Mechanika nenewtonských tekutin. Josef Málek

Transkript

1 Mechanika nenewtonských tekutin Josef Málek

2 Otázky: 1. přednáška, 5. října 211 Q1) Co se rozumí mechanikou? Q2) Co je tekutina? Q3) Co je newtonská tekutina? Q4) Co je nenewtonská tekutina? Q5) Proč je NDIR57 důležitá přednáška? Q6) Jaké jsou jevy, které nelze klasickými newtonskými) tekutinami popsat? Q7) V čem je tento kurz výjimečný oproti jiným kurzům z mechaniky tekutin možným absolvovat na jiných technických školách)? Q8) Neměli bychom používat jiné přístupy, např. teorie směsí, statistické přístupy, diskrétní přístupy? Odpovědi: Ad Q1) Mechanika nenewtonských tekutin je součást mechaniky kontinua termodynamiky kontinua). Základní koncept kontinuum Q: Jak popsat odezvu materiálu na externí zatížení mechanické, tepelné, elektrické, magnetické)? A: Dva typy prostředků k popisu odezev: 1) Obecnějšího charakteru bilanční rovnice hmoty, hybnosti, momentu hybnosti, energie a formulace druhého zákona termodynamiky. 2) Konstitutivní vztahy rovnice) charakterizují odezvy idealizovaných materiálů. Příklady konstitutivních vztahů: a) Elastický materiál po vypnutí zatížení se materiál okamžitě vrátí do původního stavu) Pokud je vztah mezi napětím silou) a deformací změny úhlů, délek) lineární, pak mluvíme o lineárně pružné pevné látce. b) Viskózní tekutina Pokud je napětí přímo úměrné rychlosti změny délek a úhlů, pak mluvíme o lineárně viskózní tekutině. Ad Q2) Tekutina je materiál, který neudrží smykové napětí v časovém měřítku pozorovatele. Ad Q3) Konstituvní vztah pro nestlačitelnou newtonskou tekutinu: T = pi + 2µDv), div v =, kde p je tlak, µ je dynamická viskozita, D je symetrická část gradientu rychlosti, v je rychlost tekutiny. Stlačitelná newtonská tekutina má tenzor napětí ve tvaru kde ρ je hustota tekutiny, θ je teplota. T = pρ, θ)i + 2µρ, θ)dv) + λρ, θ)div v)i, Ad Q4) Nenewtonská tekutina je taková tekutina, kterou nelze popsat výše uvedenými vztahy. Ad Q5) Aplikace v biomateriálech efekty v medicíně), geomateriálech silnice, ranveje), chemickém průmyslu, potravinovém průmyslu kečup ;-)). Ad Q6) Budeme mluvit o tekutinách, které se nemusí na první pohled jevit jako tekutiny, jak je známe třeba voda. Ukážeme tekutiny, které vykazují chování, které newtonské tekutiny popsané Navierovými-Stokesovými rovnicemi nevykazují. Ukážeme například viskoelastické tekutiny, které se chovají částečně viskozně jako newtonská tekutina voda) a částěčně elasticky jako elastická látka guma). Nenewtonské jevy ukázána videa): 1

3 Weissenberg effect rod climbing šplhání po tyči) Fano flow tekutina se brání přerušení proudu ze stříkačky) Open channel extensional flow tekutina teče z kádinky dál, i když by už neměla) Barus effect Die swell) rozšíření proudu při výtoku z trubice) Kaye effect tekutina volně padající do misky s tou tekutinou tvoří tlustá stříkající vlákna ) Electro-rheological fluid tekutina mění ohromně svou viskozitu v elektrickém poli) křeslo pro vozíčkáře) Viscoealstic solid-like fluid viskoelastická tekutina, která se chová více jako pevná látka) Silly Putty hračka s různým chováním, na krátké časové škále křehká, postupně s delším časem se chová více jako tekutina) Shear thickening non-newtonian fluid tekutina se při rychlém pohybu chová jako pevná látka, při pomalém pohybu jako tekutina) Příkladem nenewtonské tekutiny je třeba krev, je to viskoelastická shear-thinning tekutina. V tepnách proudí rychle a má nízkou viskozitu, ve vlásečnicích pomalu a má vysokou viskozitu krev proudí okolo zranění pomalu s vysokou viskozitou, více ulpívá, zranění se snadněji zahojí). Ad Q7) Tento kurz je výjimečný v tom, že si zde ukážeme nové přístupy Rajagopal), které se jinde neučí. Ad Q8) Budeme se soustředit na konstitutivní rovnice, zůstaneme ve standardním kontinuu. 2

4 2. přednáška, 12. října 211 Rámec Newtonských tekutin Nechť B je abstraktní těleso, K B) konfigurace v počátečním stavu a K t B) konfigurace v čase t viz obrázek). Pak definujme pohyb χ zobrazující z K B) do K t B) : x = χx, t). Dále definujme další kinematických veličiny: vektor posunutí u = x X = χx, t) X rychlostní pole v = χ t deformační gradient F K = χ X Bilanční rovnice kde E = e + ρ v 2 )/2 a bilance hmoty ρ = ρ div v bilance hybnosti ρ v = div T + ρb I) bilance energie ρė = divtv q) + ρb v + ρr, ż = z + z v, t ż = z t + z)v. Dále platí v poslední rovnosti použijeme symetrii T = T T ) I) 3 I) 2 v ρė div q = T v + ρr = T D + ρr. Domácí úkol č. 1 Přepište rovnice do tvaru ρe) t ρv) t ρ + divρv) =, t + divρv v) div T = ρb, + divρev) + div q divtv) = ρb v + ρr. III) Domácí úkol č. 2 takto: Najděte vektory H i, Definujme operátor časoprostorové divergence Div t,x ve třech prostorových proměnných Div t,x = t = x 1 x 2 x 3 t + div. i = 1, 2, 3, 4, 5, a přepište soustavu z domácího úkolu č. 1 do tvaru Div t,x H i = g i, i = 1, 2, 3, 4, 5. Naše neznámé jsou ρ, v, e a T = T ij ) 3 i,j=1 + předpoklad platnosti bilance momentu hybnosti T = TT 6 veličin tenzoru napětí a znalosti q. Celkem tedy máme i pro tento jednoduchý případ 9 konstitutivních vztahů pro T, q. 3

5 Navierovy-Stokesovy-Fourierovy rovnice Stlačitelná tekutina T = pρ, θ)i + 2µρ, θ)dv) + λρ, θ)div v)i, q = Kρ, θ) θ, kde µ je smyková viskozita, λ je objemová viskozita a Kρ, θ) je pozitivně definitní matice. Nestlačitelná tekutina Objem tekutiny je roven Materiál je nestlačitelný, když a z toho plyne Nestlačitelná tekutina splňuje V P t ) = P t dx. d dt V P t) = det F K = 1 div v =. div v =, T = pi + 2µρ, θ)dv), q = Kρ, θ) θ. Zde tlak p má jiný význam než v předchozí rovnici. U nestlačitelné tekutiny se jedná o neznámou není způsob jak konstitutivně určit sférickou část tenzoru napětí), u stlačitelné musí být popsán konstitutivním vztahem. Z podmínky div v = neplyne, že by hustota byla konstantní, tj. ρx, t) = ρ, kde ρ, ). Neboť z I) 1 plyne ρ + ρ v = ρ je konstantní podél charakteristik, t kde charakteristika je χ. Když v K B) X 1, X 2 : ρx 1 ) ρx 2 ), pak takový materiál nazveme nehomogenní nestlačitelná tekutina. Je-li ovšem na počátku hustota konstantní, pak zůstává konstantní po celou dobu a mluvíme o homogenní nestlačitelné tekutině. Dále v případě izotermálního procesu, kde θx, t) = θ, ) a θ =, máme bilanční rovnice pro nehomogenní nestlačitelné Navierovy-Stokesovy rovnice ρv) t div v =, ρ + ρ v =, t + div ρv v) = p + div2µρ)dv)) + ρb a bilanční rovnice pro homogenní nestlačitelné Navierovy-Stokesovy rovnice ρ v t div v =, ) + div v v) = p + µ v + ρ b. Newton 1687): The resistence arising from the want of lubricity in parts of the fluid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the fluid are separated from one another. 4

