5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

Transkript

1 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem! Nakreslete si jak oba poteciály vypadá harmoický poteciál a Coulombovský poteciál. To jsou v přírodě dva velmi důležité případy yí se budeme věovat prvímu. Ukážeme že přiřazeí (() a (5)) a pricip korespodece vysvětlují Plackův předpoklad o diskrétosti spektra eergie harmoického oscilátoru což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz..5) jede z hlavích argumetů pro správost takto budovaé teorie. Operátor eergie Hamiltoiá kvatové částice pohybující se v silovém poli harmoického oscilátoru je podle pricipu korespodece (5) m H = V x = x m m (odvodit pro harm. oscilátor) Dosadili jsme zde kokrétí tvar za poteciál V x. Vycházíme z rovice (5) kterou jsme odvodili ze Schrödigerovy rovice pro časově ezávislý poteciál. Ukážeme že (omezíme-li defiičí obor operátoru a kvadraticky itegrovatelé fukce) je možia vlastích hodot tj. čísel λ pro která existuje fukce ψ x splňující H = (55) je diskrétí a odpovídá Plackově hypotéze. Operátor (5) je součtem tří operátorů H = H H H (56) d m H j= xj m dx j (57) a můžeme se pokusit hledat vlastí fukce operátoru (5) ve faktorizovaém tvaru x = x x x Rovice (55) pak přejde a tvar (58)

2 H H H = Nalezeme-li vlastí čísla λ j fukce (formálě stejých) operátorů H j j = j j (59) H j (60) pak získáme i vlastí čísla operátoru (5) : = (6) Jedorozměrý harmoický oscilátor. Zkoumejme tedy apřed jedorozměrý případ tedy operátor d m H = x m dx (6) Teto operátor lze považovat za operátor eergie jedorozměrého harmoického oscilátoru tj. kvatové částice pohybující se pouze v jedom rozměru (a přímce). [T] Možia vlastích čísel operátoru (6) působícího v prostoru kvadraticky itegrabilích fukcí jedé proměé je tvořea reálými čísly ℏ kde Z +. Pro každé existuje (až a multiplikativí kostatu) právě jeda vlastí fukce x = A e kde = / H x a H jsou Hermitovy polyomy ℏ [ /] k k H z := z! k! k! (6) (6) k =0 kde [r ] je celá část reálého čísla r. Kostatu A ormalizující fukci je možo vyjádřit (65) A=! ℏ Důsledkem tvrzeí [T] je že eergie kvatového jedorozměrého harmoického oscilátoru s m V x = x může abývat pouze hodot z diskrétí možiy poteciálem {ħω Z + }. Teto závěr je ve shodě s Plackovou hypotézou použitou pro odvozeí spektrálí závislosti itezity zářeí absolutě čerého tělesa. ħω Nejižší možá eergie eí ulová! Čle představuje tzv. ulové kmity.

3 Několik prvích Hermitovských polyomů: H 0 x = H x =x H x =x H x =8x x H x =6x 8x H 5 x =x 5 60x 0x H 6 x =6x 6 80x 70x 0 H 7 x =8x 7 x5 60x 680x 8 6 H 8 x =56x 58x 0x 0x 680 [ (66) [wikipedia: quatum harmoic oscillator] [wikipedia: hermitia polyomials] I když Hermitovské polyomy utíkají do ekoeča vlastí fukce Hamiltoiáu jdou k ule díky expoeciálímu prefaktoru. Připomeňme si jak vypadala pravděpodobost alezeí klasického harmoického oscilátoru. Cvičeí: x = A x Třírozměrý harmoický oscilátor. Nyí se můžeme vrátit k původímu problému vlastích hodot operátoru (5) pro třírozměrý harmoický oscilátor. Z rozkladu (59) je zřejmé že fukce x x x = x x x kde x (67) jsou dáy vzorcem (6) jsou vlastími fukcemi operátoru (5) s vlastími čísly

