 6} = {1, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4, 6} {1, 2, } = {2}, A B = {1, 3, 5} {1, 2, } = {3, 5}. 3. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 7. a) Vypšme elementární jevy. b) Popšte náhodný jev A - na obou kostkách padne stejný počet bodů. c) Určete jev opačný k náhodnému jevu A. Řešení: a) Na každé z hracích kostek mohou padnou čísla od 1 do 6. Dostaneme celkem 36 možností, které odpovídají elementárním jevům. Ty mají charakter uspořádané dvojce {(, j)}, kde, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lze tedy množnu elementárních jevů zapsat jako jejch sjednocení. S = 1,j 6 (, j). b) Náhodný jev A nastane, pokud padne na obou kostkách stejný počet bodů, tedy musí nastat některý z elementárních jevů (1, 1), (2, 2),..., (6, 6). Takových je celkem 6 a lze psát, že A = 1 6 (, ). c) Opačný jev A nastane ve zbývajících 36-6=30 možnostech, kde ve dvojc (, j) je j. Například dvojce (1, 2), (3, 5), atd. Defnce pravděpodobnost. Poznámka: Je-l S jevové pole, pak pro jeho prvky, jednotlvé náhodné jevy A zavádíme jejch pravděpodobnost P (A) jako míru jejch výskytu. Uvedeme s její defnc Defnce: Pravděpodobnost. Je-l S jevové pole, pak reálnou funkc P : S R nazýváme pravděpodobností, jestlže pro n platí: 1. P : S 0, 1, t.j. 0 P (A) 1 pro každý jev A S. 2. P (U) = 1, P (V ) = A B P (A) P (B). 4. A B = V P (A B) = P (A) + P (B). 16
5 Poznámka: Některé vlastnost pravděpodobnost se dají odvodt z druhých. Uvedené požadavky jsou základním vlastnostm, jejchž znalost budeme považovat za samozřejmou. Uvedeme s specální případ defnce konkrétní pravděpodobnost, nazývá se klascká defnce, kterou budeme používat v řadě případů, které odpovídají stuacím z příkladů 2.3 a Věta: Klascká defnce pravděpodobnost. Nechť je jevové pole S generováno systémem elementárních jevů E, 1 n, takových, že mají stejnou možnost výskytu. Jestlže defnujeme funkc P předpsem: P (E ) = 1 n, pak je P pravděpodobnost. m Potom pro náhodný jev A S, A = k=1 E k je P (A) = m n. Důkaz: Vlastnost s defnce snadno ověříme, vyplývají z pravdla pro sčítání zlomků. Poznámka: Vztah pro pravděpodobnost z defnce se někdy vyjadřuje slovy: Pravděpodobnost jevů je poměr počtu možností příznvých jevu A ku počtu všech možností Příklad: Pomocí klascké defnce pravděpodobnost určete pravděpodobnost uvedených náhodných jevů. 1. Házíme dvěma mncem. Určete pravděpodobnost náhodného jevu: a) A padne na obou mncích rub; b) B na obou mncích padne shodná strana; c) C na obou mncích padnou různé strany Řešení: Jevové pole S je generováno 4 elementárním jevy. Jsou to {(r, r), (r, l), (l, r), (l, l)} a všechny jsou stejně pravděpodobné.tedy: a) Aby nastal jev A musí padnout (r, r), to je jedna ze 4 možností. Je tudíž P (A) = 1 4 = 0, 25. b) Pro jev B jsou příznvé dvě možnost, (r, r), (l, l), tedy P (B) = 2 4 = 0, 5. c) Jev C nastane také ve dvou případech, (r, l), (l, r), tedy P (C) = 2 4 = 0, Házíme hrací kostkou a uvažujeme počet bodů na horní stěně kostky. Vypočtěte pravděpodobnost: a) jednotlvých elementárních jevů; b) jevu A padne sudé číslo; c) jevu B padne číslo nejvýše rovno 4. Řešení: Př hodu kostkou je celkem 6 možných výsledků, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, které jsou stejně pravděpodobné. Předpokládáme, že je kostka homogenní krychle. a) Je-l E, 1 6, elementární jev, padne bodů, pak je jeho pravděpodobnost rovna P (E ) = 1 6 = 0, b) Pro jev A jsou příznvé 3 možnost ze 6, sce {E 2, E 4, E 6 }, je tedy P (A) = 3 6 = 0, 5. c) Jev B nastane ve ve 4 případech, {1, 2, 3, 4}, je tedy P (B) = 4 6 = 2 3 = 0,