6 Síla je úměrná rozdílu rychlostí a nepřímoúměrná výšce h F }{{} A T xy vh) v). h Máme-li tedy jednoduché smykové proudění s rychlostí ve tvaru pak v = vy),, ), T xy = µv y) = 2µD xy v). Někdo může chápat slovíčko proportional obecněji ve smyslu libovolné závislosti, pak můžeme chápat Newtonův výrok ve smyslu implicitní vazby GT xy, D xy,... ) =. Všimněme si nyní fyzikálních rozměrů dynamické viskozity a kinematické viskozity Příklady velikostí viskozit [µ] = N m kg m s 2 m 2 = m s 1 m 2 s = kg m 1 s 1 [µ ] [ρ ] = m2 s 1. Tekutina Viskozita [cp] vzduch 18 C),2638 voda 1 olivový olej 84 motorový olej SAE5 54 med 2 3 kečup 5 7 burákové máslo asfalt zemská kůra Domácí úkol č. 3 Jaká jednotka je označována cp? Má blíže k dynamické µ) nebo kinematické viskozitě µ /ρ)? Jméno jakého vědce je schováno v této jednotce? Jaká byla jeho oblast zájmu a co studoval? 5

7 Převod do bezrozměrného tvaru Máme charakteristické veličiny T, L, V, p a charakteristické proměnné x = x L, t = t T, ṽ = v V, p = p p, pak t = 1 T t, = 1 x i L. x i Pokud dosadíme do Navierových-Stokesových rovnic, dostaneme pokud V = L /T, pak přepíšeme na Nyní vynásobíme T ) 2 /L a dostáváme Nazveme nyní Reynoldsovým číslem. Pokud div ṽ =, V ṽ T t + V L div xṽ ṽ) µ V ρ L ) 2 xṽ = p L x p, div ṽ =, L ṽ T ) 2 t + L T ) 2 div xṽ ṽ) µ 1 ρ T L xṽ = p L x p. div ṽ =, ṽ t + div xṽ ṽ) µ T ρ L ) 2 xṽ = p T ) 2 L ) 2 x p. Re := ρ L ) 2 µ T p = L ) 2 T ) 2, pak dostáváme Navierovy-Stokesovy rovnice v bezrozměrném tvaru Domácí úkol č. 4 λ > div v =, v t + divv v) 1 v = p. Re 3. přednáška, 19. října 211 Ukažte, že platí: Je-li v, p) řešením bezroměrných Navierových-Stokesových rovnic, pak řeší také bezrozměrné Navierovy-Stokesovy rovnice. v λ t, x) = λvλ 2 t, λx), p λ = λ 2 pλ 2 t, λx) Okrajové podmínky, speciální oblasti Mějme mechanicky izolované těleso, tj. nic neprotéká hranicí oblasti Ω, Pokud platí v n = na Ω. v τ = na Ω, kde z τ = z z n)n, mluvíme o no-slip podmínce dokonalém ulpívání na hranici. Dále, pokud Tn) τ =, jedná se o slip podmínku dokonalý skluz na hranici. Kombinací těchto podmínek je Navierova 1 podmínka skluzu λtn) τ + 1 λ)αv τ =, kde α je koeficient tření a λ [, 1]. Mezní hodnoty dávají no-slip a slip podmínku. Cílem kurzu bude ukázat, že i tyto podmínky jsou konstitutivní rovnice a že podmínky na hranici lze také odvodit. 1 Navier má ve Francii špatnou pověst, protože most, který stavěl, spadnul. 6

8 Jednoduché typy proudění Známe dva jednoduché typy proudění. Poiseuilleovo proudění je řízeno gradientem tlaku při proudění ve válci. Couetteovo proudění mezi dvěma soustřednými válci je řízeno rychlostí otáčení jednoho z válců. Rovinné Poiseuilleovo proudění je proudění mezi dvěma deskami řízené gradientem tlaku. Rovinné Couetteovo proudění v mezikruží je řízeno rychlostí otáčení jedné z kružnic. Domácí úkol č. 5 Hledejte řešení pro ustálené proudění ve tvaru v = uy),, ) pro bezrozměrné Navierovy- Stokesovy rovnice v geometrii rovinného Poiseuilleova proudění. Použijte tyto okrajové podmínky. Na hranici Γ 1 u1) = a na Γ 1 uvažujte Navierovu okrajovou podmínku s λ [, 1]. Podmínky na vstupu a výstupu Na Γ in obvykle předepisujeme i) Dirichletova podmínka pro rychlost v = α ii) Tn) n = p 1, v τ = Na Γ out obvykle předepisujeme i) Tn) n =, v τ = ii) Tn) n = p 2, v τ = Speciální okrajová podmínka je do-nothing podmínka pn + ν v n =. Poznámka. Pro následující příklad s no-slip okrajovou podmínkou všude kromě modrého výstupu, kde je donothing podmínka by člověk očekával, že existuje jen jediné řešení této úlohy, a to nulové. Pokud to tak není, pak by to znamenalo, že do nothing podmínka nemusí být dobrá. Entropie a newtonské tekutiny Definice 1. Existuje specifická hustota entropie η, která je funkcí stavových veličin přičemž y = e je vnitřní energie, a platí: η = ηy, y 1,... ), i) η e > e = ẽη, y 1, y 2,... ) označme teplotu θ := ẽ η 7

9 ii) η +, pokud θ + iii) St) = ρη)t, x) dx S max pro t + pokud Ω je mechanicky a tepelně energeticky) izolovaná Ω Pro Newtonské tekutiny platí Bilanční rovnice: Zderivujeme e a dosadíme z bilančních rovnic η = ηe, ρ) e = ẽη, ρ). ρ = ρ div v, ρ v = div T + ρb, ρė = divtv + q) + ρb v. ρė = ρ ẽ ẽ η + ρ η ρ ρ ρb v + divtv + q) div T) v ρb v = ρ ẽ ẽ η ρ2 div v. η ρ Nyní označme a dostáváme θ = ẽ η, ẽ p = ρ2 ρ Dále rozepíšeme pomocí deviatorických částí a získáváme ρθ η = T v + div q + p div v symetrie T = T D + div q + p div v. A d = A 1 tr A)I 3 ρθ η = T d D d tr T)1 div v) I I 3 }{{} + div q + p div v 3 ) 1 = T d D d + tr T) + p div v + div q. 3 Podělíme teplotou θ q ) ρ η div = 1 [ ) 1 T d D d + tr T) + p div v + q θ ]. θ θ 3 θ }{{} ξ Druhý zákon termodynamiky říká, že rychlost produkce entropie ξ, tedy ζ := ξ q ) θ = ρ η div. θ Označme m = tr T)/3 průměr normálových napětí, pak platí ) 1 ξ = T d D d + tr T) + p div v + q θ 3 θ = { T d, m + p, q } }{{} termodynamické toky { D d, div v, θ } θ }{{} termodynamické afinity 8

10 Jak vypadá ξ pro Navierovy-Stokesovy rovnice? Stlačitelné Navierovy-Stokesovy-Fourierovy rovnice T = pρ, η)i + 2µρ, η)d + λρ, η)div v)i, q = Kρ, η) θ. Platí a Dosaďme nyní do ξ. m + p = 2µ + 3λ 3 T d = 2µD d. div v Varianta 1 ξ = 2µ D d 2 2µ + 3λ + div v) 2 + K θ 2. 3 θ Pokud µ, 2µ + 3λ a K, pak ξ. Varianta 2 Pokud µ >, 2µ + 3λ > a K >, pak ξ >. Ptáme se teď: Kdy ξ =? ξ = 1 2µ Td µ + 3λ m + p)2 + 1 q 2 K θ. Varianta 1 Nechceme omezení na rychlost nebo teplotu, proto µ = 2µ + 3λ = K =. To je ale divné, protože kdybych měřil viskozitu, tak ji nenaměřím nulovou.) Varianta 2 Lze jen, když T d =, m = p, q =. Nestlačitelné Navierovy-Stokesovy-Fourierovy rovnice 4. přednáška, 26. října 211 Varianta 1 Pokud µ a K, pak ξ. Varianta 2 Pokud µ > a K >, pak ξ >. ξ = 2µ D d 2 + K θ 2. θ ξ = 1 2µ Td q 2 K θ. Poznámka. Gibbsova rovnice θ = e η, θ dη = de + p d e p = ρ2 ρ. ) 1, ρ lze z ní odvodit předchozí vztah pro tlak. Tato rovnice platí pro stlačitelné plyny, není důvod, proč by měla obecně platit pro komplikovanější materiály. Otázka: T a q? Existuje způsob, jak ze znalosti konstitutivních vztahů pro η a pro ξ určit konstitutivní vztahy pro 9