4 = = ℏ. Je třeba ještě ukázat že žádá další vlastí čísla eexistují: [T] Možia vlastích fukcí operátoru (6) x = x K e ℏ H! x K= ℏ ℏ / (68) je ortoormálí bazí v Hilbertově prostoru kvadraticky itegrovatelých fukcí a prostoru R. [T] Možia fukcí (67) kde ψ x jsou dáy vzorcem (68) je ortoormálí bází v Hilbertově prostoru kvadraticky itegrovatelých fukcí a prostoru R. Braketovou termiologii: pro fukce (68) a (67) se často používá tzv. ketové začeí = = (69) QMCA: Dirakova otace vztahy.-.5. Z tvrzeí [T] a [T] rověž plye že spektra Hamiltoiáů (6) a (5) jsou čistě bodová (SKM 7..9). Nejsou však stejá. Možia vlastích hodot hamiltoiáu operátoru eergie jedorozměrého harmoického oscilátoru se liší od spektra trojrozměrého oscilátoru. Obsahuje avíc hodotu ℏ /. Neí to však jediý rozdíl. Zatímco pro jedorozměrý oscilátor každé vlastí hodotě odpovídá právě jeda vlastí fukce až a multiplikativí kostatu pro třírozměrý oscilátor závisí dimeze podprostoru vlastích fukcí a hodotě vlastího čísla. Například podprostor vlastích fukcí operátoru (5) s vlastím číslem λ=7/ ħ je tvoře lieárím obalem fukcí (67) kde trojice abývají hodot (0 ) ( 0 ) ( 0) (0 0 ) (0 0) ( 0 0). Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jedoduchou kombiatorickou úvahou lze zjistit že rozměr podprostoru vlastích fukcí operátoru (5) s vlastím číslem λ= / ħω je /. To je zásadí věc. Pokud jsme byli schopi změřit eergii jedorozměrého oscilátoru zali jsme okamžitě jeho stav. Pro D harmoický oscilátor odpovídá jedé hodotě eergie více ezávislých vlastích fukcí musíme tedy provést ještě další měřeí které vlastí fukci upřesí (samo měřeí eergie už estačí). Už v prví předášce jsme také viděli že měřeí v kvatové fyzice jsou ivaziví. Mohou tedy změit kvatový stav částice. Musíme tedy měřeí provádět velmi chytře aby ke změě stavu edošlo. Jak to udělat tomu se budeme dále věovat. Stav s ejižší eergií se obvykle azývá základím stavem zatímco ostatí stavy se azývají excitovaé. Závěr z předášky: Hladiy eergie jsou diskrétí. Tetokrát to eí (jako v Plackově případě) tvrzeí ad hoc ale důsledek pečlivě budovaé teorie. Existuje malá ale eulová pravděpodobost alezeí oscilátoru mimo oblast která je z klasického pohledu zakázaá. To úzce souvisí s tuelovým jevem. V limitě velkých eergií se pravděpodobost alezeí oscilátoru v určité vzdáleosti od rovovážého stavu blíží ke klasickému výsledku odvozeému a cvičeí. Pro D HO eergie jedozačě idetifikuje vlovou fukci a tudíž I stav systému. V případe D HO tomu tak eí a jedé hladiě eergie odpovídá více růzých vlových fukcí a tedy I více stavů systému. Jak je rozlišit budeme studovat v ásledujících předáškách. To co bylo odvozeo pro D HO platí pro izotropí HO. Tedy takový který má ve všech 5

5 směrech stejou silovou kostatu a tudíž také stejé. Stav eizotropího D HO může být urče eergií jedozačě. Viděli jsme k aší smůle že a houpačce se emůžeme houpat jak chceme máme k dispozici pouze diskrétí eergetické hladiy. Takže když vám váš syek bude prosit abyste ho pohoupali a eergetické hladiě jié ež ℏ / tak ho budete muset zklamat. Naštěstí je ale ℏ velmi malé takže ho budete moci houpat s eergií je epatrě odlišou od požadovaé a tudíž je velká šace že si toho ai evšime. Větší problém tak bude s frekvecí která je přímo defiovaá hmotostí syka a houpačce a její délkou (pro malé výchylky). Srovej kyvadlo hodi evoluta cykloidy atp. 6