6 3. Máme 10 barevných koulí, 4 bílé a 6 modrých. Vypočtěte pravděpodobnost náhodných jevů: a) A náhodně vybraná koule je bílá; b) B tř náhodně vybrané koule jsou modré; c) C dvě náhodně vybrané koule mají rozdílnou barvu; d) D vybíráme jednu koul po druhé a poslední, kterou vybíráme je modrá. Řešení: a) Př výběru má každá koule stejnou pravděpodobnost, že bude zvolena. Je celkem 10 možností a jevu A jsou příznvé 4. Je tedy P (A) = 4 10 = 0, 4. b) Protože jsou př výběru koule nerozlštelné jsou ( počty ) možných výběrů rovny počtům 10 = = 120, počet možností kombnací. Všech možných výběrů 3 koulí je ( ) 6 příznvých jevu A je 3 = = 20. Je tedy P (A) = = 1 6 = 0, ( ) 10 c) Počet všech vybraných dvojc je roven = 10.9 = 45. Počet všech dvojc, které mají rozdílnou barvu můžeme podle pravdla součnu vybrat celkem 6.4 = 24 způsoby. Je tedy P (C) = = 8 15 = 0, d) Př postupném výběru koulí má kterákolv stejnou pravděpodobnost být tažena jako poslední. Je tedy P (D) = 6 10 = 0, 6. Poznámka: V některých případech můžeme výsledky náhodného pokusu, prvky jevového pole přřadt podmnožnám nějaké omezené množny v R n, kdy tato množna odpovídá jstému jevu. Všmneme s, že vlastost pravděpodobnost jsou shodné s vlastnostm objemu množn v R n. Toho využíváme v geometrcké defnc pravděpodobnost, kterou používáme př řešení obdobných úloh Věta: Geometrcká defnce pravděpodobnost. Nechť prvky jevového pole S odpovídájí podmnožnám omezené množny U R n, množna U odpovídá jevu jstému a operace s jevy odpovídají obdobným operacím s množnam. Jestlže s označíme v n rozměrný objem množny v R n, pak funkce P defnovaná předpsem P (A) = v(a) v(u) má vlastnost pravděpodobnost. Takto defnovaná pravděpodobnost se nazývá geometrcká pravděpodobnost. Poznámka: Skutečnost, že takto defnovaná pravděpodobnost splňuje podmínky z defnce pravděpodobnost 2.21 vyplývají z obdobných vlastností objemu v R n Příklad: Volíme náhodně bod X 0, 2. Určete pravděpodobnost náhodného jevu A = 1 2 < X 5 4. Řešení: K řešení úlohy použjeme geometrcké pravděpodobnost. Jestlže volíme bod náhodně, pak je každá volba stejně pravděpodobná. Pravděpodobnost toho, že vybereme 18
7 bod s nějakého ntervalu odpovídá jeho délce. Interval 0, 2 odpovídá jevu jstému, vybraný bod v něm musí vždy ležet. V souladu s defncí je pravděpodobnost náhodného jevu A = a X b, 0 a b 2 rovna P (A) = b a 2 0. Pro zadaný nterval je P ( 1 2 < X 5 4 ) = 1 ( = 2) 3 8 = 0, Příklad: Máme domluvenou schůzku mez 12 a 13 hodnou. Oba jdeme na schůzku zcela náhodně a čekáme nejvýše 15 mnut. Jaká je pravděpodobnost, že se sejdeme. Řešení: Označíme s t 1 okamžk příchodu 1. účastníka po 12 hodně a t 2 okamžk příchodu druhého. Potom příchody obou účastníků setkání odpovídá bodu (t 1, t 2 ) 0, 1 0, 1. Tento čtverec odpovídá jevu jstému a okamžky, kdy dojde k setkání odpovídá pásu určeného podmínkou t 1 t K výpočtu pravděpodobnost použjeme geometrcké pravděpodobnost a pro pravděpodobnost setkání P st dostaneme ( P st = ) 2 = 7 16 = 0, Poznámka: V klascké defnc pravděpodobnost vlastně předpokládáme znalost pravděpodobnost pro elementární náhodné jevy. V uváděných příkladech můžeme jejch hodnotám věřt. Ve složtejších případech není vůbec jednoduché tyto výchozí hodnoty stanovt. Odstrant tento problém se pokoušel Robert de Meses