11 Princip maximalizace rychlosti produkce entropie Našim cílem je nyní odvodit Navierovy-Stokesovy rovnice, nechť tedy platí, že a vybereme konstitutivní vztah pro ξ ξ = T d D d + m + p) div v + q θ, 1) θ ξ = ξd d, div v, θ) = 2µ D d 2 + 2µ + 3λ 3 div v) 2 + K θ 2. θ Je mnoho možností, kdy ξ = ξ, vybereme tu maximální, tj. maximalizujeme ξ přes všechny D d, div v, θ tak, aby bylo splněno 1) max ξd d, div v, θ). 1)+D d,div v, θ Dalo by se říci, že materiál dodržuje princip lenosti, snaží se deformovat co nejrychleji, aby pak mohl odpočívat. Tento princip nazýváme princip maximalizace rychlosti produkce entropie. Maximalizaci provedeme pomocí Lagrangeových multiplikátorů. Definujeme tedy Lagrangeovu funkci L = ξd d, div v, θ) + λ ξd d, div v, θ) T d D d + m + p) div v + q θ θ )), pro kterou nyní hledáme extrém, Dostáváme L D d =, L div v =, L θ =. 1 + λ) ξ D d = λtd, 1 + λ) ξ = λm + p), div v 1 + λ) ξ θ = λq θ, 2) nyní vypočítejme λ tak, že násobme první rovnici D d, druhou div v a třetí θ 1 + λ λ = ξ ξ D D d + ξ ξ d div v div v + θ θ = 1 2. Dosadíme-li nyní do 2), provedeme derivace a dostáváme Navierovy-Stokesovy rovnice T d = 2µD d, 2µ + 3λ m + p = 3 q θ = K θ θ. div v, 1

12 Domácí úkol č. 6 Pomocí principu maximalizace rychlosti produkce entropie kde ξ je dáno vztahem odvoďte Navierovy-Stokesovy rovnice. max ξt d, m, q), 1)+T d,m,q ξ = 1 2µ Td µ + 3λ m + p)2 + 1 q 2 K θ, Předpoklad maximalizace ξ pro nestlačitelné materiály Pro izotermální nestlačitelné materiály platí tr D = div v =, θ = θ = konst. Vazba pro ξ je Nejprve, nechť ξ je dáno pomocí ξ = T D. 3) ξ = 2µ D 2. Použijme opět princip maximalizace rychlosti produkce entropie definujeme Lagrangeovu funkci max ξd), 3)+D+tr D= L = ξd) + λ 1 ξd) T D) ) + λ 2 tr D a tu maximalizujeme vzhledem k D, Vynásobme tuto rovnici D a získáváme 1 + λ 1 ) ξ D = λ 1T + λ 2 I. 1 + λ 1 λ 1 dále proveďme stopu na tutéž rovnici a získáváme = T D ξ D D = 1 2, 3λ 2 = λ 1 tr T λ 2 = 1 tr T. λ 1 3 Máme tedy T = 2µD 1 tr T. 3 Odvoďme ještě nyní Navierovy-Stokesovy rovnice dalším způsobem. Nechť nyní a maximalizujeme Dostaneme ξ = 1 2µ Td 2 q = ) 4) max ξt d ). 4)+T d D d = D = 1 2µ Td = 1 T 13 ) 2µ tr T)I, což je méně obvyklý, ale ekvivalentní zápis Navierových-Stokesových rovnic. 11

13 Cauchyův model konečné pružnosti Kinematické veličiny F K = χ X, Ḟ K = LF K B K = F K F T K, kde B K je levý Cauchy-Greenův tenzor, lze vypočítat jeho derivaci Ḃ K = LB K + B K L T a tr ḂK = 2D B K. Mějme nyní entropii například neo-hookeův materiál η = ηe, B K ) e = ẽη, B K ), ẽ = e η) + µ 2 tr B K 3). Dosadíme za e do bilance energie Dostáváme ρθ η = divtv + q) div T v µb K D = T D µb K D + div q = T µb K ) D + div q. q ) ρ η + div = 1 [ T µb K ) D + q θ ]. θ θ θ }{{} produkce entropie Elastický materiál nedisipuje, proto produkce entropie musí být nulová, a tedy T = µb K, pro nestlačitelný materiál navíc platí T = ΦI + µb K. 5. přednáška, 2. listopadu 211 Příklad varující): Máme proudění mezi dvěma rovnoběžnými deskami, hledáme řešení pro ustálené proudění Navierových- Stokesových rovnic, tekutina ulpívá na obou stěnách, tj. u1) = u 1) =, předpokládáme rychlostní pole ve tvaru v = uy),, ). Mechanika V případě čistě mechanickém máme tyto rovnice div v =, divv v) = div T, T = pi + 2µD. Definujme průtok Řešení úlohy je pak Q = uy) dy. uy) = 3Q 2 1 y2 ). 12

14 Termodynamika V termodynamickém případě pak máme tyto rovnice div v =, divv v) = div T, T = pi + 2µD, divev) = divtv + q) a teplo neprostupuje hranicí, q n = na Ω q 2 ±1) =. Dále předpokládáme, že p = px, y, z), D = Dy), e = ey), q = qy), Dostáváme a platí S = 2µD. u p + S 11 ) Tv = S 12 u S 13 u S 12 y S 22 y = p x S 12 = C 1 y + C 2, p = C 1 x, 5) = p y p nezávisí na y, 6) q 2 y = x p + S 11)u) + y S 12u). 7) Dosadíme výsledek z 5) a 6) do 7) a zintegrujeme od -1 do 1 q 2 y = C 1u + y S 12u) Použijeme okrajové podmínky a dostaneme To znamená, že buď 1 q 2 1) q 2 1) = C 1 uy) dy + S 12 1)u1) S 12 1)u 1), 1 1 C 1 uy) dy =. 1 C 1 =, nebo 1 1 uy) dy =. První část, když C 1 =, znamená, že u =. Druhá část znamená, že u musí změnit na [-1,1] alespoň dvakrát znaménko a musí platit ξ = T D = S 12 u, přičemž S 12 mění znaménko nejvýše jednou, což v součinu s u nedává nezáporné číslo a porušuje druhý zákon termodynamiky. Tedy u musí být identicky rovno nule. Závěr: Ustálené Poisseuillovo proudění není možné řešení mezi dvěma rovnoběžnými deskami, pokud desky jsou dokonale tepelně izolované a tekutina ulpívá na hranici. Nenewtonské jevy a modely pro nenewtonské tekutiny Definice 2. Tekutina je nenewtonská, pokud její chování nelze popsat modelem Navierovy-Stokesovy tekutiny stlačitelné nestlačitelné T = pρ, θ)i + 2µρ, θ)d + λρ, θ)div v)i T = pi + 2µρ, θ)d. Tato definice není moc užitečná. Popíšeme nenewtonské jevy. 13

15 Nenewtonské jevy 1) Schopnost tekutiny zesílit/zeslabit rychlost) smyku) shear thinning, shear thickening) 2) Schopnost tekutiny zesílit tlak pressure thickening) 3) Přítomnost aktivačního/deaktivačního kritéria spojeného s napětím nebo s rychlostí smyku) 4) Přítomnost nenulových rozdílů normálových napětí v jednoduchém smykovém poli normal stress differences) 5) Napěťová relaxace stress relaxation) 6) Nelineární tečení non-linear creep 2 ) Pro první tři body platí, že vztah mezi smykovým napětím a rychlostí smyku není lineární. Uvažujme tekutinu proudící rychlostí v = uy),, ) s tenzorem napětí ve tvaru T = pi + S. Ad 1) Schopnost tekutiny zesílit/zeslabit rychlost) smyku) shear thinning, shear thickening) Newtonská tekutina Pro newtonskou tekutinu pak platí S 12 = µd 12 a D 12 = u y). V literatuře se používají různé symboly pro rychlost smyku D 12, např. κ, nebo γ. Pro smykové napětí S 12 se používá jako značení σ, nebo τ. Graf závislosti S 12 na D 12 je v případě newtonské tekutiny lineární s koeficientem úměrnosti µ viz obr. 1). Zadefinujme nyní zobecněnou viskozitu µ g D 12 ) = S 12 D 12 ). D 12 V případě newtonské tekutiny je µ g = µ = konst., graf závislosti µ g na γ je na obr. 2. σ µ g σ = µ γ µ γ γ Obrázek 1: Newtonská tekutina, smykové napětí / rychlost smyku) Obrázek 2: Newtonská tekutina, zobecněná viskozita / rychlost smyku) Nenewtonská tekutina Schopnost zesílit smyk shear thickening, dilatant fluids)) znamená, že funkce je superlineární obr. 3). Zoběcněná viskozita µ g je rostoucí funkce, na obr. 4 je příklad, kde zobecněná viskozita degeneruje, obvykle je zobecněná viskozita v počátku kladná. Schopnost zeslabit smyk shear thinning, pseudoplastic fluids)) znamená, že funkce je sublineární obr. 5). Zoběcněná viskozita µ g je klesající funkce, na obr. 6 je příklad, kde je zobecněná viskozita singulární v počátku, obvykle je zobecněná viskozita v počátku konečná. Obecněji není důvod, aby to byla pěkná rostoucí funkce 3. Nejznámější modely jsou power-law tekutiny T = pi + 2µ Dv) r 2 Dv). }{{} µ g D )= µ g D 2 ) Pro r = 2 se jedná o newtonskou tekutinu, pro r > 2 jde o shear thickening tekutinu a pro 1 < r < 2 o shear thinning tekutinu. 2 V literatuře se někdy mluví o creeping flow. Tím se myslí něco úplně jiného, jde o pomalé stokesovo proudění, kdy lze zanedbat konvektivní člen. 3 Nemusí jít ani o funkci. 14

16 σ µ g zobecněná viskozita degeneruje γ γ Obrázek 3: Shear thickening, smykové napětí / rychlost smyku) σ Obrázek 4: Shear thickening, zobecněná viskozita / rychlost smyku) µ g zobecněná viskozita je singulární γ γ Obrázek 5: Shear thinning, smykové napětí / rychlost smyku) Obrázek 6: Shear thinning, zobecněná viskozita / rychlost smyku) Domácí úkol č. 7 Uvažujte dva modely tekutin, kde vztah pro tenzor napětí je následující T = pi + 2µ A + Dv) 2 ) r 2 2 D, T = pi + 2µ + 2µ 1 Dv) 2) r 2 D, kde A, µ, µ 1 >. Určete, jaké nenewtonské jevy tekutiny vykazují v závislosti na různých r R. Domácí úkol č. 8 Uvažujte model tekutiny T = pi + ν + ν ν 1 + Γ 2 D 2 ) 1 n 2 kde ν, ν, Γ >. Určete, jaké nenewtonské jevy tekutina vykazuje pro různá n R a r R. Příklad tekutiny vykazující zeslabení smyku je krev, zesílení smyku vykazují např. barvy, různé omáčky nebo kečupy. U průmyslových produktů se uvádí viskozita jako kvalita výrobku. Ad 3) Přítomnost aktivačního/deaktivačního kritéria spojeného s napětím nebo s rychlostí smyku). Tekutina začne téct až po dosažení kritické hodnoty napětí τ, anglicky yield stress. V případě následné lineární závislosti nazýváme tyto tekutiny Binghamovy tekutiny 4. Pokud je závislost nelineární, mluvíme o Herschel-Bulkleyho tekutinách. Standardní zápis je následující D, D = S τ, T = pi + 2τ D D + µ g D 2 )D S τ. Pokud je µ g konstantní, jde o Binghamovu tekutinu, pokud nekonstatní, jde o Herschel-Bulkleyho tekutinu viz obr. 7). Dalším příkladem je tekutina, kde je odezva spojená s chemickými procesy. Při určité hodnotě D 12 se tekutina uzamkne angl. locking), viz obr Nazýváme tekutinou, ačkoli v definici tekutiny máme, že neumí udržet smykové napětí. 15

17 σ σ uzamknutí τ τ γ γ Obrázek 7: Herschel-Bulkley Obrázek 8: Uzamkutí Kromě těchto explicitních vazeb mezi smykovým napětím S 12 a rychlostí smyku D 12 lze uvažovat i zcela obecnou implicitní vazbu ve tvaru g S 12, D 12 ) =. 6. přednáška, 9. listopadu 211 Domácí úkol č. 9 Ukažte, že odezva zobecněné Binghamovy tekutiny je ekvivalentní konstitutivní rovnici S τ D =, S > τ S = τ D D kde τ >, µ ) : R + R+ a x+ = max{, x}. + 2µ D 2 )D 2µ D 2 ) τ + S τ ) +) D = S τ ) + S, Kromě toho, že budeme tenzor S dosazovat do bilance hybnosti a rozhodovat o jeho hodnotě na základě velikosti tenzoru D, je možné definovat tenzorovou funkci G zobrazující GD, S) = 2µ D 2 ) τ + S τ ) +) D S τ ) + S Rsym d d Rsym d d Rsym d d a tu přidat k systému bilančních rovnic. Výhodou je, že G je spojitá a že není třeba používat žádné speciální nástroje. Nevýhodou, kterou za to zaplatíme, je, že se nám velmi zvětší systém rovnic. Domácí úkol č. 1 Projděte si pořádně všechny PDF soubory na stránkách kurzu Ad 2) Schopnost tekutiny zesílit tlak pressure thickening). Viskozita není konstantní, jako to je u newtonských tekutin 5 viz obr. 9), ale je funkcí tlaku p viz obr. 1). Pozoruje se, že viskozita je jen rostoucí funkcí tlaku, ne klesající. Kolem roku 189 navrhl Barus model µp) = µ expαp), α >. Za experimentální potvrzení viskozity závislé na tlaku byla udělena Nobelova cena. Tyto modely se používají například v ložiskách, kde jsou různě velké tlaky a viskozita se s nimi ohromně mění. 5 Už Stokes ve své stati psal o závislosti viskozity na tlaku. Pro jednoduchost ovšem dále uvažoval pouze konstantní viskozitu. 16

18 µ g µ g µ µ p p Obrázek 9: Newtonská tekutina Obrázek 1: Viskozita závislá na tlaku Stlačitelná vs. nestlačitelná tekutina Pro stlačitelnou tekutinu je p = pρ), pokud si budeme myslet, že tento vztah lze obrátit, ρ = ρp), pak zápis je ekvivalentní se zápisem což je model s viskozitou závislou na tlaku. T = pρ)i + 2µρ)D + λρ)div v)i T = pi + 2 µp)d + λp)div v)i, I když je materiál stlačitelný ovšem ne nějak extrémně), používá se nestlačitelný model s viskozitou závislou na tlaku. Modely, kde viskozita je funkcí tlaku, jsou obtížně jak numericky, tak analyticky. Ad 4) Přítomnost nenulového rozdílu normálových napětí v jednoduchém smykovém poli normal stress differences). Definujme tři jsme v trojrozměrném prostoru) viskometrické funkce: µ viskozita N 1 := T 11 T 22 první rozdíl normálových napětí N 2 := T 22 T 33 druhý rozdíl normálových napětí V jednoduchém smykovém poli předpokládejme rychlostní pole v = uy),, ). Newtonská tekutina Vypočítejme, jak vypadá tenzor napětí, D = 1 u y) u y), T = pi + 2µD = p µu y) µu y) p. 2 p Vidíme, že N 1 = N 2 =, a tedy newtonská tekutina nevykazuje přítomnost nenulového rozdílu normálových napětí v jednoduchém smykovém poli. Nenewtonská tekutina Nenewtonské tekutiny, jako je třeba škrob rozpuštěný ve vodě, vykazují přítomnost nenulového rozdílu normálových napětí v jednoduchém smykovém poli. Působíme-li na tekutinu silou v jednom směru, tekutina začne reagovat i v jiném obvykle kolmém) směru. S tímto jevem jsou spojované efekty: Rod climbing šplhání po tyči) Die swell rozšíření proudu při výtoku z trubice) Označme D průměr trubice a D E průměr tekutiny v místě největšího nabobtnání tekutiny při výtoku z trubice. Pro newtonské tekutiny bylo experimentálně zjištěno, že nejvíce je D E D = 1,13. Pro nenewtonské tekutiny dochází až ke čtyřnásobnému rozšíření proudu a platí D E D = [, N1 2S ) ) ] 2 1/6, kde S značí smykové napětí a w označuje, že se jedná hodnotu na stěně. w 17