pomocí statstcké defnce pravděpodobnost, která vychází z hodnot získaných z výsledků náhodného pokusu, který studujeme. Jejím základem je klascká defnce. Provádíme opakovaně náhodný pokus tak, že jsou jeho jednotlvé realzace na sobě nezávslé. Jestlže s označíme počet opakování n a počet výsledků, které odpovídají elementárnímu jevu E označíme m (n), pak defnujeme pravděpodobnost elementárního jevu E vztahem P (E ) = lm n m (n) n. Je zřejmý nedostatek této defnce. Můžeme j použít pouze tak, že provádíme dostatečně dlouhé sere pokusů a za hledanou pravděpodobnost volíme hodnotu, která je průměrem dostatečného počtu hodnot m (n) n. Na začátku 20. století uvedl Kolmogorov defnc pravděpodobnost, která všechny předchozí defnce v sobě zahrnuje. Vychází s Lebesgueovy teore ntegrálu. Uvedeme j spolu s jejch základním vlastnostm. K tomu potřebujeme alespoň uvést defnc pojmu σ algebry, která je strukturou požadovanou pro jevové pole Defnce: Booleova σ algebra. Jevové pole S je σ algebrou, jestlže platí: 1. U S, V S. 2. Pro náhodné jevy A, B S je A B S. 3. Pro posloupnost (konečnou č spočetnou) posloupnost náhodných jevů A, 1 je A S a A S. 19
8 2.28. Defnce: Axomatcká defnce pravděpodobnost. Je-l S jevové pole, které je σ algebrou, pak pravděpodobnost na jevovém pol S je reálná funkce, pro kterou platí: 1. Pro každý náhodný jev A S je 0 P (A) P (U) = Pro dsjunktní náhodné jevy A, B S, A B = V je P (A B) = P (A) + P (B) Věta: Vlastnost pravděpodobnost. Pravděpodobnost P na jevovém pol S má tyto vlastnost: 4. Je-l A, B S a A B, pak P (A) P (B). (Monotone pravděpodobnost.) 5. Je-l A, B S a A B, pak P (B A) = P (B) P (A). 6. Pro náhodný jev A S je P (A) = 1 P (A). Specálně P (V ) = Pro náhodné jevy A, B S je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. Pro posloupnost (konečnou č spočetnou) pod dvou dsjunktních jevů A S, 1, j A A j = V, pak P ( A ) = P (A ). (σ adtvta.) 9. Jestlže pro posloupnost náhodných jevů A S, N platí A 1 A 2 A 3... P ( A ) = lm P (A ). (Spojtost zdola.) 10. Jestlže pro posloupnost náhodných jevů A S, N platí A 1 A 2 A 3... P ( A ) = lm P (A ). (Spojtost shora.) Poznámka: Jako příklad takto obecně defnované pravděpodobnost jsme uvedl v odst geometrckou pravděpodobnost. Příkladem je pravděpodobnost z příkladu 2.25, kde jevové pole S tvoří všechny podmnožny ntervalu 0, 2, pro které máme defnovánu jejch délku. Přesné vymezení všech náhodných jevů je velce složté a vyžaduje znalost teore míry a ntegrálu. Jedná se o tzv. měřtelné množny. 20
2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Víceina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)
Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceČísla přiřazená elementárním jevům tvoří obor hodnot M proměnné, kterou nazýváme náhodná veličina (označujeme X, Y, Z,...)
. NÁHODNÁ VELIČINA Průvodce studem V předchozích kaptolách jste se seznáml s kombnatorkou a pravděpodobností jevů. Tyto znalost použjeme v této kaptole, zavedeme pojem náhodná velčna, funkce, které náhodnou
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceTeoretické modely diskrétních náhodných veličin
Teoretcké modely dskrétních náhodných velčn Velčny, kterým se zabýváme, bývají nejrůznější povahy. Přesto však estují skupny náhodných velčn, které mají podobně rozloženou pravděpodobnostní funkc a lze
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceCHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.
CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceIvana Linkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE. 2 NURBS reprezentace křivek
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Ivana Lnkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE Abstrakt Příspěvek prezentuje B-splne křvku a Coonsovu, Bézerovu a Fergusonovu kubku jako specální případy
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceSimulační metody hromadné obsluhy
Smulační metody hromadné osluhy Systém m a model vstupy S výstupy Systém Část prostředí, kterou lze od jeho okolí oddělt fyzckou neo myšlenkovou hrancí Model Zjednodušený, astraktní nástroj používaný pro
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceNeparametrické metody
Neparametrcké metody Přestože parametrcké metody zaujímají klíčovou úlohu ve statstcké analýze dat, je možné některé problémy řešt př neparametrckém přístupu. V této přednášce uvedeme neparametrcké odhady
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ
ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ Bc. Jtka Hanousková 1 Abstrakt: Příspěvek se zabývá postačujícím podmínkam pro konzstenc odhadů s mnmální Kolmogorovskou vzdáleností
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Více6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNáhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost
S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceBAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN
ROBUST 000, 7 4 c JČMF 00 BAYESŮV PRINCIP ZDENĚK PŮLPÁN Abstrakt. Poukážeme na možnost rozhodování pomocí Bayesova prncpu. Ten vychází z odhadu podmíněné pravděpodobnosta z předpokladu dsjunktního rozkladu
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceVysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky LOGICKÉ OBVODY pro kombinované a distanční studium
Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky LOGICKÉ OBVODY pro kombnované a dstanční studum Zdeněk Dvš Zdeňka Chmelíková Iva Petříková Ostrava ZDENĚK DIVIŠ, ZDEŇKA
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více8a.Objektové metody viditelnosti. Robertsův algoritmus
8a. OBJEKOVÉ MEODY VIDIELNOSI Cíl Po prostudování této kaptoly budete znát metody vdtelnost 3D objektů na základě prostorových vlastností těchto objektů tvořt algortmy pro určování vdtelnost hran a stěn
VíceANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceFERGUSONOVA KUBIKA. ( u) ( ) ( ) X s X s. Kubický spline C 2 má dva stupně volnosti Q 1 Q 2
FERGUSONOVA KUBIKA C F F F ( u) = Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u), u F ( u) = u ( u) = u + ( u) = u u ( u) = u u u + u + u Q Q Q Q C napojení Fergusonových kubk Kubcký splne C má dva stupně volnost
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceNáhodným (stochastickým) procesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou veličinu X ( t)
MARKOVOVY PROCESY JAKO APARÁT PRO ŘEŠENÍ SPOLEHLIVOSTI VÍCESTAVOVÝCH SYSTÉMŮ Náhodné rocesy Náhodným (stochastckým) rocesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou velčnu X ( t). Proměnná t má
VíceA u. jsou po řadě počáteční a koncové body úsečky; t je parametr:
1 Úvod Trangulace oblast má dnes využtí například v počítačové grafce nebo numercké matematce, kde základní algortmy pro výpočet parcálních dferencálních rovnc vyžadují rozdělení zadané souvslé oblast
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jří Holčík, CSc. INVESTICE Insttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV - pokračování KLASIFIKACE PODLE MINIMÁLNÍ VZDÁLENOSTI METRIKY PRO URČENÍ VZDÁLENOSTI
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Více4.5.9 Pravděpodobnost II
.5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceVLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ
VLIV VELIKOSTI OBCE NA TRŽNÍ CENY RODINNÝCH DOMŮ Abstrakt Martn Cupal 1 Prncp tvorby tržní ceny nemovtost je sce založen na tržní nabídce a poptávce, avšak tento trh je značně nedokonalý. Nejvíce ovlvňuje
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceAlgoritmizace diskrétních. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Algoritmizace diskrétních simulačních modelů Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Při programování simulačních modelů lze hlavní dílčí problémy shrnout do následujících bodů: 1) Zachycení statických
Více( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211
10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu
6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a
Vícepermutace, popisující nějaké symetrie, je i π permutace, popisující nějakou symetrii.
DSM Cv Pólyova věta Budeme se zabývat objekty (na množně X - to jsou vrcholy těchto objektů) s různým prvky symetre (například to mohou být různé brože, tsky, ale také strukturní vzorce různých chemckých
Více