19 Proudění nakloněným kanálem V případě newtonské tekutiny je tekutina na povrchu hladká volná hranice), v případě nenewtonské tekutiny se tekutina vybouluje nad povrchem. Obrácené sekundární proudění Mějme kádinku s tekutinou, z vrchu ji těsně přikryjeme otáčivým víčkem. Tekutina přilne k víčku a otáčením víčka ji uvedeme do pohybu. V tekutině se vytvoři sekundární proudění, které lze vidět na řezu kádinky. V případě nenewtonské tekutiny má toto sekundární proudění opačný směr než v případě newtonské tekutiny. Tento směr je daný velikostí N 2 6. Ad 5) Napěťová relaxace stress relaxation). Test napěťové relaxace je následující viz obr. 11): Deformujeme v čase t = materiál konstantní deformací ε a pak sledujeme, jak se chová smykové napětí σ. ε σ ε??? t t Obrázek 11: Test napěťové relaxace Uvažujme dva základní materiály, jeden se chová jako lineární pružina a jeden jako lineární tlumič dva soustředné válce o téměř stejném poloměru, kde meziválči je vyplněno newtonskou tekutinou o viskozitě µ). Lineární pružina je popsaná Hookeovým zákonem σ = Eε, kde E je modul pružnosti. Lineární tlumič je popsán vztahem σ = µ ε. Výsledek testu napěťové relaxace je pro lineární pružinu na obr. 12, pro lineární tlumič na obr. 13. V případě tlumiče je napětí singulární v nule. σ σ Eε t t Obrázek 12: Lineární pružina Obrázek 13: Lineární tlumič Většina materiálů je kombinací dvou základních materiálů, na obr. 14 je výsledek testu napěťové relaxace pro materiál blízký viskoelastické pevné látce, na obr. 15 je výsledek testu napěťové relaxace pro materiál blízký viskoelastické tekuté látce. Ad 6) Nelineární tečení non-linear creep). Test nelineárního tečení je následující viz obr. 16): V čase t = zatížíme materiál konstantním napětím σ, v čase t = t napětí vypneme a pak sledujeme, jak se chová deformace ε. Výsledek testu nelineárního tečení je v případě lineární pružiny na obr. 17, v případě lineárního tlumiče na obr. 18. Opět, většina materiálů je kombinací dvou základních materiálů, na obr. 19 je výsledek testu nelineárního tečení pro materiál blízký viskoelastické pevné látce, na obr. 2 je výsledek testu nelineárního tečení pro materiál blízký viskoelastické tekuté látce. 6 V literatuře se uvádí, že N 2 N 1, řádově je pak N 2,1N 1. 18

20 OBRÁZEK CHYBÍ OBRÁZEK CHYBÍ BUDE DOPLNĚN BUDE DOPLNĚN Obrázek 14: Viskoelastická pevná látka Obrázek 15: Viskoelastická tekutá látka σ ε σ??? t t t Obrázek 16: Test nelineárního tečení ε ε σ E σ µ t t t t Obrázek 17: Lineární pružina Obrázek 18: Lineární tlumič OBRÁZEK CHYBÍ OBRÁZEK CHYBÍ BUDE DOPLNĚN BUDE DOPLNĚN Obrázek 19: Viskoelastická pevná látka Obrázek 2: Viskoelastická tekutá látka Kromě modelů algebraických existují také modely rychlostního typu, integrálního typu a stochastického typu více viz PDF soubor Od vodíku po asfalt ). Princip objektivity a materiálová symetrie Cílem je určit, na čem závisí a jak konkrétně vypadá vztah pro tenzor napětí. Princip objektivity Chceme vědět, funkcí jakých proměnných je např. tenzor napětí Lze závislost na některých proměnných vyeliminovat? T = Tρ, v, v, ρ,... ). 7. přednáška, 16. listopadu

21 Začneme mechanikou hmotného bodu a druhým Newtonovým pohybovým zákonem m d2 x dt 2 = F, provedeme-li transformaci polohy pouze translaci) a času pak se nezmění tvar Newtonova zákona Přidáme-li rotaci, pak x = x + vt, t = t t, m d2 x dt 2 = F. x = Qx x ) + vt, t = t t, kde Q je ortogonální matice, QQ T = Q T Q = I. V této transformaci se opět nemění tvar Newtonových zákonů. Princip invariance Newtonových zákonů vůči rovnoměrnému pohybu byla popsána Galileem. V mechanice kontinua nás bude zajímat tenzor napětí. Tenzor napětí se z ryze geometrického důvodu musí transformovat jako T = Q T T Q, z Galileiho principu relativity platí Q = konst. Nyní si představme, že jsme v klidu a chceme znát sílu, která je potřeba k protažení pružiny o délku l. Síla je pak rovna F = k l). Nyní pokus zopakujeme s rotující pružinou i nerovnoměrně Q = Qt), úhlová rychlost ω = ωt)). Na pravou stranu musíme přidat zdánlivé síly odstředivou, Eulerovu a Corriolisovu. Změna polohy, tj. rychlost je rovna dx = dx dt dt + ω x a zrychlení d 2 x dt 2 Dosadíme do Newtonova zákona = d2 x dt 2 + dω dt x + ω dx dt + ω dx + ω ω x) = dt = d2 x dt 2 + dω dx x + 2ω + ω ω x). dt dt m d2 x dt 2 ) dω = F dx m x + 2ω + ω ω x). dt dt Vidíme, že koeficient pružiny k je transformací nedotčený. Budeme tedy dále požadovat, aby se tvar nezměnil ani pro Q = Qt) závislé na čase. Pro tenzor napětí tedy požadujeme Tx, t) = Qt) T T x, t )Qt), chceme tedy více než Galileův princip relativity, povolujeme navíc závislost na čase, nazveme princip objektivity. Co nám z toho tedy plyne? Zkusme nejprve, že tenzor napětí je funkcí T = Tρ, v, v). Hned na začátek můžeme říct, že tenzor napětí nemůže být funkcí rychlosti v. Uvažujme např. konstitutivní vztah T = pi + 2µ v )D. První pozorovatel je v soustavě pohybující se rychlostí v = v, druhý pozorovatel v soustavě pohybující se v = v + w, kde w = konst. Počítejme D = 1 2 x v + x v ) T) = 1 2 x v + x v) T) = D, neboť x v = x v a symetrická část tenzoru napětí je stejná v obou soustavách. Pak tedy máme dva tenzory napětí T = pi + 2µ v )D T = pi + 2µ v + w )D, 2

22 a tedy jeden pozorovatel naměří jinou viskozitu než druhý a to porušuje Galileiho princip relativity použili jsme zatím bez závislosti na čase). Nyní použijeme princip objektivity Q = Qt)). Gradient rychlosti rozdělíme na symetrickou a antisymetrickou část v = D + W = 1 2 v + v) T ) v v) T ), každá část má význam, D má význam deformace vzájemný posun částic), W je zbytek, který rotuje. počítejme rychlost a její gradient deformační gradient je pak roven a platí pro něj x = Qt)X, QQ T = I, v = dx dt = QX, F = x X = Q Ḟ = LF = v)f v = QQ T. Dosaďme nyní do v v = D + W = 1 QQ T + 2 QQ T ) T) + 1 QQ T }{{} 2 QQ ) T ) T }{{} = = QQ T a rotace kontinua je obsažena jen v antisymetrické části W. Ukážeme nyní, že T je funkcí D, ne celého gradientu Tρ, v) = Q T T ρ, v) )Q QTρ, v)q T = T ρ, v) ). Použijeme x = Qt)x x ) a pomocí derivace a algebraickými úpravami dostaneme my ale chceme získat Rozdělením na symetrickou a antisymetrickou část x v = D + W = zjistíme, že potřebujeme jen závislost na D Materiálová symetrie x v = QQ T + Q vq T, x v = Q vq T. QDQ T }{{} + QWQ T + QQ T. }{{} symetrická část antisymetrická část Tρ, v, v) = Tρ, D). Z materiálové symetrie vyplývá 7, že platí tenzor napětí T = GD)) GD) = Q T GQDQ T )Q. = QQ T = W Nechť G je polynom pak z materiálové symetrie platí GA) = α I + α 1 A + α 2 A 2 + α 3 A , GA) = Q T GQAQ T )Q = α I + α 1 A + α 2 A 2 + α 3 A , polynomy jsou tedy dobré funkce. Speciálně v R 3 se nám výsledek ještě více zjednoduší. Připomeňme, že pro charakteristický polynom platí detb λi) = λ 3 + i 1 λ 2 i 2 λ + i 3 =, 7 Voda ve sklenici se musí chovat stejně jako voda ve sklenici natočená o určitý úhel. 21

23 kde i 1 = tr B, i 2 = 1 2 tr B) 2 trb 2 ) ), i 3 = det B. Navíc dle Cayley-Hamiltonovy věty platí, že matice B je kořenem svého polynomu Víme tedy, že pak B 3 = i 1 B 2 i 2 B + i 3 I. B 3 = fi 1, i 2, i 3, B, B 2 ), B 4 = Bfi 1, i 2, i 3, B, B 2 ) = gi 1, i 2, i 3, B, B 2 ). Můžeme tedy každou mocninu vyšší než dva napsat pomocí i 1, i 2, i 3, B a B 2 a platí GA) = β i 1, i 2, i 3 )I + β 1 i 1, i 2, i 3 )A + β 2 i 1, i 2, i 3 )A 2. V dimenzi tři můžeme přesně nahradit nekonečný rozvoj polynomem druhého stupně. Zatím tedy víme Tρ, D) = β i 1, i 2, i 3, ρ)i + β 1 i 1, i 2, i 3, ρ)d + β 2 i 1, i 2, i 3, ρ)d 2. Jaké jsou důsledky tohoto tvaru tenzoru napětí? Co když připustíme jen lineární členy? Pak ponecháme jen i 1 a i 2, i 3 vypustíme a ponecháme jen lineární funkce D. Tρ, D) = γ ρ)i + γ 1 ρ)tr D)I + γ 2 ρ)d máme stlačitelnou tekutinu, pokud budeme mít nestlačitelnou tekutinu, dostaneme a přeznačíme-li koeficienty T = γ I + γ 2 D T = pi + 2µD, dostaneme Navierovy-Stokesovy rovnice. Vraťme se zpátky k obecnému vztahu pro nestlačitelnou tekutinu Nemůžeme ale takhle získat TD) = pi + 2µD)D + 2µD)D + 2 µd)d 2. T = pi + 2µp, D)D. Vraťme se zpátky k explicitnímu konstitutivnímu vztahu pro tenzor napětí T = GD), lze napsat také jako implicitní vztah mezi tenzorem napětí T a symetrickou částí gradientu rychlosti D Provedeme-li celý postup jako doteď dostáváme HT, D) =. α I + α 1 T + α 2 D + α 3 TD + DT) + α 5 T 2 + α 6 D 2 + α 7 T 2 D + DD 2 ) + α 9 D 2 T + TD 2 ) + α 11 D 2 T 2 + T 2 D 2 ) =, kde α,..., α 11 je funkcí tr T, tr T 2, tr T 3, tr D, tr D 2, tr D 3, trtd), trt 2 D), trtd 2 ), trt 2 D 2 ). Označíme-li p = tr T)/3, dostaneme po linearizaci α I + α 1 T + α 2 D =. Domácí úkol č. 11 Ukažte, že v R 3 platí 1 tr B) 2 trb 2 ) ) = det B) trb 1 ). 2 22

24 Domácí úkol č. 12 Ukažte, že v R 2 platí. Provedeme-li polární dekompozici deformačního gradientu na rotaci R a prodloužení right stretch tensor) U F = RU, pak pro U platí U = kde C = F T F je pravý Cauchy-Greenův tenzor napětí. Bude doplněno. 1 ) ) tr C + 2 C + det C I, det C 8. přednáška, 23. listopadu 211 Domácí úkol č. 13 Použijte princip maximalizace rychlosti produkce entropie a maximalizujte ξ = ξt d, D d ) přes T d A, kde A := { T d R 3 3 sym, ξ = T d D d}, kde ξ je dáno vztahy: 1. ξ = T d r/r 1), 2. ξ = D d 2 r T d 2. Domácí úkol č. 14 Uvažujte Stokesovu tekutinu s konstitutivním vztahem T = pi + 2µD + αd 2, kde α a µ jsou konstanty. Určete, jaké nenewtonské jevy model je schopen zachytit a jaké není. Vysvětlete. 9. přednáška, 3. listopadu 211 Obecněji. Pro nestlačitelný materiál platí tr D =, uvažujme dále isotermální proces θ = θ = konst. Rychlost produkce entropie v tom případě, jak již víme, splňuje ξ = T d D d a nechť máme obecný konstitutivní vztah pro rychlost produkce entropie ξ = ξm, T d, D d ) konvexní v T d a D d. Z objektivity platí ξm, T d, D d ) = ξm, QT d Q T, QD d Q T ) Q SO3. Pak z Cayley-Hamiltonovy věty vyplývá ξ = ˆξm, tr D, tr D 2, tr D 3, tr T d, trt d ) 2, trt d ) 3, trt d D), trt d ) 2 D), trt d D 2 ), trt d ) 2 D 2 )) a použijeme princip maximalizace produkce entropie max ˆξ... ). T d +ξ=t d Dd Lagrangeova funkce má tvar Zderivujeme ji a položíme rovnu nule a vypočítáme a dosadíme zpět do 8) L = ˆξ... ) + λˆξ... ) T d D d ) 1 + λ λ 1 + λ λ D d = ˆξ T d = Dd 8) = ˆξ ˆξ T d Td ˆξ ˆξ ˆξ T d T d. Td 23

25 Vypočítáme derivace a získáváme kde a i je funkcí m a všech invariantů 8. D d = a T d + a 1 D d + a 2 D 2 + a 3 T d D d + a 4 T d D 2 + a 5 T d ) 2 + a 6 I, Tekutiny Kortewegova typu Ukážeme si, jak se dostat k modelu, který odvodil v roce 191 holandský matematik Korteweg. Hranice mezi plynem a tekutinou není ostrá. Tento model je používán k zachycení popisu kapilárních efektů, vícefázových materiálů, granulovaných materiálů. Model je popsán následujícími rovnicemi ρ = ρ div v, ρ v = div T, T = pρ)i + 2µρ)Dv) + λρ)div v)i + K, K = κ 2 ρ2 ) ρ 2 )I κ ρ ρ). Ve článku Dunn, Serrin 1985) je ukázáno, že tento model je termodynamicky konzistentní. Víme, že pro stlačitelné Navierovy-Stokesovy-Fourierovy rovnice, pokud předpokládáme konstitutivní vztah η = ηe, ρ) dostaneme q ) ρ η + div = 1 [ T d D d + m + p) div v + q θ ] θ θ θ = 1 [ T d dis D d + t dis div v + q ] dis θ, θ θ kde zavedeme disipativní členy s indexem dis) a určíme konstitutivní vztah pro rychlost produkce entropie ξ = ξt d dis, t dis, q dis ) = 1 2µ Td dis µ + 3λ t2 dis + 1 K q dis 2 a pomocí principu maximalizace rychlosti produkce entropie dostaneme Navier-Stokes-Fourierův systém. Domácí úkol č. 15 Uvažujte Kortewegův model v jednoduchém smykovém poli v = uy),, ). Ukažte, že rozdíly normálových napětí jsou nenulové T 11 T 22, T 22 T 33. Pro Kortewegův model na začátku uvažujeme entropii navíc závislou na gradientu hustoty Derivujme víme, že ρ = ρ div v, potřebujeme vypočítat η = ηe, ρ, ρ) e = ẽη, ρ, ρ). ρė = ρ ẽ ẽ ẽ η + ρ ρ + ρ ρ, η ρ ρ ρ ρ = ρ div v) v) ρ. Označme 8 Porovnejte výsledek s obecným vztahem θ = ẽ ẽ, p = ρ2 η ρ GT d, D d, m) =. 24

26 máme tedy ρθ η = ρė ρ v v p ρ ρ ρ ẽ ρ = ρ = divtv + q) div T v + p div v + ρ ẽ ρ ρ ẽ ) ρ ρ v + div q + p div v + div = T v + Princip objektivity říká, že e je funkcí velikosti ρ z čehož vyplývá, že je symetrický tenzor. Dostáváme tedy e = ẽη, ρ, ρ ), ẽ ρ ρ ẽ ρ div v) + ρ T d dis ρ 2 div v ẽ ρ ρθ η = T + ρ ẽ ) ρ ρ D + p ρ div ρ ẽ )) div v+ ρ div q + ρ 2 div v) ẽ ) ) ) d ẽ = T d + ρ ρ ρ ρ D d + }{{} Dostáváme rovnici ρ η div p ρ div ρ ẽ ) + m + ρ ) ẽ ρ 3 ρ ρ }{{} t dis qdis ξ = pokud T d dis =, t dis =, q dis =, pak θ ) = 1 θ ) ρ ρ v = ) ρdiv v) div div v + div [ T d dis D d + t dis div v + q ] dis θ. θ ρ ẽ ). ρ q + ρ 2 div v) ẽ ). ρ }{{} q dis ) d ẽ T = T d + mi = ρ ρ ρ p... )I ρ ) ẽ 3 ρ ρ I + ρ div ρ ẽ ) I ρ = pe, ρ, ρ)i + ρ div ρ ẽ ) ) ẽ I ρ ρ ρ ρ. Speciálně volbou dostaneme Kortewegův model e = ẽη, ρ, ρ) = e η, ρ) + β 2ρ ρ 2 ρ ẽ ρ = β ρ T = p... )I + ρβ div ρi β ρ ρ) = pi + β ρ 2 ) ρ 2) I β ρ ρ). 2 Volbou konstitutivní rovnice pro rychlost produkce entropie a volbou 9 ξ = ξt d dis, t dis, q dis ) = 1 2µ Td dis µ + 3λ t2 dis + 1 K q dis 2 T d dis = 2µD d 2µ + 3λ t dis = div v 3 q dis = K θ, 9 Je možné použít princip maximalizace produkce entropie, pro jednoduchost snadno volíme díky tomu, že rychlost produkce entropie je kvadratická. 25

27 vidíme, že ξ a je splněn druhý zákon termodynamiky. Pak dostáváme q = K θ ρ 2 div v ẽ = K θ βρdiv v) ρ ρ T = pi + 2µD + λdiv v)i + β ρ 2 ) ρ 2) I β ρ ρ) 2 Kortewegův model. 1. přednáška, 7. prosince 211 Modelování vazkopružných viskoelastických) materiálů Chceme modelovat materiály schopné zachytit napěťovou relaxaci a nelineární creep tečení), příp. rozdíl normálových napětí v jednoduchém smykovém poli. O jaké materály jde? Jde o geofyzikální materiály, biologické materiály, polymery a jiné chemické produkty, potraviny. Budou se kombinovat vlastní tekutiny a pevné látky, např. v plazmě se nacházejí pevné částečky a ty dodávají elasticko-plastický charakter. Dalším příkladem je asfalt, jeho vlastnosti závisí velmi na teplotě. Jde o směs materiálu s tekutou amorfní částí a makromolekul, které dodávají pružnost. Zopakujme si, co to je test napěťové relaxace a nelineárního tečení. Test napěťové relaxace Test napěťové relaxace je následující viz obr. 21): Deformujeme po čás t materiál konstantní deformací ε, a pak sledujeme, jak se chová smykové napětí σ. Pro lineární pružinu platí ε σ ε??? t t Obrázek 21: Test napěťové relaxace σ = Eε, pro lineární tlumič σ = µ ε. Pro lineární pružinu a tlumič pak dostáváme Definujme funkci napěťové relaxace σ σ Eε t t Obrázek 22: Lineární pružina Obrázek 23: Lineární tlumič reálné materiály vykazují následující chování Gt) = σt) ε, 26

28 OBRÁZEK CHYBÍ OBRÁZEK CHYBÍ BUDE DOPLNĚN BUDE DOPLNĚN Obrázek 24: Viskoelastická pevná látka Obrázek 25: Viskoelastická tekutá látka Creep test pro tečení) Test nelineárního tečení je následující viz obr. 26): V čase t = zatížíme materiál konstantním napětím σ a v čase t = t napětí vypneme, a pak sledujeme, jak se chová deformace ε. σ ε σ??? t t t Obrázek 26: Test nelineárního tečení Výsledek testu napěťové relaxace je v případě lineární pružiny na obr. 27. V případě lineárního tlumiče na obr. 28. ε ε σ E σ µ t t t t Obrázek 27: Lineární pružina Obrázek 28: Lineární tlumič Definujme funkci nelineárního creepu Pro reálné materiály je výsledek následující Jt) = εt) σ. OBRÁZEK CHYBÍ OBRÁZEK CHYBÍ BUDE DOPLNĚN BUDE DOPLNĚN Obrázek 29: Viskoelastická pevná látka Obrázek 3: Viskoelastická tekutá látka Původní přístupy k modelování Modely začali zkoumat Maxwell, Burgers, Boltzmann, Kelvin, Voigt, Oldroyd,... 27

29 Maxwell Maxwell dospěl k modelu dσ dt = E dε dt σ λ, kde parametr λ má rozměr času, pošleme-li λ dostaneme vzorec pro lineární pružinu, pošleme-li λ a Eλ µ dostáváme Newtonskou tekutinu. Meyer Kelvin-Voigt) σ = Gε + η dε dt, v každém bodě tělesa máme přítomnou elastickou i vazkou část. Boltzmann kde materiál má paměť skrz G. σt) = t Gt t ) dε dt t ) dt, Tvorba jednoduchých modelů kombinací lineárních pružinek a lineárních tlumičů Maxwellův prvek Maxwellův prvek vznikne sériovým zapojením lineární pružiny linear spring) a lineárního tlumiče linear dashpot) Pro lineární pružinu platí Spring Dashpot l Obrázek 31: Maxwellův prvek pro lineární tlumič F S = E S, tedy σ S = Eε S, F D = µ D, tedy σ D = µ ε D. Pro Maxwellův prvek provedeme výpočet podrobně. Nejprve odvodíme konstitutivní vztah. V sériovém zapojení je síla v pružině i tlumiči stejná, tj. σ D = σ S, celkové prodloužení je součtem prodloužení pružiny a tlumiče, tj. = S + D. Dosadíme do konstitutivních vztahl pro lineární pružinu a lineární tlumič = S + D = a získáváme konstitutivní vztah pro Maxwellův prvek Z počáteční podmínky získáme F S E + F D µ, E ε = σ + E µ σ p 1 σ + p σ = q 1 ε. p 1 σ+) = q 1 ε+). Nyní počítejme, jak se chová Maxwellův prvek v creep testu, nechť tedy σt) = σ, pak a creep funkce je rovna εt) = σ q 1 p 1 + p t) Jt) = εt) σ = 1 q 1 p 1 + p t). Na obrázku?? lze vidět, že odezva je nespojitá, ovšem lineární, to není uspokojivý výsledek pro Maxwellův prvek. 28

30 Dále počítejme, jak se chová Maxwellův prvek v testu napěťové relaxace, nechť tedy εt) = ε Ht), kde Ht) je Heavysidova funkce, pak dostáváme σt) = q 1 ε e p p t 1 p 1 a funkce napěťové relaxace je rovna Gt) = σt) = q 1 e p ε p 1 Na obrázku?? lze vidět, že odezva vypadá pěkně, a tedy Maxwellův prvek dává uspokojivý výsledek. Nyní vypočítáme, jak závisí napětí σ na deformaci ε. Upravujme p 1 t. σt)e ) p p t 1 = q 1 εe p p t 1 p 1 σt) = σ+)e p p t 1 + q t 1 εt)e p p t τ) 1 dτ p 1 poč. podmínka = q 1 ε+)e p p t 1 + q 1 p 1 = ε+)gt) + q 1 p 1 t p 1 t εt)gt τ) dτ. εt)e p p 1 t τ) dτ Ve vyšší dimenzi tento výsledek odpovídá tomu, že jsme dostali integrální vazbu mezi T a D. Počítejme nyní duální zápis a vypočítejme, jak ε závisí na σ Použitím počátečních podmínek pak získáváme t t q 1 εt) = q 1 ε+) + p 1 στ) dτ + p στ) dτ εt) = t = q 1 ε+) + στ)p 1 + p t τ)) dτ + p σ+)t. p1 + p ) t t σ+) + q 1 q 1 = Jt)σ+) + t στ)jt τ) dτ. p1 στ) + p ) t τ) dτ q 1 q 1 Dostali jsme model rychlostního typu rate-type model) a dva modely integrálního typu, všechny ekvivalentní díky tomu, že jsme studovali lineární modely. Všechny modely platí v jedné dimenzi, není ale zřejmé, jak zobecnit tyto modely do tří dimenzí. 1. Lineární tlumič není aproximativní teorie, zatímco lineární pružnost je aproximativní teorie! 2. Záleží, odkud vyjdeme, zobecňujeme model rychlostního typu, nebo integrální model? Jde o zobecnění lineární, nebo nelineární? Různými přístupy dostáváme různé výsledky, které již nejsou ekvivalentní. 3. Co dělat, pokud tlumič či pružina budou záviset na deformaci nelineárním způsobem? 4. Parciální časová derivace, ani materiálová časová derivace nejsou objektivní, zobecnění už nejsou jednoznačné. 5. Mnoho nelineárních 3D modelů se mohou redukovat v 1D na stejnou rovnici. K zachycení jednorozměrného experimentu jich lze tedy použít mnoho. Kelvinův-Voigtův prvek Kelvinův-Voigtův prvek vznikne paralelním zapojením lineární pružiny linear spring) a lineárního tlumiče linear dashpot) Deformace pružiny i tlumiče je stejná, celková síla je rovna součtu sil v pružině i tlumiči F = F S + F D, = S = D. Použitím konstitutivních vztahů pro lineární pružinu a lineární tlumič dostáváme p σ = q ε + q 1 ε ε+) =. 29

31 Spring Dashpot l Obrázek 32: Kelvinův-Voigtův prvek Funkce napěťové relaxace je rovna Gt) = q p + q 1 p δt), nevýhoda pro Kelvin-Voigt. Funkce nelineárního creepu výhoda pro Kelvin-Voigt. Jt) = p q 1 e q q1 t ), Domácí úkol č. 16 Pro Kelvinův-Voigtův prvek vypočítejte funkci napěťové relaxace a funkci creepu. Dále odvoďte, jak napětí σ závisí na deformaci ε, a naopak, jak deformace ε závisí na napětí σ. Domácí úkol č. 17 Uvažujte prvek se sériovým zapojením Kelvinova-Voigtova prvku a lineárního tlumiče jako na obrázku 33. Odvoďte konstitutivní vztah pro tento prvek včetně počátečních podmínek. E 1 µ 1 µ 2 Obrázek 33: Trojprvek 11. přednáška, 14. prosince 211 Až doteď jsme studovali případ, kde pružiny a tlumiče splňují lineární závislost deformace na napětí. Předpokládejme, že závislost je nelineární, např. µ = µ ε), pak dostáváme µ ε) σ + σ = µ ε) ε, E není snadné vypočítat, jak vypadá relaxační funkce. Všechny ukázáné modely, byly jednodimenzionální, ukážeme přechod do vyšší dimenze. Předpokládejme nestlačitelnou tekutinu tr D =. Uvažujme tenzor napětí ve tvaru T = pi + S a řekněme, že S splňuje stejnou rovnici, co jsme odvodili dříve, zkusme tedy Ṡ + λs = 2µD. Vezměme vztažnou soustavu x = Qx x ) + c, 3

32 kde Q je ortogonální, chceme, aby se tenzor S transformoval S = QSQ T. Ve hvězdičkované soustavě materiál splňuje rovnici S + λṡ = 2µD, což je rovno kdyby platilo QSQ T + λ d dt QSQ T + λ d dt QSQ T ) = 2µQDQ T, QSQ T ) ) = Q S + λṡ Q T, je to v pořádku, ale to neplatí, protože d QSQ T ) = dt QSQ T + QṠQT + QS Q T ale součet prvního a posledního členu nemůže být nikdy roven nule. Tedy návrh, který jsme zkusili, je špatný není objektivní. Označme objektivní derivaci S znakem S splňující S = Q S Q T. Definujme nyní S= ds dt LS SLT + tr L)S. Ověřme, že tato derivace je objektivní. Chceme ) S = Q S ds Q T = Q dt LS SLT + tr L)S Q T. Počítejme ds dt L S S L T ) + tr L )S = QSQ T = Potřebujeme vědět, co je L, už víme, že je rovno Pokračujme ve výpočtu = d dt L = QQ T + QLQ T. d QSQ T ) L QSQ T QSQ T L T ) + tr L )QSQ T = dt QSQ T ) L QSQ T QSQ T L T ) + tr L )QSQ T = QSQ T + QṠQT + QS Q T QQ T + QLQ T) QSQ T QSQ T QQ T + QLQ T) + tr QQ T + QLQ T) QSQ T = = QṠQT QLSQ T QSL T Q T + tr QQ T + QLQ T) QSQ T = = Q Ṡ LS SL T ) Q T + Qtr L)SQ T, neboť platí cykličnost stopy a QQ T + Q Q T. Derivace je objektivní, i když v ní nebude poslední část se stopou S= ds dt LS SLT. 31

33 Domácí úkol č. 18 Ukažte, že pokud je bilance celkové energie ρe + 12 ) t ρ v 2 + div v ρe + 1 )) 2 ρ v2 = divtv) + div q + f v invariantní vůči transformaci x = x + wt, t = t pak systém automaticky splňuje bilanci hmoty, hybnosti a bilanci pro vnitřní energii. Hint: Ohvězdičkujte systém, dosaďte, zderivujte a porovnejte členy stejné mocniny. Pokračujme dále s objektivní derivací a Maxwellovým modelem S= ds LS SLT dt T = pi + S, S + λ S= 2µD. Mohlo by se zdát, že v případě ustáleného proudění vypadne derivace a dostane se Newtonský model. Ustálené proudění ve tvaru v = uy, t),, ) a S = Sy, t), dosadáme-li do Maxwellova modelu, dostaneme ) Syx u S yx + λ S yy = u t y y S yy + λ S yy t Dostaneme tedy pro smykové napětí vztah, který známe z jednodimenzionálního problému = S yx + λ S yx t = u y a pro normálové složky S xx = 2λS xy u y S yy = S zz = a model nám umožňuje zachytit rozdíl normálových napětí v jednoduchém smykovém poli. Domácí úkol č. 19 Proveďte podrobně výpočet pro ustálené proudění ve tvaru v = uy, t),, ) a S = Sy, t) s použitím Maxwellova modelu ve třech dimenzích Meření viskozity T = pi + S, S + λ S = 2µD. Viskozity různých tekutin se pohybují od 1 2 do 1 25, je tedy zřejmé, že viskozitu musíme měřit různými metodami pro různé viskozity. Pokud uvažujeme model s viskozitou závislou na rychlosti smyku, zaleží na tom, v jakém rozmezí experimentátoři viskozitu naměřili. Coutteův viskozimetr 19. století) Předpokládá se, že máme model, kterým chceme materiál popsat a podle toho viskozimetrem měříme. Pro Newtonovské modely máme analytický vztah, pro Nenewtonské tekutiny nemusí existovat analytické řešení. Pressure hole error Cup viscometer Plate cylinder Falling cylinder viscometer Earth s mantle 32

34 12. přednáška, 21. prosince 211 Nestlačitelné tekutiny rychlostního typu odvození termodynamicky konzistentních modelů Motivace a cíl Kombinací dvou lineárních tlumičů a jedné lineární pružiny, dostaneme rovnici p 1 T xy + p T xy = q 1 Ḋ xy + q D xy. Jak zobecnit tento vztah do 3D? Řešení není triviální z následujících důvodů: i) V odvození byly využity jen lineární modely. ii) Pro objektivní tenzor platí, že ani obyčejná parciální) časová derivace, ani materiálová časová derivace nejsou objektivní. Bylo zavedeno mnoho objektivních derivací. Není jasné, kterou objektivní derivaci zvolit. iii) Odvozený model je vhodný k zachycení napěťové relaxace a nelineárního creepu. Jak zahrnout další nenewtonské jevy do 3D modelu? iv) Yeleswerapu model pro popis vlastnosti krve div v = ρ v = div T + ρb T = pi + S S + λ 1 Ṡ ) LS SL T = µ D )D + λ 2 Ḋ LD DLT ) [ ] 1 + ln1 + Λ D ) µ D ) = µ + µ µ ) 1 + Λ D Je tento model dobrý? Je termodynamicky konzistentní? Nástroje K odvozování bude použito: implicitní konstitutivní teorie maximalizace produkce entropie koncept přirozené konfigurace přiřazené k současné konfiguraci Připomenutí Mámé bilanční rovnice Kelvin-Voigtův model ρ = ρ div v ρ v = div T, T = T T ρė = divtv + q) Předpokládejme entropii tvaru η = ηe, ρ, B kr ) e = ẽη, ρ, B kr ) = êη, ρ, tr B kr ). Definujme kinematické veličiny. Deformační gradient a levý a pravý Cauchy-Greenův tenzor napětí F kr = χ k R X B kr = F kr F T k R, C kr = F T k R F kr. Počítejme ê ê ρė ρ v v = ρė = ρ η + ρ η ρ ρ + ρ ê tr B kr ) I Ḃk R. 33

35 Víme, že Ḟk R = LF kr, z toho vyplývá, že Pokračujme ve výpočtu Ḃ kr = LB kr + B kr L T I Ḃk R = 2B kr D. ê ρθ η div q = T D + p div v 2ρ tr B kr ) B k R D = ) d ê = T 2ρ tr B kr ) B k R D d + m 2 ) 3 ρ ê tr B kr ) tr B k R + p div v. Podělíme teplotou a máme q ) ρ η div = 1 [ T d dis D d + t dis div v + q θ ]. θ θ θ }{{} ξ Nestlačitelnost a konstantní teplota dává ) d ξ = T d dis D d ê = T 2ρ tr B kr ) B k R D d. Dále obecně pro ξ = ξt dis, D) volme konstitutivní vztahy buď nebo ξ = 1 2ν T dis 2 ξ = 2ν D 2. V prvním případě maximalizujeme ξ vzhledem k T dis bez další vazby, v druhém případě maximalizujeme vzhledem k D s vazbou nestlačitelnosti tr D =. Maximalizací dostáváme Pokud pro volnou energii platí neo-hookeův materiál) pak platí a dostáváme Kelvin-Voigtův model Pokud je nulová produkce entropie, pak a dostáváme ê T = mi + 2νD + 2ρ tr B kr ) Bd k R. ρψ = µ 2 tr B k R 3), ê tr B kr ) = µ 2 I T = mi + 2νD + µb d k R. T d dis = p + m + µ 1 3 tr B k R = q = T = T d + mi = T d dis + µb d k R + mi = pi + µb kr. Nevyžadujeme-li nestlačitelnost a použijeme vztah jako v NSF dostaneme T d dis = 2νD d p + m + µ 1 3 tr B 2ν + 3λ k R = div v 3 q = k θ, T = pi + 2νD + λdiv v)i + µb kr q = k θ. 34